小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
染色与覆盖
第三讲 染色与覆盖本讲我们将一起学习染色与覆盖。
而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。
而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。
通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。
知识构架图：染色问题 座位问题（例 ）路径问题（例 ）结点问题（例 ）覆盖问题 一般覆盖（例 ） 特殊形状覆盖（例 ） 例题讲解一、 染色问题1、 座位染色问题例1：分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？染色。
我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，所以无法办到。
提高练习：（1）某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众，如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？提示：总共31×29=899个座位，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以办不到。
（2）五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。
新年到了，每个同学都准备了一个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个别人送的礼物？提示：总共49名同学，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以不可能。
2、 路径问题例2：分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。
所以我们按例1的方法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。
因为从A 格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A 格出去又要回到A 格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A 格为白格，所以不可以。
五年级奥数精讲-染色与覆盖
用 9 个 1×4 的长方形能不能拼成一个 6×6 的正方形？请说明理 由。
用若干个 2×2 和 3×3 的小正方形能不能拼成一个 11×11 的大正 方形？请说明理由。
（2010 年迎春杯初赛试题） 在左下表中，在有公共边的两格内的数同时加上 1 或同时减去 1 叫做一次操作．经过有限次操作后由左下表变为右下表，那么右 下表中 A 处的数是几？
染色与覆盖（二）
如图有 5 个由 4 个 1×1 的小正方格组成的不同形状的硬纸板.问 能用这 5 个硬纸板拼成图中的 4×5 的长方形吗？如果能，请画出 一种拼法；如果不能，请简述理由。
能否用 9 个 所示的卡片拼成一个 6×6 的棋盘？
在 6×6 的方格表中，用若干由 3 个单位方格组成的“L ”形纸片和 由 4 个单位方格组成的“凸”形纸片将其完全覆盖，所用纸片最少 为多少张?并在图中画出覆盖的方法。
1Leabharlann
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。
目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。
3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。
4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。
田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。
更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。
题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。
题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。
题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存有日字形覆盖。
题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。
题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。
题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。
题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。
提示：本题目需要用多种颜色染色。
题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。
题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分能够实现日形覆盖。
题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。
小学奥数杂题染色问题【三篇】
小学奥数杂题染色问题【三篇】
解析：对房间染色，使最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的
房染成白色，
则图中有7个黑色房间和5个白色房间．
如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等．故题中的想法是不能实现的．
点评：完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线，看是
否能够找到．
【第二篇】
