【全国百强校】江苏省如东高级中学高考考前专题复习_高中阶段组合恒等式的证明(pdf版)
江苏省如东高级中学2024-2025学年高一上学期10月阶段性考试数学试卷(含答案)
如东高级中学2024级高一阶段性考试试题数学2024.10制题人：福佑崇文阁注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请将自己的姓名､考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置.3.选择题答案用2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B.C. D.2.若集合，则满足的集合的个数为（ ）A.2 B.4 C.8 D.163.已知，则的值为（）A.25 B.5 C. D.4.设非空集合满足，则下列选项正确的是（）A.，有B.，有C.，使得D.，使得5.当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B.C. D.6.已知集合，集合，若“”的充分不必要条件是“”，则实数的取值范围（）{}{}23,1,0,2,5,|5A B x x =--=<A B ⋂={}3,1--{}1,0,2-{}3,1,2--{}0,2,5{}240A x x x =∈->Z∣{}1,2,3,4,5A B ⋃=B 25,83a b ==32a b -25953,P Q P Q P ⋂=x Q ∀∈x P ∈x Q ∀∉x P ∉x Q ∃∉x P ∈x P ∃∈x Q ∉1x >11x a x +≥-a (],2∞-[)2,∞+[)3,∞+(],3∞-3112x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭(){}2220B x x a x a =-++<∣x B ∈x A ∈aA. B. C. D.7.有网友将王之涣的《凉州词》中的名句“羌笛何须怨杨柳，眷风不度玉门”关调侃改写成“奈何羌笛怨杨柳，春风不度玉门关”，意思是“羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关（羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了）”，照此网友的说法推断，“春风度玉门关”是“羌笛不怨杨柳”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件8.已知对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值是（）A.0 B.2 C.D.4二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.如图，是全集，是的两个子集，则图中的阴影部分可以表示为（ ）A.B.C. D.10.下列命题正确的是（）A.在上恒成立，则实数的取值范围是B.关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是.C.若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是D.若不等式的解集为或，则11.用表示不超过的最大整数，例如，则（）A.1,2∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭1,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦1,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭{}()(){}2560,380x x x x y y y y ∈-+≤=--≤∣∣2240mx xy y -+≥m U ,M N U ()()U U M N ⋂ðð()U M N ⋂ð()U N M N ⋂⋂ð()U M N⋃ð210x kx k -+-<()1,2k [)3,∞+x 0ax b ->()1,∞+x 02ax b x +>-()(),12,∞∞--⋃+x ()22120x a x a +-+-=a 12a -<<20ax bx c ++>{2xx <-∣4}x >0abc >[]x x ][4.64, 2.43⎡⎤=-=-⎣⎦[][],11x x x ∀∈-=-RB.，则C.D.方程的解集为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.能够说明“若，则”是假命题的一组整数的值依次为__________.13.若，则的最大值为__________.14.为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为（单位：升）的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出4升后用水补满，若此时桶中纯药液的含量不超过容积的，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）计算（1；（2）已知，求的值：16.（本小题15分）已知命题对，都有成立；命题：关于的方程有实数根.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围.17.（本小题15分）某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第且年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为万元，该项目每年运行的总收入为50万元.（1）试问该项目运行到第几年开始盈利？（2）该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出.假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由.18.（本小题17分）请选择“充分不必要”､“必要不充分”､“充要”､“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二个问的证明.1,,3x y x y ∀∈-<R [][]x y =[][],1010x x x ∃∈=R []243x x =+11a b>a b <,a b 0,0,21x y x y >>+=2xy x y +V 60%V 130.064-11221a a --=2233223a a a a --++-:p x ∀∈R 210ax ax ++>q x 2240x ax -+=p a p q a (x x +∈N )1x >()20x x +（1）是的__________条件（2）已知，证明：成立的__________条件是.19.（本小题17分）为了方便，我们可将函数的自变量x 对应的函数值记为，从而函数可以写成，进而时对应函数值为.已知二次函数.（1）若关于的不等式对恒成立，求的取值范围；（2）已知函数，若对，使不等式成立，求的取值范围.0xy =220x y +=0ab ≠1a b +=33220a b ab a b ++--=2y ax bx c =++()f x 2y ax bx c=++()2f x ax bx c =++0x x =()2000f x ax bx c =++()()21,f x x a x a a =-++∈R x ()1f x ≥-(]1,3x ∀∈a ()1g x x =-[][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥a如东高级中学2024级高一阶段性考试试题2024.10数学制题人：福佑崇文阁注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项1.本试卷满分150分，考试时间为120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.2.答题前，请将自己的姓名､考试号（智学号）用0.5毫米黑色签字笔填涂在答题卡指定的位置.3.选择题答案用2B 铅笔在答题卡上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm 的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，在其他位置作答一律无效.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【分析】先化简得出集合，再应用交集运算即可.【详解】由，结合已知集合，可得.故选：B.2.【答案】C【分析】解不等式求出集合A ，再由并集概念求解即可得出结果.【详解】对于集合A ，由，解得，又.又，满足条件的集合可能为，共8个.故选：C.3.【答案】D【分析】根据指数幂运算法则直接求解即可.【详解】.故选：D.4.【答案】B【分析】利用元素与集合的关系和集合间的包含关系对选项逐一判断即可.【详解】，B {B x x =<<∣A {}1,0,2A B ⋂=-240x x ->04x <<{}{}2,401,2,3x A x x x ∈∴=∈->=Z Z ∣{}1,2,3,4,5A B ⋃= ∴B {}{}{}{}{}{}{}{}4,5,1,4,5,2,4,5,3,4,5,1,2,4,5,1,3,4,5,2,3,4,5,1,2,3,4,5()33332583,223,223a b b b a b b -=∴==∴== ,P Q P P Q ⋂=∴⊆当 时，，使得，故A 错误；，必有，即，必有，故B 正确；由B 正确，得，必有，使得错误，即C 错误；当时，不存在，使得，故D 错误，综上只有B 是正确的.故选：B.5.【答案】D【分析】根据基本不等式求解最值即可求解.【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立，所以不等式恒成立，故，故，故选：D6.【答案】A【分析】解分式不等式可求得集合A ；根据充分不必要条件的定义可知；解一元二次不等式，分别讨论和的情况，根据包含关系可求得结果.【详解】由得：，解得：；由得：；“”是“”的充分不必要条件， ，当时，，不满足 ；当时，，不满足 ；当时，，若 ，则需；综上所述：实数的取值范围为.故选：A.P Q 0x ∃∈Q 0x P ∉,P Q x P ⊆∴∀∈ x Q ∈x Q ∀∉x P ∉x Q ∀∉,x P x Q ∉∴∃∉x P ∈P Q =0x P ∈0x Q ∉1x >10x ->()11111311x x x x +=-++≥+=--111x x -=-2x =11x a x +≥-min 11a x x ⎛⎫≤+ ⎪-⎝⎭3a ≤A B Ö2,2a a >=2a <3112x x -≤-()()2120312110,2220x x x x x x x ⎧+-≤-+-=≤∴⎨---≠⎩112,,222x A ⎡⎫-≤<∴=-⎪⎢⎣⎭()2220x a x a -++<()()20x x a --< x A ∈x B ∈A ∴B 2a >()2,B a =A B 2a =B =∅A B 2a <(),2B a =A B 12a <-a 1,2∞⎛⎫--⎪⎝⎭【分析】捋清逻辑关系，即得答案【详解】羌笛怨杨柳，导致春风不度玉门关，即羌笛怨杨柳是春风不度玉门关的充分条件，所以春风度玉门关是羌笛不怨杨柳的充分条件，又因为羌笛不怨杨柳，春风度不度玉门关就不知道了，所以春风度玉门关是羌笛不怨杨柳的不必要条件.故选：A8.【答案】D【分析】令，分析可得原题意等价于对一切恒成立，根据恒成立问题结合二次函数的性质分析运算.【详解】，则，，又，且，可得，令，则原题意等价于对一切恒成立，的开口向下，对称轴，则当时，取到最大值，故实数的最小值是4.故选：D.【点睛】结论点睛：对恒成立，等价于对恒成立，等价于.二､多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.【答案】BC【分析】根据集合的交并补运算即可求解.【详解】根据图中阴影可知：阴影中的元素属于集合N 但不属于集合M ，故.合要求，y t x =[]21,4,4y t m t t x=∈≥-][2,3,3,8x y ⎡⎤∈∈⎣⎦ 111,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]1,4y x∴∈2240mx xy y -+≥ []22,3,0x x ∈>224y y m x x≥-[]1,4y t x=∈[]21,4,4t m t t =≥-24y t t =- 2t =2t =24y t t =-max 844y =-=m (),x M f x a ∀∈≥()min [];f x a ≥(),x M f x a ∀∈≤()max []f x a ≤()U U,()M N N M N ⋂⋂⋂ðð10.【答案】ABD【分析】A ：令，则即可求得的范围；B ：根据题意求出和的关系，化简即可求出解集；C ：令，则即可求得的范围；D ：根据二次方程根与系数的关系求出间的关系，即可判断的符号.【详解】A ：在上恒成立，令，则，即，解得，故A 正确；B ：关于的不等式的解集是，则关于的不等式等价于，即，解得或，故B 正确；C ：要使关于的方程的一根比1大且另一根比1小，令，则有，即，解得，故C 错误；D ：若不等式的解集为或，则，且，又，故D 正确.故选：ABD.11.【答案】ACD【分析】设出的整数部分与小数部分，再由的意义判断A ；利用特殊值判断BC ；确定的范围，进而确定其值，代入计算判断D.【详解】对于A ，设的整数部分为，小数部分为，则，因此A 正确；()21g x x kx k =-+-()()10,20g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩k a b 02ax b x +>-()()2212f x x a x a =+-+-()10f <a a b c ､､abc 210x kx k -+-< ()1,2()21g x x kx k =-+-()()10,20g g ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩22110,2210k k k k ⎧-+-≤⎨-+-≤⎩3k ≥ x 0ax b ->()1,,0a b ∞+∴=>x 02ax b x +>-()()20ax b x +->()()120a x x +->1x <-2x >x ()22120x a x a +-+-=()()2212f x x a x a =+-+-()10f <()221120a a +-+-<21a -<<20ax bx c ++>{2xx <-∣4}x >0a >()()224228,2,8ax bx c a x x ax ax a b a c a ++=-+=--∴=-=-30,160a abc a >∴=>x []x []x x a b [][]][,111x a b a x a b a ⎡⎤=+=-=-+=-⎣⎦[][]11,x x -=-对于B ，，满足，此时错误；对于C ，当时，符合题意，C 正确；对于D ，由，知为整数且，解得，显然，于是，因为，即，由，解得，则由，解得（舍去），因此，即或，当时，，解得；当时，，解得，所以方程的解集为，D 正确.故选：ACD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】，答案不唯一，分别取大于0，小于0的整数即可【解析】分别取大于0，小于0的整数即可得到答案.【详解】取，满足，但，得到命题为假命题.故答案为：；【点睛】本题考查了举例判断假命题，意在考查学生的推断能力.13.【答案】【分析】化简，根据题意结合基本不等式，取得，即可求解.【详解】由题意，实数，且，31,4x y ==1143x y -=<[][]1,0,x y B ==1x =[]243x x =+2x []430x +≥[]34x ≥-[]0x ≥0x ≥[]222[](1)x x x ≤<+[][]22[]43(1)x x x ≤+<+[]2[]43x x ≤+[]22x ≤≤+[]04;x ≤≤[][]243(1)x x +<+[]1x >+[]1x <-[]34x ≤≤[]3x =[]4x =[]3x =243315x =⨯+=x =[]4x =244319x =⨯+=x =[]243x x =+1,1a b ==-,a b ,a b 1,1a b ==-11a b >a b >1,1a b ==-191122xy x y x y=++()121229x y x y x y ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭0,0x y >>112122xy x y x y xy x y==+++又由，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即的最大值为.故答案为：.14.【答案】【分析】由题目条件，可得，后解不等式可得答案.【详解】第一次将桶中药液倒出5升后，桶中药液还有升，则此时药液含量占容积比例为.第二次倒出的4升液体中，药液有升，则此时药液含量占容积比例为，由题有，，解得，又因为第一次将桶中药液倒出5升，所以，故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解；（2）利用平方关系求解.【详解】（1）原式；（2）因为，所以，即，因为，()1212222559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭22y x x y =13x y ==129xy x y ≤+2xy x y +1919520V ≤≤()45560%V V V V---≤()5V -()5V V-()45V V-()455V V VV ---()45560%V V V V---≤5202V ≤≤5V ≥520V ≤≤5π;252553ππ33π22=-+=-+-=11221a a --=21112221a a a a --⎛⎫-=+-= ⎪⎝⎭13a a -+=()11311312222223a a a a a a a a ----⎛⎫-+=+--= ⎪⎝⎭所以，所以原式.16.【答案】（1）（2）或或.【分析】（1）分讨论求出命题为真命题参数的范围；（2）命题一真一假，再分真且假，和真且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案.【详解】（1）命题为真命题：对任意实数都有恒成立，当时，恒成立，当时，则，即，解得，综上的取值范围为.（2）若为真命题，则，解得或，若真假，则，则，若假真，则，则或，综上，或或.17.【答案】（1）第4年（2）选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第年的盈利为万元，可求得关于的函数关系式，解不等式可得的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.【详解】（1）解：设项目运行到第年的盈利为万元，则由，得，解得，所以该项目运行到第4年开始盈利.（2）解：方案①，当时，有最大值144.3311222234a a a a ---=+-=()2123542a a -+-+==[)0,402a ≤<2a ≤-4a ≥0,0a a =≠p a ,p q p q q p a p x 210ax ax ++>0a =10>0a ≠0Δ0a >⎧⎨<⎩2040a a a >⎧⎨-<⎩04a <<a [)0,4q 2Δ4160a =-≥2a ≥2a ≤-p q 0422a a ≤<⎧⎨-<<⎩02a ≤<p q 0422a a a a <≥⎧⎨≥≤-⎩或或2a ≤-4a ≥02a ≤<2a ≤-4a ≥x y y x 0y >x x y ()25020813081,y x x x x x =-+-=-+-0y >230810x x -+<327x <<223081(15)144y x x x =-+-=--+15x =y即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为万元，方案②，当且仅当，即时，等号成立.即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②.18.【答案】（1）必要不充分，（2）充要，证明见解析【分析】（1）利用充分条件和必要条件的定义判断即可，（2）利用充分条件和必要条件的定义判断即可，【详解】（1）当时，或，此时不一定成立，如满足，而不满足，当时，可得且，所以，所以是的必要不充分条件，（2）证明：先证必要性：再证充分性：即：，，即.综上所述：的充要条件是.19.【答案】（1）（2）或【分析】（1）分离参数得对恒成立，只需，令得14456200+=818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤-= ⎪⎝⎭81x x=9x =12992200⨯+=0xy =0x =0y =220x y +=0,1x y ==0xy =220x y +=220x y +=0x =0y =0xy =0xy =220x y +=1,1a b b a+=∴=- ()33223322(1)1(1)a b ab a b a a a a a a ∴++--=+-+----323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=33220a b ab a b ++--= ()()()22220a b a ab b a ab b ∴+-+--+=()()2210a ab b a b -++-=222230,024b ab a ab b a b ⎛⎫≠-+=-+> ⎪⎝⎭ 10a b ∴+-=1a b +=1a b +=33220a b ab a b ++--=3a ≤1a ≤-3a ≥211x x a x -+≤-(]1,3x ∀∈2min11x x a x ⎛⎫-+≤ ⎪-⎝⎭1t x =-，利用均值不等式求最小值即可；（2）由，使不等式成立可得是一元二次函数，利用对称轴位置求最小值即可.【详解】（1）由得，当时，，所以对恒成立，只需即可，令，由得且，则，因为，当且仅当即时等号成立，所以，即.（2）由，使不等式成立可得即可，由在上单调递增可得，而的对称轴为，①当即时在上单调递增，则，解得，综上；②当即时，，解得或，综上；③当即时在上单调递减，2111t t a t t t++≤=++[][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥()min min ()(),g x f x f x ≥()1f x ≥-()211a x x x -≤-+(]1,3x ∈10x ->211x x a x -+≤-(]1,3x ∀∈2min11x x a x ⎛⎫-+≤ ⎪-⎝⎭1t x =-(]1,3x ∈(]0,2t ∈1x t =+2111t t a t t t++≤=++1113t t ++≥+=1t t =1,2t x ==2min13t t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭3a ≤[][]120,1,1,2x x ∀∈∃∈-()()12g x f x ≥min min ()()g x f x ≥()1g x x =-[]0,1()min ()01g x g ==-()()222121124a a a f x x a x a x +-+-⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭12a x +=112a +≤-3a ≤-()f x []1,2-()min ()1221f x f a =-=+≤-32a ≤-3a ≤-1122a +-<<33a -<<2min 121()124a a a f x f +-+-⎛⎫==≤- ⎪⎝⎭1a ≤-3a ≥31a -<≤-122a +≥3a ≥()f x []1,2-则，解得综合①②③可得的取值范围为或.()min ()221f x f a ==-≤-3;a ≥a 1a ≤-3a ≥。
