现代信号处理

第一章 练习题
1.1（1）对一AR 模型随机信号()x n ，证明：()x n 的功率谱可以表示为：
()()
()2
2
1
01j x p
j k
p k b P e
a k e ω
ω-==
+∑，其中()
{}
1
p p k a k =和()0b 都是AR 模型参数。

要求给出证明过
程中用到的假定条件。

（2）假定测得观测数据为()01x =，()10.5x =，()20.4x =。

求：()x n 的有偏自相关函数的估计值。

1.2设()x n 是均值为0，方差为1的白噪声()v n 通过一个1阶线性移不变系统产生的随机信号，系统传递函数为()1
1
10.25H z z -=-，求：（1）、()x n 的功率谱()xx P z ；（2）、()
x n 的自相关函数()xx r m 。

1.3一个2阶过程()()()()0.810.482x n x n x n v n =-+-+，其中()v n 是均值为0，方差为1的白噪声。

求： ()x n 的功率谱。

第二章 练习题
2.1已知()()()x n s n v n =+，其中信号()s n 是AR(1)过程：()()()0.61s n s n w n =-+，
()w n 是均值为0，方差为0.64的白噪声，()v n 是均值为0，方差为1的白噪声，且()
s n 与()v n 不相关。

试设计一个长度为M ＝2的维纳滤波器估计()s n 。

求：（1）、Wiener 滤波器的传递函数；（2）、()ˆs
n 的表达式。

2.2已知()()()x n s n v n =+，其中信号()s n 是AR(1)过程：()()()0.81s n s n w n =-+，
()w n 是均值为0，方差为0.36的白噪声；()v n 是均值为0，方差为1的白噪声，且()
s n 与()v n 不相关。

试设计一个长度为M=2的维纳滤波器估计()s n 。

求：（1）维纳滤波器的
传递函数()opt H z ；（2）滤波器的输出()ˆs
n 的表达式。

2.3已知：（1）、观测数据()()()x n d n v n =+，其中，()d n 为期望信号，其自相关函数为()0.8k
d R k =；()v n 是均值为0，方差为1的白噪声。

（2）、期望信号是一个AR(1)过程：()()()0.81d n d n w n =-+，其中，()w n 是一白噪声，
其均值为0，方差为2
0.36w σ=。

（3）、期望信号()d n 与噪声()v n 不相关，噪声()v n 与()w n 不相关，且观测数据()x n 为实信号。

试用因果Wiener 滤波器对()x n 进行滤波，滤波器输出作为期望信号()d n 的估计
()ˆd
n 。

求：（1）、因果Wiener 滤波器的传递函数；（2）、()ˆd
n 的表达式。

第三章 练习题
3.1（1）对于自适应维纳滤波器，采用最陡梯度算法求解滤波器参数，递推式为12j j j j W W e X μ+==+。

试说明维纳滤波在何意义下是最优的？并说明收敛因子μ在递推中所起的作用。

（2）图1是简化的飞行器噪声抵消器结构图，其中()x n 是发动机噪声，()s n 是语音信号，
()v n 是一噪声信号，在接收麦克风中对语音信号()s n 造成干扰，()H Ω是发动机和麦克
风之间的传递函数，()W Ω是自适应维纳滤波器的频率响应。

试证明通过调整自适应维纳滤波器参数，当()()W H Ω=Ω时，均方误差值()2
E e
n ⎡⎤⎣⎦达到最小。

图1
3.2下图是一个2阶LMS 格型自适应滤波器，对每一级的前向预测误差()f
p e n 均采用LMS 准
则进行处理。

已知输入实信号
()x n 的自相关函数
()()()00.51,10.462,20.353xx xx xx r r r ===，求：
（1）、达到最佳滤波时的反射系数1k 和2k 的值；
（2）、如果采用梯度算法求反射系数，假定收敛因子为μ，试给出反射系数,1,2p k p =的递推表达式。

（注：递推表达式请用()x n 描述）
2()f e n 2()
b
n f f 01
图2
3.3自适应滤波器如下图3所示，设2
[()]1E x n =，[()(1)]0.5E x n x n -=，2
[()]4E d n =，
[()()]1E d n x n =-，[()(1)]1E d n x n -=，在开关S 闭合情况下，求解：
（1） 误差性能函数；（2）最佳权值*w ；（3）最小均方误差。

()x n
1-
)
图3
3.4图4为一自适应抵消器，假设信号()s n 有一部分泄露到参考信道中，输入功率为
()ss P z ，()v n 是总功率为N 的白噪声。

求：（1）、原始输入端的信噪比和抵消器输出端的信噪比；（2）、最佳传输函数()*W z 。

图 4
3.5假设观测信号()x n 是一复信号，它的预测误差递推公式可以表示为
()()()
()()()*111111f
f b b b f
p p p p p p p p e n e n k e n e n e n
k e n ----=+-=-+
（1）、试采用前、后向预测误差平均功率最小的方法求反射系数，即要求最小化性能函数
()p p k ρ的情况下，求误差功率最小时的p k 。

其中，性能函数可以描述如下：
()()(){}
2212
f b
p p p p k E e n e n ρ=+
（2）、当只有N 个观测数据()()()1,2,,x x x N 已知时，试证明：
*
11122
1
1
1
2()(1)
,1,2,
(|()||(1)|)N
f b p p n p p N
f
b p p n p e n e n k p e
n e n --=+--=+--=
=+-∑∑
第四章练习题
4.1（1）简要分析经典谱估计方法和参数模型谱估计方法的主要区别。

（2）如果模型阶次p选择的不恰当，对于参数模型功率谱估计将带来什么影响？以及如何解决这个问题？
4.2（1）、AR模型谱估计法相对经典谱估计有哪些改进？
（2）、讨论自相关法、Burg法、协方差法和修正协方差法的区别和联系。

（3）、AR模型谱估计中模型阶次、数据长度和信噪比对谱分辨率有何影响？
x n，分别采用自相关法和协方差法，
4.3利用1.1（2）题中所提供的观测数据()
（1）估计AR（1）模型参数；
（2）分析两种方法用于功率谱估计时的区别。

第五章 练习题
5.1 对于短时傅立叶变换，在窗函数分别选择()()g t t δ=和()1g t =两种情况下，请问变换结果的时间分辨率和频率分辨率有什么区别？
5.2试简述傅立叶变换、加窗傅立叶变换、小波变换与拉氏变换的关系。

5.3对于已知信号
()
z t ，在窗函数
()()
g t t δ=和
()1
g t =两种情况下，求：
（1）、各自对应的STFT ，并对变换结果进行分析。

（2）、试说明STFT 与WT 的区别和联系。

5.4如果连续小波变换中的基函数为()()
a t t a ττ
ψ-=
请回答问题：
（1） 尺度增大后，时间分辨率如何？频率分辨率如何？ （2） 尺度增大后，小波带通滤波器的带宽将如何变化？。