数学建模森林救火问题
数学建模
于是建立文件备份问题的数学模型如下： min N min N
16
s.t.
X ij 1(i 1,......,16)
j 1
16
si xij 1.44*1024( j 1,.....,16)
i 1
16
N ≥ jxij （i=1,……,16） j 1
最优解如下： 软盘 1 2 3
xij {0,1}(i. j 1,......,16)
便向此公司支付 30 千元的奖励。为缩短工期，建筑公司每周需要支付 额外费用，见表第 6 列。问如何施工才能使得建筑公司的利润最大。 解：（1）模型建立
xi （i=1,…,18）表示第 i 项任务的施工时刻 ti 表示第 i 项任务的耗时；
施工的任务为 i，其先决任务为 j 和 k，于是有约束：
x j + t j xi
文件大小/KB 46，,6,87,137,364,372,388 108,406,432,461 55,114,164,253,851
使用空间/MB 1.4219 1.3740 1.4003
xi 0 (i=1,…,18)
最优解： 各个任务的开工周次为： 0,2,18,29,27,37,37,44,43，37,43,52，39,30,37,46,54,63 相应各个任务的完工周次为： 2,18,27,37,37,43,39,46,52,42,46,54,40,37,41,49,63,64 （2） 模型建立：
（2）模型的建立
定义 0-1 变量 Xij （i=1，……,16;j=1,…..,16）, Xij =1 表示文件 i 在软盘 j 中
备份，否则为 0.设 sx 表示文件 i 的大小。
由于文件 i 只能备份到一张软盘中，所以有：
数学建模_森林救火建模
面积是不断扩大的，因而B（t）应是时间t
的单调递增的函数，即
dB0,0t dt
t2
精品课件
从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段 时间内，火势是越来越大的，即
d2B dt2
0,0t
t1
开始救火以后，即 t1 t t2 员灭火
时，如果队
能力足够强，火势会越d2来B越小，即
β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速
度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是
合理的.
② 派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础
之上的人数，与问题的各个参数有关.当队员灭 火速度λ和救援费用系数C3增大时，队员数减 少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及 损失费用系数C1增加时，消防队员人数增加； 当救援费用系数C2增大时，队员人数也增大.
精品课件
③改进方向：
i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般 情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； iii 对不同种类的森林发生
火灾，派出的队员数应不 同，虽然β（火势蔓延速 度）能从某种程度上反映 森林类型不同，但对β相 同的两种森林，派出的队 员也未必相同； iv 决定派出队员人数时，人 们必然在森林损失费和救 援费用之间作权衡，可通 过对两部分费用的权重来
其中只有派出的消防队员的人数是未知的.
问题归结为如下的最优化问题：
mxin0 C(x)
s.t.x 0.
精品课件
（4）模型求解
这是一个函数极值问题. 令dC 0
dx
容易解得
x C1b22C32C 2 2b
精品课件
（5）模型分析与改进
数学建模(微积分)三
2 L R ( x1 x2 ) 15 14 x1 32 x2 8x1 x2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 ) 2 15 13x1 31x2 8 x1 x2 2 x12 10 x2
L 4 x1 8 x2 13 x1 L 8 x1 20 x2 31 x2
2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 1.5)
dL dx 4 x1 8 x2 13 0 1 dL 8 x1 20x2 31 0 dx2 dL x x 1.5 0 1 2 d
L Lmax
数学建模讲座
(2)若提供的广告费用为1.5万元，则问题化为在条件
x1 x2 1.5 下求利润函数 L 的极大值.
2 L 15 13x1 31x2 8x1x2 2x12 10x2 构造拉格朗日函数
L( x1 , x2 , ) 15 13x1 31x2 8x1 x2
x1 0 x2 1.5
L Lmax
宁波职业技术学院数学教研室
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可口可乐罐头为什么是这种样子?
