21.2.3用因式分解法解一元二次方程_课件_1
21.2.3 因式分解法(复习课件)
(3)令每个因式分别等于0，即得到两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它 1．(4分)方程x2－3x＝0的解为( D )
A．x＝0 B．x＝3
C．x1＝0，x2＝－3 D．x1＝0，x2＝3 2．(4分)方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( D ) A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝2 C．x1＝－1，x2＝－2 D．x1＝1，x2＝－2
3 解：x1＝3，x2＝5
利用平方差、完全平方公式解一元二次方程 6．(4 分)下列方程能用因式分解法解的有( C )
1 ①x2＝x；②x2－x＋4＝0；③x－x2－3＝0；④(3x＋2)2＝16. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
7．(4 分)方程 25x2＝10x－1 的解是 8．(8 分)解下列方程： (1)(2＋x)2－9＝0； (2)x2－4x＋4＝(3－2x)2.
去，∴周长＝3＋7＋7＝17
17．(12分)阅读下列材料，并解答问题： 因为(x＋1)(x＋2)＝x2＋3x＋2，所以x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋
2)，因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，所以x2＋(a＋b)x＋
ab＝(x＋a)(x＋b)． 请用上面的分析思路和方法，用因式分解法解下列方程：
(2)4x2－4 2x＋1＝0；
1＋ 2 2－1 解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
(3)(3x＋2)2＝(5－2x)2.
3 解：x1＝5，x2＝－7
16．(8分)已知三角形的两边长分别为3和7，第三边长 是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一个根，求这个三角形的 周长． 解：解方程得x1＝10，x2＝7，∵3＋7＝10，故x＝10舍
21.2
解一元二次方程
21.2.3 因式分解法 课件(共21张PPT)
( + )( − )
−
( − )( + )
情境引入
对于方程 − = ，除了可以用配方法或公式法求
解，还可以怎样求解呢？
观察和分析小亮的解法，你认为他的解法有没有道理？
小亮的思考及解法
解一元二次方程的关键是将它转化为一元一次方程，因此，
可将方程的左边分解因式.于是，得( − ) = .
那么这两个因式中至少有一个等于0;
（3）用因式分解法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边
化为0;②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式；
（4）解一元二次方程时，如果能用因式分解法进行解题，那么它是
首选.
知识点2：换元法解一元二次方程（难点）
1. 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使
0,解得y₁=2,y₂=-1(不合题意,舍去),∴|x|=2,∴x₁=2,x₂=-2.
变式：已知(x+y-3) (x+y+4)=-10, 求x+y的值.
解：整理，得( − ) = ，
直接开平方，得 − = 或 −
= −，
解得 = ， = −.
（） + − = .
解： = , = , = −,
− = + = > ,
所以 =
−±
= − ± ，
21.2.3 因式分解法
1.通过阅读课本 ， 学生会用因式分解法解某些简单的数字系
数的一元二次方程，提高了学生的运算能力．
2.通过学生自主探究利用因式分解的方法解方程，培养学生
分析问题、解决问题的能力，并体会通过“降次”把一元二
次方程转化为两个一元一次方程的转化思想．
初中数学教学课件：21.2.3 因式分解法(人教版九年级上)
2.解下列方程: （1）（x+2)(x-4)=0 【解析】(1) (2)4x(2x+1)-3(2x+1)=0
x 2 0或x 4 0
x1 2，x 2 4.
24x2x 1 32x 1 0，
2x 14x - 3 0,
2x 1 0或4x 3 0.
即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
4.（惠安·中考）解方程:x2-25=0 【解析】(x+5)(x-5)=0 ∴x+5=0或x-5=0
∴x1= -5,x2=5.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.因式分解法解一元二次方程的步骤是:
(1)化方程为一般形式;
(2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
例 题
【例1】用分解因式法解方程:
(1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2). 【解析】
解 : 1 5x 2 4x 0,
x5x 4 0.
2 x 2 x x 2 0, x 21 x 0.
1.x1 5; x2 2.
x 2 (5 2 ) x 5 2 0
2. x 2 ( 3 5 ) x 15 0 2.x1 5; x2 3.
3. x 2 (3 2)x 18 0
4. (4 x 2) x(2 x 1)
2
3.x1 3; x2
b b 2 4ac (a 0, b 2 4ac 0) 公式法 x 2a
因式分解法ppt课件
(1)提公因式法：am+bm+cm= m(a+b+c)
;
( 2)公式法：a²-b²= (a+b)(a-b) ,a²±2ab+b²= (a± b)²
(3)十字相乘法 X
)(x
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛， 那么物体经过xs 离地面的高度(单位：m) 为10-4.9x².
解 ：(1) x(x-4)=2-8x
方程整理，得x²+4x=2,
配方，得x²+4x+4=6, 即(x+2)²=6 开平方，得x+2=± √6,
解得x
=-2+√6,x₂=-2-√6.
解 ：(2) x²-4x=0
分解因式，得x(x-4)=0, 所以x=0 或x-4=0, 解得x=0,x₂=4.
解：(3)2 x(x+4)=1
解得
,X
₂
解 ：2(x-3)²=x²-9,
2(x-3)²=(x-3)(x+3) (x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0 (x-3)[x-9]=0 x₁=3,x₂=9.
