一次函数与面积问题(学案)解读

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一次函数应用专题--面积问题（教案）（合集五篇）

一次函数应用专题--面积问题（教案）（合集五篇）第一篇：一次函数应用专题--面积问题(教案)《一次函数应用专题--面积问题》教学设计（广州市第四十七中学初二）【教学目标】1、能根据一次函数的解析式（或图像），求图形的面积。

2、通过对已知图形面积求值问题的探究，使学生体会“数形结合”思想和“转化”思想。

3、培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验解决问题的乐趣。

【教学重点】数形结合思想在一次函数中的应用【教学难点】在面积问题中渗透“数形结合”思想和“转化”思想【教学过程】一、课前热身，知识回顾【热身】已知一次函数y=-x+3，请画图并解决以下问题：1、y=-x+3与x轴交于点A（，）与y轴交于点B（，）.2、函数y=-x+3与两坐标轴围成的三角形的面积为.（设计意图：通过习题回顾本节课所用到的知识点，体会函数、坐标、几何图形之间的相互转化，为后面例1，例3探究，做好铺垫.）二、问题探究，总结方法【例1】：若函数y=-x+b与两坐标轴围成的三角形的面积为9，求此一次函数的解析式.（设计意2图：使学生会根据面积求一次函数解析式,并了解此类问题的结论有两种,学会分类讨论.）【例2】：如图，若点P(a,b)是直线y=-x+3上的一个动点，在点P运动的过程中，ΔOPA的面积为S（O为坐标原点）（1）当ΔOPA的面积为3时，求P的坐标.（2）若P位于第一象限内，试写出S与a的函数关系式，并求自变量a的取值范围.（设计意图：在这个环节中，设置了一个动态问题，一方面巩固所学内容，一方面渗透动态问题的解决方法.）【例3】：如图，直线y=4x+8与x轴交于点C，与y轴交于点D.且与y=-x+3的交点为E，求两直线与x轴围成的图形的面积.（设计意图：使学生会求两条直线与x轴或y轴所围图形的面积.）【巩固提升】：1求两直线与y轴围成的图形的面积.（设计意图：巩固例3）2、连接CB，求ΔCEB的面积，你有多少种求法？（设计意图：在巩固例3的同时，探究三条边均不平行于坐标轴的三角形的面积的求法.）三、课堂小结，反思提高本环节由学生谈自己的收获，教师做适当的引导与补充.（设计意图：总结回顾本节课的学习内容，养成梳理知识的习惯.）四、练习1、已知直线y=3x-6，画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积.2、已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式.3、求直线y=4x－2与直线y=－x+13及x轴所围成的三角形的面积.54、如图，直线y=kx+经过点A（-2，m），3yB（1，3）．（1）求k，m的值；（2）求△AOB的面积．5、如图，直线L的解析表达式为y =-AOBx1x +2，且与x轴、y 轴交于点A、B，在2y轴上有一点C（0，4），动点M从A 点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。

一次函数与面积问题学案(两课时)

一次函数与面积问题（2）（学案）回顾求面积的两个基本模型例1.如图,直线 y = kx -6与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F. 点E 的坐标为(- 9, 0),点A 的坐标为 (- 6, 0),当点P(x ，y )在直线EF 上运动时，（1）求△OAP 的面积 S 与x 的函数关系式;（2）当△OAP 的面积为6时，求P 点的坐标.例2. 如图，已知直线4+-=x y 与x 轴相交于点A ，与直线x y =相交于点P ．（1）求点P 的坐标．（2）动点E 从原点O 出发，沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B ．设E 的横坐标为m ，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S ．试求 S 与m 之间的函数关系式．课堂小结：练习1．如图所示，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（6，0），（0，2），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线m x y +-=21交折线．．OAB 于点E ．（1）若直线m x y +-=21经过点A ，求m 的值；（2）记ODE ∆的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；练习2. 在直角坐标系中，将直线x y 21=平移得到直线l ，已知直线l 经过点A （-4，0）. （1）求直线l 的解析式；（2）设直线l 与y 轴交于点B,若点P 的坐标为（-3，m ），△ABP 与△ABO 的面积之间满足 A B OA B P S △△S 21=，求m 的值.作业：1. 如图，直线的函数解析式为y x =．下表是直线的函数关系中自变量x 与函数y 的部分对应值．设直线a 与x 3)<在OB 上移动，过点P 作直线l 与x 轴垂直．（1）画出直线a 的图象；（2）求点C 的坐标；（3）设O B C △中位于直线l 左侧部分的面积为S ，写出S 与m 之间的函数关系式；（4）求点P ，使过点P 且垂直于x 轴的直线l 平分OBC △的面积．2.如图,直线y = kx-6与x 轴y 轴分别相交于点E,F. 点E 的坐标为(- 9, 0),点A 的坐标为(- 6,0). 当点P （x ，y ）在直线上运动时，求以O 、F 、P 、A 为顶点的凸四边形的面积S 与x 的函数关系式并指出自变量x 的取值范围。

一次函数面积专题导学案定稿

一次函数专题一-面积问题(导学案)
例1.已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B.
(1)点A坐标为,点B坐标为
(2)求这条直线与坐标轴围成的面积
(3)直线∕ry=x+l与X轴交于点C,与y轴于点D,与直线/交于点E.
你能计算出哪些三角形的面积？
变式探究
已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B.
变式1：若点P为X轴上的动点，当S.ABP=2时，求P点坐标.
变式2：若点P为直线/上的动点，当S AAOP=2时，求P点坐标。