竞赛题目 论文一 论文二
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
药物在体内的分布与排除
• 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 • 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)
问题分析
数学建模资料
森林灭火2无风条件下增援人数的确定用0x 表示第一次派出消防队员的人数，用x 表示第二批派出的增援人数。
记失火时刻为00=t ，第一批派出的0x 名消防队员到达现场并开始扑火的时刻为1t ，第二批派出的x 名增援队员到达现场并开始扑火的时刻为2t ，灭火是时刻为3t 。
设在时刻t 森林烧毁面积为)(t B ，则造成损失的森林烧毁面积为)(3t B 。
若烧毁单位面积森林的损失费为常数1c ，又记森林的损失费为)(1x f ，则)()(311t B c x f =。
救援费这一费用可以分为两部分，一部分是灭火器材的消耗及消防人员的薪金等，与队员人数及灭火所用的时间均有关；另一部分是运送队员和器材等的一次性支出，只与队员人数有关。
若每个消防队员单位时间的灭火费用为常数2c ，每个队员的一次性支出为常数3c ，又记救援费为)(2x f ，则[1])())(()()(03230212022x x c t t x x c t t x c x f ++-++-= (2.1)在无风的条件下，火势以失火点为中心，以均匀的速度向四周呈圆形蔓延，烧毁面积)(t B 与2t 成正比[1，4]，故dt dB 与t 成正比（dtdB是单位时间内烧毁森林面积，表示火势的蔓延程度[3]），比例系数记为β，表示火势蔓延的面速度[1]。
记消防队员的平均灭火速度为λ，由于时刻1t 到达的消防队员人数0x 不能满足灭火需求，故0x λβ>。
dtdB的变化如图1所示。
于是有⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤<≤≤+++-+-=.,,0,)]([,)(,322112100100t t t t t t t t xt t x t x x t x t x t dt dB λλλβλλββ(2.2)图1 dt dB t g /)(=的曲线示意图又由03==t t dtdB ，有βλλλβ-++-+=)()(0102023x x t x t x t t (2.3)由图1，利用定积分的几何意义，再注意到(2.3)，可得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+-++--+++=βλλβλλβλββ)())(()]()([21)(0220101220101213x x t x t x t t t x t x t t t B (2.4)从而总费用为)()()(21x f x f x f +=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+-++--+++=βλλβλλβλββ)())(()]()([20220101220101211x x t x t x t t t x t x t t c)()(]))[(()(0301020021202x x c x x t x t x x x c t t x c ++-++-++-+βλλλβ (2.5)为了求x 使得)(x f 最小，令0)(=dxx df ，得到应派出的增援队员人数为 0231201)(x c p p x p x -+++=λβλλβ (2.6) 其中])[(102021t x t x c p λλβ+-=，12102012])[(21p t x t x c p -+-=λλβ。
数学建模森林救火建模
③改进方向：
i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般 情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； iii 对不同种类的森林发生火 灾，派出的队员数应不同， 虽然β（火势蔓延速度） 能从某种程度上反映森林 类型不同，但对β相同的 两种森林，派出的队员也 未必相同； iv 决定派出队员人数时，人 们必然在森林损失费和救 援费用之间作权衡，可通 过对两部分费用的权重来 体现这一点.
dt
（3）模型建立
总费用由森林损失费和救援费组成.由假设2，森 林损失费等于烧毁面积B（t2）与单位面积损失费C1 的积，即C1B(t2)；由假设5，救援费为 C2x(t2-t1)+C3x，因此，总费用为
C( x) c1 B(t 2 ) c2 x(t 2 t1 ) c3 x
dB 由假设3，4，火势蔓延速度 dt 在 0 t t1 内线性地 增加，t1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势 用b表示，而后，在 t1 t t 2 内，火势蔓延的速度 线性地减少（如下图）
dB 0,0 t t 2 dt
从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时 间内，火势是越来越大的，即
d 2B 0,0 t t1 2 dt
开始救火以后，即 t1 t t 2时，如果队员灭火 能力足够强，火势会越来越小，即
d 2B 0, t1 t t 2 2 dt
森林救火模型
森林失火了！消防站接到火警后，立 即决定派消防队员前去救火.一般情况下， 派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾 所造成的损失越小，但是救援的开支就越 大；相反，派往的队员越少，救援开支越 少，但灭火时间越长，而且可能由于不能 及时灭火而造成更大的损失，那末消防站 应派出多少队员前去救火呢
存储模型、森林救火(数学建模)
问题
3.3 森林救火
森林失火后，要确定派出消防队员的数量。 队员多，森林损失小，救援费用大； 队员少，森林损失大，救援费用小。 综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。
问题 记队员人数x, 失火时刻t=0, 开始救火时刻t1, 分析 灭火时刻t2, 时刻t森林烧毁面积B(t).