练习6 按要求解一元二次方程.
(1)x(x-4)=2-8x
(配方法) .
(2)x²-4x=0
(因式分解法).
(3)2x(x+4)=1 (公式法) .
元
先配方，再用直接开平方法降
二 配方法 次 方
次
适用于全部
一
程 公式法
直接利用求根公式
元二次方程
的 方
先使方程一边化为两个一次因
法
因式分解法
式乘积的形式，另一边为0,适用于部分一
人教版九年级数学上册因式分解法课件(1)
活动
什么时候可以用因式分解法？
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘 积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二 次方程的方法称为分解因式法.
使用因式分解法的条件
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论仍旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于
零.”
分解因式法解一元二次方程的步骤
1. 化方程为一般情势; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
例题
解方程： 1. x2－3x＋2＝0.
2. x2－5x－6＝0.
3. x2－10x＋9＝0.
练习
解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为两个一元一次方程，请 写出其中一个一元一次方程
选择合适的方法解一元二次方程
1. 配方法解一元二次方程要先配方，再降次； 2. 通过配方法可以推导求根公式，直接利用求根公式可以求出一
元二次方程的两根； 3. 用因式分解法要先使方程一边化为两个一次因式相乘的情势，
21.2.3因式分解法
复习
1. 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
2. 什么叫因式分解? 若ab＝0，则a＝0或b＝0；若(x－a)(x－b)＝0，则方程的根为x1＝a， x2＝b
用因式分解法解形如x2＋bx＝0的一元二次方程
形如x2＋bx＝0的方程，可以用提取公因式法将方程的左边分解成 x(x＋b)的情势，从而将原方程转化为x(x＋b)＝0，这样可得原方程 的解为x1＝0，x2＝－b.
另一边为0，再分别使每个一次因式等于0. 4. 配方法、公式法适用于解所有有实数根的一元二次方程；因式
21.2.3 因式分解分解法 课件 2022-2023学年人教版数学九年级上册
x 50 50
2a
2 4.9
49 49
x1
100， 49
x2
0
x1
100 49
，
x2
0
探究
10x 4.9x2 0
如果a ·b = 0，
因式分解
那么 a = 0或 b = 0。
x 10 4.9x 0
两个因式乘积为 0，说明什么 降次，化为两个一次方程
x 0 或 10 4.9x 0
1.将方程右边等于0;
2. 将方程左边因式分解为A×B;
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.
4. 分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程 的根.
解下列方程：
1 x x 2 x 2 0;
2 5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
九年级-上册-第21章
21.2 解一元二次方程
因式分解分解法解一元二次方程（1）
1
教学目标
一、知识技能 1、了解因式分解法的概念. 2、会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方
程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从 而降次解方程. 二、过程方法
1、经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合 情合理的推理能力.
10x-4.9x2 =0 ①
10x-4.9x2 =0 ①
因式分解
x(10-4.9x) =0 ②
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
x =0 或 10-4.9x=0
降次，化为两个一次方程
x1 0,
x2
100 49
因式分解法解一元二次方程课件人教版九年级数学上册
(x+3)2=0，即 (x+3)(x+3)=0 于是得
X+3=0,或x+3=0
另解：(直接开平方法) ∴x1=x2=-3
9x2-25=0
9x2=25
X2=25/9
∴X1=5/3, x2=-5/3
5、(x-2)2=(4-3x)2 解：(x-2)2-(4-3x)2=0 [ (x-2)+(4-3x) ] [ (x-2)-(4-3x) ]=0 (-2x+2)(4x-6)=0 -2x+2=0，或4x-6=0 ∴ x1=1，x2=3/2
2、3x(x+5)-2(x+5)=0 解：因式分解，得
(x+5)(3x-2)=0 于是得 X+5=0，或3x-2=0 X1=-5，x2=2/3
3、9x2-25=0 解：因式分解，得
(3x+5)(3x-5)=0 于是得， 3x+5=0,或3x-5=0 ∴ X1=-5/3, xபைடு நூலகம்=5/3
4、x2+6x=-9 解：移项，得
完全平方公式：a2+2ab+b2= (a+b)2 a2-2ab+b2= (a-b)2
③十字相乘法：x2+(p+q)x+pq= (x+p)(x+q)
七、作业
1.教材P17第6题；P21第1题。 2.《学习指要》P7-8对应章节练习。
我们下节课再见！
（2）完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2 例如：x2+6x+9 =(x+3)2 3、十字相乘法：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
第五课时21.2.3用因式分解法解一元二次方程
十字相乘法的字母公式
x2 + (a+b)x + ab = (x+a) (x+b) 公式里有二次项，一次项，常数项， 和一元二次方程的一般形式对应起来： 2 一般形式： ax bx c 0(a 0)
二次项 一次项 常数项
分解二次项与常数项后，把交叉相 乘相加，所得的和与一次项比较，判断 分解是否正确。
8、一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数. 解：设这个数为x,根据题意得：
2x2=7x. 2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
7 x1 0, x2 . 2
根据物理学规律，如果把一个物体从 地面以 10 米/秒 的速度竖直上抛，那么经 过 x 秒 物体离地面的高度h（单位：米） 2 2 为10x - 4.9x ．即：h= 10x - 4.9x 你能根据上述规律，求出物体经过多 少秒落回地面吗？
2 2
此即运用平方差公式进行因式分解
用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a 2ab b a b
2 2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
回顾与复习
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
x 1 x 1x 1
《 解一元二次方程之因式分解法》九年级初三数学上册PPT课件(第21.2.3 课时)
老师：XXX
时间：20XX.4
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第二十一章 一元二次方程
前言
学习目标
1.会用因式分解法解一元二次方程。
2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解
决问题的多样性。
重点难点
重点：运用因式分解法求解一元二次方程。
难点：灵活应用各种因式分解法解一元二次方程。
回顾
.
