现代信号处理

第一章 练习题

1.1（1）对一AR 模型随机信号()x n ，证明：()x n 的功率谱可以表示为：

()()

()2

2

1

01j x p

j k

p k b P e

a k e ω

ω-==

+∑，其中()

{}

1

p p k a k =和()0b 都是AR 模型参数。要求给出证明过

程中用到的假定条件。

（2）假定测得观测数据为()01x =，()10.5x =，()20.4x =。求：()x n 的有偏自相关函数的估计值。

1.2设()x n 是均值为0，方差为1的白噪声()v n 通过一个1阶线性移不变系统产生的随机信号，系统传递函数为()1

1

10.25H z z -=-，求：（1）、()x n 的功率谱()xx P z ；（2）、()

x n 的自相关函数()xx r m 。

1.3一个2阶过程()()()()0.810.482x n x n x n v n =-+-+，其中()v n 是均值为0，方差为1的白噪声。求： ()x n 的功率谱。

第二章 练习题

2.1已知()()()x n s n v n =+，其中信号()s n 是AR(1)过程：()()()0.61s n s n w n =-+，

()w n 是均值为0，方差为0.64的白噪声，()v n 是均值为0，方差为1的白噪声，且()

s n 与()v n 不相关。试设计一个长度为M ＝2的维纳滤波器估计()s n 。

求：（1）、Wiener 滤波器的传递函数；（2）、()ˆs

n 的表达式。 2.2已知()()()x n s n v n =+，其中信号()s n 是AR(1)过程：()()()0.81s n s n w n =-+，

()w n 是均值为0，方差为0.36的白噪声；()v n 是均值为0，方差为1的白噪声，且()

s n 与()v n 不相关。试设计一个长度为M=2的维纳滤波器估计()s n 。 求：（1）维纳滤波器的

传递函数()opt H z ；（2）滤波器的输出()ˆs

n 的表达式。 2.3已知：（1）、观测数据()()()x n d n v n =+，其中，()d n 为期望信号，其自相关函数为()0.8k

d R k =；()v n 是均值为0，方差为1的白噪声。

（2）、期望信号是一个AR(1)过程：()()()0.81d n d n w n =-+，其中，()w n 是一白噪声，

其均值为0，方差为2

0.36w σ=。

（3）、期望信号()d n 与噪声()v n 不相关，噪声()v n 与()w n 不相关，且观测数据()x n 为实信号。试用因果Wiener 滤波器对()x n 进行滤波，滤波器输出作为期望信号()d n 的估计

()ˆd

n 。 求：（1）、因果Wiener 滤波器的传递函数；（2）、()ˆd

n 的表达式。

第三章 练习题

3.1（1）对于自适应维纳滤波器，采用最陡梯度算法求解滤波器参数，递推式为12j j j j W W e X μ+==+。试说明维纳滤波在何意义下是最优的？并说明收敛因子μ在递推中所起的作用。

（2）图1是简化的飞行器噪声抵消器结构图，其中()x n 是发动机噪声，()s n 是语音信号，

()v n 是一噪声信号，在接收麦克风中对语音信号()s n 造成干扰，()H Ω是发动机和麦克

风之间的传递函数，()W Ω是自适应维纳滤波器的频率响应。试证明通过调整自适应维纳滤波器参数，当()()W H Ω=Ω时，均方误差值()2

E e

n ⎡⎤⎣⎦达到最小。

图1

3.2下图是一个2阶LMS 格型自适应滤波器，对每一级的前向预测误差()f

p e n 均采用LMS 准

则进行处理。已知输入实信号

()x n 的自相关函数

()()()00.51,10.462,20.353xx xx xx r r r ===，求：

（1）、达到最佳滤波时的反射系数1k 和2k 的值；

（2）、如果采用梯度算法求反射系数，假定收敛因子为μ，试给出反射系数,1,2p k p =的递推表达式。

（注：递推表达式请用()x n 描述）

2()f e n 2()

b

n f f 01

图2

3.3自适应滤波器如下图3所示，设2

[()]1E x n =，[()(1)]0.5E x n x n -=，2

[()]4E d n =，

[()()]1E d n x n =-，[()(1)]1E d n x n -=，在开关S 闭合情况下，求解：

（1） 误差性能函数；（2）最佳权值*w ；（3）最小均方误差。

()x n

1-

)

图3

3.4图4为一自适应抵消器，假设信号()s n 有一部分泄露到参考信道中，输入功率为

()ss P z ，()v n 是总功率为N 的白噪声。

求：（1）、原始输入端的信噪比和抵消器输出端的信噪比；（2）、最佳传输函数()*W z 。

图 4

3.5假设观测信号()x n 是一复信号，它的预测误差递推公式可以表示为

()()()

()()()*111111f

f b b b f

p p p p p p p p e n e n k e n e n e n

k e n ----=+-=-+

（1）、试采用前、后向预测误差平均功率最小的方法求反射系数，即要求最小化性能函数

()p p k ρ的情况下，求误差功率最小时的p k 。其中，性能函数可以描述如下：

()()(){}

2212

f b

p p p p k E e n e n ρ=+

（2）、当只有N 个观测数据()()()1,2,,x x x N 已知时，试证明：

*

11122

1

1

1

2()(1)

,1,2,

(|()||(1)|)N

f b p p n p p N

f

b p p n p e n e n k p e

n e n --=+--=+--=

=+-∑∑