变式3：过点0的直线b交直线/于点Q，若直线/2把AAOB的面积分成1：1两部分，求Q点坐标及直线Z2的函数表达
式。

例2.已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,BP和AP相交于P点(1,3),
求SΔABP.
变式：已知直线/:y=-；x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰RSABC,ZBAC=90o,点P(l,a)是第一象限内的一个动点。

若△ABC
分享收获
和^ ABP的面积相等，求a的值。

谈谈你的收获.
拓展提升：己知直线/:y=-'x+2与X轴交于点A,与y轴交于点B,以线段AB为直角边2
在第一象限内作等腰Rt∆ABC,NBAC=90。

，点P(l,a)是直线X=I的一个动点。

若A ABC和小ABP的面积相等,求a的值。

一次函数应用专题--面积问题(教案)

《一次函数应用专题--面积问题》教学设计（广州市第四十七中学初二）【教学目标】1、能根据一次函数的解析式（或图像），求图形的面积。

2、通过对已知图形面积求值问题的探究，使学生体会“数形结合”思想和“转化”思想。

3、培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验解决问题的乐趣。

【教学重点】数形结合思想在一次函数中的应用【教学难点】在面积问题中渗透“数形结合”思想和“转化”思想【教学过程】一、课前热身，知识回顾【热身】已知一次函数3y x =-+，请画图并解决以下问题：1、3y x =-+与x 轴交于点A （，）与y 轴交于点B （，）.2、函数3y x =-+与两坐标轴围成的三角形的面积为 .（设计意图：通过习题回顾本节课所用到的知识点，体会函数、坐标、几何图形之间的相互转化，为后面例1，例3探究，做好铺垫.）二、问题探究，总结方法【例1】：若函数y x b =-+与两坐标轴围成的三角形的面积为92，求此一次函数的解析式.（设计意图：使学生会根据面积求一次函数解析式,并了解此类问题的结论有两种,学会分类讨论.）【例2】：如图，若点(,)P a b 是直线3y x =-+上的一个动点，在点P 运动的过程中，ΔOPA 的面积为S （O 为坐标原点）（1）当ΔOPA 的面积为3时，求P 的坐标. （2）若P 位于第一象限内，试写出S 与a 的函数关系式，并求自变量a 的取值范围. （设计意图：在这个环节中，设置了一个动态问题，一方面巩固所学内容，一方面渗透动态问题的解决方法.）【例3】：如图，直线48y x =+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D .且与3y x =-+的交点为E ，求两直线与x 轴围成的图形的面积. （设计意图：使学生会求两条直线与x 轴或y 轴所围图形的面积.）【巩固提升】：1求两直线与y 轴围成的图形的面积.（设计意图：巩固例3）2、连接CB ，求ΔCEB 的面积，你有多少种求法？（设计意图：在巩固例3的同时，探究三条边均不平行于坐标轴的三角形的面积的求法.）三、课堂小结，反思提高本环节由学生谈自己的收获，教师做适当的引导与补充.（设计意图：总结回顾本节课的学习内容，养成梳理知识的习惯.）四、练习1、已知直线y=3x-6，画出函数图像，并求出一次函数图像与两坐标轴围成的三角形面积.2、已知直线y=kx-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，求直线解析式.3、求直线y =4x －2与直线y =－x +13及x 轴所围成的三角形的面积.4、如图，直线53y kx =+经过点A （-2，m ），B （1，3）．（1）求k ，m 的值；（2）求△AOB 的面积．5、如图，直线L 的解析表达式为y = -21x +2，且与x 轴、y 轴交于点A 、B ，在y 轴上有一点C （0，4），动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。

一次函数中的面积问题学案

课题：一次函数中的面积问题学科：年级：时间：姓名：《课标》解析：能用一次函数解决简单问题《说明》细目：会根据一次函数表达式求其图像与坐标轴的交点坐标；能用一次函数解决简单问题。

课时目标：1 体会运用数形结合的数学方法解决简单代几综合问题时的直观便捷，感受为什么在将几何图形中线段长度转化为坐标时需要“分类讨论”。

2 培养学生的读题能力，会分析条件、结论，勇敢表达，以此激发孩子们学习数学的热情，逐步养成他们善于思考和合作探究的能力习惯，为其后续学习其他函数建立一定的学习方法。

3 培养学生的作图能力和规范书写习惯。

教学重点：“数形结合”数学思想在一次函数的面积问题中的应用教学难点：“数”与“形”之间的转化一复习回顾1 （1）已知x轴上两点A（x1，0），B（x2，0），则AB=______（2）已知y轴上两点A（0，y1），B(0，y2），则AB=_______2 已知第二象限内一点P,PM⊥x轴于M，PN ⊥y轴于N,且PM=a, PN=b，则P点坐标为___二课前热身练习 1 已知直线y = -x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，O为坐标原点，求S△ABO练习 2 已知直线y=kx+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，S△ABO =2，求直线解析式归纳：三一次函数中的面积问题例题1已知直线y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B作直线BP，与x轴交于点P，且OP=2OA，求直线BP的解析式以及△ABP的面积。

拓展练习：已知直线y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过B作直线BP，与x正半轴交于点P，且OP=2OA，在直线BP上是否存在点Q,使S△OAB=S△QAB，若存在请求出点Q坐标，若不存在，说明理由。

中考链接：如图，直线y=-x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴上，且BC=BA，过C的直线与y轴交于点D，与线段AB交于点E.求使△OCD与△BDE面积相等时的直线CE的解析式。

专题复习一次函数的面积问题教案

专题复习:一次函数的面积问题教案一、教学目标依据课标的要求和学生的认知特点，我制定如下三维教学目标：1．知识与技能：能利用表达式求三角形或四边形的面积，能利用面积求点坐标或直线表达式。