展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入
口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?
答案：
不能.对展室实行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入
口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个
展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.
【第三篇】
染色问题基本解法：
三面涂色和顶点相关 8个顶点。
两面染色和棱长相关。
即新棱长（棱长-2）×12
一面染色和表面积相关。
同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*6
0面染色和体积相关。
用新棱长计算体积公式（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。
五年级下册奥数试题-组合数学之染色与覆盖 全国通用(含答案)
组合数学之染色与覆盖例1．有一次车展共36个展室，如下图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者 （填“能”或“不能”）从人口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来。
解：答：不能；如图将展室黑白相间染色，入口为白色，出口也是白色，而走遍36个展室，从白到黑，再从黑到白，共走了35步，最后应该走到黑格，而出口仍然是白格，矛盾，所以无法完成。
例2．棋盘由下图所示的9个小圆圈排列而成，用1~9编号，在3号和9号的小圆圈中各方一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中一格走入另一格，现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的临格之中。
如果在6步之内警察走入小偷所在的格子中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败。
问警察应如何取胜。
解：警察先从3走到1，则小偷从9走到7（或8）；第2步，警察走到2，小偷走到6（或9）； 第3步，警察走到3，小偷走到7或8；第4步，警察走到4，小偷走到9；第5步，警察6，小偷无论是走到7（或8），警察在第6步一定可以获胜。
例3．空间六点任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得到十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色），求证：无论这么染，总存在一个同色的三角形。
解：设六点为A 、B 、C 、D 、E 、F ，从A 点出发的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF 中至少有3条是同色的，不妨设AB 、AC 、AD 为红色，我们再看△BCD 的三边，如果都是蓝色，那么存在同为蓝色的△BCD ，若△BCD 中有一条边不是蓝色，而是红色，不妨设BC 是红色，则AB 、AC 、BC 都是红色，这是一个红色三角形。
所以总存在一个同色的三角形。
例4．下图是由14个大小相同的方格组成的图形，试问 （“能”或“不能”）剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。
2021年小学奥数组合问题专题 - 染色与覆盖
2021年小学奥数组合问题专题 - 染色与覆盖2021年小学奥数组合问题专题――染色与覆盖一、解答题1.六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？【答案】不能。
见解析【解析】划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到． 2.右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？【答案】(1)在水中(2)在岸上。
见解析【解析】（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中. （2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.3.某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?【答案】不能【解析】将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．4.右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?【答案】不能【解析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍． 5.有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【答案】不能【解析】如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．6.在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？【答案】图1中可以回到小屋，图2中无法直接回到小木屋。
五年级奥数：染色问题
五年级奥数：染色问题染色问题的解题思路染色问题是数奥解题中的难点，这类问题初看起来好像无从着手，其实只要认真思考问题也很容易解决，下面就染色问题的解题思路说一下。
图一首先，拿到一道题先认真观察，看这个题的突破点。
什么是染色问题的突破点呢？那就是找染色区域中的一个最多，这个最多是指一个区域，其他区域与它连接的最多。
例如图一中A区域A与B、C、D、E、 F连接最广所以A为特殊区域。
找到这个区域问题就容易解决了。
这个区域可以任意添色就是染最多的颜色。
本题中有4种颜色那么A可以染4种颜色了。
完成这个事件需要A、B、C、D、E、F6步所以用乘法原理。
