1、平均变化率
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之间的函数关系是 V(r) = 4 πr3 3
如果将半径r表示为体积V的函数, 那么
r(V) = 3 3V 4π
分析一下: r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
(3 4 1) (3 2 1) 3 2
Baidu Nhomakorabea
例、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
解
y x
f(x0
x ) f(x0 ) x
(x0 +△x)2 △x
x02
=
2x0
△x
练习
1、 过y=x3上两点P（1，1)、Q(1+Δx,1+Δy) 作割线，当Δx=2时, 求
(1) 点Q的坐标; (2) Δy的值; (3) 割线PQ的斜率.
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒)存 在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如果用运动员在某段
时间内的平均速度粗略地
h
描述其运动状态,那么
o
t
分析一下: h(t)=-4.9t2+6.5t+10
• 当t从0增加到0.5时,平均速度为
1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2) r(1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r(2) r(1) 0.16(dm / L)
2 1
显然 0.62>0.16
思考?
r(V ) 3 3V
4
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀 率是多少?
r(V2 ) r(V1) V2 V1
A
x2-x1=△xx
x1
x2
例、 设函数f(x)=2x, 当ｘ从2变到1.9时, 求△x和 △ y.
解 △x＝1.9－２＝0.1
△y＝f(1.9)－f(2)＝－0.2
例 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位 : s)的 关系为: s(t) 3t 1,求t从2到4的平均速度v.
解 v s s(4) s(2) t 42
2.平均变化率的定义
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1) 表示 x2 x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
则平均变化率为
y = f(x2 ) - f(x1 ) = f(x1 + x)- f(x1)
x
x2 - x1
x
3.平均变化率的几何意义
思考? 观察函数f(x)的图象，平均变化率
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
表示什么?
y f(x2)
Y=f(x) B
割线AB 的斜率
f(x1) O
f(x2)-f(x1)=△y
v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) 0.5 0
• 当t从1增加到2时,平均速度为
v h(2) h(1) 8.2(m / s) 2 1
h
o
t
思考? h(t)=-4.9t2+6.5t+10
当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平 均速度是多少?
h(t2 ) h(t1) t2 t1
t
t
= [－4.9(２+ t)2 + 6.5(2 + t) 10]－[－4.9 22 + 6.5 2 + 10]
t
=－4.9△t－13.1
作业 P10 1, P11 2
补充题、求y=1/x在x=x0 附近的平均变化率.
解 (1) Q(3, 27)，(2) y 26 (3) kPQ 13
练习
2、在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒) 存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
当t从2 变到2+△t 时,求运动的平均速度.
解 v h h(2 t) h(2)
1.1.1 变化率问题
1.变化率 一个变量相对于另一个变量的变
化而变化的快慢程度叫做变化率．
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以
发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径 增加越来越慢.
从数学角度,如何描述这种现象呢?
问题1 气球膨胀率
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)
如果将半径r表示为体积V的函数, 那么
r(V) = 3 3V 4π
分析一下: r(V ) 3 3V
4
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L)
(3 4 1) (3 2 1) 3 2
Baidu Nhomakorabea
例、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.
解
y x
f(x0
x ) f(x0 ) x
(x0 +△x)2 △x
x02
=
2x0
△x
练习
1、 过y=x3上两点P（1，1)、Q(1+Δx,1+Δy) 作割线，当Δx=2时, 求
(1) 点Q的坐标; (2) Δy的值; (3) 割线PQ的斜率.
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒)存 在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
如果用运动员在某段
时间内的平均速度粗略地
h
描述其运动状态,那么
o
t
分析一下: h(t)=-4.9t2+6.5t+10
• 当t从0增加到0.5时,平均速度为
1 0
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2) r(1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r(2) r(1) 0.16(dm / L)
2 1
显然 0.62>0.16
思考?
r(V ) 3 3V
4
当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀 率是多少?
r(V2 ) r(V1) V2 V1
A
x2-x1=△xx
x1
x2
例、 设函数f(x)=2x, 当ｘ从2变到1.9时, 求△x和 △ y.
解 △x＝1.9－２＝0.1
△y＝f(1.9)－f(2)＝－0.2
例 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位 : s)的 关系为: s(t) 3t 1,求t从2到4的平均速度v.
解 v s s(4) s(2) t 42
2.平均变化率的定义
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f (x1) 表示 x2 x1
我们称之为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
• 若设Δx=x2－x1, Δy=f(x2)－f(x1)
这里Δx是x1的一个“增量” ：x2＝x1+Δx ;
Δy是ｆ(x1)的一个“增量” : f(x2)=f(x1) +Δy .
则平均变化率为
y = f(x2 ) - f(x1 ) = f(x1 + x)- f(x1)
x
x2 - x1
x
3.平均变化率的几何意义
思考? 观察函数f(x)的图象，平均变化率
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
表示什么?
y f(x2)
Y=f(x) B
割线AB 的斜率
f(x1) O
f(x2)-f(x1)=△y
v h(0.5) h(0) 4.05(m / s) 0.5 0
• 当t从1增加到2时,平均速度为
v h(2) h(1) 8.2(m / s) 2 1
h
o
t
思考? h(t)=-4.9t2+6.5t+10
当时间从t1增加到t2时,运动员的平均平 均速度是多少?
h(t2 ) h(t1) t2 t1
t
t
= [－4.9(２+ t)2 + 6.5(2 + t) 10]－[－4.9 22 + 6.5 2 + 10]
t
=－4.9△t－13.1
作业 P10 1, P11 2
补充题、求y=1/x在x=x0 附近的平均变化率.
解 (1) Q(3, 27)，(2) y 26 (3) kPQ 13
练习
2、在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒) 存在函数关系
h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
当t从2 变到2+△t 时,求运动的平均速度.
解 v h h(2 t) h(2)
1.1.1 变化率问题
1.变化率 一个变量相对于另一个变量的变
化而变化的快慢程度叫做变化率．
问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以
发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径 增加越来越慢.
从数学角度,如何描述这种现象呢?
问题1 气球膨胀率
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)