2．过程与方法：通过对已知图形面积求值及解析式问题的探究，使学生理解一次函数图象特征与表达式的联系规律，体会分类思想、数形结合思想3．情感、态度与价值观：培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣.二、教学重点与难点：1、重点：根据函数表达式求三角形或四边形的面积，会根据面积求点坐标或函数表达式。

难点：不规则图形面积的计算，根据面积求点坐标三、教学方法高效6+1教学模式，让学生在自主、合作、探究中学习四、教学过程一、导：（创设情景，导入新课）1、直线y=2x+5与y=0.5x+5的交点坐标是-----------。

2、点A（-1,2）到x轴的距离是------，到y轴的距离是--------。

3、y=2x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，则A的坐标为 ---------， B 点的坐标为---------。

则该图像与两坐标轴围成的面积是--------。

师生活动：学生先独立完成，学生口答结果后教师直接导入新课。

设计意图：练习求直线与x轴y轴交点坐标，两直线交点坐标，为学习本节内容铺垫。

（出示本节学习目标）设计意图:学生根椐学习目标使学习更有针对性。

二、思：（利用表达式求面积）自学例1，独立完成下面两个题例1：已知直线l：24y x=-+，求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。

1、（1）求直线y=2x+3、y= -2x-1及y 轴围成的三角形的面积. （2）求直线y=2x+3、y=-2x-1及x 轴围成的三角形的面积.2、已知直线y=ax+ 分别与x 轴和y 轴交于B 、C 两点，直线y= － x+b与x 轴交于点A ，并且两直线交点P 为（2，2）.（1）求两直线表达式；（2）求四边形AOCP 的面积.师生活动：学生自学例题后，独立完成两个题目，教师巡视并作适当的引导（）设计意图：通过对题型1、2的探究，，使学生会计算三角形或四边形的面积,培养学生的独立解决问题能力，发挥学生的主观能动性。

第3课时一次函数中的面积问题(复习课)(学案解析版)