• 损失费f1(x)是x的减函数, 由烧毁面积B(t2)决定. • 救援费f2(x)是x的增函数, 由队员人数和救火时间决定.
2）t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度）
3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损失费） 4）每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3
火势以失火点为中心，
均匀向四周呈圆形蔓延，
假设1） 的解释
半径 r与 t 成正比
r
B
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
假设1） 假设2）
dB
bt1,
t t b
2 1 x
b
dt
t
t t 1
2 1 x 0
t1
x
t2 t
B(t2)
t2 0
B(t)dtb2t
2
t12
2
2t12 2(x)
假设3）4） f 1 ( x ) c 1 B ( t 2 )f , 2 ( x ) c 2 x ( t 2 t 1 ) c 3 x 目标函数——总费用 C (x)f1(x)f2(x)
第三章 简单的优化模型
3.1 存贮模型 3.3 森林救火
供应链与物流管理
经济、管理科学近几十年获得了飞速 发展，并取得丰硕的成果。这些成果 的重要标志之一就是更加数学化和定 量化。
下面介绍供应链与物流管理中的一个 典型模型：存储模型
数学建模经典习题
(5)
其中 A ( H L) / C B( H / L 1), B L / C
2.4：节水洗衣机
分析与求解
第k轮的洗净效果为
I. 最少洗衣轮数
xk 1 Qvk 1 Qvk xk Avk B 0 vk 1 k 0,1, 2,, n 1
uk L vk 为离散的变量！ H L
f1 ( x) c1B(t2 ), f 2 ( x) c2 x(t2 t1 ) c3 x
C( x) f1 ( x) f 2 ( x)
目标函数——总费用
模型建立
2
目标函数——总费用
2 2
c1 t1 c1 t1 c2 t1 x C ( x) c3 x 2 2(x ) x
5 6
6 8
8 10
10 14
104
2.4：节水洗衣机
分析与求解
II. 算法
选用一种非线性规划算法，
对 n N0 , N0 1, N0 2,, N 分别求解;
N 0 是满足(6)式或(7)式的最小整数.
选出最好的结果.
凭常识洗衣的 轮数不应太多 比如可取N 10
注意不必使用混合整数非线性规划算法， 那将使问题复杂化。
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
b b t1 , t 2 t1 x
b
假设1）
dB dt
假设2）
t 2 t1
B(t2 )
假设3）4）
t2
x
t1
0
x
t1
t2 t
0
bt2 t12 2t12 B(t )dt 2 2 2(x )
数学建模消防救援问题
数学建模消防救援问题数学建模——消防救援问题一、问题背景随着科学技术的发展，消防救援工作日益重要，为了提高救灾效率，需要建立消防救援系统，以便快速布置消防车救援资源，因此想通过数学建模来优化消防救援系统。
二、模型的建立1. 设计目标构建消防救援系统，最小化用于救援的资源成本，尽可能达到最佳的救援效果。
2. 模型建立(1) 将消防救援工作视为横向转移运输作业，需要构建横截模型。
(2) 消防救援问题可以用最小费用流的形式描述，其中每个节点表示资源，每条弧表示其运输成本。
三、模型的应用1. 对数据处理(1) 收集消防任务信息，包括消防地点的位置及任务的紧迫性等。
(2) 收集应急车辆的信息，包括车辆类型、应急任务的分配能力等。
2. 分析数据(1) 分析消防任务的位置，计算每辆应急车辆到达每个任务地点的时间，以及每辆车的分配能力，计算出可能分配的总数。
(2) 分析每辆应急车的行驶时间和单位费用。
3. 优化模型(1) 确定模型的决策变量：应急车辆的分配方式。
(2) 确定模型的目标函数：最小化救援资源成本。
(3) 确定模型的约束条件：满足每个任务的分配要求。
四、模型的求解1. 使用软件包求解采用Cplex数学软件包进行求解，编程语言为GAMS，求解过程为：读入数据，定义模型，求解模型，输出结果，检查结果，得出最优解及相应的最优值。
2. 手动求解将数学模型转化成线性规划模型，根据线性规划求解步骤，采用数学分析和枚举解法，求得最优解及相应的最优值。
五、总结通过构建消防救援系统的数学模型，采用Cplex数学软件包或者数学分析和枚举解法，可以寻求最优解，从而提高救援效率，降低消防救援的成本。
基于数学建模解决森林救火问题的中庸之道
基于数学建模解决森林救火问题的中庸之道森林大火已经变得极其频繁，破坏了大量的自然资源和生态系统，给人们带来了巨大的危害。
因此，救火成为当务之急，为了更加有效地救火，我们必须开发适当的方法和技术，并利用他们来解决紧急的森林救火问题。