课堂测试
2.若代数式3x2+1的值等于76，则x的值为 ±5
.
3.对于方程x2=m-3,若方程有两个不相等的实数根,则
m ＞3 ;若方程有两个相等的实数根，则m =3 ;若方程无
实数根，则m ＜3
.
课堂测试
4.用直接开平方法解下列方程：
⑴2x2-50=0；
⑵4x2+12x+9=1.
解：⑴移项，得2x2= 50 .
子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?
根据平方根的意义，得x=±5,
60个面 即x1=5, x2=﹣5.
可以验证，x1=5, x2=﹣5，
是方程①的两个根
设正方体的棱长为x dm，
则一个正方体的表面积为6x2 dm2，
10×6x2=1 500
整理，得x2=25
①
因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
①移项,使一元二次方程等式右边为0;
②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积;
③赋值，分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程;
④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。
归纳：右化零，左分解，两因式，各求解.
思考
2)解：移项、合并同类项，
人教版九年级数学上册第21章第2节《因式分解法》优质课件
解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 解： 由题可得
x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
4x2－11x=0.
解： 分解因式，得
4
x
x
11 4
0
故x=0或 x 11 0
4
x1=0,x2
11 4
你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？
第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根.
推进新课
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0吗？ 是否还有更简单的方法呢？
分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0， 降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0， 求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=14090 .
思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降 为一次的？
5x2－2x－1 x2 2x 3
4
4
解： 移项、合并同类项得
4x2-1=0
(2x-1)(2x+1)=0
即2x-1 =0或2x+1 =0,
x1=1 , x2= 1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
随堂演练
1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（D ）
人教版数学九年级上册第21章解一元二次方程21.2.3因式分解法教学设计课件
21.2.3因式分解法1.认识因式分解法的观点.2.会用因式分解法解一元二次方程.3.能依据一元二次方程的特色,选择合适的解一元二次方程的方法.1.经历研究用因式分解法解一元二次方程的过程,发展合情推理的能力,领会“降次”化归的思想方法.2.经过灵巧选择解方程的方法,领会解决问题的灵巧性和多样性.1.经过研究因式分解法解一元二次方程,学会与别人合作,能与别人沟通思想的过程和结果的能力.2.经历研究知识的形成过程,培育学生主动研究的精神与踊跃参加的意识.【要点】用因式分解法解一元二次方程.【难点】依据一元二次方程的特色,选择合适的解一元二次方程的方法.【教师准备】预料学生解一元二次方程中选择灵巧方法的困难.多媒体课件1和课件2.【学生准备】复习总结学过的解一元二次方程的方法.导入一:复习发问:1.因式分解的方法有几种?【师生活动】教师发问,学生回答,教师评论.2.将以下各式分解因式.(1)5x2-4x;2-4x+4;(2)x(3)4x(x-1)-2+2x;(4)x2-4;2-x2.(5)(2x-1)【师生活动】学生独立达成,小组内沟通答案,对出现的错误组长帮忙解决,老师评论易错点.导入二:(教材问题2)依据物理学规律,假如把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s离地2面的高度(单位:m)为10x-4.9x,依据上述规律,物体经过多少秒落回地面(结果保存小数点后两位)?学生口答所列方程为10x-4.9x2=0,思虑怎样解这个方程.(配方法、公式法)[设计企图]经过复习有关知识,有益于学生娴熟正确地将多项式进行因式分解,进而降低本节课的难度,为学习新知识打下基础;以与物理学有关的实质问题导入新课,让学生领会各学科知识之间的联系,感觉数学与生活之间的联系,激发学生学习的兴趣.[过渡语]除配方法和公式法之外,可否找到更简单的方法解这个方程?