2020年“停课不停教、停课不停学”四川省初中学案第3课时（复习课）一次函数中的面积问题参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A，点B，点P的坐标为（﹣2，2），则S△P AB＝8．【分析】作PC⊥x轴于C，如图，根据坐标轴上点的坐标特征求出A（4，0）、B（0，4），然后根据三角形面积公式和梯形的面积公式以及S△P AB＝S梯形BOCP+S△ABO﹣S△APC进行计算．【解答】解：作PC⊥x轴于C，如图，当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝4，则A（4，0）；当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则B（0，4），所以S△P AB＝S梯形BOCP+S△ABO﹣S△APC＝×（2+4）×2+×4×4﹣×（4+2）×2＝8．故答案为8．【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系．若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二．解答题（共8小题）2．如图所示，直线y＝3x+5与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【分析】（1）由直线解析式根据图象上点的坐标特征可求得A、B两点的坐标；（2）根据坐标可求得OA和OB的长，再利用三角形的面积可求得答案．【解答】解：（1）在y＝3x+5中，令y＝0可得x＝﹣，令x＝0可得y＝5，∴A（﹣，0），B（0，5）；（2）∵OA＝，OB＝5，∴S△AOB＝OA•OB＝××5＝．【点评】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点，掌握函数图象与坐标轴的交点的求法是解题的关键．3．如图，正比例函数y1＝kx与一次函数y2＝mx+n的图象交于点A（3，4），一次函数y2的图象与x 轴，y轴分别交于点B，点C，且OA＝OC．（1）求这两个函数的解析式；（2）求直线AB与两坐标轴所围成的三角形的面积．【分析】（1）根据待定系数法确定正比例函数和一次函数的解析式即可；（2）利用三角形面积公式计算解答即可．【解答】解：（1）把点（3，4）代入正比例函数y1＝kx，可得：k＝，解析式为：y1＝x，∵A（3，4），∴OA＝OC＝5，∴C（0，﹣5），把（3，4）和（0，﹣5）代入一次函数y2＝mx+n，可得：，解得：，解析式为：y2＝3x﹣5；（2）当x＝0时，3x﹣5＝0，x＝，∴B（，0），∴S△BOC＝OB•OC＝＝，则直线AB与两坐标轴所围成的三角形的面积是．【点评】本题考查的是一次函数的问题，关键是根据待定系数法求解析式．4．已知：点P是一次函数y＝﹣2x+8的图象上一点，如果图象与x轴交于Q点，且△OPQ的面积等于6，求P点的坐标．【分析】先求出Q点坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征设P（x，﹣2x+8），则根据三角形面积公式得到•4•|﹣2x+8|＝6，然后解方程求出x即可得到P点坐标．【解答】解：当y＝0时，﹣2x+8＝0，解得x＝4，则Q（4，0），设P（x，﹣2x+8），所以•4•|﹣2x+8|＝6，解得x＝或x＝，所以P点坐标为（，3），（，﹣3）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点A．直线y＝x+5与y＝kx+1（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为﹣1．（1）求直线y＝kx+1的表达式；（2）直线y＝x+5、直线y＝kx+1与y轴围成的△ABC的面积等于多少？【分析】（1）将点B的横坐标代入直线y＝x+5求出点B的纵坐标，从而得到点B的坐标，再代入直线求出k的值，即可得解；（2）令x＝0利用两直线解析式求出点A、C的坐标，然后求出AC，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：（1）∵点B的横坐标为﹣1，∴y＝﹣1+5＝4，∴点B的坐标为（﹣1，4），代入y＝kx+1得，﹣k+1＝4，解得k＝﹣3，所以，直线y＝kx+1的表达式为y＝﹣3x+1；（2）令x＝0，则y＝5，点C的坐标为（0，5），y＝1，点A的坐标为（0，1），所以，AC＝5﹣1＝4，∵B（﹣1，4），∴点B到AC的距离为1，∴△ABC的面积＝×4×1＝2．【点评】本题考查了两直线相交或平行问题，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，确定出点B的坐标是解题的关键．6．求直线y＝2x﹣4和y＝﹣x+2与y轴所围成的三角形的面积．【分析】设直线y＝2x﹣4与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2与y轴交于点B，直线y＝2x﹣4与直线y ＝﹣x+2交于点C，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出A，B的坐标，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解答】解：设直线y＝2x﹣4与y轴交于点A，直线y＝﹣x+2与y轴交于点B，直线y＝2x﹣4与直线y＝﹣x+2交于点C，如图所示．当x＝0时，y＝2x﹣4＝﹣4，∴点A的坐标为（0，﹣4）；当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，∴点B的坐标为（0，2）；联立两直线解析式成方程组，得：，解得：，∴点C的坐标为（2，0）．∴S△ABC＝AB•OC＝×6×2＝6．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征及解方程组，求出点A，B，C的坐标是解题的关键．7．如图，直线y＝x+1经过点A（1，m），B（4，n），点C的坐标为（2，5），求△ABC的面积．【分析】把点A（1，m），B（4，n）分别代入y＝x+1求得A、B的坐标，分别过A、C作x轴的平行线EF、GH，过B作GF∥y轴，根据A、B、C的坐标得出E（0，5），F（4，5），G（4，），H（0，），进而得出EF＝4，GF＝，EC＝2，CF＝2，FB＝2，BG＝，AG＝3，AH＝1，然后根据S△ABC＝S矩形EFGH﹣S梯形ECAH﹣S△BCF﹣S△ABG即可求得△ABC的面积．【解答】解：把点A（1，m），B（4，n）分别代入y＝x+1得，m＝×1+1＝，n＝×4+1＝3，∴A（1，），B（4，3）分别过A、C作x轴的平行线EF、GH，过B作GF∥y轴，∴四边形EFGH是矩形，∵C的坐标为（2，5），∴E（0，5），F（4，5），G（4，），H（0，），∴EF＝4，GF＝，EC＝2，CF＝2，FB＝2，BG＝，AG＝3，AH＝1，∴S△ABC＝S矩形EFGH﹣S梯形ECAH﹣S△BCF﹣S△ABG＝EF•FG﹣（AH+EC）GF﹣CF•BF﹣AG•BG ＝14﹣﹣2﹣＝．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构建矩形是本题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，直线I1：y＝x+b与直线I2：y＝kx+7交于点A（2，4），直线I1与x 轴交于点C，与y轴交于点B，将直线I1向下平移7个单位得到直线I3，I3与y轴交于点D，与I2交于点E，连接AD．（1）求交点E的坐标；（2）求△ADE的面积．【分析】（1）将点A（2，4）分别代入直线I1：y＝x+b与直线I2：y＝kx+7，求出b＝3，k＝﹣，那么直线I1的解析式为y＝x+3，直线I2的解析式为y＝﹣x+7，点B的坐标为（0，3），根据平移规律得出D（0，﹣4），直线I3的解析式为y＝x﹣4．联立I3与I2的解析式得到方程组，解方程组求出交点E的坐标；（2）由I1∥I3，可得S△ADE＝S△BDE，再根据三角形的面积公式列式计算即可．【解答】解：（1）∵直线I1：y＝x+b与直线I2：y＝kx+7交于点A（2，4），∴4＝×2+b，4＝2k+7，∴b＝3，k＝﹣，∴直线I1的解析式为y＝x+3，直线I2的解析式为y＝﹣x+7，∴直线I1与y轴交点B的坐标为（0，3），∵将直线I1向下平移7个单位得到直线I3，I3与y轴交于点D，∴D（0，﹣4），直线I3的解析式为y＝x﹣4．由，解得，∴交点E的坐标为（，﹣）；（2）∵I1∥I3，∴S△ADE＝S△BDE＝×7×＝．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，两直线交点坐标的求法，三角形的面积．都是基础知识，需牢固掌握．9．如图1，在平面直角坐标系中，点D的横坐标为4，直线l1：y＝x+2经过点D，分别与x、y轴交于点A、B两点．直线l2：y＝kx+b经过点D及点C（1，0）．（1）求出直线l2的解析式．（2）在直线l2上是否存在点E，使△ABE与△ABO的面积相等，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．（3）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从点C出发，沿线段CP以每秒2个单位的速度运动到P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到D后停止，求P点在整个运动过程的最少用时．【分析】（1）利用C，D两点坐标代入y＝kx+b，解方程组即可解决问题；（2）存在．如图1中，作OE∥AB交CD于E．由AB∥OE，可得S△ABE＝S△ABO，构建方程组求出点E坐标即可；（3）如图2中，作DM∥AC，PH⊥DM于H，CH′⊥DM于H′交AD于P′．由题意P点在整个运动过程的时间t＝+＝（PC+），易知∠MDA＝∠BAO＝45°，推出PH＝，推出t＝（PC+PH），根据此线段最短可知，当点P与P′，点H与H′共线时，t的值最小，最小值＝CH′；【解答】解：（1）由题意A（﹣2，0），B（0，2），D（4，6），C（1，0），则有，解得，∴直线l2的解析式为y＝2x﹣2．（2）存在．①当点E在线段CD上时，如图1中，作OE∥AB交CD于E．∵AB∥OE，∴S△ABE＝S△ABO，∵直线OE的解析式为y＝x，由，解得，∴E（2，2）．②当点E′在线段CD的延长线上时，由，解得，∴E′（6，10）．综上所述，满足条件的点E坐标为（2，2）或（6，10）．（3）如图2中，作DM∥AC，PH⊥DM于H，CH′⊥DM于H′交AD于P′．由题意P点在整个运动过程的时间t＝+＝（PC+），∵A（﹣2，0），B（0，2），∴OA＝OB，∴∠MDA＝∠BAO＝45°，∴PH＝，∴t＝（PC+PH），根据此线段最短可知，当点P与P′，点H与H′共线时，t的值最小，最小值＝CH′＝3s ∴P点在整个运动过程的最少用时为3s．。