江苏省如东高级中学第一学期高三数学第二次阶段测试卷
江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题2007.10.7第I 卷 (选择题，共50分)一．选择题：本大题共有6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
1．若22(1)(32)x x x i-+++是纯虚数，则实数x的值是（ ）A . 1B . 1-C . 1±D . －2 2．下列函数中，在)4,0(π内递减，且关于直线4π=x 对称的函数是（ ）A.x y 2tan =B.)2cos(x y +=πC. )22cos(x y +=πD.|2sin |x y =3．2|log |y x =的定义域为[, ]a b ， 值域为[0, 2]则区间[, ]a b 的长度b a -的最小值为 ( )A ．3B ．43C ．2D ．23 4．若()sin()sin()(0)44f x a x b x ab ππ=++-≠是偶函数，则点(,a b )的轨迹方程 ( ) . 0(0)A x y x -=≠ . 0(0)B x y x +=≠. 20(0)C x y x -=≠ . 20(0)D x y x +=≠5．已知O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,s i n s i n AB AC OP OA AB B AC Cl l =++??uu u r uuu ruu u r uu r uu u r uuu r．则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ） （Ａ）重心 （B ）垂心 （C ）内心 （D ）外心 6．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3}，其定义如下表：则方程[()]g f x x =的解集为 （ ）A ．{1}B ．{2}C ．{3}D ．∅二、填空题：本大题共10小题，第7～11题每小题5分，第12～16题每小题6分，共55分．答案填在题中横线上7．向量=(n,1)与=(4,n)共线且方向相同，则n = __▲ . 8．在△ABC 中，已知15,3,5,4AB CA AB AC BAC ⋅===∠则= _▲ .9．已知ABCDEF 是正六边形，且,AB a AE b ==，则CD = _▲ （用,a b 表示）.10．求值0cos10(tan10sin 50-∙= _▲ 11．已知向量25(cos sin )(cos sin )||5a ααb ββa b =-=，，=，，，则cos ()αβ-= _▲ .12．函数12121x x y +-=+的值域是 _▲ ．13．曲线)4cos()4sin(2ππ-+=x x y 和直线21=y 在y 轴右侧的交点横坐标从小到大依次记为,,,,321⋅⋅⋅P P P 则||42P P等于 _ ▲ . 14．已知2()lg(87)f x x x =-+-在(, 1)m m +上是增函数， 则m 的取值范围是 _▲ ．15．定义在] ,[22-上的偶函数()g x ，当0x ≥时()g x 单调递减， 若 (1) ()g m g m -<， 则m 的取值范围是 _▲ ．16．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度的比为m ，则m 的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算17．设，)2cos ,sin 2(x x =，x ，)1cos (-=其中x ∈[0，2π]．(1)求f (x )=OB OA ·的最大值和最小值；(2)当 OA ⊥OB ，求|AB |．18．在△ABC 中，A ，B ，C 是三角形的三内角，a ，b ，c 是三内角对应的三边长，已知222.b c a bc +-=（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若222sin sin sin A B C +=，求角B 的大小19．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与x a -和x 的乘积成正比；②当时2a x =，2a y =；③.)(20t x a x≤-≤其中t 为常数，且]1,0[∈t ．(1)设)(x f y =，求出)(x f 的表达式，并求出)(x f y =的定义域；(2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值 20．已知函数f (x )=(x -a )(x -b )(x -c )．(1)求证：()f x '=(x -a )(x -b )＋(x -a ) (x -c )＋(x -b ) (x -c )；(2)若f(x)是R上的增函数，是否存在点P，使f(x)的图像关于点P中心对称？如果存在，请求出点P坐标，并给出证明；如果不存在，请说明理由．.21．对于函数y=f(x)( x∈D，D为函数定义域)，若同时满足下列条件：①f(x)在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]D⊆，使f(x)在[a，b]上的值域是[a，b]，那么把y= f(x)(x)D∈称为闭函数．(1) 求闭函数y= –x3符合条件②的区间[a，b]；(2)判定函数f(x)= 31((0,))4x xx+∈+∞是否为闭函数？并说明理由；(3) 若()f x=k k的取值范围．．江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题（加试）2007.10.7一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分 1. 已知矩阵121A c ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为λ，10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是A 的属于λ的特征值向量，则=-1A2. 若cos sin sin cos x θθθθ=（R θ∈）,则函数2()23f x x x =+-的最大值为3. 设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2008(x )＝4. 给出下列命题：①若函数3()f x x =，则(0)0f '=；②若函数2()21f x x =+，图像上(1,3)P 及 邻近点(1,3)Q x y +∆+∆， 则42yx x∆=+∆∆；③加速度是动点位移函数()S t 对时间t 的导数；④2lg 2x x y x =+，则2222212x x xx x y x ⋅-⋅'=-．其中正确的命题为 ．（写上序号）二、解答题：本大题共2小题，共20分．解答应写出文字说明，证明过程或演算5. (本题8分) 已知函数()ln f x x x =+． （Ⅰ）求函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最值；（Ⅱ）对x D ∈，如果函数()F x 的图像在函数()G x 的图像的下方，则称函数()F x 在D 上被函数()G x 覆盖．求证：函数()f x 在区间()1,+∞上被函数2()g x x =覆盖6．(本题12分) 已知二次函数2()f x ax bx c =++, 满足(0)(1)0f f ==且()f x 的最小值是14-.（Ⅰ）求()f x 的解析式;（Ⅱ）设直线21:(0,)2l y t t t t =-<<其中为常数,若直线l 与()f x 的图象以及y 轴这二条直线和一条曲线所围成封闭图形的面积是1()S t , 直线l 与()f x 的图象以及直线12x =这二条直线和一条曲线所围成封闭图形的面积是2()S t ,已知121()()()2g t S t S t =+,当()g t 取最小值时,求t 的值.江苏省如东高级中学2007-2008学年第一学期第二次阶段测试高三数学试题参考答案一、 选择题 ACBBAC二、 填空题7，28，23π9，)(21a b - 10，－2 11，35 12，1(,1)2- 13，π 14，[1,3] 15，1[1,)2-16，),2(+∞三、 解答题17解：⑴f (x )=·= -2sin x cos x +cos2x =)42cos(2π+x ．∵0≤x ≤2π ， ∴4π≤2x +4π≤45π．∴当2x +4π=4π，即x =0时，f (x )max =1；当2x +4π=π，即x=83π时，f (x )min = -2．⑵⊥即f (x )=0，2x +4π=2π，∴x =8π．此时||22)12(cos )cos sin 2(-++=x x x=222)12(cos cos sin 4cos sin 4-+++x x x x x=x x x 2cos 2sin 22cos 27272++- =4cos 4sin 24cos 27272πππ++- =231621-． 18，解：（Ⅰ）在△ABC 中，bc a c b A bc a c b +=+=-+222222cos 2又3,21cos π==∴A A ……………………………… 6分（Ⅱ）由正弦定理,又222sin sin sin A B C +=,故222222444a b c R R R += 即: 222a b c += 故△ABC 是以角C 为直角的直角三角形又,36A B ππ=∴=………………………………………………12分19，解：(1)设()y k a x x =-．由2ax =，2a y =，得：k =4． 于是，4()y a x x =-．解关于x 的不等式：02()x t a x ≤≤-，得0≤x ≤212att+．∴函数的定义域为2[0,]12att+，t 为常数，]1,0[∈t ． (2)22)2(4)(4a a x x x a y +--=-= ． 当2max ,2,121,2212a y ax t a t at ==≤≤≥+时即时； 当]212,0[)(4,210,2212tatx x a y t a t at +-=≤≤<+在时即时上为增函数，故当212atx t=+时,2max 28(12)at y t =+． 故112t ≤≤当时，投入2a x =时，附加值y 最大为2a 万元；当210<≤t 时，投入t at x 212+=时，附加值y 最大为22)21(8t at +万元 20，解：(1)∵ f (x )=(x -a )(x -b)(x -c )=ｘ3-(a+b +ｃ)x 2＋(ab+bc+ac )x -abcf ′(x )=3 x 2-2(a+b +ｃ)x ＋(ab+bc+ac )=[ x 2- (a+b )x ＋ab ]＋[ x 2- (a+c )x ＋ac ]＋[ x 2- (b+c )x ＋bc ] =(x -a )(x -b )＋(x -a )(x -c ) ＋(x -b )(x -c )．(2)∵f (x )是R 上的单调函数，∴f ′(x )≥0，对x ∈R 恒成立，即 3x 2-2(a+b+c )x+(ab+bc+ca )≥0 对x ∈R 恒成立． ∴△≤0， 4(a+b+c )2-12(ab+bc+ca ) ≤0， ∴ (a -b )2＋(a -c )2＋ (b -c )2≤0，∴ a=b=c ． ∴f (x )=(x -a )3 ， ∴f (x )关于点(a ，0)对称．证明如下：设点P (x ，y )是 f (x )=(x -a )3图像上的任意一点，y=(x -a )3，点P 关于点(a ，0)对称的点P ′(2a -x ，-y )， ∵(2a -x -a )3=(2a -x )3= -(x -2a )3=-y ，∴点P ′在函数f (x )=(x -a )3的图像上，即函数f (x )=(x -a )3关于点(a ，0)对称21，解 (1)由y =x -3在[a ，b ]上为减函数，得 33,,.b a a b a b ⎧=-⎪=-⎨⎪<⎩可得a = –1 ， b = 1 ，∴ 所求区间是[–1，1]．(2)取x 1 = 1 ， x 2 = 10，可得f (x )不是减函数；取x 1 =21,10x =1100，可得f (x )在(0 ，+∞)不是增函数，所以f (x )不是闭函数．(3)设函数符合条件②的区间为[a ，b ]，则a k b k =+=+⎧⎪⎨⎪⎩故a ， b 是方程x=k22(21)20,2,x k x k x x k ⎧-++-=⎪≥-⎨⎪≥⎩有两个不等实根． 当k 2≤-时，2222212,2(21)4(2)0,22(21)20.k k k k k +⎧>-⎪⎪⎪+-->⎨⎪+++-≥⎪⎪⎩解得：94k >-，∴ 9(,2]4k ∈--；当2k >-时，222221,2(21)4(2)0,(21)20.k k k k k k k k +⎧>⎪⎪⎪+-->⎨⎪-++-≥⎪⎪⎩这时k 无解．所以 k 的取值范围是9(,2]4--．参考答案一、1. ⎥⎦⎤-⎢⎣⎡1201 2. 0 3. sinx 4 ①②二、5．（12分）解：（1）1()10f x x'=+>在2[1,]e 恒成立. ∴()f x 在2[1,]e 为增函数. ………………………3分 ∴min ()(1)2f x f ==， 22max ()()2f x f e e ==+ ……………………………6分(2)2()()ln g x f x x x x -=--1(()())210g x f x x x'-=-->在(1,)+∞恒成立. ()()g x f x -在(1,)+∞为增函数. ……………………………9分∴()()(1)(1)0g x f x g f ->-= 得证6． 解: (1)由二次函数图象的对称性, 可设211()()24f x a x =--,又(0)01f a =∴= 故2()f x x x =-…………………5分(2) 据题意, 直线l 与()f x 的图象的交点坐标为2(,)t t t -,由定积分的几何意义知1222221201()()()[()()][()()]2t t g t S t S t t t x x dx x x t t dx =+=--------⎰⎰=1222220[()()][()()]ttx x t t dx t t x x dx ---+---⎰⎰132322220[()()]|[()()]|3232t t x x x x t t x t t x =---+---=32431132212t t t -+-+而22111'()43(861)(41)(21)222g t t t t t t t =-+-=--+=---令1'()0,4g t t =⇒=或12t =(不合题意,舍去)当111(0,),'()0,()[,),'()0,(),442t g t g t t g t g t ∈<∈≥递减,递增故当14t =时,()g t 有最小值。
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一、等差数列选择题1．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸D ．二丈二尺五寸2．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（ ） A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45B ．50C ．60D ．804．设数列{}n a 的前n 项和21n S n =+. 则8a 的值为（ ）．A ．65B ．16C ．15D ．145．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ）A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21B ．20C ．19D ．19或207．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．248．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4SB ．5SC ． 6SD ． 7S9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =.则正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．312．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n13．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46514．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．105 15．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（ ） A ．9B ．5C ．1D ．5916．在等差数列{}n a 的中，若131,5a a ==，则5a 等于（ ） A ．25B ．11C ．10D ．917．在等差数列{}n a 中，()()3589133224a a a a a ++++=，则此数列前13项的和是（ ） A ．13B ．26C ．52D ．5618．已知数列{}n a 的前n 项和()2*n S n n N =∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．2n a n =B ．21n a n =-C ．32n a n =-D ．1,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩19．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2220．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．151二、多选题21．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>022．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝023．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．224．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+25．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6526．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1227．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =- B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-29．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列30．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和． 【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 2．C【分析】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得 设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式. 3．