一、共同研究2=0?思虑:还有什么方法解问题中的一元二次方程10x-4.9x思路一教师指引学生思虑回答以下问题.(1)上边方程中有没有常数项?(2)等式左侧的各项有没有同样因式?能不可以分解因式?(3)假如AB=0,那么;假如(x+1)(x-1)=0,那么x+1=0或,即x=-1或. (4)试试将方程左侧分解因式,看能不可以达到降次的目的.【师生活动】学生在教师的指引下逐个思虑回答以下问题,教师实时增补,而后让学生勇敢试试解方程,对出现的问题教师有针对性地解决.思路二复习发问:假如AB=0,那么.方程能不可以化成这类形式?小组合作沟通,勇敢试试,教师对解决问题有困难的学生实时赐予帮助,并将小组沟通结果展现,对学生展示结果教师提出怀疑,并指引学生解决.解:将方程左侧分解因式,得x(10-4.9x)=0,∴x=0或10-4.9x=0,∴x1=0,x2=≈2.04.∴物体经过2.04秒落回地面.[设计企图]经过小组议论或教师指引,察看方程的特色,而后找到解决的门路,让学生亲身经历知识的形成过程,培育学生察看问题、剖析问题的能力和研究精神.二、思虑(1)上述解方程的方法第一步是怎样变形的?(2)上述解法是怎样达到降次的目的的?(3)什么样的方程适适用这类方法求解?【师生活动】小组议论沟通,教师实时指引,师生共同得出结论.第1页我们能够发现,上述方程的解法不是用开平方降次,而是先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,进而实现降次,这类解一元二次方程的方法叫做因式分解法.[过渡语]依据方才解方程的思路和因式分解法解方程的观点,你能不可以总结因式分解法解方程的步骤是什么?【师生活动】学生思虑回答,教师增补,归纳后以课件展现.【课件1】因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右侧化为0;(2)将方程的左侧进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转变为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.[设计企图]以问题的形式指引学生思虑,降低了新知识的难度,小组的议论沟通,让学生体验知识的形成过程,在讲堂上发挥主体作用,体验成功的快乐,使本节课要点进一步获取加强,同时研究过程培育了学生疏析问题的能力和归纳总结的能力.三、例题解说【课件2】(教材例3)解以下方程.(1)x(x-2)+x-2=0;2-2x-=x2-2x+.(2)5x【师生活动】学生独立达成后小组沟通答案,教师课件展现,规范做题格式.解:(1)因式分解,得(x-2)(x+1)=0,即x-2=0或x+1=0,∴x1=2,x2=-1.2-1=0,(2)移项、归并同类项,得4x因式分解,得(2x+1)(2x-1)=0,即2x+1=0或2x-1=0,∴x1=-,x2=.[知识拓展]1.当方程的左侧能分解因式,方程的右侧为0时,经常用因式分解法解一元二次方程,因式分解法是解一元二次方程的一种简易方法,要会灵巧运用.2.解一元二次方程时,四种解法的使用次序是:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,一般先考2=b(b≥0),用直接开平方法,最一般方法是公式法,配方法在题目没有特虑用因式分解法,假如是特别形式(x+a)殊要求时一般不用.因式分解法解一元二次方程的步骤:(1)将方程的右侧化为0;(2)将方程的左侧进行因式分解;(3)令每一个因式为0,转变为两个一元一次方程;(4)解一元一次方程,得原方程的解.1.方程x(x+2)=0的根是()A.x=2B.x=0C.x1=0,x2=-2D.x1=0,x2=2分析:由题意可得x=0或x+2=0,解得x1=0,x2=-2.应选C.2.方程(x-5)(x-6)=(x-5)的解是()A.x=5B.x=5或x=6C.x=7D.x=5或x=71=5,x2=7.分析:移项,得(x-5)(x-6)-(x-5)=0,方程左侧提公因式得(x-5)(x-6-1)=0,即x-5=0或x-7=0,解得x 应选D.3.用因式分解法解方程5(x+3)-2x(x+3)=0,可把其化为两个一元一次方程,求解.分析:方程左侧提公因式得(x+3)(5-2x)=0,因此x+3=0或5-2x=0.答案:x+3=05-2x=02-16=0的解是.4.方程x分析:方程左侧用平方差公式分解因式得(x+4)(x-4)=0,因此x+4=0或x-4=0,解得x1=4,x2=-4.故填x1=4,x2=-4.5.用因式分解法解以下方程.2+x=0;(1)x2-2x=0;(2)x2-6x=-3;(3)3x(4)4x2-121=0;(5)3x(2x+1)=4x+2;第2页2=(5-2x)2.(6)(x+4)解:(1)将方程左侧分解因式,得x(x+1)=0,∴x=0或x+1=0.∴x1=0,x2=-1.(2)将方程左侧分解因式,得x(x-2)=0,∴x=0或x-2=0.∴x1=0,x2=2. 2-6x+3=0,将方程左侧分解因式,得3(x-1)2=0∴x(3)移项,得3x1=x2=1.(4)将方程左侧分解因式,得(2x+11)(2x-11)=0,∴2x+11=0或2x-11=0.∴x1=-,x2=.(5)移项,得3x(2x+1)-(4x+2)=0,将方程左侧分解因式,得(2x+1)(3x-2)=0,∴2x+1=0或3x-2=0.