苏科版数学八年级上册6.4 用一次函数解决问题 ——面积问题教案

C（a,b) P y用一次函数解决问题——面积问题学习目标:1、探索三角形面积与函数表达式的关系2、培养初步的数形结合的意识和能力3、激发学习数学的兴趣，体验数学活动充满探索与创造重点：通过函数表达式求三角形的面积，培养数形结合的思想和转化思想难点：体会数形结合的思想在一次函数中的应用一、课前热身1.一次函数一般形式：2.求一次函数解析式的常用方法：3.求一次函数解析式的一般步骤： .4.一次函数图象经过点（1，2）和（-1，6），求这个一次函数的解析式. 4.点A （-1，2）到x 轴距离___，到y 轴距离____。

任意一点P （x,y ）到x 轴距离___，到y 轴距离____。

5.在x 轴上点M(-3,0),点 N(5,0)，则MN 的长度____。

在x 轴上点M(a,0),点 N(b,0)，则MN 的长度____________。

6.在y 轴上点P(0,m),点 Q(0,n)，则PQ 的长度_______________ 7.y=-x+2与x 轴的交点坐标是______,与y 轴的交点坐标是_____ 8.直线y=2x+5与y= x+5的交点坐标______. 9.函数y=3x-2与函数y=2x+1的交点坐标______. 二、探究1、例1：已知：如图,直线y=x-1交x 轴、y 轴于点A 、B ，直线y=-0.5 x+2交x 轴、y 轴于点C 、D ，两直线交于点P.(1)写出各点坐标:A______、B______、C______、 D______、P______(2)将△PAC 中的线段___作为底,它的长度为___,△PAC 的高为___,面积为____. (3)将△PBD 中的线段___作为底,它的长度为___,△PBD 的高为___,面积为____思考： S 四边形PAOD=？S △PBC=？变式：已知直线y=2x+3、y=-2x-1求:(1)两直线与y 轴围成的三角形的面积42+=x y Oy 4xy=2x+4-3-2-1321-4-2-3432-11AB (2)两直线与x 轴围成的三角形的面积(3)求四边形APDO 的面积 A探究2例2：已知一次函数 .1．（1）求图象与 X 轴交点A, 与 Y 轴交点B 的坐标. （2）若点P 是 x 轴上一个动点,且 ,试确定点P 的位置2 .满足（1）若点P 是y 轴上一动点，试确定点P 的位置. （2）若点P 是直线上一动点，试确定点P 的位置 . （3）若点P 是平面内任意一动点，试确定点P 的位置.变式: 已知：点P 是一次函数y=-2x+8的图象上一点，AOBBOP S S ∆∆=21AOBAOP S S ∆∆=21如果图象与x 轴交于Q 点，且△OPQ 的面积等于6，求P 点的坐标。

学案：一次函数相关的面积问题

学案：一次函数相关的面积问题课题:一次函数相关的面积问题张雪平一、教学目标:1、知识与技能:通过本节学习，巩固一次函数的图象与性质，能利用解析式求组合图形的面积，能利用面积求点坐标或直线解析式。

2、数学思考:通过对已知图形面积求值及解析式问题的探究，使学生理解一次函数图象特征与解析式的联系规律，体会分类思想、数形结合思想，化归思想和方程思想.3、问题解决:根据题中图形与坐标轴的交点求三角形的面积，会根据面积求点坐标或函数解析式。

4、情感态度:培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣.二.重点，难点重点:根据函数解析式求三角形或四边形的面积，会根据面积求点坐标或函数解析式。

难点:不规则图形面积的计算，根据面积求点坐标【教学过程】一、复习引入yx,,，241、一次函数与x轴的交点A的坐标是与y轴的交点B的坐标是________， 2、已知一次函数的图像与x轴、y轴的交于(,2，0)、(0，4)点，则这个函数的解析式为_____________。

yx,,，24yx,，213、直线与直线的交点坐标是______(以上三个问题的复习为下面两个类型题的探究做好准备.二、中考题型示例题型一、利用解析式求面积yx,,，24例1:已知直线l:，求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。

小结:类型1是求直线与两坐标轴所围成三角形面积(规则图形 --公式法) yx,,，24C(1,2)变式1:已知直线l:，点在直线l上，(1) 求OC所在直线的解析式;(2) 求直线l 和直线OC与x轴所围成的图形面积。