这道题找到了最特殊的A区域第二特殊区域和第三区域的确定也就容易了，C区域是与A相连，连接区域的数量仅次于A区域图一中的C和E区域都可以做第二个特殊区域了，但只能选一个，我们把C当成第二特殊的区域，则C可以染3种颜色。
区域B跟A、C相连那么 B可以染2种。
D与A、C、E相连则只能选1种，对吗？我们仔细观察，按顺序说A----4，C------3，B-------2，D则连接A、C当A 选色后C有3种可能，D在A、C选色后只有2种可能。
E连接A、D也有两种可能。
F也是连接着A、E有两种可能。
这道题就解出来了。
有4×3×2×2×2=96种可能。
这道题跟以下一道题有异曲同工之效，大家不妨一起看下图二。
图二图中A与B、C相连有4种染色方式，为第一特殊区域。
而B是与A相连的第二特殊区域（切记，此时选第二特殊区域，乃是跟第一特殊区域相连的一个区域）B有3种可能，C连接A、B则有2种可能，D连接B、C则有2种可能，同理E也有2种可能。
所以此题有4×3×2×2×2=96种可能的染色。
再来看一个稍微复杂点的问题如图三 图三图中A有5种染色方式C------ 4，B-----3，D-----3，E------3，F------3，G------3。
解决小学奥数问题的方法：染色分类法
一种解决数学问题的新方法：染色分类法【摘要】：在现实生活中，有一些判断能与否的数学问题涉及到的知识点很少，难以快速地找到解题思路。
本文主要介绍一种解决这类数学问题的新方法：染色分类法。
对研究对象进行染色，可以形象、直观地使某些隐蔽的条件显露，从而 获得简明的解答。
【关键字】：染色 分类 数学问题一、 用染色解决图形覆盖问题：在中学数学竞赛中，我们常常会碰到这样的题目：用多个几何图形去覆盖另一个几何图形，问能否实现。
如果我们每一种情况都去试，不仅花时间，而且容易因考虑不全而出错。
对于这一类问题，我们不妨对涉及到的几何对象进行染色，再来寻找解题思路。
问题一：能否用2个田字形和7个T 字形恰好覆盖一个6⨯6网格？分析：这道题看似简单，但是如果要穷尽每种情况去试一试，却不太可行。
考虑到网格中共有36个小方格，不妨通过染色把这36个小方格分成黑白两类，然后看用田字形能覆盖住多少个，T 字形能覆盖住多少个，从而判断该题是否有解。
解：由于用黑白两种颜色对6⨯6 网格进行染色（如图），可以看到图中有18个黑格，18个白格。
而用一个田字形，无论放在哪里，都能覆盖住一个黑格，一个白格；而T 字形能覆盖住1个或3个白格。
所以2个田字形和7个T 字形总共覆盖住奇数个白格，而6⨯6 网格中总共有18（偶数）个白格，所以不能完全覆盖住。
问题二 ：要用40块方形瓷砖铺设如图2所示图形的地面，但当时商店只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块，一人买了20块长方形瓷砖，结果弄来弄去始终无法完整铺设好，你能否用这20块瓷砖（不分割任何一块）帮他铺好地面？图2 图3分析：要得出这道题的答案并不难，但是如何从理论上证明却没那么简单。
这里，如果我们仿照问题一采用染色方法，不仅能更快得出答案，更能较好地说明理由，让读者一目了然。
解：在图形上黑、白相间地染色，如图3。
则共有19个白格和21个黑格。
一块长方形瓷砖只可盖住一白一黑两格。
为了把所有的白格都盖住，需要19块长方形瓷砖，但19块长方形瓷砖只能盖住19个黑格，还有两个黑格没有盖住。
六年级奥数染色和覆盖
六年级奥数染色和覆盖1、一个8×8国际象棋盘去掉对角上两格后，是否可以用31个2×1的“骨牌”，把象棋盘上的62个小格完全盖住？2、至少需要几种颜色，才能使右图中所有具有公共端点的线段涂上不同的颜色。
3、现有1，1，2，2，3，3，……，10，10共20个数。
问能否将这些数排一行并满足两个1之间有一个数，两个2之间有两个数，两个3之间有三个数，……，两个10之间有十个数？请说明理由。
4、下图是由14个方格组成的图形，试证明，不论怎么裁剪，总不能把它剪成7个由相邻两个方格组成的长方形。
[全讲综合训练]1、六（1）班同学毕业前，互相交换照片留念，那么全班用来交换的照片的总张数是奇数还是偶数？2、正方形的展览厅如下图，共分16个展室，每个展室之间相通，你能不能设计出一条线路使参观的人不重复地走完全部展室？3、将上题的入口改在A处，如下图，这条线路可能吗？4、把下图中的圆图任意涂上红色或蓝色。
有没有可能使每一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由？5、由14个1×1的正方形组成下图，用7个1×2的长方形能不能把这个图形都盖住？为什么？6、在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个数，换成其它两数的和减1，这样一直进行下去，最后黑板上是17、1993、1997，问原来的三个数能否是8？7、一串数排成一行，它们的规律是前两个数都是1，从第三个数起，每个数都是前两个数的和，如下所示：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…这串数的前100个数（包括第100个数）中，有多少个偶数？8、象棋有棋盘上有一只马（马走“日”），跳了若干次，正次跳回到原来的位置，问马跳的步数是奇数还是偶数？9、有一批商品，每件都是长方体形状，它的尺寸是1×2×4。
现在有一批现成木箱，尺寸是6×6×6。
试问：能不能用这样的商品将木箱填满？10、能不能用8张1×3的长方形纸片完全盖住下面的图。
小学奥数模块教程染色问题(一)
染色问题（一）染色问题是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。
因此，这里的染色问题指的是一种解题方法。
这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会集中典型的染色方法。
根据具体题目的研究对象，染色方法大致可以分为对点染色、对线段染色、对方格染色和对区域染色。
对方格染色常用的是黑白方格相间染色，也叫自然染色。
例1如右图，在5×5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是朝上下左右方向爬到相邻的方格中。
那么他能否不重复的爬满每个方格再回A到A格中？解：有小虫的爬法，可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或白格爬到黑格。