∴x1=-,x2=.2-(5-2x)2=0,(6)移项,得(x+4)将方程左侧分解因式,得(x+4+5-2x)(x+4-5+2x)=0,∴-x+9=0或3x-1=0.∴x1=9,x2=.21.2.3因式分解法一、共同研究二、思虑因式分解法解一元二次方程的步骤三、例题解说一、教材作业【必做题】教材第14页练习的1题.【选做题】教材第14页练习的2题.二、课后作业【基础稳固】2-2x=0的解是()1.一元二次方程5xA.x1=0,x2=B.x1=0,x2=-C.x1=0,x2=D.x1=0,x2=-2.方程3x(x+1)=3x+3的解为()A.x=1B.x=-1C.x1=0,x2=-1D.x1=1,x2=-13.若对于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程能够为()A.(x+5)(x-7)=0B.(x-5)(x+7)=0C.(x+5)(x+7)=0D.(x-5)(x-7)=04.方程(x+4)(x-5)=1的根为()A.x=-4B.x=5C.x1=-4,x2=5D.以上结论都不对5.方程x(x-1)=x的解是.6.将二次三项式x2+20x-96分解因式的结果为;假如令x2+20x-96=0,那么它的两个根是. 7.方程(x-1)(x+2)=2(x+2)的根是.第3页8.若(m+n)(m+n+5)=0,则m+n=. 9.若(2x+3y)2+4(2x+3y)+4=0,则2x+3y的值为. 10.用因式分解法解以下方程.(1)(x-1)(x-2)=0;2-3x=0;(2)x2-4x+4=0;(3)x2-5x+4=0.(4)x【能力提高】的长方形养鸡场. 为了节俭资料 ,养鸡场的一边靠着原有的一面墙 ,墙211. 某养鸡专业户建一个面积为 150 m长a m,另三边用篱笆笆围成,假如篱笆的长为35 m,那么养鸡场的长与宽各为多少?(此中a≥20)2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),那么x2-(a+b)x+ab=0便可转变为(x-a)(x-b)=0,请你用上边的方法解下12.我们知道x列方程.(1)x2-3x-4=0;2-7x+6=0;(2)x2+4x-5=0.(3)x【拓展研究】2-1)2-5(x2-1)+4=0,我们能够将x2-1视为一个整体,而后设x2-1=y,则y2=(x2-1)213.为解方程(x,原方程化为22222y-5y+4=0,解此方程,得y1=1,y2=4.当y=1时,x-1=1,x=2,∴x=±.当y=4时,x-1=4,x=5,∴x=±.∴原方程的解为x1=-,x2=,x3=-,x4=.以上方法就叫换元法,达到了降次的目的,表现了转变的思想.4-3x2-4=0;(1)运用上述方法解方程x2-1看作一个整体,你能直接运用因式分解法解(1)中的方程吗?(2)既然能够将x【答案与分析】1.A(分析:将方程左侧分解因式,得x(5x-2)=0,∴方程的解为x1=0,x2=.应选A.)2.D(分析:由已知得3x(x+1)-3(x+1)=0,∴3(x+1)(x-1)=0,∴x+1=0或x-1=0,∴x1=1,x2=-1.应选D.)3.A(分析:∵(x+5)(x-7)=0,∴x+5=0或x-7=0,∴x1=-5,x2=7.应选A.)2-x=21,∴=,∴x=.应选D.)4.D(分析:∵(x+4)(x-5)=1,∴x5.x1=0,x2=2(分析:∵x(x-1)=x,∴x(x-1)-x=0,∴x(x-1-1)=0,即x=0或x-2=0,∴x1=0,x2=2.)6.(x+24)(x-4)-24,4(分析:x2+20x-96=(x+24)(x-4).∵x2+20x-96=0,∴(x+24)·(x-4)=0,∴x+24=0或x-4=0,∴x1=-24,x2=4.)7.x1=3,x2=-2(分析:移项,得(x-1)(x+2)-2(x+2)=0,∴(x+2)(x-1-2)=0,∴x1=3,x2=-2.故填x1=3,x2=-2.)8.0或-5(分析:由题意得m+n=0或m+n+5=0,∴m+n=0或m+n=-5.故填0或-5.)2=0,因此2x+3y+2=0,即2x+3y=-2.故填-2.)9.-2(分析:把2x+3y当作一个整体,有(2x+3y+2)2=0,∴x10.解:(1)x-1=0或x-2=0,∴x1=1,x2=2.(2)x(x-3)=0,∴x=0或x-3=0.∴x1=0,x2=3.(3)(x-2)1=x2=2.(4)(x-1)(x-4)=0,∴x-1=0或x-4=0.∴x1=1,x2=4.11.解:设养鸡场垂直于墙的一边长为x m,则与墙相对的边的长为(35-2x)m,依题意,得x(35-2x)=150,即2-35x+150=0,因此(2x-15)·(x-10)=0,因此x=7.5或x=10,当x=7.5时,35-2x=20,当x=10时,35-2x=15,由于a≥ 2x20,因此两根都知足条件.答:养鸡场的长与宽分别为20 m,7.5 m或15 m,10 m.212.解:(1)∵x-3x-4=(x-4)(x+1),∴(x-4)·(x+1)=0,∴x-4=0或x+1=0,∴x1=4,x2=-1.2-7x+6=(x-6)(x-1),∴(x-6)(x-1)=0,∴x-6=0或x-1=0,∴x(2)∵x1=6,x2=1.2+4x-5=(x+5)(x-1),∴(x+5)(x-1)=0,∴x+5=0或x-1=0,∴x(3)∵x1=-5,x2=1.4-3x2-4=0.