小结:类型2是求两直线与坐标轴所成三角形面积(规则图形 --公式法)1yx,,，24变式2:如图，已知直线l:与x轴、y轴分别交于点B、M,，将变式1中的直线OC向上平移1个单位长度得到直线PA，点Q是直线PA与y轴的交点，求四边形PQOB的面积。

yMP QxAOB小结:(1)类型3需要求出点p坐标，而求点p坐标，需要联立两直线的解析式，求解方程组(2)类型3是求不规则图形的面积(割补法)通过对题型一的探究，经过变式1，变式2，变式3的训练，使学生会用计算图形面积的方法列方程，找到解决面积问题的方法，题型二:由三角形面积求点的坐标或直线解析式例2一次函数y=kx+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求该一次函数的解析式(小结:题目中没有强调k值的正负，所以此题应分>0,<0两种情况，所以应该求两条直线kk的解析式。

北师大版八年级数学上册4.3一次函数图象与面积问题优秀教学案例

（四）反思与评价
1.引导学生对自己在学习过程中的思考、方法、结果进行反思，培养学生自我评价的能力。
2.组织学生进行小组内、小组间的评价，让学生在评价中相互学习、共同进步。
3.教师要关注学生的学习过程，从多维度、多角度评价学生的学习成果，给予肯定和鼓励。
4.引导学生将所学知识与实际生活相结合，进行拓展应用，提高学生的数学素养。
2.讲解一次函数图象与面积问题的解决方法，如利用图象交点、解析几何方法等。
3.通过例题演示，让学生跟随教师一起解决一次函数图象与面积问题，活中的应用价值。
（三）学生小组讨论
1.设计具有探究性、挑战性的问题，让学生在小组内进行讨论交流。
针对这一问题，我设计了本节课的教学案例，旨在通过引导学生观察、思考、探究，使他们在解决实际问题的过程中，体会一次函数图象与面积问题的联系，提高解决问题的能力。教学案例围绕一个实际问题展开，让学生在解决问题的过程中，自然而然地涉及到一次函数图象与面积问题的知识点。通过案例的引导，使学生能够将所学知识与实际问题紧密结合，提高他们的数学应用能力。
2.鼓励每个小组成员积极发表自己的观点，共同探讨问题的解法。
3.教师在讨论过程中，关注每个小组的学习进展，及时给予指导和鼓励。
（四）总结归纳
1.让学生用自己的语言总结一次函数图象与面积问题的解法及注意事项。
2.教师对学生的总结进行点评，纠正错误，完善归纳。
3.引导学生将所学知识进行整合，形成体系，提高学生的数学素养。
4.教师在问题导向过程中，要善于启发、点拨，引导学生发现规律，归纳总结。
（三）小组合作
1.合理划分学习小组，培养学生团队合作、互助学习的意识。
2.设计具有探究性、挑战性的学习任务，激发学生合作学习的动力。

专题：一次函数与面积问题(学案)

专题：一次函数与面积问题
（一）我热身
1、如图，已知点A、B、C、D的坐标，则线段AB的长为；线段CD的长为；
2、如图，直线y=kx+b与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，则点A的坐标为，点B的坐标为。

3、直线y=kx+b与直线y=mx+n的交点坐标A是方程组的解。

（二）我思考
已知一次函数y=x+5的图象与x轴相交于点B，与y轴相交于点D，求该函数图像与坐标轴所围成的三角形面积。

（三）我探索
已知直线y=x+5和直线y=-3x+3相交于点A,直线y=-3x+3与x轴相交于点C，（1）求△ABC的面积；
思考：如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标，求点A、B、C所围成的图形面积。

如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标，求点A、B、C所围成的图形面积。

（四）我交流
（2）已知直线y=x+5与y轴相交于点D，过D、C两点做一条直线，求△ADC的面积；
备用图1
备用图2
练习：如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标，求三角形ABC的面积。

（五）我总结。

一次函数与图形面积的综合应用(学案)

B C 图1 DA一次函数与图形面积的综合应用（学案）【学习目标】1．灵活应用一次函数的图象和性质，解决与图形面积相关的问题；2．在合作与交流中学会肯定自己和倾听他人的意见.【学习重点、难点】重点：应用一次函数的图象和性质，解决与图形面积相关的问题.难点：多解问题.【学习过程】一、自主学习（要求：①独立完成1-3题；②遇到困难暂时保留，全部完成后两两互查、组内互助） 1．★直线4+-=x y 与x 轴的交点A 的坐标为______，与y 轴的交点B 的坐标为______，直线AB 与两坐标轴围成的三角形的面积为______，原点到直线AB 的距离为_______.2．★★若直线4+=kx y •与两坐标轴所围成的三角形的面积是6•个单位，则k •的值是______.3．★★如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则BC = ，AB = . 二、合作探究（要求：①组内合作完成以下题目；②遇到困难组内求助；③讨论题目，确定本组想要展示的内容）【问题1】★★★如图，正方形ABCD 的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使AB 在x 轴正半轴上，A 点的坐标是（1，0），经过点C 的直线b x y +=34与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，（1）求点E 、F 的坐标；（2）若另一直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设直线l 与y 轴交于点G ，在直线l 上是否存在点P ，使得△FGP 的面积是四边形AECD 面积的52?若存在，请求出点D【问题2】★★★★如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1y x=+与334y x=-+交于点A，两条直线分别与x轴交于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）试求当BD=CD时D点的坐标；（3）如BDC∆的面积为ABC∆面积的两倍，则求此时D的坐标．【课后延伸】1．★★★如图，Rt △ABO 的顶点A 在直线(1)y x k =--+上．AB ⊥x 轴于B ，且S △ABO =32，AB :B O=3:1 ,点C 在该直线上，且点C 的横坐标是3，（1）点A 的坐标；（2）求直线AC 的解析式；（3）求△AOC 的面积．2．★★★★如图，已知直线y =+与x 轴相交于点A，与直线y =相交于点P ．（1）求点P 的坐标．（2）请判断O PA ∆的形状并说明理由．（3）动点E 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿着O →P →A 的路线向点A 匀速运动（E 不与点O 、A 重合），过点E 分别作EF ⊥x 轴于F ，EB ⊥y 轴于B ．设运动t 秒时，矩形EBOF 与△OPA 重叠部分的面积为S ．试求 S 与t 之间的函数关系式．。