数学建模作为一种多学科的研究方法，可以提供有助于理解森林救火问题的有效方法。
数学建模运用数学和计算机模拟技术来把复杂的现实系统可视化，研究系统内部动态变化的过程，以改善森林救火的可行性。
此外，基于中庸之道的数学建模也有助于理解和解决森林救火问题。
中庸之道提倡一种普遍适用、宽容包容的技术，认为把握好中庸之道，就能够更有效地获取策略，并能够尊重各方的利益平衡。
在森林救火的应用中，中庸之道可以帮助研究者选择恰当的救火方案，以及如何克服由于资源有限，地形险要等原因带来的救火困难。
基于数学建模的中庸之道也能够准确地模拟森林大火的发展趋势，其中可以考虑到一些复杂的场景，如森林救火中航空器的运行、可能出现的异常情况和复杂的天气等，以分析救火过程中的不确定性，从而更精确地规划出有效的救火方案，并进行有效的控制。
然而，基于数学建模解决森林救火问题的中庸之道也有一定的局限性，首先是模型的建立过程仍受到各种模型参数的影响，如果这些参数的设定不当则可能导致森林救火的运行结果无效。
其次，改善森林救火问题的过程并不仅仅是数学模型的建立，而是一种复杂的多学科综合活动，其中还包括科学家在实践中采取的技术措施以及地方政府等部门的指导和参与。
总之，基于数学建模解决森林救火问题的中庸之道是一种有效且具有普遍性的方法，可以并兼顾民众的利益，从而有效地解决森林大火的问题。
但是，要有效地利用中庸之道来解决森林大火的问题，仍然需要结合其他学科的研究，以更全面地考虑和解决森林救火问题。
只有这样，才能够更有效地抗击森林大火，保护人们的生命和财产，实现对森林资源的可持续利用。
数学建模森林救火问题
森林救火问题的研究（一）【】：森林救火问题是一个优化问题，经过分析我们决定采用极值法和定积分的方法来求森林烧毁的面积，从而解决该问题，通过对问题的剖析，得出表达式：救火的总费用=单位森林面积损失费×损失面积+每个队员的单位时间灭火费用⨯人数⨯灭火时间+单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数.对各个量进行分析，得知森林损失面积较为难求，于是我们将其单独考虑。
在有风的情况下，火势蔓延速度是增加的更快，所以损失面积的表达式图像我们可以近似的看成是一个扇形，由于面积不容易求出，于是我们想到了采用定积分的方法来求扇形图形面积，最后可以求出总费用的表达式，变化出消防员人数的表达式，再用极值法讨论出最佳的人数，从而解决了这个问题【Summary: the forest fire problem is an optimization problem, after analyses, we decided to use extreme method and the definite integral method to find the area of forest burned, so as to solve the problem, through an analysis of the problem, that expression:Fire total cost = Units forest area losses×Loss area Every team member the cost per unit of timefighting number extinguishing time + unit numberof one-time expenditures × participated in fire fighting, the number of firemen .On various levels, the area of forest loss was more difficult to find, so we will which separate consideration. In windy conditions, the spread rate is increasing faster, so the loss of expression image we can approximate as a fan, because the area is not easy to find, so we expect the use of the definite integral method to get the final fan-shaped pattern area, you can find out the totalcost of an expression, change the number of firemen, then uses the expressions extreme method discussed the best, in order to solve this problem【关键词】森林救火优化模型极值问题：1.问题重述森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火。