设x2=y,则y2=x42-3y-4=0,解此方程,得y2=4,∴x=±2.13.解:(1)x,原方程化为y1=-1,y2=4.当y=4时,x2=-1,无实数解.∴原方程的解为x2+1)(x2-4)=0,∴x2+1=0或当y=-1时,x1=-2,x2=2.(2)因式分解,得(xx1=2,x2=-2.2-4=0,x2+1=0无解,∴原方程的解为x在本节课的教课过程中,先对因式分解进行复习,而后由实质问题引出新方程,解决这个实质问题需要学习新知识,激发了学生的学习动机,而新知识与旧知识一元一次方程有内在联系,指引学生用比较、归纳的方法获取新知识.整节课都是以问题形式层层深入,在老师的指引下,学生自主研究结论,因此学生在讲堂上发挥了主体作用,老师在讲堂上不过指挥家、引领者的身份,这样有益于培育学生剖析问题、解决问题的能力和创新精神.后边的例题稳固提高了本节课的要点,例题的解决不是老师解说达成的,而是学生在独立思虑的基础上由小组合作、共同沟通达成,提高了学生解决问题的灵巧性,建立了学习的信心.在讲堂中有时办理问题过于焦躁,过分关注学生的学习结果,而忽视了过程,办理有些知识点时,给学生留有思虑的时间太少,造成练习解方程时,部分学生出现计算错误许多.并且对于学生出现的问题不过实时的加以加强,没有再出近似的问题让学生解决,不可以更有效地表现讲堂教课的实效性.不可以关注到每一位学生,在讲堂上比较活跃的仍是部分学生,应当让人人学到有价值的数学.第4页数学教课的真理是数学思想过程的教课,因此教课方案要着重培育学生正确运用所学新知识来剖析问题、解决问题,用新方法解方程时,给学生足够思虑时间,同时重视指引学生思虑怎样对所学新知识加以复习、稳固,进一步认识这部分知识在解决问题时所起的作用.教课自己就是一个动向生成的过程,在解题过程中, 尽量让有典型问题的学生进行展现,这样正好是教师的第一手资料,以使教课更能有效进行.练习(教材第14页)1.解:(1)x1=0,x2=-1.2+x=0,x(x+1)=0,∴x2- 2 x=0,x(x- 2 )=0,∴x 2- 6x=-3,x2- 2x+1=0,(x- 1) (2)x 1=0,x2=2 . (3)3x 2=0,∴x1=x2=1.1=x2=1.2-121=0,(2x-11)·(2x+11)=0,∴x(4)4x1=,x2=-.(5)3x·(2x+1)=4x+2,3x(2x+1)-2(2x+1)=0,(2x+1)(3x-2)=0,∴x1=-,x2=.2=(5- 2x)2 (6)(x- 4) ,(x- 4) 2- (5- 2x)2=0,(x- 4+5- 2x)·(x- 4- 5+2x)=0,(1-x )( 3x- 9)=0,∴x 1=1,x2 =3.1=1,x2=3.2.解:设小圆形场所的半径为R m,则大圆形场所的半径为(R+5)m,依题意得2=π(R+5)2 2=(R+5)2 2πR ,2R ,( R) 2- (R+5)2 =0,( R+R+5)( R-R-5)=0,∴R 1=5- 5 (舍),R2=5+5 . 答:小圆形场所的1=5- 5 (舍),R2=5+5 . 答:小圆形场所的半径为(5+5)m.1.本节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程,解法的基本思路是将一元二次方程转变为一元一次方程,而达到这一目的,我们主要利用了因式分解“降次”,经过本节课的学习,要指引学生逐渐深入、领悟、掌握“转变”这一数学思想方法.2.在教课过程中,对配方法和公式法进行复习,再由实质问题引入新方程,要解决这个实质问题需要学习新知识,激发了学生的学习动机,把本节课的要点内容设计成问题串的形式,指引学生自主研究、合作沟通,自然地掌握了本节课的要点,同时培育了学生剖析问题、解决问题的能力及合作和研究精神.3.因式分解法对解某些一元二次方程是最简单的方法,在解一元二次方程时,应依据方程的构造特色,选择合适的方法去解,这是本节课的难点,并且直接开平方法与因式分解法中都包含着由二次方程向一次方程转变的思想方法.一般状况下,独自使用这类方法,学生运用的比较娴熟,但假如综合在一同,学生运用的就不太娴熟,因此在练习中,给学生足够的时间沟通,共同研究方程知足什么特色能够用什么方法,达到顺利打破难点的目的.用因式分解法解方程x(x-1)=2.有学生给出以下解法:∵x(x-1)=2=1×2=(-1)×(-2),∴或或或解上边第一、四个方程组,无解;解第二、三个方程组,得x=2或x=-1.∴x=2或x=-1.请问:这个解法对吗?试说明你的原因.假如你感觉这个解法不对,请你求出方程的解.解:解法不对.原因:用因式分解法解一元二次方程,方程左侧一定为两个一次因式的乘积,而方程右侧一定为0,明显这位同学的做法不切合这样的要求,故解法错误.正确解法以下:2-x-2=0,原方程可化为x即(x-2)(x+1)=0,则x-2=0或x+1=0,1=2,x2=-1.解得x第5页。
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中，a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边，且关于 x
突 的一元二次方程 b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0 有两个相等的实数根．判断
破 △ABC 的形状.