与一次函数有关的面积问题学案

与一次函数有关的面积问题学案学习目标：1.掌握一次函数与坐标轴围成的三角形面积的求解方法2.通过观察，讨论，研究，归纳等过程，体会学习数学的方法，提高解题能力。

3.体会数形结合的数学思想，感受数学学习中自主发现，交流研究，探索发现的乐趣。

学习重点：求解一次函数与坐标轴围成的三角形的面积学习难点：利用数形结合的思想研究动点问题课前回顾：1.A （-2，2）到x 轴的距离是多少？到y 轴的距离是多少？2.已知点B （1，-4），如何求直线AB 的解析式？3.如何求直线AB 与x 轴，y 轴的交点？4.如何求△COD 的面积？结论：2. 点A （x ，y ）到坐标轴的距离:（1）点A （x ，y ）到x 轴的距离为A y （A 点纵坐标的绝对值）（2）点A （x ，y ）到y 轴的距离为A x （A 点横坐标的绝对值）2．一次函数y=kx+b (k ≠0)的图象与y 轴的交点是（0，b ），与x 轴的交点是（kb,0）【问题一】一条直线与两条坐标轴围成的三角形的面积问题y x- b kb y=kx+bo例1.如图已知一个一次函数y=2x+4（1）求这个一次函数的图象与x轴的交点A和与y轴的交点B的坐标。

（2）求△AOB的面积变式一：若一次函数y=kx+4的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求一次函数的解析式。

变式二：若一次函数y=2x+b的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求一次函数的解析式。

变式三：1.如图，已知点P（x，0）是x轴上的一个动点(1)若AOB BOP S S ∆∆=21, 则P 点的坐标是(2)若AOB ABP S S ∆∆=21, 则P 点的坐标是2.如图，已知点P （0，y ）是y 轴上的一个动点 (1)若AOB BOP S S ∆∆=21, 则P 点的坐标是 (2)若AOB ABP S S ∆∆=21, 则P 点的坐标是3. 点P （x ，y ）是直线y=2x+4上的一个动点，若△AOP 的面积是△AOB 面积的一半，求P 点坐标【问题二】两条直线与坐标轴围成的三角形的面积问题例2．如图，求一次函数y=2x+4和y=-x+1的图象与x 轴围成的△AEC 的面积。

一次函数与面积教学设计

变式五、六，分面积比例问题，分情况讨论思想，活跃数学思维
变式七，求不规则图形面积时采用图形的分割组合思想
5、练习与总结
6、布置作业
5分钟
10分钟
课前巩固复习，循序渐进
20分钟
引导分析，以讲为主，对于简单的部分，可以让学生自己练习
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ分钟
引导分析，讲练结合，
注重学生解题思维的引导与理解
35分钟
先练习，后讲解
将任意三角形靠轴解析，得出横截距与纵截距，进而求出面积。
4、【名题诠释】
例题，用代入法求k；根据解析式设出动点P的坐标，根据题意用代数式表示线段的长度，最后得到面积关系式。
变式一、二，动点位置的不同导致表示线段的长度代数式的变化。
变式三，利用等腰三角形的三线合一分析
变式四，平行四边形的存在问题，确定3个点的坐标，有2种情况，若确定各点的顺序只有1个答案，若没有确定各点的顺序则有3个答案（求法涉及中点坐标公式）
教具
刻度尺、电脑、PPT、投影仪
教学过程及教学内容
时间分配、教学方法、
设计目的
1、课前引入：笛卡尔的故事
拓展学生的课外数学知识，引出数形结合的数学思想，一次函数的面积问题就是根据这思路来解决的。
2、回顾巩固一次函数的相关概念
1k，b的符号；
2一次函数与坐标轴的交点求法；
3一次函数与坐标轴围成三角形的面积；
3、能根据题意熟练的应用字母表示因动点产生的图形的面积
4、会根据题意确定直线上动点的横坐标的取值范围
5、从解题过程中体会因动点产生的存在性问题，即分类讨论思想、数形结合思想
教学重点
难点
1、理解“因动点产生的一次函数与面积的关系问题”的解题思路——化动为静

一次函数之面积问题(讲义及答案)

一次函数之面积问题（讲义）➢知识点睛1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路：①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）；③转化法（例：同底等高）．2.坐标系中面积问题的处理方法举例①割补法——铅垂法求面积：B()2APB B AS PM x x=⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：l1l2如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．➢精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，3)，B(4，2)，则△AOB的面积为___________．2.如图，点A，B在直线74y kx=+上，点A的坐标为(-1，3)，点B的横坐标为3，则△AOB的面积为___________．3.如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点P的坐标为(-2，2)，则S△PAB=___________．4.如图，一次函数y=kx+5的图象经过点A(1，4)，点B是一次函数y=kx+5的图象与正比例函数23y x的图象的交点，则△AOB的面积为___________．5.如图，直线l1：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，D，直线l1，l2相交于点P．若S△APD=92，则k的值为__________．6.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，则四边形OABC的面积为___________．7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(8，4)，点C(m，2m-3)在直线AB上方，若△ABC的面积为9，则m的值为________．8.如图，直线l1：y=x与直线l2：y=-2x+3相交于点A，点B在直线l1上，且横坐标为4．C为l2上的一个动点，且在点A的左侧，若△ABC的面积为18，则点C的坐标为__________．9.如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(1，2)，点P为坐标轴上一点，若S△ABP =S△ABC，则点P的坐标为__________．10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的函数解析式；（2）若点P是直线AM上一点，使得S△ABP =S△AOB，请直接写出点P的坐标．【参考答案】1. 42.7 23.84.55.5 26.247. 48.(-3，9)9.(0，52)，(5，0)，(-1，0)，(0，12-)10.（1）直线AM的函数解析式为y=x+2；（2）P1(2，4)，P2(-6，-4)。

