数值计算课后答案5

习 题 五 解 答

1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。

(1)120(8)4x

dx n x =+⎰，(2)20sin (8)x xdx n π=⎰

(3)1

(4)n =⎰

，(4)1

(4)x e dx

n -=⎰

1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。

(1)12

0(4)4x dx n x =+⎰

解：解：将区间［0，1］4等分，5个分点上的被积函数值列表如下（取2位小数）

(1)矩形法。

用矩形法公式计算（取

2位小数）

或者 (2)梯形法

用梯形法公式计算（取2位小数）： (3)抛物线法

用抛物线法公式计算（取2位小数）：

2、用复化梯形公式计算积分841dx x ⎰，由此计算ln2（注：841

ln 2dx x

=⎰），精度要求为410-。

解：8418

ln8ln 4ln ln 24

dx x =-==⎰，

要求精度为410-，即误差不超过41

102

ε-=⨯。

将积分区间［4，8］n 等份，则步长844

h n n -==

在本题中，复化梯形公式的余项为2228484416

()()()()12123r h f f f n n

ηηη--''''''=-=-=-

注意到

231

(),(),()2f x f x x f x x x

--'''==-=，

所以在［4，8］区间上3()24f x -''≤⨯，

则3

2232

161621283346r n n n

-⨯≤

⨯⨯==⨯， 要使4211

1062n -≤⨯

，需有42421110310577.36757862n n n n n -≤⨯⇒≥⇒≥

⇒≥⇒=。 3、用复合梯形公式计算积分()b

a

f x dx ⎰，问将积分区间[a,b]分成多少等份，才能保证误差不超过

ε（不计舍入误差）？

解：对于复合梯形公式来说，如果()f x ''在积分区间上连续，则其余项为

2

(),[,]12

b a r h f a b ηη-''=-∈，

设max ()a x b

M f x ≤≤''=，

则322

()()()1212b a b a M

r h f n

η--''=≤ 令

32

()12b a M

n ε-≤，

得n ≥

即当1n =+时，能保证计算的精度要求。

求从地面(H=0km)上升到H=10km 高空所需要的时间100

()

dH v H ⎰。(分别用复合梯形公式与高阶牛顿—柯特斯公式) 指出：

求给定函数的数值积分套用公式即可但须注意给出的数据表不是要求积分的函数表，要求积分的函数表为

5、用龙贝格方法计算下列积分，要求误差不超过10－5。

(1)1

x dx -⎰ (2)0cos x e xdx π⎰ 解: (1)依次应用龙贝格积分的四个公式进行计算：

323

441

n n

n C C R -=-。

所以1

07132717x dx -≈⎰．。 6、分别用下列方法计算积分811

I dx x

=⎰，并比较计算结果的精度(I=1.098612……)：

(1)复合梯形法(n=16)； (2)复合抛物线法(n=8)； (3)龙贝格方法，求至2R ； (4)三点高斯—勒让德公式。 指出：

①直接套公式计算。

②计算结果的精度比较，通过各计算解和精确解比较，求出相应的误差，再比较误差大小的方法进行。

③三点高斯—勒让德公式为

1

1

585()()(0)(95995

f x f f f -≈

-++⎰

。 当积分区间不是［－1，1］而是［a,b ］时，为应用高斯—勒让德公式，需要作变量代换22

b a a b

x t -+=+

，将[a,b]化为［－1，1］。 石瑞民《数值计算》中没有给出三点高斯—勒让德公式，但给出了3、4、5点公式系数表。 7、试确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度：

(1) 012()()(0)()h h f x dx f h f f h λλλ-=-++⎰；

(2) 20122()()(0)()h

h

f x dx f h f f h λλλ-=-++⎰

；

(3) 1

1211

()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++⎰；

(4) 2()[()()]()[()()]2

b a b a f x dx f a f b

c b a f a f b -''≈++--⎰。

解：(1) 求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)＝1，x ，x 2精确成立，即

解之得 0124,,333

h h h

λλλ=== ，

所以，数值求积公式为4()()(0)()333

h h h h h

f x dx f h f f h -≈-++⎰ ，

而 333()33h h h h

x dx h h -=-+⎰，

444()33

h h

h h x dx h h -≠-+⎰， 所以上述积分公式具有3次代数精度（实际上这是抛物线公式）。

(2) 求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)＝1，x ，x 2精确成立，即

解之得 012848,,333

h h h

λλλ==-= ，

所以，数值求积公式为22848()()(0)()333

h h h h h

f x dx f h f f h -≈--+⎰ ，

而 2333288()()033

h h h h

x dx h h -=-+=⎰，

所以上述积分公式具有3次代数精度。

指出：

由于本题的节点实际上仅分布在半个积分区间，因此积分精度低。 (3)求积公式中有2个待定参数，需要列两个方程组成的方程组。

当f(x)=1时，有

因此需令求积公式对f(x)＝x ，x 2精确成立，即