［解析］ 根据已知条件得出 Δ=0，将等式变形，利用勾股定理的逆定理
B． 只有一个实数根
读
C． 有两个不相等的实数根
D． 没有实数根
［解题思路］
原方程
x（x-2）=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a，b，c 的值
a=1，b=-2，c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8＞0
判断根的情况
［答案］ C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a，b，c 的值，代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
（1）x2-4x-3=0； （2）2x2-6x=1； （3）（t+3）（t-1）=12．
解
［解题思路］ 按照下面的顺序进行求解.
读
［答案］ 解：（1）移项，得 x2-4x=3，配方，得 x2-4x+4=3+4，即（x-
2）2=7，开方，得 x-2=±
，所以 x1=2+
，x2=2-
；
（2）二次项系数化为 1，得 x2-3x= ，配方，得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”，转化为一元一次方程求解
人教版初中数学九年级上册精品教学课件 第21章 一元二次方程 21.2.3 因式分解法
快乐预习感知
1
2
3
4
5
1.方程x2-x=0的根是( C )
A.x=0
B.x=1
C.x1=0,x2=1
D.x=-1
快乐预习感知
1
2
3
4
5
2.用因式分解法把方程(x-1)(x-2)=12分解成两个一元一次方程,下
列分解中正确的是( A )
A.x-5=0,x+2=0 B.x-1=3,x-2=4
C.x-1=2,x-2=6 D.x+5=0,x-2=0
1±8
2x-1=±8,2x=1±8,x= 2 ,
9
7
所以 x1=2,x2=-2.
4
1
(2)将原方程移项,得 3x2+4x=-1,方程两边同时除以 3,得 x2+3x=-3,
4
2 2 1
2 2
配方,得 x +3x+ 3 =-3 + 3 ,
2 2
1
2
1
2
1
即 + 3 = 9,x+3=±3,x=-3 ± 3.
x2+2x=0,
因式分解得x(x+2)=0,
解得x=0或x+2=0.
即x1=0,x2=-2.
(2)整理,得(3x-1)2-[2(2x+3)]2=0,
[3x-1+2(2x+3)][3x-1-2(2x+3)]=0,
(3x-1+4x+6)(3x-1-4x-6)=0,
(7x+5)(-x-7)=0,
于是得7x+5=0或-x-7=0.
(x-1)(x+1-3)=0,
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程2降次——解一元二次方程因式分解法课件
x（10 - 4.9x）= 0
两个因式的积等于零
x = 0 或 10 - 4.9x = 0 至少有一个因式为零
x1=ຫໍສະໝຸດ 0，x2=
100 49
举例讲授
解方程： x（10-4.9x）=0
解：∵x（10-4.9x）=0
∴x=0或10-4.9x=0，
∴x1=0，x2=
100 49
≈2.04
∴可知物体被抛出约2.04s后落回地面。
课堂作业
5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆场地， 场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径.
课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优缺点？需注意哪些细 节问题？
2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和体会？
课后思考
试比较配方法、公式法和因式 分解法各自的优缺点.
课堂作业
1.用因式分解法解方程，下列方程中正确是（ ）
A
A.（2x-2）（3x-4）=0， ∴2x-2=0或3x-4=0
B.（x+3）（x-1）=1， ∴x+3=0或x-1=1
C.（x+2）（x-3）=6， ∴x+2=3或x-3=2
D. x（x+2）=0，
∴x+2=0
课堂作业
2.当x=
1时或，2代数式x²-3x的值是-2.
即
b b2 4ac 1 13
x
所以x1
1
6
13
2a ，x
2
1 6
6
13
典题精讲
(2)2( 2x 3)2 12
解：原方程可化为
2x
2
3
6
两边开平方，得 2x 3 6
即 2x 3 6 ， 2x 3 6
21.2.3用因式分解法解一元二次方程_课件_1
(
)
1、如何用因式分解法解一元二次方程？ 2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤？ 3、解一元二次方程有几种方法，他们之间的联 系与区别是什么？
作业：书P14练习
1.解下列方程： . 2
(1) x x 0,
提公因式：x( x 1) 0， 所以有x 0或x 1 0 即x1 0，x2 1.
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
我思
我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
2
(a1x c1 )(a2 x c2 )
a2
c1 c2
(4)3x 7 x 2 0
2
例2 解下列方程
(1)2 y 3 y 2 0 (2)3x 10x 8 0
2
2
(3)4x 31x 45 0
2
(4) 3x 22x 24 0
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢 ? 4 x 2 12 x 9 ? . 3x 2 7 x 4 ?. 观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6);
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3x x 20 0; 4x 2 x 8 0 2 2 5y 3x 2 0; 6x 11x 30 0
1x 2x 4 0 解：
x 2 0 x 4 0 x1 2, x2 4
解方程1x 6 x 8 0;
所以小圆的半径为5 5 2m.