人教版初中数学八年级下册第19章《一次函数应用之面积问题》教案

人教版初中数学八年级下册第19章《一次函数应用之面积问题》教案一、核心素养1.会运用一次函数解析式或点的坐标来求图形面积；2.会运用图形面积来求一次函数解析式或点的坐标；3.在问题解决中，体会数形结合，分类讨论，转化的数学思想和方法.二、教学重点、难点教学重点：掌握一次函数与图形面积问题中数形结合分析问题方法教学难点：面积相关的函数问题的分析能力的培养三、学习过程准备练习1.点A（-1，2）到x轴距离___，到y轴距离____任意一点P（x,y）到x轴距离_____，到y轴距离_____2.在x轴上点M(-3,0),点 N(5,0)，则MN的长度____3.在y轴上点M(0,-2),点 N(0,4)，则MN的长度____4.y=-x+2与x轴的交点坐标是______,与y轴的交点坐标是_____5.函数y=3x-2与函数y=2x+1的交点坐标______设计意图：使学生明确学习本节课必要的知识储备题型一：已知解析式或坐标求图形面积引例已知直线y=2x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A, 求该直线与坐标轴围成的三角形的面积.教师：如何求一条直线与两坐标轴围成的图形面积呢？两直线与两坐标轴围成的图形面积又该如何来求呢？设计意图：使学生明确一条直线与两坐标轴围成的图形面积的求法例1 已知直线y=2x+3与x轴交于点B，与y轴交于点A, 求该直线与坐标轴围成的三角形的面积.直线y=-2x-1与x轴交于点D，与y轴交于点C,两直线相交于点P,(1)求两直线与y轴围成的三角形的面积；(2)求两直线与x轴围成的三角形的面积；(3)求两直线与两坐标轴围成的图形面积.设计意图：使学生明确两直线与两坐标轴围成的图形面积的求法小结:（1）求两直线与一条坐标轴围成的三角形面积往往选择坐标轴上的线段作为底，用底所对顶点的坐标的绝对值来做高;（2）求复杂图形的面积时，要通过“内切外补”的方法，将面积转化为规则图形的面积的和或差；（3）坐标与线段互相转化时，注意坐标的正负以及线段的非负性.例2一次函数 y=kx+b 的图像过A(-2,-1)，B（1，3）两点,并且交x轴于点C，交y轴于点D,连接OA、OB,(1)求该一次函数解析式；(2)求△AOB的面积.教师：观察图形，三边不在坐标轴上的三角形的面积如何计算？小结:求三边不在坐标轴上的三角形的面积，可以通过切或补的方法，使原三角形转化为底在坐标轴上或者平行于坐标轴的几个三角形的和差，进而求得面积.归纳解题思路已知解析式、坐标图形面积的一般思路：1.确定所求图形，明确是规则图形还是不规则图形2.确定面积的计算方法，是直接运用面积公式计算，还是需要通过切或补来转化图形3.确定所需交点坐标，并将坐标转化为三角形的底或高4.将底，高代入面积公式计算，即可求得图形面积考点精练1.已知直线 y=kx+b经过点A（0，6），且平行于直线y=-2x ,并且经过点P（m，2）（1）求该函数解析式，并画出它的图象；（2）求该直线和直线OP与x轴所围成的图形面积.2.如图，已知点A（2,4），B（-2,2），C（4,0），求△ABC的面积.题型二：利用图形面积求解析式或坐标例3 已知直线y=kx+b与x轴交于点A(3，0) ,函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积是6，求直线的解析式.设计意图：使学生明确如何通过面积来求函数解析式的方法，并且学会如何根据题意画出图形的方法小结:没有图形或图形不完整时，首先要根据题意画出草图，通过面积计算，确定符合题意的图形的个数，图形可能不唯一，不要漏解例4 如图，已知直线y=x+3的图象与x轴,y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，并把△AOB的面积分为2:1的两部分，求直线l的解析式.设计意图：使学生明确如何通过面积关系来求函数解析式的方法，体会几何问题图形的重要性小结：归纳解题思路图形面积图形面积已知解析式、坐标的一般思路：1.根据题意画出图形，图形可能不唯一2.根据所画图形，由面积计算图形的底或高3.将底或高转化为交点坐标4.用待定系数法即可求得函数解析式考点精练3.已知点P 是一次函数y=-2x+8的图象上一点，如果图象与x 轴交于Q 点，且△OPQ 的面积等于6，求P 点的坐标.4.已知A 、B 分别是x 轴上位于原点左、右两侧的点，点P(2，p)在第一象限，直线PA 交y 轴于点C(0，2)，直线PB 交y 轴于点D, 6.AOP S ∆=(1)求△COP 的面积；(2)求A ，P 两点坐标；（3）若求直线BD 的函数解析式.设计意图：通过练习，巩固已知图形面积求一次函数解析式或坐标的方法课堂小结,BOP DOP S S ∆∆=。