数值计算课后答案5

习 题 五 解 答1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。

(1)120(8)4xdx n x =+⎰，(2)20sin (8)x xdx n π=⎰(3)1(4)n =⎰，(4)1(4)x e dxn -=⎰1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。

(1)120(4)4x dx n x =+⎰解：解：将区间［0，1］4等分，5个分点上的被积函数值列表如下（取2位小数）(1)矩形法。

用矩形法公式计算（取2位小数）或者 (2)梯形法用梯形法公式计算（取2位小数）： (3)抛物线法用抛物线法公式计算（取2位小数）：2、用复化梯形公式计算积分841dx x ⎰，由此计算ln2（注：841ln 2dx x=⎰），精度要求为410-。

解：8418ln8ln 4ln ln 24dx x =-==⎰，要求精度为410-，即误差不超过41102ε-=⨯。

将积分区间［4，8］n 等份，则步长844h n n -==在本题中，复化梯形公式的余项为2228484416()()()()12123r h f f f n nηηη--''''''=-=-=-注意到231(),(),()2f x f x x f x x x--'''==-=，所以在［4，8］区间上3()24f x -''≤⨯，则32232161621283346r n n n-⨯≤⨯⨯==⨯， 要使42111062n -≤⨯，需有42421110310577.36757862n n n n n -≤⨯⇒≥⇒≥⇒≥⇒=。

3、用复合梯形公式计算积分()baf x dx ⎰，问将积分区间[a,b]分成多少等份，才能保证误差不超过ε（不计舍入误差）？解：对于复合梯形公式来说，如果()f x ''在积分区间上连续，则其余项为2(),[,]12b a r h f a b ηη-''=-∈，设max ()a x bM f x ≤≤''=，则322()()()1212b a b a Mr h f nη--''=≤ 令32()12b a Mn ε-≤，得n ≥即当1n =+时，能保证计算的精度要求。

求从地面(H=0km)上升到H=10km 高空所需要的时间100()dH v H ⎰。

(分别用复合梯形公式与高阶牛顿—柯特斯公式) 指出：求给定函数的数值积分套用公式即可但须注意给出的数据表不是要求积分的函数表，要求积分的函数表为5、用龙贝格方法计算下列积分，要求误差不超过10－5。

(1)1x dx -⎰ (2)0cos x e xdx π⎰ 解: (1)依次应用龙贝格积分的四个公式进行计算：323441n nn C C R -=-。

所以107132717x dx -≈⎰．。

6、分别用下列方法计算积分811I dx x=⎰，并比较计算结果的精度(I=1.098612……)：(1)复合梯形法(n=16)； (2)复合抛物线法(n=8)； (3)龙贝格方法，求至2R ； (4)三点高斯—勒让德公式。

指出：①直接套公式计算。

②计算结果的精度比较，通过各计算解和精确解比较，求出相应的误差，再比较误差大小的方法进行。

③三点高斯—勒让德公式为11585()()(0)(95995f x f f f -≈-++⎰。

当积分区间不是［－1，1］而是［a,b ］时，为应用高斯—勒让德公式，需要作变量代换22b a a bx t -+=+，将[a,b]化为［－1，1］。

石瑞民《数值计算》中没有给出三点高斯—勒让德公式，但给出了3、4、5点公式系数表。

7、试确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度：(1) 012()()(0)()h h f x dx f h f f h λλλ-=-++⎰；(2) 20122()()(0)()hhf x dx f h f f h λλλ-=-++⎰；(3) 11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++⎰；(4) 2()[()()]()[()()]2b a b a f x dx f a f bc b a f a f b -''≈++--⎰。

解：(1) 求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)＝1，x ，x 2精确成立，即解之得 0124,,333h h hλλλ=== ，所以，数值求积公式为4()()(0)()333h h h h hf x dx f h f f h -≈-++⎰ ，而 333()33h h h hx dx h h -=-+⎰，444()33h hh h x dx h h -≠-+⎰， 所以上述积分公式具有3次代数精度（实际上这是抛物线公式）。

(2) 求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)＝1，x ，x 2精确成立，即解之得 012848,,333h h hλλλ==-= ，所以，数值求积公式为22848()()(0)()333h h h h hf x dx f h f f h -≈--+⎰ ，而 2333288()()033h h h hx dx h h -=-+=⎰，所以上述积分公式具有3次代数精度。

指出：由于本题的节点实际上仅分布在半个积分区间，因此积分精度低。

(3)求积公式中有2个待定参数，需要列两个方程组成的方程组。

当f(x)=1时，有因此需令求积公式对f(x)＝x ，x 2精确成立，即化简得解之得1215x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1215x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，数值求积公式为 或对第一个积分公式， 当3()f x x =时，所以上述积分公式具有2次代数精度。