十字相乘法因式分解
一丶教学目标:
1. 使学生会用十字相乘法 , 把形如 x (a b)x ab分解因式:
2
二丶复习提问; 1:计算: (1). (x+2)(x+3);
(2). (x+2)(x-3);
2
解 : 原式 x - 3x 2x 2 (-3)
设小圆半径为r.根据题意, 得 (r 5) π 2 r π
2 2
(r 5) 2r
2 2
2 2
r 10r 25 2r 50 (r 5) 2 r 5 5 2 r 55 2 r1 5 5 2
25 25 r 2 10r 25
r2 5 5 2 0(舍)
(2x 1)2x 1 0.
4 x 1 0,
2
2x 1 0, 或2x 1 0. x1 2, x2 1. 1 1 x1 ; x2 . 2 2 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
所以有x 0或x 2 3 0，
(3)3 x 6 x 3,
2
移项，得： 3 x 6 x 3 0，
2 2
提公因式得： 3( x 2 x 1) 0， 所以3( x 1) 0，
2
有( x 1) 0，
2
所以x1 x2 1.
2 x 112 x 11 0
2 2 2
2x
2
5 x 6 0;
3x x 20 0; 4x 2 x 8 0 2 2 5y 3x 2 0; 6x 11x 30 0
解 2x 2x 3 0
x 2 0, x- 3 0
x1 2, x2 3
2 x －4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0 X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
AB=0A=0或Ｂ＝０
重 点 难 点
重点： 用因式分解法解一元二次方程 难点： 正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0 （ A、B表示两个因式）
例题欣赏
(5)3x(2 x 1) 4 x 2 移项： 3x(2 x 1) 2(2 x 1) 0， 提取公因式： (2 x 1)(3x 2) 0， 所以有： 2 x 1 0或3x 2 0， 1 2 所以x1 ，x2 . 2 3
(6)x 4 5 2 x
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法. 1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零; 2.理论依据是.
“如果两个因式的积等于零,
那么至少有一个因式等于零”
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(6)另一解法 : ( x 4) (5 2 x) x 4 (5 2 x)
2 2
x 4 5 2 x或x 4 5 2 x 3x 9或x 1 即x1 3，x2 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形 场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
a a
5a+2a=7a
5 2
结果为 ( B ) 1. 分解a 2 a 12的
练习一选择题:
A. (a - 3)(a 4); C. a 6 a 2 ;
B. D.
a 3a 4; a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A ) A. a 4 a 2 ; B. a 4 a 2 ; C. a 4 a 2 ; D. a - 4 a 2 ; 3. 若 多项项M分解的因式是 (x - 2)(x- 3),则M是( C ) A. x2 5x 6; C. x2 5X 6; A. a b a 2b; C. (a - b)(a 2b); B. x2 5x 6; D. x2 5x 6; B. (a b)(a - 2b); D. (a - b)(a - 2b);1.解下列方程： .源自2(1) x x 0,
提公因式：x( x 1) 0， 所以有x 0或x 1 0 即x1 0，x2 1.
1.解下列方程： .
2
(2) x 2 3 x 0,
提公因式x( x 2 3 ) 0， 即x1 0，x2 2 3.
☞
解：x( x 2) x 2 0,
(1)x(x-2)+x-2=0;
例3 解下列方程: 1 3 2 2 (2)5 x 2 x x 2 x , 4 4
解 : 移项, 合并同类项, 得：
x 2x 1 0.
x 2 0, 或x 1 0.
x (a b)x ab (x+a)(x+b) 也就是说, 对于二次三项式 x 2 px q, 如果常数q
能分解为分解为两个因 数a, b的积, 并且a b p时, (a与b和是一次项的系数)就可以用上面的公式分 解因式.
例1: 把x 3x 18分解因式; 解:原式= (x+6) (x-3)
提公因式法
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－
5)=0
=0 5
3x+1+ 5 =0或3x+1－
１ 5 １ 5 ∴ x1= , x2= 3 3
公式法
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
2
解 : 原式 x bx ax a b x (-3 2)x 6
2
x 5x 6
2
x (a b)x ab
2
x (a b) x ab
2
三丶试一试:
反过来:
2
(x a)(x b) x 2 (a b)x ab
解 : 原式 x 2x 3x 2 3
2
x (2 3)x 6
2
x (-3 2)x 6
2
x 5x 6
2
x x6
2
十字相乘法因式分解
二丶复习提问; 1:计算: (3). (x-2)(x-3);
(4)(x+a)(x+b);
2
解 : 原式 x - 3x - 2x (-2) (-3)
10 4.9 x 0 以上解方程 x 是如何使二次方程降为一次的？
的方法
x 10 4.9 x 0
① ②
x 0 或 10 4.9 x 0,
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种 解法叫做因式分解法．
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
(
)
练习：书P40练习
①
方程①的右边为0，左边可因式分解，得
x 10 4.9 x 0.
于是得 如果a· b=0 那么a=0或 b=0．
x 0 或 10 4.9 x 0,
100 x1 0, x2 2.04. 49
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，面x1=0表示物体被上抛时离 地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m．
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
我思
我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
解方程1x 6 x 8 0;
2 2 2
2x
2
5 x 6 0;
3x x 20 0; 4x 2 x 8 0 2 2 5y 3x 2 0; 6x 11x 30 0