森林救火数学模型模型
Matlab求解 syms c1 c2 c3 t1 p l x C=(c1*p*t1^2)/2+(c1*p^2*t1^2)*0.5/(l*x-p)+(c2*p*t1*x)/(l*xp)+c3*x pretty(C) F=diff(C,x) pretty(F) solve(F)
C1b 2C2 b x 2 2C3
森林救火模型
森林失火了！一般情况下，派往的队员越多，火被扑 灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支 就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但 灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更 大的损失。所以具体需要派遣多少消防队员需要综合 分析。
问题分析：救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由森林被 烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间 （即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目， 队员越多灭火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关. 救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金 等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次 性支出，只与队员人数有关。
损失费（烧毁面积）
总费用 器材消耗 队员薪金 救援费 一次性支出
灭火点
B B(t2)
救火点（t1 达到极值）
0
t1
t2
t
dB dt
b
x
0
t1
t2 t
dB dt
b
x
0
t1
t2 t
1 b b b C ( x) bC1 ( ) C2 x C3 x 2
五一数学建模消防救援问题
五一数学建模消防救援问题消防救援是一项重要的任务，具有挑战性和复杂性。
在五一数学建模比赛中，我们将探讨如何利用数学建模方法解决消防救援问题。
本文将从问题背景、模型建立、求解方法和结果分析四个方面进行论述。
一、问题背景消防救援是指在火灾等紧急情况下，采取一系列紧急措施，保护人员的生命和财产安全。
在消防救援中，如何合理分配消防车辆和人员资源，以最大限度地提高救援效率，是一个关键问题。
二、模型建立为了解决这个问题，我们需要建立数学模型。
首先，我们需要确定城市中的消防站和各个重要地点。
然后，我们需要将城市划分为不同的区域，并计算每个区域的火灾风险系数。
接下来，我们需要确定消防车辆和人员的数量，并将其分配到各个消防站。
最后，我们需要建立一个评价指标来衡量消防救援效果。
在建立数学模型时，我们可以运用图论、线性规划和模拟等方法。
例如，我们可以使用最小生成树算法来确定最优的消防站位置。
我们还可以使用线性规划模型来分配消防车辆和人员资源。
另外，我们可以使用蒙特卡洛模拟方法来评估不同策略的救援效果。
三、求解方法为了求解数学模型，我们需要收集和整理大量的数据。
例如，我们需要确定每个地点的火灾风险系数，并统计每个消防站的车辆和人员数量。
然后，我们可以使用MATLAB、Python等数学建模软件来进行计算和优化。
对于复杂的模型，我们还可以使用遗传算法、粒子群优化等智能优化算法进行求解。
四、结果分析通过数学模型的求解，我们可以得到一些重要的结论和分析结果。
例如，我们可以确定最优的消防站位置和资源分配方案，以最大限度地提高救援效率。
我们还可以评估不同策略的优劣，并提出改进建议。
在实际应用中，我们还可以考虑一些特殊情况，如交通堵塞、恶劣天气等因素对救援效果的影响。
此外，我们还可以对不同地区的火灾风险系数进行动态更新，以更好地适应实际情况。
总结起来，在五一数学建模比赛中，我们可以通过数学建模方法解决消防救援问题。
通过建立合适的数学模型，求解方法和结果分析，我们可以提供有效的决策支持，提高消防救援的效率和质量。
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数学建模森林救火问题集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]
森林救火问题的研究
【摘要】：森林救火问题是一个优化问题，经过分析我们决定采用极值法和定积分的方法来求森林烧毁的面积，从而解决该问题，通过对问题的剖析，得出表达式：救火的总费用=单位森林面积损失费×损失面积+每个队员的单位时间灭火费用⨯人数⨯灭火时间+单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数.