指出：求出的是两个积分公式，不能认定两个节点有大小顺序规定而只取一个，实际上仅仅是两个点必须是按求出的成对。

(4)求积公式中仅含有一个待定参数 c 。

令f(x)=1，有222(),[()()]()[()()][11]()[00]22()[()()]()[()()]2ba b a f x dx b a b a b a f a f b c b a f a f b c b a b a b a f x dx f a f b c b a f a f b ⎫=-⎪⎬--''⎪++--=++--=-⎭-''⇒=++--⎰⎰令f(x)=x ，有 令2()f x x =时公式准确成立，则则求积公式为将3()f x x =代入求积公式，有 所以，求积公式具有2次代数精度。

指出：可否认为，或是否有必要认为a 和b 是未知待定的？ 8、试构造高斯型求积公式00110()()f x f x λλ≈+⎰，使之对于23()1,,,f x x x x =均能成立。

解：求积公式中有4个待定的未知数，故令求积公式对f(x)＝1，x ，x 2，x 3精确成立，即 从前两式从解出01,λλ（用矩阵方程形式）有 对后两式有 故有 化简得 令则上述方程组化为 解之得， 于是有故所求的积分公式为0.277556(0.289949)0.389111(0.821162)f f ≈+⎰。

指出：①注意方程组的解法。

②01x x <，01,λλ与01,x x 相对应（由前两个方程决定）。

③方程组中01,λλ是一次的，而且前两个方程中01,x x 也是0次、1次的，因此从前两个方程中解出01,λλ（用01,x x 表示）代入后两个方程中求01,x x 就是比较容易想到的方法。

而用矩阵格式简化计算，用变量代换简化方程则是数学的技巧。

指出：①没有限定方法，就可以用任何合适的方法。

②可用中点公式，只用0.5、0.7两点函数值。

③可以构造4阶拉格朗日插值多项式。

④可以用三次样条插值。

⑤可以用待定系数法构造数值微分公式。

补充题(一)1、用三种基本积分公式计算2211dxx +⎰（四等分积分区间）。

分析与解答1、解：将区间4等分，5个分点上的函数值为（取2位小数）（1）矩形法用矩形法公式计算（取2位小数）或者(2)梯形法用梯形法公式计算（取2位小数） (3)抛物线法用抛物线法公式计算（取2位小数）补充题(二)1、试确定一个具有三次代数精度的公式。

2、确定求积公式的代数精度。

3、确定下列求积公式的待定系数，使其代数精度尽可能地高。

4、确定求积节点，使得求积公式 具有尽可能高的代数精度。

5、确定下面求积公式中的参数，使得其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度。

分析与解答1、解：分别取f(x)＝1，x ，x 2，x 3，使求积公式准确成立，则得下面的方程组。

解之得A 0＝3／8，A 1＝9／8，A 2＝9／8，A 3＝3／8。

由此得求积公式为当将f(x)=x 4，代入时，上式不能精确成立，故所得公式具有3次代数精度。

2、解：取f(x)=x k 代入求积公式，得容易验证，R(x 0)=R(x )=R(x 2)=R(x 3)=0，但是R(x 4)=8／45≠0，所以求积公式的代数精度为3。

（直接取f(x)＝1，x ，x 2，x 3，x 4验证也可）3、解：求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)＝1，x ，x 2精确成立，得 解之得A －1=A 1= 8h ／3 ，A 0= －4h ／3 ，所以，数值求积公式为而2333288()033h h h hx dx h h -=-+=⎰所以上述积分公式具有3次代数精度（实际上这是抛物线公式）。

4、解：显然，解答本题需要确定三个参数h 、x 0、x 1，那么，我们需要三个方程。

令求积公式对f(x)＝1，x ，x 2精确成立，得解之得0101,1;13333x x h x x h =-====-=或， 所以求积公式为此求积公式具有3次代数精度，求积节点为。

(验证从略)。

指出：第3题中h 是作为已知量的，这样得出的求积公式有更广泛的应用性。

本题中，因为右端的两个积分系数都是1，当f(x)=1时必然可以得出h=1，即使假设h 已知也是一样的。

而当假设h 已知，仅要求求积公式对f(x)＝1，x 精确成立时，因为当f(x)=1时决定了h 的值，对求节点不起作用，不能实现求解点的目标，因此还是需要列第3个方程。

5、解：求积公式中含有两个待定参数，故需要两个方程。

当f(x)=1时，111111()2f x dx dx x ---===⎰⎰，因为12(1)()()1f f x f x -===所以12[(1)2()3()]/3(123)/32f f x f x -++=++= 故1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -=-++⎰。