C 【分析】利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解 【详解】{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =1158158()15215156022a a a S a +⨯⨯====故选：C 【点睛】本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 4．C 【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥得出数列{}n a 的通项公差，然后求解8a . 【详解】由21n S n =+得，12a =，()2111n S n -=-+，所以()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，所以2,121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩，故828115a =⨯-=.故选：C. 【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12n n n a S S n -=-≥求解即可. 5．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 6．B 【分析】 由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 7．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果.【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 8．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 10．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 11．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D 12．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A 13．B 【分析】直接利用分类讨论思想的应用求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和 【详解】解：当n 为奇数时，2n n a a +=， 当n 为偶数时，22n n a a +-=， 所以13291a a a ==⋅⋅⋅==，2430,,,a a a ⋅⋅⋅是以2为首项，2为公差的等差数列，所以30132924301514()()1515222552S a a a a a a ⨯=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+⨯+⨯=， 故选：B 14．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B. 15．B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B 16．D 【分析】利用等差数列的性质直接求解． 【详解】 因为131,5a a ==，315529a a a a =+∴=，故选：D ． 17．B 【分析】利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】由等差数列的性质，可得3542a a a +=，891371013103a a a a a a a ++=++=， 因为()()3589133224a a a a a ++++=， 可得410322324a a ⨯+⨯=，即4104a a +=， 故数列的前13项之和()()11341013131313426222a a a a S ++⨯====. 故选：B. 18．B 【分析】利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】2n S n =，∴当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，上式也成立，()*21n a n n N ∴=-∈，故选：B. 【点睛】易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后一定要判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 19．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 20．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可.【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a ==故选：B二、多选题21．AC【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误， 所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误，故选：AC22．ABD【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 23．ABC【分析】 根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n -<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】 根据不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立， 由12+n 递减，且1223n <+≤， 所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n <-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC .【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 24．BD【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin 2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.25．ABC【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果.【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC.【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题.26．ACD【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d d S n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-， 10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确； 对于D ，令213022n d d S n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.27．BCD【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误．【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确；对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222123202020202021a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.28．AD【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a ==所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.29．AC【分析】 由题意可知112222n n n n a a a H n -+++==，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误.【详解】解：由112222n n n n a a a H n -+++==， 得112222n n n a a a n -+++=⋅，①所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---+++=-⋅，② 得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，即2n ≥时，1n a n =+，当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，所以()32n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确． 25S =，414S =，627S =，故D 错，故选：AC ．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般. 30．AC【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-== 故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．。
江苏省如东高级中学高考数学等差数列专题复习(专题训练) 百度文库
一、等差数列选择题1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．43C ．4D ．4-2．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．493．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（ ） A ．32n -B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 4．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8B ．13C ．26D ．1625．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．11126．已知数列{}n a 为等差数列，2628a a +=，5943a a +=，则10a =（ ） A ．29B ．38C ．40D ．587．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．248．已知等差数列{}n a 中，5470,0a a a >+<，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ） A ．4S B ．5S C ． 6S D ． 7S 9．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ）A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝210．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．15111．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 13．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32014．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S15．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n16．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46517．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（ ） A ．12B ．20C ．40D ．10018．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202119．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 20．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则1215a b =（ ） A ．32B ．7059C ．7159D ．85二、多选题21．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（ ）A ．31a =-B ．201912a =C ．332S =D ． 2 01920192S =22．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 23．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.24．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 25．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．170S <26．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S >27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为2128．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+29．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列30．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13 D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 2．C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C 3．C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =， 则公差为31322a a d -==， 因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C. 4．B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.5．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 6．A 【分析】根据等差中项的性质，求出414a =，再求10a ; 【详解】因为{}n a 为等差数列，所以264228a a a +==, ∴414a =.由59410a a a a +=+43=,得1029a =, 故选：A. 7．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 8．B 【分析】根据已知条件判断0n a >时对应的n 的范围，由此求得n S 的最大值. 【详解】依题意556475600000a a a a a a a d >⎧>⎧⎪⇒<⎨⎨+=+<⎩⎪<⎩，所以015n a n >⇒≤≤， 所以{}n a 的前n 项和n S 的最大值为5S . 9．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 10．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 13．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
江苏省如东高级中学2023-2024学年高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知随机变量X 服从正态分布()4,9N ，且()()2P X P X a ≤=≥，则a =（ ）A ．3B ．5C ．6D ．72．一个四棱锥的三视图如图所示（其中主视图也叫正视图，左视图也叫侧视图），则这个四棱锥中最最长棱的长度是（ ）．A ．26B ．4C ．3D ．223．对于定义在R 上的函数()y f x =，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误．．的一个是（ ） A ．()f x 在(],0-∞上是减函数B ．()f x 在()0,∞+上是增函数C ．()f x 不是函数的最小值D ．对于x ∈R ，都有()()11f x f x +=-4．已知m ∈R ，复数113z i =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ）A ．23-B ．23C ．3D ．-35．设()f x 是定义在实数集R 上的函数，满足条件()1y f x =+是偶函数，且当1x ≥时，()112x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()3log 2a f =，312b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3c f =的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c b a >>6．若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知集合1|2A x x ⎧⎫=<-⎨⎬⎩⎭，{|10}B x x =-<<则A B =（ ）A ．{|0}x x <B ．1|2x xC ．1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ D ．{|1}x x >-8．当0a >时，函数()()2x f x x ax e =-的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．9．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．a c b >>11．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ） A ．35 B ．45 C ．1 D ．8512．设双曲线22:1916x y C -=的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 作平行C 的一条渐近线的直线与C 交于点B ，则AFB △的面积为（ ）A ．3215B ．6415C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省如东高级中学、栟茶中学等四校2023-2024学年生物高三第一学期期末联考模拟试题含解析
江苏省如东高级中学、栟茶中学等四校2023-2024学年生物高三第一学期期末联考模拟试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(本大题共7小题,每小题6分,共42分。
)1．胃内的酸性环境是通过质子泵维持的，质子泵催化1分子的ATP水解所释放的能量，可驱动1个H+从胃壁细胞进入胃腔和1个K+从胃腔进入胃壁细胞，K+又可经通道蛋白顺浓度进入胃腔。
下列相关叙述错误的是A．甘氨酸可能是组成质子泵的单体之一B．胃内酸碱度是机体内环境的理化性质之一C．H+从胃壁细胞进入胃腔需要载体蛋白的协助D．K+由胃壁细胞进入胃腔不需要质子泵的作用2．如图是植物激素生长素（IAA）和赤霉素（GA）对拟南芥根和茎生长的影响。
据图作出的分析，正确的是A．相对根而言，茎对IAA和GA更敏感B．IAA浓度为b时，根不生长C．IAA浓度大于c时，茎的生长受抑制D．仅IAA表现出两重性，GA无两重性3．“探究DNA的复制过程”实验是最早证明DNA半保留复制的证据，下列有关该实验叙述错误的是（）A．该实验需对细菌的DNA进行提取和分离操作B．将大肠杆菌转入以15NH4Cl为唯一氮源的培养基中培养若干代，使其DNA都被15N标记，得到第一代细菌C．将第一代细菌转入以14NH4Cl为唯一氮源的培养基中培养，分别取第二代和第三代细菌的DNA进行密度梯度超速离心和分析D．将第二代或第三代细菌的DNA双链打开后再进行离心分离，也会出现中间条带4．下列有关生物膜的叙述，不正确的是A．具有双层膜的细胞器是线粒体、叶绿体B．粗面内质网上有合成磷脂的酶C．细胞膜由磷脂、蛋白质和少量的糖类组成，有的还含有胆固醇D．细胞膜能够进行细胞间的信息交流，主要与膜上分布的糖蛋白有关5．下列关于细胞中元素和化合物的说法正确的是（）A．酶都是以碳链为骨架的生物大分子B．盐析过程中蛋白质的结构发生了变化C．细胞中的元素大多以离子形式存在D．叶绿素含C、O、N、Fe等大量元素6．枯草杆菌野生型与某一突变型的差异见下表。
【全国百强校】江苏省如东高级中学2017届高考考前专题复习极化恒等式在数量积问题中的应用(pdf版)
4
44
D
又因为
BCmin
31
2 ，所以 (AB
AC )m ax
21 4
.
