【全国百强校】江苏省如东高级中学高考考前专题复习_高中阶段组合恒等式的证明(pdf版)

m2 m 1 Cm 2 Cm 2
1 m 1 m 1 Cm n 1 C m 1 C m 2
1 Cm n 1
所以，左边 右边． 证法二母函数法: 等式左边
m m m nCm m 1 Cm m m 2 Cm1 m 3 Cm2 n1 n 1 Cn 为 m m1 n1 n 函数 f ( x) m 1 (1 x) m 2 (1 x) n(1 x) n 1 (1 x)
1 2 3 (n 2 n)2n 2 12 Cn 22 Cn 32 Cn
n 1 n (n 1) 2 Cn n 2 Cn
说明：本题通过对原来的函数进行求导变形后，能得到不同的组合恒等式，是非常典型的 导函数赋值法的题， 与前面的母函数法本质相通却又有所不同， 需要用到求导或积分的手段， 而且针对组合数上标的不同特征应该采用不同的构造母函数的方法， 然后考察特定项或者整 n 体项，个人觉得如果恒等式中组合数上标递增且含有整数的 次幂应该用整体赋值法，如果 组合数上标均为同一个值应该采用考察特定项法. 例 3.（16 江苏高考题） ⑴ 求 7C6 4C 7 的值；
二、证明组合恒等式的常用方法
（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明； （2）母函数法，也成为生成函数法； （3）求导数积分（类似于陈颖老师所说的函数升降格变形） ； （4）数学归纳法； （5）赋值法 （6）利用组合数的实际意义； 在具体解题中， 常常需将这些方法同时结合运用. 其中法 6 利用组合数的实际意义不常用.
3 4
⑵ 设 m, n N ， n ≥ m ，求证：
*
m m m 1 Cm m m 2 Cm1 m 3 Cm2
m m 2 nCm n1 n 1 Cn m 1 Cn2 ．
（2）证法一组合数公式法:
m m1
因为 k 1 Ck m 1 Ck 1 ，所以
m1 m1
k k k 1
左边 m 1 Cm1 m 1 Cm2 又由 C n C n 1 C n 1 ，知
m1 m1 1 m 1 Cm n1 m 1 Cm1 Cm 2
1 Cm n 1
2 m2 m 1 m2 m 1 1 Cm Cn Cm n 2 C n 1 C n 1 C n n 1
n n
（5） Cn Cn Cn ... Cn 2 ； 0 1 n （6） Cn Cn ...(1) n Cn 0；
0 1 2 m m m m m m 1 . （7） C m Cm 1 C m 2 ... C n 1 C n C n 1
k 1 k 1 k 1 k 1 k 1
n n k 2 k 2
n2
n
n
n
n
n
k 2 n 1 k 2 n 1 n[2n1 (n 1)Cn (n 1) Cn n(n 1)2n2 2 ] n[2 2 ] n2
n(n 1)2
(1 x)n 2 (1 x)m1 即只要看 g ( x) 中含 x m1 的项 (1 x) x x m 2 m f ( x ) ，再对 x 求导可得 中 x 前的系数为 ( m 1)Cn 2 .
n 1
证法四数学归纳法：对任意的 m N* ，
m
1 2 3 2 （1）求证： Cn 2Cn x 3Cn x n 2 n 1 n n 1 (n 1)Cn x nCn x n(1 x) n 1 ；
2 1 2 2 2 3 （2）求和： 1 Cn 2 Cn 3 Cn 证法一组合数公式法:
n 1 n (n 1) 2 Cn n 2 Cn ．
1 2 n n 1 Cn 2Cn x nCn x 两边同时乘以 x 1 2 2 n n nx(1 x) n 1 Cn x 2Cn x nCn x 两边再对 x 求导可得 n 1
1 2 n n 1 n(n 1)(1 x) n 2 n(1 x) n 1 Cn 2 2 Cn x n 2Cn x 令 x 1 可得
说明：通过此道非常基础的习题，我们可以看出组合恒等式的四种常用解法. 其中母函 数法和构造组合模型法，这两种方法都用到了“算两次”的思想，所谓“算两次”原理，又 称富比尼原理，就是对同一个量，用两种不同的方法去计算，所得的结果应相等（在常州模 拟卷中有类似的算两次描述）.其中利用组合数的实际意义构造模型相对较难操作，并且在 阅卷时较为不利，所以仅作教学示范，在平时考试解题时一般不推荐使用. 例 2.当 n 1, n N 时，
（ x 0, x 1）的展开式中含 x m 前的系数
记 S m 1 (1 x)m m 2 (1 x)m1 n(1 x)n1 n 1 (1 x)n 则
(1 x)S m 1 (1 x)m1 m 2 (1 x)m2 n(1 x)n n 1 (1 x)n1
所以取法种数又等于
k m
C
n
m k
，因此原式成立
m m m m m 证法三母函数法：等式左边 C m Cm 1 C m 2 ... C n 1 C n 是
1 x m 1 x m1 1 x n1 1 x n 的展开式中含 x m 的项的系数，由数列求和公 式可得 x 0, x 1 时 1 x m 1 x m 1 1 x n 1 1 x n m n 1 m n 1 m 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x
m
右边= C m 显然成立
m
②当 n k (k m) 时命题成立，即
m m m m m m 1 Cm Cm 1 C m 2 ... C k 1 C k C k 1 当 n k 1 时， m m m m m m m 1 m m 1 Cm Cm 1 C m 2 ... C k 1 C k C k 1 C k 1 C k 1 C k 2 即当 n k 1 时也成立， m m m m m m 1 综上所述由①②可得，原命题成立即 Cn Cm 1 Cm 2 Cn 1 Cn Cn 1 .
