清华大学高等量子力学-Lecture-17

即
⎡⎣Pˆij , Hˆ ⎤⎦ = 0 ，
则 Pˆij 是守恒力学量。若体系在初始时处于 Pˆij 的某个本征态（对称态或者反对称态），则恒处
于该本征态。即全同粒子体系波函数的对称性不随时间改变。
实验表明，交换对称性由自旋决定：对于玻色子（自旋为整数的粒子）组成的全同粒子系统，
状态是交换对称的，对于费米子（自旋为半整数的粒子）组成的全同粒子系统，状态是交换
有
Hˆ (1, 2)ψ (2,1) = Eψ (2,1) 。
所以，ψ (1, 2) 与ψ (2,1) 都是属于 Hˆ 的同一本征值 E 的本征态。
若ψ (1, 2) 不满足交换对称性，即ψ (2,1) ≠ ±ψ (1, 2) ，可以构造对称波函数：
玻色子系统：ψ + (1, 2) =ψ (1, 2) +ψ (2,1) ，
F= ±
ψ
* ±
(
K r1
,
K r2
)
Fˆ
K r1
−
K r2
ψ
±
(
K r1
,
K r2
)
d
3rK1d
3 rK2
∫ ( ) ( ) = 1 2
[ψ
*
(
K r1
,
K r2
)
Fˆ
K r1
−
K r2
ψ
(
K r1
,
K r2
)
+ψ
*
(
K r2
,
K r1
)
Fˆ
K r1
−
K r2
ψ
(
K r2
,
K r1
)
( ) ( ) ±ψ
即状态不改变。
故 {ψ n (x1),ψ m (x2 )} 与{ψ n (x2 ),ψ m (x1)} 描述的是同一状态。
全同性原理：交换两个全同粒子不改变体系的状态。 问题：这一原理对态有有什么限制呢？
1
2）波函数的交换对称性 对于包含 N 个粒子的体系，态
...i... j... ，
定义交换算符 Pˆij ： Pˆij ...i... j... = ... j...i... = λ ...i... j... ，
( ) ( ) .i... j. Pˆij .i... j. = λ .i... j. .i... j. = .i... j. Pˆij .i... j. ，
故 Pˆij 是一力学量算符。
若体系的 Hˆ 满足交换对称性，
Pˆij Hˆ ("i" j...) Pˆij−1 = Hˆ (" j"i") = Hˆ ("i" j") ，
第二个等式用到了全同性原理。 因为
Pˆij2 ...i... j... = Pˆij ... j...i... = ...i... j... ， 所以 Pˆij2 的本征值为 1， Pˆij 的本征值 λ = ±1 。 即
Pˆij ...i... j... = ± ...i... j... 。 交换对称性：全同粒子体系的波函数在交换任意两个粒子时必须是对称或者是反对称的。 问题：全同粒子体系的波函数可不可以一会儿处于对称态，一会儿处于反对称态呢？ 由于
则
Hˆψ (1, 2) = Eψ (1, 2)
的解为
⎧E ⎨⎩ψ
= εn +εm
(1, 2) = ϕn
(1)
ϕm
(
2
)
，
ψ (1, 2) 一般不满足交换对称性。为达到交换对称性要求，我们如下构造态函数：
玻色子系统：ψ + (1, 2) =
⎧m (2) + ϕn (2)ϕm (1)⎤⎦ ,
=
Ar 2
⎛⎜⎝1 +
sin 2kr 2kr
⎞ ⎟⎠
c）反对称波函数
ψ
−
(
K r1
,
K r2
)
=
1 2
(ψ
(
K r1,
K r2
)
−ψ
(
K r2
,
K r1
))
，
( ) ( ) ψ −
KK R, r
( ) =
1 2π =
3
KK
eiK •R
2i sin
K k
•
K r
，
P−
(r)
=
Ar 2
⎛⎜⎝1 −
sin 2kr 2kr
设单粒子状态为ψ n ( x)
两全同粒子的波函数不重叠时，可区分全同粒子
若在重叠区内发现一个粒子，不能区分它是第一个还是第二个粒子，即波函数重叠时不可区 分全同粒子。