m
C
n
例 2 中我们注意到所求目标为共起点向量数量积的最大值，而条件告诉我们 BC 边上的中线
长为 5 ，故易联系到极化恒等式，只需求底边 BC 的最小值即可. 2 例 3（2016 届南京三模第 13 题）在半径为 1 的扇形 AOB 中，∠AOB＝60o，C 为弧上的动
∴ P0B (1,0) ， PB (2 x,0) ， PC (a x,b) ， P0C (a 1,b)
C
∵对于边 AB 上任意一点 P,恒有 PB PC P0B P0C
∴ (2 x)(a x) a 1对 2 x 2 恒成立
整理可得 x2 (a 2)x a 1≥0 恒成立 令 f (x) x2 (a 2)x a 1
即 (b c)2
9 ，又 AB
AC
bc+3
（b+c）2
+3=
21
，
4
4
y A
m
x
O
C
2
当且仅当 b c 时等号成立.
法二.(极化恒等式)
解：连接 BC ，取 BC 的中点 D
A
AB AC AD2 BD2
又 AD 1 AB AC 5
2
2
B
故 AB AC 25 BD2 25 1 BC2
点，AB 与 OC 交于点 P，则→ OP·→ BP 的最小值是
．
法一.(坐标法)
y 解：以直线 OB 为 x 轴，过点 A 且垂直于 OB 的直线为 y 轴，
江苏省南通市如东高级中学2022-2023学年高三上学期12月阶段测试数学试题
江苏省南通市如东高级中学2022-2023学年高三上学期12月阶段测试数学试题一、单选题1．若集合{M xy ==∣，{}222x N x -=>∣，则M N ⋂=（ ） A ．{}01xx ≤≤∣ B ．{01}x x ≤<∣ C ．{14}x x <<∣ D ．{1}∣<xx 2．已知20221i i 1iz +=--，则在复平面内，其共轭复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间，宽度最大，然后向两边均依次是次间､次间､梢间､尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为8:7.若设明间的宽度为a ，则该大殿9间的总宽度为（ ） A ．478a ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．5715148a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．471418a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦D ．4715148a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知函数()sin ππ(0)f x x x ωωω=>在[]0,1内恰有3个最值点和4个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．1023,36⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1023,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1713,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1723,66⎛⎤ ⎥⎝⎦5．已知函数)()ln 1f x x =+，正实数a ,b 满足(2)(4)2f a f b +-=，则242b aa ab b ++的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6586．已知()()()()4255012512111x x a a x a x a x -+=+++++++，则2a =（ ）A ．2-B ．2C ．4D ．127．过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>上的任意一点P ，作双曲线渐近线的平行线，分别交渐近线于点M ，N ，若214OM ON b ⋅≥，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．⎛ ⎝⎦C ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭ D ．⎛ ⎝⎦8．已知()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()12f x -为奇函数，()21f x -为偶函数．设()01f '=，则()812k f k ='=∑（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2二、多选题9．2021年7月1日是中国共产党建党100周年，某单位为了庆祝中国共产党建党100周年，组织了学党史、强信念、跟党走系列活动，对本单位200名党员同志进行党史测试并进行评分，将得到的分数分成6组：[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100，得到如图所示的频率分布直方图.下列说法正确的是（ ）A ．0.040a =B ．得分在[]95,100的人数为4人C ．200名党员员工测试分数的众数约为87.5D ．据此可以估计200名党员员工测试分数的中位数为8510．ABC 的内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，则下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B >B ．若ABC 为钝角三角形，则222a b c +> C ．若30,4,3A b a ===，则ABC 有两解D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=11．甲､乙､丙､丁､戊共5位志愿者被安排到A ，B ，C ，D 四所山区学校参加支教活动，要求每所学校至少安排一位志愿者，且每位志愿者只能到一所学校支教，则下列结论正确的是（ ） A ．不同的安排方法共有240种B ．甲志愿者被安排到A 学校的概率是14C ．若A 学校安排两名志愿者，则不同的安排方法共有120种D ．在甲志愿者被安排到A 学校支教的前提下，A 学校有两名志愿者的概率是2512．已知抛物线22x y =，点1(,1),,12M t t ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，过M 作抛物线的两条切线,MA MB ，其中A ，B 为切点，直线AB 与y 轴交于点P ，则下列结论正确的有（ ） A ．点P 的坐标为(0,1) B ．OA OB ⊥C ．MAB △的面积的最大值为D ．||||PA PB 的取值范围是[2,2+三、填空题13．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，角的始边与x 轴非负半轴重合，点P 是α的终边与单位圆的交点．若OP 在x 轴上的投影向量的坐标为1,03⎛⎫⎪⎝⎭，则cos2=α________.14．已知数列{}n a 满足121n n n a a a ++⋅⋅=，12a =，212a =-，则{}n a 的前n 项积的最大值为________.15．在平面直角坐标系xOy 中，圆22:3O x y +=，()2,T m ，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且2AB MT =，则实数m 的取值范围是_____________.16．已知函数()()31,3ln 2e e e f x mx g x x x ⎛⎫==+≤≤ ⎪⎝⎭，若()f x 与()g x 的图像上分别存在点,M N ，使得,M N关于直线e y =对称，则实数m 的取值范围是________.四、解答题17．在①cos cos 2B b C a c -=+，②sin sin sin A b cB C a c+=-+，③23S BA BC =⋅三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，若2a =，4c =，AB 边上的中垂线交AC 于D 点，求BD 的长.18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++= (1)求数列{}{},n n ab 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n na n n cb n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21ni i c =∑.19．如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,BC BD BA ===ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．(1)证明：PA BD ⊥；(2)在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值．20．有一种双人游戏，游戏规则如下：双方每次游戏均从装有5个球的袋中（3个白球和2个黑球）轮流摸出1球（摸后不放回），摸到第2个黑球的人获胜，同时结束该次游戏，并把摸出的球重新放回袋中，准备下一次游戏.(1)分别求先摸球者3轮获胜和5轮获胜的概率；(2)小李和小张准备玩这种游戏，约定玩3次，第一次游戏由小李先摸球，并且规定某一次游戏输者在下一次游戏中先摸球.每次游戏获胜得1分，失败得0分.记3次游戏中小李的得分之和为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .21．已知1F ，2F 分别为椭圆2222:1x y C a b +＝0a b >>（）的左、右焦点，椭圆上任意一点P 到焦点距离的最小值与最大值之比为13，过1F 且垂直于长轴的椭圆C 的弦长为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 的直线与椭圆C 相交的交点A 、B 与右焦点2F 所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由． 22．已知函数()()211ln 2f x ax a x x =-++，0a >．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)当1a =时，设()()()()31ln g x f x m x x x =+--+，()m ∈R ，函数()g x 有两个极值点1x 、()212x x x <． ①求m 的取值范围； ②若123x x ≥，求12x x +的取值范围．参考答案：1．B 2．D 3．D 4．B 5．B 6．C 7．B 8．B 9．ACD 10．ACD 11．ABD 12．AC 13．79-14．215．⎡⎣ 16．3,3e e⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1718．(1)21n a n =-，10,12,22n n n b n n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩.(2)221412n 42994ni nc n n +=-++-⨯∑19．(1)证明见解析 (2)1119-20．(1)15；25.(2)分布列见解析，198125.21．（1）22143x y +=；（2）存在，916π. 22．(1)答案见解析(2)①1m >；②(]2,2ln3。
2023-2024学年江苏省南通市如东中学高三第二次诊断性检测化学试卷含解析
2023-2024学年江苏省南通市如东中学高三第二次诊断性检测化学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每题只有一个选项符合题意）1、油酸甘油酯和硬脂酸甘油酯均是天然油脂的成分。
它们的结构简式如下图所示。
下列说法错误的是A．油酸的分子式为C18H34O2B．硬脂酸甘油酯的一氯代物共有54种C．天然油脂都能在NaOH溶液中发生取代反应D．将油酸甘油酯氢化为硬脂酸甘油酯可延长保存时间2、已知：①H2 (g) + Se (g) H2Se (g) +87.48kJ ②Se (g) → Se (s) +102.17kJ；下列选项正确的是A．H2 (g) + Se (s)的总能量对应图中线段bB．相同物质的量的Se，Se(s)的能量高于Se(g)C．1mol Se (g)中通入1mol H2(g)，反应放热87.48kJD．H2 (g) + S (g) H2S (g) +QkJ ，Q< 87.48kJ3、往10mL0.1mol/L的Ba(OH)2溶液中滴加等浓度NaHSO4溶液，溶液的导电能力随滴入溶液体积变化的曲线如图。
下列说法正确的是A．a点对应的溶液呈碱性B．V2=10mLC．水的电离程度：a> bD．b点后的溶液满足c(Na+)>2c(SO42-)4、实验室用NH4Cl、盐酸、NaClO2为原料制备ClO2的过程如下图所示，下列说法不正确的是A．X 中大量存在的阴离子有Cl-和OH-B．NCl3 的键角比CH4的键角大C．NaClO2 变成ClO2发生了氧化反应D．制取3 mol ClO2至少需要0.5mol NH4Cl5、依据反应2KIO3+5SO2+4H2O═I2+3H2SO4+2KHSO4（KIO3过量），利用下列装置从反应后的溶液中制取碘的CCl4溶液并回收KHSO4。
江苏省宿迁市沭阳如东中学2022-2023学年高三上学期9月阶段测试(三)数学试卷及答案
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．若直线 与曲线 相切，则实数 的值为（）
A．0B． C． D．
5．通过研究正五边形和正十边形的作图，古希腊数学家毕达哥拉斯发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用 表示，即 .记 ，则 （）
【详解】由题，由圆的性质， 为直角三角形， ，
如图所示，设外接球半径为R，底面圆心为Q，外接球球心为O，
由外接球的定义， ，易得O在线段PQ上，
又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径 ，
∵ ，则 ，解得 ，
∴外接球表面积为 .
故选：B．
8．A
【分析】构造函数 ，利用导数说明函数的单调性，即可判断 ，再构造函数 ， ，利用导数说明函数的单调性，即可判断 ，即可得解；
江苏省宿迁市沭阳如东中学2022-2023学年高三上学期9月阶段测试（三）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B． C． D．
2．已知 ，则 （）
A． B． C． D．
（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.