所以它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。
而小方格为5×5=25个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数。
于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格。
例2 有一次车展有6×6=36个展室，如图。
每格展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者能否从入口进去，不重复地参观完每格展室在从出口出来？解：如图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能冲黑格到白格或者从白格到黑格。
入口和出口都是白格，故线路黑白相间，首位都是白格，于是应该白格比合格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不能做到不重复走遍每个展室。
例3 右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两间房间都有门相通。
请问，你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？解：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个黑格、7个白格。
因为每次只能从黑到白或者白到黑，路线必然是黑白相间，显然应该从多的白格开始。
但路线上1白1黑......直至5白5黑后还多余2白格，不可能从白到黑。
故无法实现不重复地走遍每个房间。
小结：染色问题的解题技巧主要在于染色具体方案的构造，其基本原则是使题目条件出现一定的规律，以利于解题。
染色与覆盖(基础篇)
座位问题
(★★)
五年级一班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座。
如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？
例1
染色与覆盖
棋盘染色
结点染色
(★★★
) 如图，是连接14个城市的道路图。
是否有一条路线可以经过每一个城市恰好一次？
(★★★)
下图中是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。
有一个人打算从A 室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A 室，问他的目的能否达到，为什么？
例2
例3
棋盘覆盖问题
(★★★)
图中是由14个大小相同的方格组成的图形。
试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？
(★★★★)
一只电动老鼠从右图的A 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。
当这只电动老鼠又回到A 点时，甲说它共转了83次弯，乙说它共转了84次弯。
如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？
例4
例5
特殊形状染色
相邻格＋1类问题
(★★★★
)
对于表⑴，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后(各次减去或加上的数可以不同)，变为表⑵？为什么？
(★★★) 能否用9个
所示的卡片拼成一个6×6的棋盘？
例6
例7
(★★★★)
在图⑴的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算
一次操作，经过若干次操作后变为图⑵，问：图⑵中的A 格中的数字是几？
例8。
小学奥数——染色问题（答案）
⼩学奥数——染⾊问题（答案）第9讲染⾊问题【知识要点】染⾊⽅法是⼀种对题⽬所研究的对象⽤直观形象的染⾊来进⾏分类的⽅法。
象国际象棋的棋盘那样，我们可以把研究的对象染上不同的颜⾊，使问题变得浅显明了、⼀⽬了然，有利于我们观察、分析对象之间的关系，再利⽤奇偶性、抽屉原理等多种知识对染⾊图形进⾏分析，从⽽达到对原问题的解决。
【典型例题】例1、教室中有7排位⼦，每排7张，每张位⼦上坐⼀个同学，如果⼀周后，每个同学都必须和他相邻的（前、后、左、右）某⼀个同学换位⼦，问：这种交换可能成功吗？为什么？解：如右图所⽰⿊⽩相间涂⾊，⽩⾊共有25个，⿊⾊24个，要实现题意要求，⼀个⽩⾊位置必须和⼀个⿊⾊位置互换，⿊⽩座位应该⼀样多才⾏，所以办不到。
例2、如图是⼀所房⼦的⽰意图,图中数字表⽰房间号码,每间房⼦都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的⾛遍所有房间⼜回到1号房间? 解：如图所⽰每⼀个奇数号房间旁边⼀定是偶数号房间，反之亦然，那么奇数号房间⼀定⾛到偶数号，偶数号⼀定⾛到奇数号，从⼀号开始⾛奇数步⼀定是到偶数号房间，⾛偶数步⼀定是到奇数号房间，要不重复的⾛遍所有房间回到1号房间，共要⾛9步，应该⾛到偶数号房间，⽽1是奇数，所以办不到。
例3、⼀个8?8国际象棋(下图)去掉对⾓上两格后,是否可以⽤31个2?1的“⾻牌” (形如 )把象棋盘上的62个⼩格完全盖住?解：任意⼀个2?1的“⾻牌”⼀定是⼀⽩⼀⿊的，所以若要⽤31个这样的⾻牌覆盖这个棋盘，⽩⿊格数应该⼀样多，⽽此棋盘中有32个⿊格，30个⽩格，所以办不到。
例4、线段AB 的两个端点，⼀个标以红⾊，⼀个标以蓝⾊。
在此线段中任意插⼊2008个分点，每个分点任意涂上红⾊或蓝⾊，这样分得2009条不重叠的⼩线段，如果把两端涂⾊不同的线段叫做奥运线段，奥运线段的条数是奇数还是偶数？解：原本的线段AB 就是⼀条奥运线段，然后不管中间插⼊的点是什么颜⾊的，都会破坏原来的奥运线段从⽽变成⼀条两端同⾊⼀条奥运线段，再然后如果在⼀条奥运线段中间插⼊任意颜⾊的点，奥运线段会被破坏，但是⼜会⽣成⼀条较短的，那么奥运线段的数量总数不变；如果在⼀条两端同⾊的线段中间插⼊不同⾊ 1 2 3 4 5 6 7 8 9的点，⼀下就增加2条奥运线段，不改变奥运线段数量的奇偶性。
小学奥数 小学五年级奥数 春季班 染色与覆盖(一)
染色与覆盖（一）
崔帅帅一个暑假的研究成果