用错位相减法易求得
S
(1 x)m (1 x)n1 (n 1)(1 x)n1 m(1 x)m 其中 m 前的系数为 x x2 x x 2 m 1 m2 即命题得证. -Cm n 1 ( n 1)C n 1 ( m 1)Cn 2
证法三求导积分法：
证法二求导积分法：
n 0 0 1 1 n n （1）由 (1 x) Cn x Cn x Cn x 两边对 x 求导可得
1 2 n( 1 x n)1 C 2C x n n n n 1 n x . nC 显然命题得证
证法二赋值法： （2） n(1 x)
① 当 n m 时，左边 m 1 Cm m 1 ，右边 m 1 Cm2 m 1 ，等式成立，
m 1 m m m m m 1 m m = =......= Cn （Cm 3 C m 3 ) C m 4 ... C n 1 Cn 1 C n 1 C n m 1 m m 1 = Cn Cn Cn 百度文库1 右边
证法二组合数实际意义： 设有 n+1 个不同元素 a1 , a2 , a3 ,...,an , an 1 , 从这 n+1 个元素中取出
令 f ( x) m 1 (1 x)m m 2 (1 x)m1 n(1 x)n1 n 1 (1 x)n
只要看其中 x m 前的系数，令 g ' ( x) f ( x) 则
g ( x) (1 x)
m 1
m 2 m 1 显然为 Cn 2 x
m 1 m+1 个不同元素的取法有 Cn 1 种。
另一方面，我们也可将这些取法分类考虑如下： m 种取法， 若取 a1 ，则有 C n
m 若不取 a1 ，取出 a2 ，则有 C n 1 种取法， m 若不取 a1 , a2 取出 a3 则有 Cn 2 种取法，…， m 种取法 若不取 a1 , a2 , a3 ,...,an m , 取出 an m 1 则有 C m
浅谈高中阶段组合恒等式的证明
江苏省如东高级中学
组合恒等式是高等数学中的组合数学里的一部分内容， 在高等数学中对组合数学的研究 很透彻， 在高中阶段对组合恒等式的研究主要是启发学生的思维， 培养学生对组合数学的兴 趣.组合知识是江苏高考的选修内容，主要出现于江苏高考的加试最后一题，是区分度很高 的一节内容，2016 年的江苏高考中考察了组合恒等式，所以 2017 年在江苏各大市的一模卷 中较高密度的考察了组合恒等式， 笔者就近年的组合恒等式题型和读者一起探讨此类问题的 常用解题策略。
m m 1 m 1 ，因此有 上式右边展开式中含 x 的项就是分子中含 x 的项，其系数为 Cn 1
m m m m m m 1 Cn Cm 1 Cm 2 Cn 1 Cn Cn 1
证法四数学归纳法：对任意的 m N * ①当 n m 时 左边= C m
k k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 n 1 （1）左边= kCn x nCn 1 x n Cn 1 x n(1 x) =右边． k 1 k 1 k 1
n
n
n
（2）左边=
k 2Cnk knCnk11 n kCnk11 n[ Cnk11 (k 1)Cnk11 ] ．
一、预备知识
基本组合数公式和常见的组合恒等式
k nk （1） C n C n k k k 1 （2） Cn 1 Cn Cn
k k k 1 （3） kCn nC n 1 或 C n
k m m k m （4） Cn Ck Cn Cn m
n k 1 C n 1 ; k k m m （ m k n ）; Cn Cn k m ，
三、例析
m m m m m m 1 例 1.证明： Cm Cm 1 Cm 2 ... Cn 1 Cn Cn 1 k k k 1 证法一组合数公式法: 有组合数性质 Cn 可得： 1 C n C n
m 1 m m m m m 1 m m m m = 左边= （Cm 1 C m 1 ) C m 2 ... Cn 1 C n （C m 2 Cm 2 ) C m 3 ... Cn 1 Cn