21．(1) ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据题意设圆心的坐标为 ，根据几何关系列等式求出 的值，即可得出圆 的方程；
19．(1)
(2)存在，m的取值范围为
【分析】（1）首先根据平面向量数量积的坐标运算求得函数 的解析式，然后求解 时 的值即可
江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期阶段测试(二)数学试题 Word版含解析
江苏省如东高级中学2017-2018学年高二上学期阶段测试（二）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．1. 命题，使得的否定为_______.【答案】，使得【解析】特称命题的否定为全称命题，据此可得：命题，使得的否定为，使得.2. 抛物线的准线方程为_______.【答案】【解析】由题意可得p=4,所以准线方程为,填3. 在等差数列中，已知，则的值为______.【答案】22【解析】试题分析：因为，所以考点：等差数列性质4. 下列命题：①或；②命题“若，则”的否命题；③命题“矩形的两条对角线相等”的逆命题.其中假命题的个数为______.【答案】1.....................5. 能够使“设是实数，若，则”是假命题的一个实数的值为_______. 【答案】2【解析】因为，故，等号成立的条件为，故当时函数值等于3.此时不满足题干。
故答案为2 。
点睛：这个题目是考查的均值不等式的条件，首先均值不等式的条件是一正，二定，三相等，积是定值时，和有最小值，和是定值时，积有最大值；故首先要构造出乘积的定值，最终确定等号能否取到。
6. “”是“或”的________条件.（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中选择适当的填写）【答案】充分不必要【解析】不妨设P:“”,q:“或”：，且，显然而且推不出，所以，且推不回去，即“”是“或”的充分不必要条件，填充分不必要。
【点睛】当命题p与q的关系不好判断时，我们可以考虑写出命题p,q的否定，即与，分析出与的关系，再根据互为逆否命题同真同假进行判断。
7. 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的渐近线方程为_______.【答案】【解析】由题意可得,9+a=13,所以，所以双曲线方程，填。
8. 关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是________. 【答案】【解析】由题意可得且，所以不等式的解集为，填【点睛】9. 设满足，则的最大值为______.【答案】2【解析】根据约束条件画出可行域如下图，目标函数z=x+3y,可化为，即求截距的最大值。
江苏省如东高级中学2017-2018学年高一下学期阶段测试(二)数学试题(含精品解析)
1．【解析】分析：把分式不等式转化为整式不等式，再利用二次不等式的结论得解．(‒1,2)详解：原不等式等价于，解为，(x ‒2)(x +1)<0‒1<x <2故答案为(‒1,2)点睛：分式不等式 ， ，这里容易出错，要注意．f(x)g(x)>0⇔f(x)g(x)>0f(x)g(x)≥0⇔{f(x)g(x)≥0g(x)≠02．63【解析】试题分析：由得，所以45621a a a ++=57a =19959()9632a S a a +===考点：等差数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.点睛：在用正弦定理如解三角形时，如果已知两边及一边的对角，求，则此三角形可能a sinA =c sinC a,c A C 有两解，可先求得，如果，无解，如果，则只有一解，，如果sinC =csinA a sinC >1sinC =1A =90°，则若，则有两解，若，则只有一解．sinC ∈(0,1)c >a c ≤a 4．【解析】若斜率不存在，直线与圆相切，符合题意；若斜234100x x y =-+=或2x =224x y +=率存在，设切线斜率为，则切线方程为，即， k ()42y k x -=-240kx y k --+=， 切线方程为或，故答案为或. 32,4k =∴2x =34100x y -+=2x =34100x y -+=5．【解析】分析：利用的等比数列的性质，求解．51a 6a 10=a 28a 3a 5=a 24详解：由题意，∴，a 6a 10+a 3a 5=a 28+a 24=41(a 4+a 8)2=a 24+a 28+2a 4a 8=51又，∴．a n >0a 4+a 8=51故答案为．51点睛：在等差数列和等比数列中一般可用基本量法求解，得数列的这个性质要尽量进行应用，若是等{a n }差数列，若，则，若，则；若m +n =k +l(m,n,k,l ∈N ∗)a m +a n =a k +a l m +n =2k a m +a n =2a k 是等比数列，若，则，若，则．{a n }m +n =k +l(m,n,k,l ∈N ∗)a m ⋅a n =a k ⋅a l m +n =2k a m ⋅a n =a 2k故答案为．(‒∞,‒1]∪[14,+∞)点睛：本题考查直线与线段相交问题，解题时可根据图形观察出直线斜率的变化情况，注意到过P 点与轴垂直的直线与线段有交点，因此直线的范围是在和的两侧，若过P 点与轴垂直的直线与线x AB k k PA k PB x 段没有交点，因此直线的范围是在和之间．AB k k PA k PB 7．1【解析】分析：两直线平行，则对应项系数成比例，但要注意常数项．详解：由题意，，a 2‒1=0a =±1时，两直线方程为，，重合，不合题意，舍去，a =‒1x ‒y =0‒x +y =0时，两直线方程为和，平行，a =1x +y =4x +y =2∴．a =1故答案为1．点睛：直线与直线平行，则，但时，这a 1x +b 1y +c 1=0a 2x +b 2y +c 2=0a 1b 2‒a 2b 1=0a 1b 2‒a 2b 1=0两直线不一定平行，可能重合．解题时要注意检验．8．【解析】分析：作“1”的代换后，用基本不等式求解．32+2详解：由是题意 ，当且仅当1a +1b =12(a +2b)(1a +1b )=12(3+a b +2b a )≥12(3+2a b ⋅2b a )=3+222时取等号．a b =2b a 故答案为．3+222点睛：此类示最值问题，一般是用“1”的代换，凑配出基本不等式的形式，然后由基本不等式得最值，也可用代入消元法化为一元函数，再由函数的性质求得最值．如本题：由得a >0,b >0,a +2b =2，，则，可用导数的知识求得最值．0<b <1a =2‒2b 1a +1b =12‒2b +1b 9．【解析】直线 过定点 ，圆 ，当直线被圆所截得的弦长11--l ()2,1A ()()22:125C x y -+-=l C 最短时， 121 1.21AC l m m -⊥⇒-⨯=-⇒=--点睛：已知，求，可用公式求解，只是 要注意此式仅对适用，也要先求S n a n a n =S n ‒S n ‒1n ≥2a 1=S 1出，才能正确得出通项．11．【解析】分析：把已知条件用数学式子表示出来，变形得，这样可以理解为是方34{ac =b 2a +c =2b ‒3a,c 程的两根，由判别式可得的范围．x 2‒(2b ‒3)x +b 2=0b 详解：由题意，即，{b 2=ac 2(b +2)=a +6+c +1 {ac =b 2a +c =2b ‒3∴是方程的两根，a,c x 2‒(2b ‒3)x +b 2=0∴，解得，Δ=(3‒2b)2‒4b 2≥0b ≤34当时，满足题意．b =34a =c =‒34∴的最大值为．b 34故答案为．34点睛：本题考查等差数列与等比数列的概念，考查一元二次方程的判别式的应用．解题时只要掌握相应的概念，用数学式表示出已知条件就可把问题转化，属于基础题．点睛：本题考查直线与圆的位置关系，解题关键掌握转化与化归思想．曲线是单位圆的上半圆，y =1‒x 2面积要最大，则最大，从而，因此问题转化为圆心到直线的距离为，这样易求ΔAOB sin∠AOB ∠AOB =π222得直线的斜率．13．【解析】分析：可先用向量的数量积公式将原式变形为：，然后再结23bccosA +2accosB =3abcosC 合余弦定理整理为，再由cosC 的余弦定理得到a ，b 的关系式，最后利用基本不等式求解即a 2+2b 2=3c 2可.详解：已知，可得，将角A,B,C 的余弦定理代AB ⋅AC +2BA ⋅BC =3CA ⋅CB bccosA +2accosB =3abcosC 入得，由，当a=b 时取到等号，故cosC 的最小值为.a 2+2b 2=3c 2cosC =a 2+b 2‒c 22ab =23a 2+13b 22ab ≥2323点睛：考查向量的数量积、余弦定理、基本不等式的综合运用，能正确转化是解题关键.属于中档题.AB ⋅AC +2BA ⋅BC =3CA ⋅CB 14．【解析】分析：设的中点为，由已知，因此可设，求出点的[6‒2,6+2]BC M BC =2AM M(x,y)M 轨迹方程知点轨迹是圆，从而易得的取值范围．M AM 详解：设的中点为，因为 ，BC M(x,y)OB 2=OM 2+BM 2=OM 2+AM 2所以，化简得，4=x 2+y 2+(x ‒1)2+(y ‒1)2(x ‒12)2+(y ‒12)2=32即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，M (12,12)62所以的取值范围是，从而的取值范围是．AM [6‒22,6+22]BC [6‒2,6+2]故答案为．[6‒2,6+2]∴．BC =2AM ∈[6‒2,6+2]15．（1）；（2）B =30°b =7【解析】试题分析：（1）由于锐角△ABC 中，a=2bsinA ，利用正弦定理将等式两边的边化成相应角的正弦即可；（2）由（1）得B=30°，又，c=5，利用余弦定理可求得b ，a =33b 2=a 2+c 2‒2accosB 试题解析：（1）由a ＝2bsinA ，得sinA ＝2sinBsinA ，所以sinB ＝．12由△ABC 为锐角三角形，得B ＝．π6（2）根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2acosB ＝27＋25－45＝7，所以b ＝．---6分7考点：正余弦定理解三角形16．（1）；（2）.2x +y ‒14=0127详解：（1）∵，∴边上的高所在直线的斜率为k AB =12AB ‒2又∵直线过点 ∴直线的方程为：，即C(5，4)y ‒4=‒2(x ‒5)2x +y ‒14=0（2）设直线的方程为：，即 ∵l x a +1+y a =1y =‒a a +1x +a k AC =34∴，解得： ∴直线的方程为：‒a a +1=34a =‒37l x 47+y ‒37=1∴直线过点，三角形斜边长为l (47,0),(0,‒37)(47)2+(37)2=57∴直线与坐标轴围成的直角三角形的周长为．l 57+47+37=127点睛：本题综合考查了相互垂直的直线的斜率之间的关系，相互平行的直线斜率之间的关系，直线方程，两点间的距离公式等基础知识和基本方法的运用，着重考查了推理与运算能力.17．（1）或；（2）x ≥5x ≤‒2a >1【解析】分析：（1）一元二次不等式可以对二次三项式因式分解后可得出相应二次方程的根，从而得不等式的解集；（2）题意说明不等式在上存在使之成立，可用分离参数法转化为求函x 2+(1‒a)x +1‒a <0(‒1,+∞)x 数的最值．即化为，只要求得的最小值a >x 2+x +1x +1x 2+x +1x +1详解： (1) 当时，，a =4f (x )=x 2‒3x ‒3≥7所以，所以或x 2‒3x ‒10≥0x ≥5x ≤‒2点睛：在集合上恒成立，则，在集合上存在使成立，则；在M f(x)>A A <f(x)min M x f(x)>A A <f(x)max 集合上恒成立，则，在集合上存在使成立，则．M f(x)<A A >f(x)max M x f(x)<A A >f(x)min 18．（I ）;(II) .32n b n =+max 18k =【解析】解：（Ⅰ）由已知得， 11122n S n n =+ …………1分211122n S n n ∴=+当时，2n ≥ …………3分1n n n a S S +=-22111111(1)(1)2222n n n n =+----5n =+当时，也符合上式． （没有检验扣1分）1n =116a S ==1a ， . …………4分5n a n ∴=+*n N ∈由知是等差数列， …………5分2120n n n b b b ++-+=*()n N ∈{}n b 由的前9项和为153，可得，{}n b 1959()91532b b b +==得，又，517b =311b =∴的公差， {}n b 5332b b d -==由 ，得，312b b d =+15b =∴， . …………7分32n b n =+*n N ∈（Ⅱ）， …………9分3111()(21)(63)22121n c n n n n ==--+-+[]111111(1)(()23352121n T n n ∴=-+-++--+ …………10分11(1)221n =-+∵增大， 减小 ， 增大，n 121n +n T ∴是递增数列．{}n T ∴. 即的最小值为 …………12分113n T T ≥=n T 13要使得对一切都成立，只要，57n k T >*n N ∈11357k T =>，则. …………14分19k ∴<max 18k =点睛：本试题主要是考查了数列的通项公式的求解和求和的运用。
江苏省如东高级中学、栟茶中学等四校2024年高三物理第一学期期中联考试题含解析
江苏省如东高级中学、栟茶中学等四校2024年高三物理第一学期期中联考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、2019年6月6日，中国科考船“科学”号对马里亚纳海沟南侧系列海山进行调查，船上搭载的“发现”号遥控无人潜水器完成了本航次第10次下潜作业，发现号下潜深度可达6000m 以上．潜水器完成作业后上浮，上浮过程初期可看作匀加速直线运动．今测得潜水器相继经过两段距离为8m 的路程，第一段用时4s ，第二段用时2s ，则其加速度大小是（ ）A ．22m /s 3B ．24m /s 3C ．28m /s 9D ．216m /s 92、在点电荷Q 形成的电场中，有M 、N 两点，如图所示．以下说法正确的是A ．M 点的场强大于N 点的场强B ．M 点的电势高于N 点的电势C ．将一正点电荷分别放在M 点和N 点，则该电荷在M 点电势能大D ．将一负点电荷分别放在M 点和N 点，则该电荷在M 点电势能大3、一个质点做方向不变的直线运动，加速度的方向始终与速度方向相同，但加速度大小逐渐减小直至为零。
在此过程中（ ）A ．速度逐渐减小，位移逐渐增大，当加速度减小到零时，速度达到最小值B ．速度逐渐增大，位移逐渐增大，当加速度减小到零时，速度达到最大值C ．速度逐渐减小，位移逐渐增大，当加速度减小到零时，位移将不再增大D ．速度逐渐增大，位移逐渐减小，当加速度减小到零时，位移达到最小值4、一物体在水平面上受恒定的水平拉力和摩擦力作用沿直线运动，已知在第1秒内合力对物体做的功为45 J ，在第1秒末撤去拉力，其v －t 图象如图所示，g=10 m/s 2，则A ．物体的质量为10 kgB ．物体与水平面的动摩擦因数为0.2C ．第1秒内摩擦力对物体做的功为-60 JD ．前4秒内合力对物体做的功为60 J5、如图所示，P 是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B 点以某速度v 0水平飞出的小球，恰能从固定在某位置的凹槽的圆弧轨道的左端A 点沿圆弧切线方向进入轨道．O 是圆弧的圆心，θ1是OA 与竖直方向的夹角，θ2是BA 与竖直方向的夹角，则A ．21tan 2tan θθ=B ．1212tan tan θθ=C ．12tan tan 2θθ=D ．12tan 2tan θθ= 6、如图所示为发射同步卫星的三个轨道，轨道Ⅰ为近地轨道，轨道Ⅱ为转移轨道，轨道Ⅲ为同步轨道，P 、Q 分别是转移轨道的近地点和远地点。
江苏省如东中学高三数列的概念复习专题 百度文库