三个不等式：
五年级一班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作他的邻座。
如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？
有一次车展共25个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来？
棋盘由如图所示的9个小圆圈排列而成，用1～9编号。
在3号和9号小圆圈中各放一枚棋子，分别代表警察和小偷。
若两个小圆圈之间有线相连，则棋子可以从其中的一个走入另一个．现在由警察先走，两人轮流，每人每次走一步，每步可以从一格走到有线相连的邻格之中。
如果在6步之内，警察走入小偷所在的格子之中，就算警察抓住了小偷而立功获胜；如果警察走了6步还没有抓住小偷，就算他失职而失败。
问：警察应如何取胜？
右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？
如图，缺两格的8×8＝64方格共有62个格，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙？
一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。
当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯，丙说它共转了83次弯，丁说它共转了84次弯。
如果四人有一人说对了，那么谁正确？。
小学奥数——染色问题(答案)
第9讲 染色问题【知识要点】染色方法是一种对题目所研究的对象用直观形象的染色来进行分类的方法。
象国际象棋的棋盘那样，我们可以把研究的对象染上不同的颜色，使问题变得浅显明了、一目了然，有利于我们观察、分析对象之间的关系，再利用奇偶性、抽屉原理等多种知识对染色图形进行分析，从而达到对原问题的解决。
【典型例题】例1、教室中有7排位子，每排7张，每张位子上坐一个同学，如果一周后，每个同学都必须和他相邻的（前、后、左、右）某一个同学换位子，问：这种交换可能成功吗？为什么？ 解：如右图所示黑白相间涂色，白色共有25个，黑色24个，要实现题意要求，一个白色位置必须和一个黑色位置互换，黑白座位应该一样多才行，所以办不到。
例2、如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间? 解：如图所示每一个奇数号房间旁边一定是偶数号房间，反之亦然，那么奇数号房间一定走到偶数号，偶数号一定走到奇数号，从一号开始走奇数步一定是到偶数号房间，走偶数步一定是到奇数号房间，要不重复的走遍所有房间回到1号房间，共要走9步，应该走到偶数号房间，而1是奇数，所以办不到。
例3、一个8⨯8国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个2⨯1的“骨牌” (形如 )把象棋盘上的62个小格完全盖住?解：任意一个2⨯1的“骨牌”一定是一白一黑的，所以若要用31个这样的骨牌覆盖这个棋盘，白黑格数应该一样多，而此棋盘中有32个黑格，30个白格，所以办不到。
例4、线段AB 的两个端点，一个标以红色，一个标以蓝色。
在此线段中任意插入2008个分点，每个分点任意涂上红色或蓝色，这样分得2009条不重叠的小线段，如果把两端涂色不同的线段叫做奥运线段，奥运线段的条数是奇数还是偶数？ 解：原本的线段AB 就是一条奥运线段，然后不管中间插入的点是什么颜色的，都会破坏原来的奥运线段从而变成一条两端同色一条奥运线段，再然后如果在一条奥运线段中间插入任意颜色的点，奥运线段会被破坏，但是又会生成一条较短的，那么奥运线段的数量总数不变；如果在一条两端同色的线段中间插入不同色 1 2 3 4 5 6 7 8 9的点，一下就增加2条奥运线段，不改变奥运线段数量的奇偶性。
小学奥数模块教程染色问题(一)
染色问题（一）染色问题是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。
因此，这里的染色问题指的是一种解题方法。
这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会集中典型的染色方法。
根据具体题目的研究对象，染色方法大致可以分为对点染色、对线段染色、对方格染色和对区域染色。
对方格染色常用的是黑白方格相间染色，也叫自然染色。
例1如右图，在5×5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是朝上下左右方向爬到相邻的方格中。
那么他能否不重复的爬满每个方格再回A到A格中？解：有小虫的爬法，可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或白格爬到黑格。
所以它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。
而小方格为5×5=25个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数。
于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格。
例2 有一次车展有6×6=36个展室，如图。
每格展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。
参观者能否从入口进去，不重复地参观完每格展室在从出口出来？解：如图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能冲黑格到白格或者从白格到黑格。
入口和出口都是白格，故线路黑白相间，首位都是白格，于是应该白格比合格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不能做到不重复走遍每个展室。
例3 右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两间房间都有门相通。
请问，你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？解：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个黑格、7个白格。
