论广义积分的收敛性

论广义积分的收敛性

摘要

广义积分是定积分概念的推广至无限区间和有限区间上的无界函数的情形，而定积分的的主要特点是积分区间有界，并且在此区间上被积函数为有界函数，而这两个限制条件不能很好地解决实际中的有些问题，于是突破这两条限制的束缚便得到其推广形式即广义积分。大部分的广义积分不可被直接计算，有的虽然能计算出它的值，但计算过程十分麻烦，因此判断广义积分的收敛性就成为广义积分求值的一个决定性条件。本文就针对敛散性论述广义积分，针对几种不同类别的广义积分形式，讨论几种比较常用的判别方技巧。

1.首先我们可以利用收敛积分的余部可以判定所求积分是否收敛.对于

⎰+∞

a

dx

x f )(和

⎰+∞

b

dx

x f )(,如果b>a,则

⎰+∞

b

dx

x f )(称为

⎰+∞

a

dx

x f )(的余部。因为改变下限积

分的值(a 不是奇点)，或对被积函数乘以非零常数，都不改变积分的敛散性，即∀b>a,k ≠0,都有

⎰+∞

a

dx

x f )(收敛⇔⎰+∞

b

dx

x f )(收敛，

⎰+∞

a

dx

x f )(收敛⇔

⎰+∞

b

dx

x kf )(收敛.

另外，如果f (x ),g(x)的广义积分都收敛，那么线性组合αf(x)+βg(x)的广义积分也收敛，对于其余类型的广义积分，也有类似的结论.

2.对于两个端点都是奇点的广义积分，我们可以任取区间内的任意一点x 0，把积分分成两半，再分别判断这两半积分的收敛性.例如定义广义积分 f x dx +∞

−∞，设函数f(x)在区间(−∞,+∞)上内闭有界可积，除端点外再没有奇点.取一点x 0，定义

⎰

+∞

∞

-)(dx x f = f x dx x 0−∞+ f x dx +∞

x 0

，

如果右端这两个广义积分都收敛，就称左端的广义积分收敛(否则称其发散).

对于内闭有界可积，且在积分区间I 内有有限个奇点的广义积分，为了方便地得到广义积分是否收敛，我们可以把积分区间上的几点去掉，这样以奇点为分点，广义积分的区间就被分成许多个小区间I =I 1∪I 2∪···∪I n .于是就可以定义

⎰I dx x f )(=⎰

I dx x f 1

)(+⎰I dx x f 2

)

(+···+

⎰

I dx x f n

)(

如果右端每个广义积分都收敛，就称左端这个广义积分收敛(否则就称发散).

3.对于广义积分 f x dx +∞

a

，如果函数f(x)在区间 a ,+∞ 上以+∞为唯一奇点，且内闭有

界可积，并且有原函数F (x ),那么

f x dx =lim x→+∞

f x dx =x

a +∞

a

lim x→+∞

F x −F (a ).

不论这个极限如何，都把这个公式写为

f x dx =F x +∞

a

|a +∞

.

如果极限lim x→+∞

F (x )存在，那么广义积分收敛，否则就发散.

4.我们知道Cauchy 收敛准则可以用来判定函数的敛散性，这对于积分也同样适用.因为广义积分的四种基本类型可以相互转化，故只讨论 f x dx +∞

a 这一种形式即可. f x dx

+∞

a

收敛

⇔∀ε>0，∃X >当x 1,x 2>X 时，| f x dx x

2x 1

|<ε

⇔lim t→+∞

ρ t =0，ρ t ≝q

p t sup

≤≤⎰q

p

)(dx

x f

5.夹逼收敛原理也可以判断积分是否收敛.设f x ≤g (x )≤ (x )(x ≥a )，如果积分 f x dx ， x dx +∞

a

+∞

a

都收敛，那么积分 g x dx +∞

a

也收敛.

另外绝对收敛的广义积分也一定收敛，由夹逼收敛定理可证明这条结论. 6.对于非负函数的广义积分还有三个特殊的判别方法. (1)收敛准则

在区间 a ,+∞ 上，设函数f (x )≥0,那么

广义积分 f x dx +∞

a

收敛⇔变上限积分 f x dx t

a (t ≥a )有界

(2)控制收敛判定法

在区间 a ,+∞ 上，对非负函数f x ,g x ，设g(x)是f(x)的上控制函数，即存在 x 0≥a ，使得

0≤f x ≤g(x)，∀x ≥x 0.

如果上控制函数g(x)的广义积分收敛，那么被控制函数f(x)的广义积分也收敛. (3)比较判定法

在区间 a ,+∞ 上，设f(x),g(x)都是非负函数并且有极限

lim

x→+∞f (x )

g (x )=l (存在或为+∞).

(i) 当l ∈(0,+ ∞)时，两个函数的广义积分有相同的收敛性. (ii)

当l =0时，由 g x dx +∞

a

收敛，推出 f x dx +∞

a

收敛. (iii) 当l =+∞时，由 g x dx +∞

a

发散，推出 f x dx +∞

a

发散. 7. 在Abel 条件或Dirichlet 条件下，广义积分 f x g (x )dx +∞

a

都收敛.