一、数列的概念选择题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（ ） A ．184B ．174C ．188D ．1602．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192 C ．1119892 D ．1120192 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ）A ．2n a n =B ．3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩ C ．21n a n =+D ．3n a n =4．数列{}n a 满足111n na a +=-，12a =，则2a 的值为（ ） A ．1B ．-1C ．13D ．13-5．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()*21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ）A ．4-B ．5-C ．4D ．56．在数列{}n a 中，()1111,1(2)nn n a a n a --==+≥，则5a 等于A ．32B ．53 C ．85D ．237．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，()*11N ,2n n n a a a n n ++=-∈≥，12018a =，22017a =，则100S =（ ）A ．2016B ．2017C ．2018D ．20198．数列1,3,5,7,9,--的一个通项公式为（ ）A ．21n a n =-B ．()1(21)nn a n =--C ．()11(21)n n a n +=--D ．()11(21)n n a n +=-+9．已知数列{}n a 满足12a =，111n na a +=-，则2018a =（ ）.2210．函数()2cos 2f x x x =-{}n a ，则3a =（ ） A ．1312πB ．54π C ．1712πD ．76π 11．已知数列{}n a 的前5项为：12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，可归纳得数列{}n a 的通项公式可能为（ ） A ．1+=n n a nB ．21n n a n +=+ C ．3132n n a n -=-D ．221n na n =- 12．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和383969a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A ．180B ．160C ．150D ．14013．已知数列{}n a 满足11a =，122n n a a n n+=++，则10a =（ ） A ．259B ．145 C ．3111D ．17614．数列1111,,,57911--，…的通项公式可能是n a =（ ） A ．1(1)32n n --+B ．(1)32n n -+C ．1(1)23n n --+D ．(1)23nn -+15．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则645a ，等于（ ）12345678910A ．2019B ．2020C ．2021D ．202216．设数列{}n a 的通项公式为2n n a n+=，要使它的前n 项的乘积大于36，则n 的最小值为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．917．在数列{}n a 中，11(1)1,2(2)nn n a a n a --==+≥，则3a =（ ）3318．意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即()()121F F ==，()()()12F n F n F n =-+- （3n ≥，n *∈N ），此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用，若此数列的每一项被2除后的余数构成一个新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2020项的和为（ ） A ．1348B ．1358C ．1347D ．135719．数列{}n a 前n 项和为n S ，若21n n S a =+，则72019a S +的值为（ ） A ．2B ．1C ．0D ．1-20．已知数列{}n a 中，11a =，122nn n a a a +=+，则5a 等于（ ） A ．25B ．13 C ．23D ．12二、多选题21．已知数列{}n a ：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68S a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++= D ．2222123202020202021a a a a a a ++++=22．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数C ．2020201820223a a a =+D ．123a a a +++…20202022a a +=23．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 24．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =25．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ） A ．12d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =26．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >27．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的m ，*n N ∈，都有m n m n a a a +=+，则下列结论正确的是（ ）A ．11285a a a a +=+B ．56110a a a a <C ．若该数列的前三项依次为x ，1x -，3x ，则10103a = D ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递减的等差数列 28．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-29．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥30．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（ ） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T <31．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值32．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <33．已知数列{}n a 为等差数列，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a d +=+（d 为常数） B ．数列{}n a -是等差数列 C ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 D ．1n a +是n a 与2n a +的等差中项34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2235．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =，411a =，则（ ） A ．45n a n =-B ．23n a n =+C ．223n S n n =-D ．24n S n n =+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、数列的概念选择题 1．B 解析：B 【分析】根据高阶等差数列的知识，结合累加法求得数列的通项公式，由此求得19a . 【详解】3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,6,所以()1112,3n n a a n n a --=-≥=，所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+()()1213n n =-+-+++()()()11113322n n n n -+⋅--=+=+.所以19191831742a ⨯=+=. 故选：B【点睛】本小题主要考查数列新定义，考查累加法，属于基础题.2．C解析：C 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.3．B解析：B 【分析】根据11,1,2n nS n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；【详解】解：因为21n S n n =++①，当1n =时，211113S =++=，即13a =当2n ≥时，()()21111n S n n -=-+-+②，①减②得，()()2211112n n n n n n a ⎡⎤++--+-+=⎦=⎣所以3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩故选：B 【点睛】本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.4．B解析：B 【分析】根据数列的递推公式，代入计算可得选项. 【详解】 因为111n n a a +=-，12a =，所以21111112a a ===---， 故选：B. 【点睛】本题考查由数列递推式求数列中的项，属于基础题.5．B解析：B 【分析】根据已知递推条件()*21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5a【详解】由()*21n n n a a a n N++=-∈知：3214a a a 4321a a a 5435a a a故选：B 【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题6．D解析：D 【解析】分析：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，． 详解：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，．故选D 点睛：对于含有()1n-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．7．A解析：A 【分析】根据题意，由数列的递推公式求出数列的前8项，分析可得数列{}n a 是周期为6的数列，且1234560a a a a a a +++++=，进而可得1001234S a a a a =+++，计算即可得答案．【详解】解：因为12018a =，22017a =，()*11N ,2n n n a a a n n +-=-∈≥，则321201720181a a a =-=-=-， 432(1)20172018a a a =-=--=-， 543(2018)(1)2017a a a =-=---=-， 654(2017)(2018)1a a a =-=---=，76511(2017)2018a a a a =-=--==， 8762201812017a a a a =-=-==，…，所以数列{}n a 是周期数列，周期为6， 因为12560a a a a ++⋅⋅⋅++=，所以()100125697989910016S a a a a a a a a =++⋅⋅⋅++++++12342016a a a a =+++=．故选：A ． 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，关键是分析数列各项变化的规律，属于基础题．8．C解析：C 【分析】分别观察各项的符号、绝对值即可得出． 【详解】数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式()()112nn a n =--． 故选C ． 【点睛】本题考查了球数列的通项公式的方法，属于基础题．9．B解析：B 【分析】利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列，从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中，111n na a +=-，且12a =， 211112a a ∴=-=，3211121a a =-=-=- ， ()41311112a a a =-=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，201867232=⨯+，2018212a a ∴==.故选：B 【点睛】本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质，考查了数列的周期性，属于基础题.10．B解析：B 【分析】先将函数化简为()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈，再求3a 即可. 【详解】解：∵()2cos 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∴ 令()0f x =得：2263x k πππ-=+或22263x k πππ-=+，k Z ∈， ∴4x k ππ=+或512x k ππ=+，k Z ∈， ∴ 正数零点从小到大构成数列为：12355,,,4124a a a πππ===故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的性质，数列的概念，考查数学运算求解能力，是中档题.11．A解析：A 【分析】将前五项的分母整理为1,2,3,4,5，则其分子为2,3,4,5,6，据此归纳即可. 【详解】 因为12a =，232a =，343a =，454a =，565a =，故可得1223,12a a ==, 343a =，454a =，565a =， 故可归纳得1+=n n a n. 故选：A. 【点睛】本题考查简单数列通项公式的归纳总结，属基础题.12．B解析：B 【分析】根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和. 【详解】由n a 为421167n n +的个位数， 可得n a 为27n n +的个位数， 而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 第38项至第69项共32项，共8个周期， 所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=. 故选：B13．B解析：B 【分析】 由122n n a a n n +=++转化为11121n n a a n n +⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭，利用叠加法，求得23na n =-，即可求解. 【详解】 由122n n a a n n +=++，可得12112(1)1n n a a n n n n +⎛⎫-==- ⎪++⎝⎭，所以()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+11111111222*********n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122113n n ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以102143105a =-=. 故选：B. 【点睛】数列的通项公式的常见求法：1、对于递推关系式可转化为1()n n a a f n +-=的数列，通常采用叠加法（逐差相加法）求其通项公式；2、对于递推关系式可转化为1()n na f n a +=的数列，并且容易求数列{()}f n 前n 项积时，通常采用累乘法求其通项公式； 3、对于递推关系式形如1n n a pa q +=+的数列，可采用构造法求解数列的通项公式.14．D解析：D 【分析】根据观察法，即可得出数列的通项公式. 【详解】因为数列1111,,,, (57911)--可写成 ()()()()2342322311111,1,1,12,..24.333-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯， 所以其通项公式为(1)(1)23213nnn a n n -=-=++⨯. 故选：D.15．C解析：C 【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)112a ⨯-=+=，， 第2行第1列的数为2，此时212(21)122a ⨯-=+=，， 第3行第1列的数为4 ,此时313(31)142a ⨯-=+=，， 据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)120172a ⨯-=+=，，则6452021a =，， 故选：C.16．C【分析】先求出数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，令0n D >解不等式，结合*n N ∈，即可求解. 【详解】记数列{}n a 的前n 项的乘积为n D ，则()()12112451232312n n n n n n n D a a a a n n -++++=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=- 依题意有()()12362n n ++>整理得()()23707100n n n n +-=-+> 解得：7n >，因为*n N ∈，所以min 8n =， 故选：C17．B解析：B 【分析】由数列的递推关系式以及11a =求出2a ，进而得出3a ． 【详解】11a =，21123a a ∴=+=，321523a a -=+= 故选：B18．C解析：C 【分析】由题意可知，得数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=，又202067331=⨯+，由此可得答案【详解】解：由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，各项除以2的余数，可得数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,⋅⋅⋅，所以数列{}n a 是周期为3的周期数列，前3项和为1102++=， 因为202067331=⨯+，所以数列{}n a 的前2020项的和为673211347⨯+= 故选：C19．A解析：A根据21n n S a =+，求出1a ，2a ，3a ，4a ，⋯⋯，寻找规律，即可求得答案. 【详解】21n n S a =+当1n =，1121a a =+，解得：11a = 当2n =，122221a a a +=+，解得：21a =- 当3n =，32132221a a a a ++=+，解得：31a = 当4n =，4321422221a a a a a +++=+，解得：41a =-⋯⋯当n 奇数时，1n a = 当n 偶数时，1n a =-∴71a =，20191S =故720192a S += 故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．B解析：B 【分析】根据数列{}n a 的递推公式逐项可计算出5a 的值. 【详解】在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+，则12122122123a a a ⨯===++，2322221322223a a a ⨯===++， 3431222212522a a a ⨯===++，4542221522325a a a ⨯===++. 故选：B. 【点睛】本题考查利用递推公式写出数列中的项，考查计算能力，属于基础题.二、多选题【分析】根据题意写出，，，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，，，故A 不正确； 对B ，，故B 正确； 对C ，由，，解析：BCD 【分析】根据题意写出8a ，6S ，7S ，从而判断A ，B 的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C ，D 的正误． 