因为每次只能从黑到白或者白到黑，路线必然是黑白相间，显然应该从多的白格开始。
但路线上1白1黑......直至5白5黑后还多余2白格，不可能从白到黑。
故无法实现不重复地走遍每个房间。
小结：染色问题的解题技巧主要在于染色具体方案的构造，其基本原则是使题目条件出现一定的规律，以利于解题。
学而思奥数2011年五年级春季班第三讲染色与覆盖
第三讲 染色与覆盖本讲我们将一起学习染色与覆盖。
而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。
而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。
通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。
知识构架图： 染色问题 座位问题（例 ）路径问题（例 ）结点问题（例 ）覆盖问题 一般覆盖（例 ） 特殊形状覆盖（例 ）例题讲解一、 染色问题1、 座位染色问题例1：分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？染色。
我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，所以无法办到。
提高练习：（1）某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众，如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？提示：总共31×29=899个座位，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以办不到。
（2）五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。
新年到了，每个同学都准备了一个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个别人送的礼物？提示：总共49名同学，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以不可能。
2、 路径问题例2：分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。
所以我们按例1的方法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。
因为从A 格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A 格出去又要回到A 格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A 格为白格，所以不可以。
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解日字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由2个并排的正方形格子组成。
目字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个并排的正方形格子组成。
3-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由3个组成L形状的格子组成。
4-L形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成L形状的四个格子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。
田字形覆盖：用于覆盖的标准单元是由4个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。
更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。
题1：M×N的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。
题2：一个5×7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。
题3：如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存有日字形覆盖。
题5：证明，一个8*8的棋盘不可能用15个凸形块和一个田字形块覆盖。
题6：证明，一个8*8的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62个方格不可能实现日形覆盖。
题7：一个3*7的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。
题8：一个3*7的棋盘不存有3-L覆盖。
提示：本题目需要用多种颜色染色。
题9：若m*n的棋盘能够实现4-L覆盖，证明m*n能够被8整除。
题10：7*9的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分能够实现日形覆盖。
题11：在6*6的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？题12：假定8*8的棋盘是用64个正方形马赛克组成，每个马赛克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。
四年级奥数染色问题的知识点
四年级奥数染色问题的知识点小朋友们，咱们来聊聊四年级奥数里神奇的染色问题！啥是染色问题呢？这就好像是给一个大拼图上色，只不过这个拼图可复杂啦！比如说，有一个方格阵，咱要给它们染上不同的颜色，然后看看能发现啥有趣的规律。
就像咱们玩跳棋，每个格子都得有自己独特的颜色，不能乱套。
你想想，如果颜色乱七八糟的，那得多乱呀！染色问题里常常会有一些特别的条件。
比如说，要求相邻的格子不能是同一种颜色。
这就好像你的好朋友不能和你穿一样的衣服去学校，不然多没个性！那怎么解决这些染色问题呢？这可得好好动动脑筋。
咱们可以一个一个格子地去考虑，就像走迷宫，一步一步来，可不能着急。
先选好第一个格子的颜色，然后再想下一个和它挨着的格子该用啥颜色。
