有心力场中的运动

几何关系:
:与行星无关的常量,只可能与太阳的性质 (太阳的质量)有关.
显然: 行星与太阳之间的引力应该正比于而不是反 比于太阳的质量M 令 (G:普适常量)
——万有引力定律
�
碰撞: a,在另一些初始条件下,它们也可能相互飞开,无限 远离.如果两个质点先互相飞近,然后再飞开,就 称为碰撞; b,两个质点之间是排斥力,则它们不可能形成束缚体 系,而只能发生碰撞. 6.数学上看两体问题: 对N个无约束的质点系统,当 N ≥ 3时求解运动方程 很困难,N=2(两体问题),运动方程易于求解. 7.有心力场中的运动:归结为两体问题.
说明: (1) 轨道方程:可用势能表示,也可用力表示; (2) 由比耐公式,可求运动轨道; (3) 若已知轨道,则可求作用力F. .
§1.3.3 平方反比引力
开普勒问题
重要的有心力:平方反比有心力(和 成反比的力) 例:万有引力,带异号电荷之间的库仑力 任务: 任务:研究行星的运动 近似处理:行星只受到太阳引力的作用,而忽略行星 之间的相互作用. 行星的运动是在平方反比引力作用下的运动.
令:
——等效势能 (等效一维运动的"势能") ——离心能
——等效力
——惯性离心力
产生惯性离心力的原因: 上述等效的一维运动实际上是在以角速度转动的 转动坐标系中观察质点的运动,而转动坐标系是非惯 性系.
二,等面积定律———开普勒第二定律
角动量守恒 设: ; 的几何意义:
:矢径r在时间
内扫过的面积
由于已知 将 代入比耐公式得: ,所以由比耐公式可求运动轨道.
令: 则: ——谐振动方程
其解为:
令:
,有:
又:
将r的表达式代入得到:
E<0: e<1 E=0: e=1 E>0: e>1
椭圆轨道
(束缚运动)
抛物线轨道 (无限运动) 双曲线轨道 (无限运动)
三,行星的运动
开普勒问题
运动规律
已讲:已知平方反比引力
已学:
——矢径在单位时间扫过的 矢径在单位时间扫过的 面积正比于角动量
开普勒第二定律 空间各向同性
常数
常数
行星所受到的力只能是有心力(可用有心力运动规律) 开普勒第一定律 行星的轨道:椭圆
椭圆方程:
比耐公式:若已知轨道,则可求力.
——行星受到太阳的平方反比力
开普勒第三定律
比例系数
由
积分:
经过一周期:
引向
的矢量)
(
用一个变量r表示 )
系统的拉格朗日为:
——与质量为m,矢径为r的质点在有心力场中的拉格朗 日函数一样.即:二体问题可转化为在有心力场中 运动的单体问题.
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讨论:若
,则
重的 m2 固定在质心位置上不动,成为力心; 轻的 m1 在 m2 产生的有心力场中运动. 例子:地球绕太阳的运动.
§1.3.2 有心力场中运动的一般分析
一,运动形式的分类
设:平方反比引力为 质点移动 ,F做功: F ;
对dw积分,得势能:
设:
时,
,则
等效势能:
又:
则 :
——限制了质点的运动区域 中运动
由图:E<0: 质点限制在有限区域 E E>0: 运动区域
E=0: 过渡情况,质点也能运动到无穷远 即运动形式分两类: 束缚运动 无限运动
二,轨道运动
4.两体问题:实际上力心并非静止,所以行星和太阳, 电子和原子核应分别作为一个整体同时 考虑,即它们实际上组成了两体问题. 定义:由两个相互作用着的质点组成的封闭系统,在 惯性系中的运动问题,称为两体问题. 5.两体问题的类型 束缚运动: 如果两个质点之间有吸引力,则在一定的初始条件 下,它们可能形成一个束缚体系,在有限空间范围内运 动;
但:开普勒不知道行星和太阳之间有平方反比引力. 牛顿:由开普勒三定律 万有引力定律
任务:弄清这一推证过程. 行星运动三定律 第一定律: 第一定律:行星绕太阳作椭圆运动,并以太阳为椭圆 的一个焦点; 第二定律: 第二定律:从太阳引向行星的矢径在相等时间内扫过 相等的面积;
第三定律: 第三定律:行星公转周期的平方和轨道半长轴的立方 成正比.
: r在单位时间扫过的面积,又 r
——在有心力场中运动的质点的矢径在相等时间内 扫过相等的面积.
三,运动方程的解:利用守恒律来解
由能量守恒:
得:
分离变量:
积分:
——确定了r=r(t) . r是t的隐函数.
四,轨道微分方程——比耐公式 ——
由: 得:
令
,则
对 求导:
——运动微分方程 (比耐公式) 运动微分方程 比耐公式)
一,守恒量 在有心力场中,角动量 守恒
运动过程中,
:质点的位置始终在一个垂直于L
的平面上.即:有心力场中的运动是平面运动. 设:质点运动所在的平面为xz平面( 则: )
L不包含变量 与
:循环变量
对应的广义动量(角动量)守恒
2.L不显含t
能量守恒
上式说明:两维(平面)运动能量等效一维运动的能量 (一维运动最简单)
第三章
有心力场中的运动
1.力心:如果运动质点所受力的作用线始终通过质点和 空间某固定点,则称此力为有心力,此固定点 称为力心. 2.有心力场:有心力构成的力场. 3.研究有心力场的原因:有心力场是自然界中最普遍, 最重要的力场之一. 宏观:行星绕太阳的运动 微观:电子绕原子核的运动
研究有心力场的前提:假定力心不动
§1.3.1 二体问题
设:两个质点
约化质量
,且不存在外场
则:由两个质点组成的系统的总动量守恒 (V:质心的速度)
——两质点系统不处于外场中时,它们的质心作匀速 直线运动(不感兴趣,转到质心系). 在质心系中:V=0 ——质心固定不动
以质心为坐标原点建立坐标系 而
质心系的矢径为0.
又令: 则
(r:由 :