对各个量进行分析，得知森林损失面积较为难求，于是我们将其单独考虑。
在有风的情况下，火势蔓延速度是增加的更快，所以损失面积的表达式图像我们可以近似的看成是一个扇形，由于面积不容易求出，于是我们想到了采用定积分的方法来求扇形图形面积，最后可以求出总费用的表达式，变化出消防员人数的表达式，再用极值法讨论出最佳的人数，从而解决了这个问题
【 Summary: the forest fire problem is an optimization problem, after analyses, we decided to use extreme method and the definite integral method to find the area of forest burned, so as to solve the problem, through an analysis of the problem, that expression:
Fire total cost = Units forest area losses ×
Loss area Every team member the cost per unit of time fighting number extinguishing time + unit number of one-time expenditures × participated in fire fighting, the number of firemen .
On various levels, the area of forest loss was more difficult to find, so we will which separate consideration. In windy conditions, the spread rate is increasing faster, so the loss of expression image we can approximate as a fan, because the area is not easy to find, so we expect the use of the definite integral method to get the final fan-
shaped pattern area, you can find out the total
cost of an expression, change the number of firemen, then uses the expressions extreme method discussed the best, in order to solve this problem
【关键词】
森林救火优化模型极值问题：
1.问题重述
森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队
员前去救火。
一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的
越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；
相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢？
2.问题分析
如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小。
由此看来这就是一个优化问题了。
救火的总费用由损失费和救援费两部分组成。
损失费由森林被烧毁的面积大小决定，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）之间的时间差（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快。
救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关。
救援费可具体分为两部分：一部分（f 1(x)）是灭火器材的消耗和消防队员的薪金等，这些与队员人数及灭火时间有关；另一部分(f 2(x))是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关。
2.1对f 1(x)分析
f 1(x)=森林单位面积损失费×损失面积
其中森林单位面积损失费用是固定的，我们需要考虑的就是设计模型求解损失面积。
2.2对2(x)分析
f 2(x)=单位人数一次性支出×参加救火的消防员人数
单位人数一次性支出也是一定的，人数为待求量。
由此f 2(x)表达式的确立并不困难。
综上可知，问题的关键在确定森林损失面积的表达式：
3. 符号说明
x：消防员人数
R 为燃烧半径
S：森林烧毁的面积
λ：消防队员平均灭火速度
ν0火在无风状态下的自燃速度ν1风的速度
a１：火灾中森林单位面积的损失
a2：每个队员的单位时间灭火费用
a3：每个消防员一次性费用4. 模型假设
1)森林损失面积为扇形且角度θ不变
2)风速不变
3)消防员足够多
4)消防员平均救火速度v不变
0tt 1, dS/dt 与 t 成正比，系数ν0+ν1= U
(火势蔓延速度）
5) t 1tt 2, ν0+ν1降为ν0+ν1-λx (v 为队员的平均灭
火速度）
6) f 1(x )与R(t 2)成正比，系数 a １(烧毁单位面积损失费）
7) 每个队员的单位时间灭火费用a 2, 一次性费用 a 3 5图像分析和模型求解：
根据假设的图像我们还可以得到进一步的图像；
n
像如下：
6.模型求解分析：
设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为t =t1，灭火时刻为t =t2，t 时刻森林烧毁面积为S（t），则造成损失的被烧毁的森林的面积为S（t2），其导数是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程度。
从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不断扩大的，因而S（t）应是时间t的单调非减的函数，即从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大
的，即。
开始救火以后，即t=t1时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，即t1~t2，并且当t =t2时，火势停止蔓延。
7.模型评价：
8.参考文献；。