比如说有个九宫格，咱们先给左上角的格子染成红色，那它旁边的格子就不能是红色啦，可能就得是蓝色或者黄色。
这是不是有点像排座位，不能让关系好的总坐在一起，得打乱了才有新鲜感！再比如说，给一个图形的顶点染色。
每个顶点就像是一个小将军，它们也得有自己独特的标志颜色。
而且还要注意，相邻顶点的颜色不能一样，不然它们就分不清自己的队伍啦！还有那种复杂的立体图形染色，这可就像是给一个大城堡涂颜色，每个面都得漂漂亮亮的，还不能重样。
解决染色问题的时候，咱们得细心，就像给妈妈准备礼物，得用心包装，不能马虎。
小朋友们，染色问题是不是很有趣呀？只要咱们认真思考，多尝试，就一定能解决这些难题，就像超级英雄打败大怪兽一样厉害！我相信你们都能在奥数的世界里玩得开心，学得快乐！总之，四年级奥数的染色问题虽然有点难，但只要咱们用心，就能找到其中的乐趣和秘密，成为奥数小高手！。
第3讲 染色与覆盖
第3讲染色与覆盖1.如右图所示，25个座位分为12白13黑.相邻座位总是一黑一白，因为只有12个白座位，所以原来坐在黑座位上的13人不可能都换到白座位上.所以不能换成.2.如图所示，将房间黑白相间染色，发现有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑格到白格或由白格到黑格，路线必然黑白相间.入口处是黑格，从入口到出口共要走11步，那么最后一步必然是白格.然而出口处也是黑格，因此不可能不重复的走遍每个房间.3.将图形中的节点黑白相间染色，那么从黑点只能走到白点，从白点只能走到黑点.如果要每个节点都恰好经过一次，那么黑点和白点的数目应该刚好相等或者差1.而其中一共有9个黑点，7个白点，白点比黑点少2个，因此不能.4.先对44⨯的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个12⨯矩形能否分别覆盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个12⨯矩形可以覆盖剪残的棋盘,因为每个12⨯矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有6个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有6个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个12⨯矩形覆盖,也就不能剪成7个12⨯的矩形.棋盘(1)可以被7个12⨯的矩形所覆盖.下面给出一种剪法:5.将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住88⨯的棋盘.6.将44⨯的方格进行黑白相间染色，如右图所示，每个小格同时加1或减1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图⑴知这个差是8，由图⑵可知：白格数之和-黑格数之和(7)88A=．A=+-=，所以9。
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小学奥数染色问题和覆盖问题的讲解
日字形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 2 个并排的正方形格子组成。
目字形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 3 个并排的正方形格子组成。
3-L 形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 3 个组成L 形状的格子组成。
4-L 形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 4 个组成L 形状的四个格子组成，一边长一边短。
凸字形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 4 个组成汉字“凸”字形状的四个格子组成。
田字形覆盖:用于覆盖的标准单元是由 4 个组成汉字“田”字形状的四个格子组成。
完全覆盖的定义：用规定形状的标准单元去铺盖指定的方格棋盘，无重复无遗漏，则称该棋盘被所用的标准单元完全覆盖。
一系列的小题目，从易到难，慢慢培养解题水平。
更复杂的染色覆盖问题，往往需要涉及到用多种颜色实行染色，下面的题目仅有一个需要这种技巧。
题1: M KN的棋盘存有日形覆盖，当且仅当M,N中至少有一个为偶数。
题2: —个5X7的棋盘，去掉第二行第四列上的小方格之后，剩下部分有日形覆盖。
题3:如果m*n不能被3整除，则m*n的棋盘不可能有3-L覆盖。
题4：若M,N 都是奇数，则去掉任何一个方格，剩余的部分不存有日字形覆盖。
题5 ：证明，一个8*8 的棋盘不可能用15 个凸形块和一个田字形块覆盖。
题6：证明，一个8*8 的棋盘去掉左上角和右下角的两个方格后，剩下的62 个方格不可能实现日形覆盖。
题7 ：一个3*7 的棋盘，用红、蓝两种颜色染色，证明，总有四个同色的方格位于一个长方形的四个角上。
题8 ：一个3*7 的棋盘不存有3-L 覆盖。
提示：本题目需要用多种颜色染色。
题9：若m*n 的棋盘能够实现4-L 覆盖，证明m*n 能够被8 整除
题10：7*9 的棋盘中，挖去位于第四行，第六列的小方格，证明剩下的部分能够实现日形覆盖。
题11：在6*6 的正方形棋盘上的各个小方格上，分别写上从1 到36的36个数，要求相邻成“凸”字形的四个方格内的数字之和都为偶数，存有这种可能吗？
题12：假定8*8 的棋盘是用64 个正方形马赛克组成，每个马赛克能够翻动，而且每个马赛克正反两面一个为白色，一个为黑色。
现在开始翻转部分马赛克，但是要求每次必须同时翻动9 块（上次翻动的下一次还能够翻动），试问：是否能够经过有限次翻动之后，得到一个和原来黑白颜色正好相反的棋盘？
题13：某个展览大厅是一个6*6 的棋盘状，每个棋盘格子是一个展览室，相邻展览室之间有门相通。
现在有人想从入口开始，不重复不遗漏地走完所有的展览室。
已知该展览室的入口在左上角，出口在右下角，问，有无这种行走路径？
题14：一个2*8 的棋盘，水平线和垂直线相交的部分称之为格点对格点用红蓝两种颜色染色。
证明：无论如何，一定存有两条水平线和两条垂直线，它们所形成的格点是同一种颜色。