【详解】对A ，821a =，620S =，故A 不正确； 对B ，761333S S =+=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，…，202120222020a a a =-，可得135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故C 正确；对D ，该数列总有21n n n a a a ++=+，2121a a a =，则()222312321a a a a a a a a =-=-， ()233423423a a a a a a a a =-=-，…，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-， 22019a =2019202020192018a a a a -，220202020202120202019a a a a a =-，故2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=，故D 正确．故选：BCD 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是对CD 的判断，即要善于利用21n n n a a a ++=+对所给式子进行变形.22．AC 【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，，，，故A 正确；对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加【分析】由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.23．ABD 【分析】根据，，，计算可知正确；根据，，，，，，累加可知不正确；根据，，，，，，累加可知正确. 【详解】依题意可知，，，， ，，，，故正确； ，所以，故正确； 由，，，，，， 可得，故不解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确；7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题.24．BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前项和公式 【详解】解：设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以， ， 故选：BC解析：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩， 所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=， 故选：BC25．BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前项和公式，求出，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】 因为， 所以．因为，，所以公差． 故选：BD解析：BD 【分析】由等差数列下标和性质结合前n 项和公式，求出9S ，可判断C ，D ，由等差数列基本量运算，可得公差，判断出A ，B ． 【详解】因为1937538a a a a +=+=+=， 所以()1999983622a a S +⨯===． 因为35a =，73a =，所以公差731732a a d -==--． 故选：BD26．ABD 【分析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】 因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A 正确； 所以最大，故B 正确； 所以，故C 错误解析：ABD【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确； 所以6S 最大，故B 正确； 所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误； 所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD.27．AC 【分析】令，则，根据，可判定A 正确；由，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；，根据，可判定D 错误. 【详解】令，则，因为，所以为等差数列且公差，故A 正确； 由，所以，故B 错误；解析：AC 【分析】令1m =，则11n n a a a +-=，根据10a >，可判定A 正确；由256110200a a a a d -=>，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据02>d ，可判定D 错误. 【详解】令1m =，则11n n a a a +-=，因为10a >，所以{}n a 为等差数列且公差0d >，故A 正确；由()()22225611011119209200a a a a a a d daa d d -=++-+=>，所以56110a a a a >，故B错误；根据等差数列的性质，可得()213x x x -=+，所以13x =，213x -=， 故1011109333a =+⨯=，故C 正确； 由()111222nn n na dS d d n a nn -+⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，因为02>d ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增的等差数列，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；1、作差比较法：根据1n n a a +-的符号，判断数列{}n a 是递增数列、递减数列或是常数列；2、作商比较法：根据1(0n n na a a +>或0)n a <与1的大小关系，进行判定； 3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.28．AD 【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，. 【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：， 解方程组得：， 所以，. 故选：AD.解析：AD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知得1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，进而得13,2a d =-=，故25n a n =-，24n S n n =-.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为450,5S a == 所以根据等差数列前n 项和公式和通项公式得：1145460a d a d +=⎧⎨+=⎩，解方程组得：13,2a d =-=，所以()31225n a n n =-+-⨯=-，24n S n n =-.故选：AD.29．BC 【分析】设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为，所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC解析：BC 【分析】 设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】 设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192a d =-，11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n dd na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 30．AC 【分析】将变形为，构造函数，利用函数单调性可得，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项 【详解】 由，可得，令， ，所以是奇函数，且在上单调递减，所以， 所以当数列为等差数列时，；解析：AC【分析】 将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112x f x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】 由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111xx x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++， 所以()1112x f x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥， 所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥； 当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零， 故()2021202110110T a =>.故选：AC【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 31．ABD【分析】由，判断，再依次判断选项.【详解】因为，，，所以数列是递减数列，故，AB 正确；，所以，故C 不正确；由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确.故选：AB解析：ABD【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项.【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.32．AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为，所以 ，因为，所以，所以等差数列公差，所以是递减数列，故最大，选项A解析：AD【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.33．ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC选项.【详解】A.因为数列是等差数列，所以，即，所以A 正确；B. 因为数列是等差数列，所以，那么，所以数解析：ABD【分析】由等差数列的性质直接判断AD 选项，根据等差数列的定义的判断方法判断BC 选项.【详解】A.因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，即1n n a a d +=+，所以A 正确；B. 因为数列{}n a 是等差数列，所以1n n a a d +-=，那么()()()11n n n n a a a a d ++---=--=-，所以数列{}n a -是等差数列，故B 正确； C.111111n n n n n n n n a a d a a a a a a ++++---==，不是常数，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是等差数列，故C 不正确；D.根据等差数列的性质可知122n n n a a a ++=+，所以1n a +是n a 与2n a +的等差中项，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的性质与判断数列是否是等差数列，属于基础题型.34．AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由解不等式可判断D ．【详解】等差数列的前n 项和为，公差，由，可解析：AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由二次函数的配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由0nS <解不等式可判断D ． 【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，由690S =，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由7a 是3a 与9a 的等比中项，得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化为1100a d +=，②由①②解得120a =，2d =-，则202(1)222n a n n =--=-，21(20222)212n S n n n n =+-=-， 由22144124n S n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得10n =或11时，n S 取得最大值110； 由2102n S n n -<=，解得21n >，则n 的最小值为22. 故选：AD【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比中项的性质，二次函数的最值求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题.35．AC【分析】由求出，再由可得公差为，从而可求得其通项公式和前项和公式【详解】由题可知，，即，所以等差数列的公差，所以，.故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.解析：AC【分析】由535S =求出37a =，再由411a =可得公差为434d a a =-=，从而可求得其通项公式和前n 项和公式【详解】由题可知，53535S a ==，即37a =，所以等差数列{}n a 的公差434d a a =-=， 所以()4445n a a n d n =+-=-，()2451232n n n S n n --==-. 故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.。
2022江苏如东高级中学高三数学第二轮复习教案(苏教版)第17—20课
2022江苏如东高级中学高三数学第二轮复习教案（苏教版）第17—20课一．复习目标：1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程；从直线的点斜式方程动身推导出直线方程的其他形式，斜截式、两点式、截距式；能依照已知条件，熟练地选择恰当的方程形式写出直线的方程，熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化，能利用直线的方程来研究与直线有关的问题了.2.能正确画出二元一次不等式（组）表示的平面区域，明白线性规划的意义，明白线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等差不多概念，能正确地利用图解法解决线性规划问题，并用之解决简单的实际问题，了解线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题.3． 明白得“曲线的方程”、“方程的曲线”的意义，了解解析几何的差不多思想，把握求曲线的方程的方法.4．把握圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-（r ＞0），明确方程中各字母的几何意义，能依照圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径，把握圆的一样方程：022=++++F Ey Dx y x ，明白该方程表示圆的充要条件并正确地进行一样方程和标准方程的互化，能依照条件，用待定系数法求出圆的方程，明白得圆的参数方程cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），明确各字母的意义，把握直线与圆的位置关系的判定方法.5．正确明白得椭圆、双曲线和抛物线的定义，明确焦点、焦距的概念；能依照椭圆、双曲线和抛物线的定义推导它们的标准方程；记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程；能依照条件，求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程；把握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质：范畴、对称性、顶点、离心率、准线（双曲线的渐近线）等，从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线；把握a 、b 、c 、p 、e 之间的关系及相应的几何意义；利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质，确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，并解决简单问题；明白得椭圆、双曲线和抛物线的参数方程，并把握它的应用；把握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法. 二．考试要求：(一)直线和圆的方程1．明白得直线的斜率的概念，把握过两点的直线的斜率公式，把握直线方程的点斜式、两点式、一样式，并能依照条件熟练地求出直线方程。
江苏省如东高级中学高三数学第二轮复习备课笔记(苏教版)第1-4课时函数问题的题型与方法
第1－4课时课题：函数问题的题型与方法一．复习目标:1．了解映射的概念，理解函数的概念。
2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。
3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。
4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和性质。
5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。