交换两个粒子位置时，即将{ψ n (x1),ψ m (x2 )} → {ψ n (x2 ),ψ m (x1)} 时，发现粒子的几率分布相同，
3.全同粒子对称性
全同粒子：内禀性质（质量，电荷，自旋等）完全相同的粒子。由于经典力学中物理量的连 续性，两粒子的性质可以无限接近，但不会全同，总是可以区分的。故在经典力学中无全同 粒子的概念。量子力学中物理量的取值可以是分离值，要么完全相同，要么完全不同。因此 具有全同粒子的问题。 那么怎么区分全同粒子呢？ 1）全同性原理 在经典力学中即使有“全同”粒子，可以通过轨道区分“全同”粒子。但在量子力学中，无轨道， 状态用波函数描述。
1 2π =
3
e e 。 K K iK •R
ikK•rK
在以一个粒子为中心，半径为 r 的球壳内找到另一个粒子的几率为
( ) ∫ P(r) =
ψ
KK R, r
2
d
G 3 Rr 2 d Ω
=
Ar 2
。
b）对称波函数
ψ
(
K r1
,
K r2
)
≠
±ψ
(
K r2
,
K r1
)
ψ
+
(
K r1
,
K r2
)
=
1 2
(ψ
⎞ ⎟⎠
2 1.75
1.5
P +êA r2
1.25 1
P êA r 2
0.75
0.5 0.25
P -êA r2
2.5
5
7.5
10
12.5
15
17.5
20
2kr
4
说明：对称空间波函数 → 两粒子靠近的几率大，
反对称空间波函数 → 两粒子靠近的几率小，
似乎在全同粒子间存在一种作用力，对于全同玻色子，是吸引力，费米子是排斥力。这种力
*
(
K r1
,
K r2
)
Fˆ
K r1
−
K r2
ψ
(
K r2
,
K r1
)
±ψ
*
(
K r2
,
K r1
)
Fˆ
K r1
−
K r2
ψ
(
K r1
,
K r2
)]d 3rK1d 3rK2
∫ ( ) =
F
±
ψ
*
(
K r1,
K r2
)
Fˆ
K r1
−
K r2
ψ
(
K r2
,
K r1
)
d
3rK1d
3rK2
≠F
5
⎩⎪ ϕn (1)ϕm (2)
n≠m n=m
费米子系统：ψ − (1, 2) =
1 2
⎡⎣ϕn
(1)ϕm
(2)
−ϕn
(2)ϕm
(1)⎤⎦
=
1 ϕn (1) 2 ϕm (1)
ϕn ϕm
(2) (2)
。
对于费米子系统，若两粒子处于同一状态（具有相同量子数）时， n = m ，ψ − (1, 2) = 0, →
反对称的。
问题：全同粒子系统的状态一方面要满足交换对称性，另一方面要满足 Schroedinger 方程，
怎样构造满足二者的态？
3）两全同粒子的态
2
设
Hˆ (1, 2)ψ (1, 2) = Eψ (1, 2) ，
则
Hˆ (2,1)ψ (2,1) = Eψ (2,1) ，
若体系的 Hˆ 满足交换对称性， Hˆ (1, 2) = Hˆ (2,1) ，
费米子系统：ψ − (1, 2) =ψ (1, 2) −ψ (2,1) 。
它们仍然是系统 Hˆ 的属于本征值 E 的本征态：
Hˆψ ± (1, 2) = Eψ ± (1, 2) 。
例如：若不考虑两粒子的相互作用
Hˆ (1, 2) = Hˆ 0 (1) + Hˆ 0 (2) ，
设
Hˆ 0ϕn (i) = εnϕn (i), i = 1, 2
)
=
π ， 1 ( ) i
K k1
•
K r1
+
K k2
•
K r2
2 = e 3
引入质心坐标：
K R
=
1 2
(
K r1
+
K r2
)
，
相对坐标：
rK
=
K r1
−
rK
，
KKK 总动量： K = k1 + k2 ，
( ) 相对动量：
K k
=
1
2
KK k1 − k2
，
波函数为
( ) ( ) ψ
KK R, r
=
称为交换力，它不是一种真正意义上的力，无施力者，在 r → ∞ 时，交换力消失。
例 2：两粒子体系的力学量平均值