6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.二．考试要求:1．灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及分类讨论等方法，解函数综合题。
2．应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高分析问题和解决问题的能力。
三．教学过程：（Ⅰ)函数的概念型问题函数概念的复习当然应该从函数的定义开始．函数有二种定义,一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满足对这两种定义的背诵,而应在判断是否构成函数关系,两个函数关系是否相同等问题中得到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：1．深化对函数概念的理解,明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与其反函数的关系．2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．3．通过对分段定义函数,复合函数,抽象函数等的认识,进一步体会函数关系的本质,进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．本部分内容的重点是不仅从认识上，而且从处理函数问题的指导上达到从三要素总体上把握函数概念的要求，对确定函数三要素的常用方法有个系统的认识,对于给出解析式的函数，会求其反函数．本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．函数的概念是复习函数全部内容和建立函数思想的基础，不能仅满足会背诵定义,会做一些有关题目，要从联系、应用的角度求得理解上的深度，还要对确定函数三要素的类型、方法作好系统梳理，这样才能进一步为综合运用打好基础．复习的重点是求得对这些问题的系统认识，而不是急于做过难的综合题．㈠深化对函数概念的认识例1．下列函数中，不存在反函数的是（)分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数,看是否存在是不好的，因为过程太繁琐．从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应,因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法，请读者自己一试．此题作为选择题还可采用估算的方法．对于D，y=3是其值域内一个值,但若y=3，则可能x=2(2＞1），也可能x=—1（-1≤-1)．依据概念，则易得出D中函数不存在反函数．于是决定本题选D．说明:不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关键．由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然成了函数概念复习中的重要课题．㈡系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法1．求函数定义域的基本类型和常用方法由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的x的取值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解析式还含有其他字例2．已知函数()f x定义域为(0,2)，求下列函数的定义域：分析：x的函数f（x2）是由u=x2与f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量．由于f（x)，f（u)是同一个函数，故(1)为已知0＜u＜2，即0＜x2＜2．求x的取值范围．解:(1）由0＜x2＜2，得说明:本例（1)是求函数定义域的第二种类型,即不给出f(x)的解析式，由f（x）的定义域求函数f［g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．（2）是二种类型的综合．求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系,求其定义域，后面还会涉及到．2．求函数值域的基本类型和常用方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类:(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;（3）求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域．3．求函数解析式举例例3．已知xy＜0，并且4x2—9y2=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)?如果能,求出其解析式、定义域和值域；如果不能,请说明理由．分析: 4x2—9y2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f(x)，但加上条件xy＜0呢?所以因此能确定一个函数关系y=f（x）．其定义域为(-∞，-3)∪（3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞,0）∪（0,＋∞）．说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析式还有两类问题: (1）求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数,指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的,故可用待定系数法确定其解析式．这里不再举例．（2）从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．（Ⅱ）函数与方程的思想方法函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
江苏省如东高中高三高考冲刺(3)物理试卷.pdf
A．△U2=△U1+△U3． ．和保持不变．电源输出功率先增大后减小 第Ⅱ卷共6题，共89分 三、简答题：本题分必做题第10、11题和选做题第12题两部分，共42分，请将解答填写在答题卡相应的位置。 必做题： ．某同学设计了一个探究加速度与物体所受合力及质量间关系的实验，图a为实验装置图，A为小车，B为打点计时 器，C为装有沙的沙桶，D为一端带有定滑轮的长方形木板。实验中认为细绳对小车的拉力F等于沙和沙桶的总重力，小 车运动的加速度a可由打点计时器在纸带上打出的点求得 图b为某次实验得到的纸带，纸带上两相邻计数点的时间间隔为0.10s，由图中数据求出小车加速度值为 _____________（计算结果保留两位有效数字）。 保持沙和沙桶的质量不变，改变小车质量m，分别得到小车加速度a与质量m及对应的数据如表中所示，根据表中数 据，为直观反映F不变时，a与m的关系，请在图c中选中恰当的物理量和标度建立坐标系，并作出图线。 （3）从图线中得到F不变时小车加速度a与质量m间的定量关系是_________。 保持小车质量不变，改变沙和沙桶质量，该同学根据实验数据作出了加速度与合力F图线如图d，该图线不通过原点 ，明显超出偶然误差范围，其主要原因是_________。 ．如图所示，在测绘小灯泡的伏安特性曲线的实验中，用导线将a、b、c、d、e、f、g和h按图甲所示方式连接好电 路，电路中所有元器件都完好，且电压表和电流表已调零。 实验小组的同学首先测量并描绘出电源的路端电压U随电流I变化的图线如图乙中直线，则电源的电动势E＝ V，内阻r＝ Ω（保留两位有效数字； 闭合开关后，若不管怎样调节滑动变阻器，小灯泡亮度都能发生变化，但电压表、电流表的示数总不能为零，则可 能是 导线断路，某同学排除故障后测绘出小灯泡的U-I特性曲线为如图乙所示曲线，小灯泡的电阻随温度的上升而 ； 将与上面相同的两个小灯泡并联后接到上面的电源上，如图丙所示，每一只小灯泡的实际电功率是 W（保留两位有效数字。 12．选做题：请从A、B和C三小题中选定两小题作答，并在答题卡上把所选题目对应字母后的方框涂满涂黑，如都 作答则按A、B两小题评分。 A．选修模块33）（12分 （1）下列说法中正确的是 A．雨水不能透过布雨伞是因为液体表面存在张力 ．分子间的距离r增大，分子间的作用力做负功，分子势能增大 ．气体自发地扩散运动说明分子是永不停息地运动的 ．悬浮在液体中的微粒越大，在某一瞬间撞击它的液体分子数越多，布朗运动越明显 如图所示，一定质量的理想气体被活塞密封在一绝热容器中，活塞与容器壁无摩擦，当温度为T1时，气体压强为 p1，体积为V1，若温度升高到T2，气体压强变为p2，气体的体积变为V2，则p2 p1，V2 V1（填＞、＝或＜，若在活塞 上放置一定质量的重物，稳定后气体的压强变为p3，温度变为T3，则p3 p1，T3 T1（填＞、＝或＜。 铁的密度ρ＝7.8×103kg/m3、摩尔质量M＝5.6×10－2kg/mol，阿伏伽德罗常数NA＝6.0×1023 mol－1，将铁原子 视为球体，试估算铁原子的直径大小。保留一位有效数字 B．选修模块312分 （1）下列说法中正确的是 A．雷达是利用声波的反射来测定物体的位置 ．调制是电磁波发射的过程，调谐是电磁波接收的过程 ．在双缝干涉实验中，若仅将入射光由绿光改为红光，则相邻干涉条纹间距变窄 ．考虑相对论效应，一沿自身长度方向高速运动的杆的长度总比其静止时的长度短 在t＝0时刻，质点A开始做简谐运动，其振动图象如图所示，质点A振动的周期是 s，质点B在波的传播方向上与 A相距16m，已知波的传播速度为2m/s，在t＝9s时，质点B偏离平衡位置的位移是 cm。 如题图10所示，直角玻璃三棱镜置于空气中，已知∠A＝60°，∠C＝90°，一束极细的光于AC边的中点垂直AC面入 射，AC＝2a，棱镜的折射率为n＝。 ①作出光在棱镜内传播到第一次射入空气的光路图； ②求出光在棱镜内第一次射入空气时的折射角。 ．选修模块312分
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n n k 2 k 2
n2
n
n
n
n
n
k 2 n 1 k 2 n 1 n[2n1 (n 1)Cn (n 1) Cn n(n 1)2n2 2 ] n[2 2 ] n2
n(n 1)2
m
右边= C m 显然成立
m
②当 n k (k m) 时命题成立，即
m m m m m m 1 Cm Cm 1 C m 2 ... C k 1 C k C k 1 当 n k 1 时， m m m m m m m 1 m m 1 Cm Cm 1 C m 2 ... C k 1 C k C k 1 C k 1 C k 1 C k 2 即当 n k 1 时也成立， m m m m m m 1 综上所述由①②可得，原命题成立即 Cn Cm 1 Cm 2 Cn 1 Cn Cn 1 .
（ x 0, x 1）的展开式中含 x m 前的系数
记 S m 1 (1 x)m m 2 (1 x)m1 n(1 x)n1 n 1 (1 x)n 则
(1 x)S m 1 (1 x)m1 m 2 (1 x)m2 n(1 x)n n 1 (1 x)n1
二、证明组合恒等式的常用方法
（1）公式法，利用上述基本组合恒等式进行证明； （2）母函数法，也成为生成函数法； （3）求导数积分（类似于陈颖老师所说的函数升降格变形） ； （4）数学归纳法； （5）赋值法 （6）利用组合数组合数的实际意义不常用.
一、预备知识
基本组合数公式和常见的组合恒等式
k nk （1） C n C n k k k 1 （2） Cn 1 Cn Cn
k k k 1 （3） kCn nC n 1 或 C n
k m m k m （4） Cn Ck Cn Cn m
n k 1 C n 1 ; k k m m （ m k n ）; Cn Cn k m ，
1 2 n n 1 Cn 2Cn x nCn x 两边同时乘以 x 1 2 2 n n nx(1 x) n 1 Cn x 2Cn x nCn x 两边再对 x 求导可得 n 1
1 2 n n 1 n(n 1)(1 x) n 2 n(1 x) n 1 Cn 2 2 Cn x n 2Cn x 令 x 1 可得
浅谈高中阶段组合恒等式的证明
江苏省如东高级中学
组合恒等式是高等数学中的组合数学里的一部分内容， 在高等数学中对组合数学的研究 很透彻， 在高中阶段对组合恒等式的研究主要是启发学生的思维， 培养学生对组合数学的兴 趣.组合知识是江苏高考的选修内容，主要出现于江苏高考的加试最后一题，是区分度很高 的一节内容，2016 年的江苏高考中考察了组合恒等式，所以 2017 年在江苏各大市的一模卷 中较高密度的考察了组合恒等式， 笔者就近年的组合恒等式题型和读者一起探讨此类问题的 常用解题策略。
m 1 m m m m m 1 m m = =......= Cn （Cm 3 C m 3 ) C m 4 ... C n 1 Cn 1 C n 1 C n m 1 m m 1 = Cn Cn Cn 1 右边
证法二组合数实际意义： 设有 n+1 个不同元素 a1 , a2 , a3 ,...,an , an 1 , 从这 n+1 个元素中取出
(1 x)n 2 (1 x)m1 即只要看 g ( x) 中含 x m1 的项 (1 x) x x m 2 m f ( x ) ，再对 x 求导可得 中 x 前的系数为 ( m 1)Cn 2 .
n 1
证法四数学归纳法：对任意的 m N* ，
m
① 当 n m 时，左边 m 1 Cm m 1 ，右边 m 1 Cm2 m 1 ，等式成立，
证法二求导积分法：
n 0 0 1 1 n n （1）由 (1 x) Cn x Cn x Cn x 两边对 x 求导可得
1 2 n( 1 x n)1 C 2C x n n n n 1 n x . nC 显然命题得证
证法二赋值法： （2） n(1 x)
m2 m 1 Cm 2 Cm 2
1 m 1 m 1 Cm n 1 C m 1 C m 2
1 Cm n 1
所以，左边 右边． 证法二母函数法: 等式左边
m m m nCm m 1 Cm m m 2 Cm1 m 3 Cm2 n1 n 1 Cn 为 m m1 n1 n 函数 f ( x) m 1 (1 x) m 2 (1 x) n(1 x) n 1 (1 x)
三、例析
m m m m m m 1 例 1.证明： Cm Cm 1 Cm 2 ... Cn 1 Cn Cn 1 k k k 1 证法一组合数公式法: 有组合数性质 Cn 可得： 1 C n C n
m 1 m m m m m 1 m m m m = 左边= （Cm 1 C m 1 ) C m 2 ... Cn 1 C n （C m 2 Cm 2 ) C m 3 ... Cn 1 Cn
所以取法种数又等于
k m
C
n
m k
，因此原式成立
m m m m m 证法三母函数法：等式左边 C m Cm 1 C m 2 ... C n 1 C n 是
1 x m 1 x m1 1 x n1 1 x n 的展开式中含 x m 的项的系数，由数列求和公 式可得 x 0, x 1 时 1 x m 1 x m 1 1 x n 1 1 x n m n 1 m n 1 m 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1 x 1 x
m m 1 m 1 ，因此有 上式右边展开式中含 x 的项就是分子中含 x 的项，其系数为 Cn 1
m m m m m m 1 Cn Cm 1 Cm 2 Cn 1 Cn Cn 1
证法四数学归纳法：对任意的 m N * ①当 n m 时 左边= C m
1 2 3 (n 2 n)2n 2 12 Cn 22 Cn 32 Cn
n 1 n (n 1) 2 Cn n 2 Cn
说明：本题通过对原来的函数进行求导变形后，能得到不同的组合恒等式，是非常典型的 导函数赋值法的题， 与前面的母函数法本质相通却又有所不同， 需要用到求导或积分的手段， 而且针对组合数上标的不同特征应该采用不同的构造母函数的方法， 然后考察特定项或者整 n 体项，个人觉得如果恒等式中组合数上标递增且含有整数的 次幂应该用整体赋值法，如果 组合数上标均为同一个值应该采用考察特定项法. 例 3.（16 江苏高考题） ⑴ 求 7C6 4C 7 的值；
3 4
⑵ 设 m, n N ， n ≥ m ，求证：
*
m m m 1 Cm m m 2 Cm1 m 3 Cm2
m m 2 nCm n1 n 1 Cn m 1 Cn2 ．
（2）证法一组合数公式法:
m m1
因为 k 1 Ck m 1 Ck 1 ，所以
用错位相减法易求得
S
(1 x)m (1 x)n1 (n 1)(1 x)n1 m(1 x)m 其中 m 前的系数为 x x2 x x 2 m 1 m2 即命题得证. -Cm n 1 ( n 1)C n 1 ( m 1)Cn 2
证法三求导积分法：
n n
（5） Cn Cn Cn ... Cn 2 ； 0 1 n （6） Cn Cn ...(1) n Cn 0；
0 1 2 m m m m m m 1 . （7） C m Cm 1 C m 2 ... C n 1 C n C n 1
1 2 3 2 （1）求证： Cn 2Cn x 3Cn x n 2 n 1 n n 1 (n 1)Cn x nCn x n(1 x) n 1 ；
2 1 2 2 2 3 （2）求和： 1 Cn 2 Cn 3 Cn 证法一组合数公式法:
n 1 n (n 1) 2 Cn n 2 Cn ．
m1 m1
k k k 1
左边 m 1 Cm1 m 1 Cm2 又由 C n C n 1 C n 1 ，知
m1 m1 1 m 1 Cm n1 m 1 Cm1 Cm 2
1 Cm n 1
2 m2 m 1 m2 m 1 1 Cm Cn Cm n 2 C n 1 C n 1 C n n 1
说明：通过此道非常基础的习题，我们可以看出组合恒等式的四种常用解法. 其中母函 数法和构造组合模型法，这两种方法都用到了“算两次”的思想，所谓“算两次”原理，又 称富比尼原理，就是对同一个量，用两种不同的方法去计算，所得的结果应相等（在常州模 拟卷中有类似的算两次描述）.其中利用组合数的实际意义构造模型相对较难操作，并且在 阅卷时较为不利，所以仅作教学示范，在平时考试解题时一般不推荐使用. 例 2.当 n 1, n N 时，
m 1 m+1 个不同元素的取法有 Cn 1 种。
另一方面，我们也可将这些取法分类考虑如下： m 种取法， 若取 a1 ，则有 C n
m 若不取 a1 ，取出 a2 ，则有 C n 1 种取法， m 若不取 a1 , a2 取出 a3 则有 Cn 2 种取法，…， m 种取法 若不取 a1 , a2 , a3 ,...,an m , 取出 an m 1 则有 C m