两角和与差的正切公式的应用

合集下载

两角和与差的正弦、正切公式及其应用高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin105°等于( )
A．0
1 B.2
3 C. 2
D．1
解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1.
答案：D
3．已知 tan α＝4，tan β＝3，则 tan(α＋β)＝( )
∴原式＝sin c3o0s°c1o7s°17°＝sin 30°＝12.
(4)原式＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝sin
10°cos 60°－cos 10°sin cos 10°cos 60°
符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．
[教材答疑]
[教材 P146 思考交流] 在例 3 中，sinπ4－α＝cosπ4＋α，是一个必然现象．因为：π4－α＋π4＋α＝π2. 所以π4－α＝π2－π4＋α， ∴sinπ4－α＝sinπ2－4π＋α＝cosπ4＋α， cosπ4－α＝cosπ2－π4＋α＝sinπ4＋α.
解析：(1)∵1t－ant1an2°1＋2°ttaann3333°°＝tan(12°＋33°)＝tan 45°＝1.
∴tan 12°＋tan 33°＝1－tan 12°tan 33°，
∴tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1.
(2)原式＝sin xcosπ3＋cos xsin3π＋2sin xcosπ3－2cos xsinπ3－ 3cos23πcos x

两角和与差的正弦正切公式及其应用重点难点突破

《两角和与差的正弦、正切公式及其应用》重点难点突破重点难点突破1.公式C a β±与S a β±的联系、结构特征和符号规律.四个公式C ,S a βαβ±±虽然形式不同，结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos()cos()ββαβαβ--−−−−→+以换 ()? 2sin()sin()παβαβββαβαβ-++-−−−−−−−→+−−−−→-以换以换. 这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos()αβ-的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式.对于公式C αβ-与C αβ+，可记为“同名相乘，符号反”；对于公式a S β-与S a β+，可记为“异名相乘，符号同”.2.公式T a β±的适用范围及结构特征和符号规律.（1）适用范围：由正切函数的定义可知,,αβαβ+（或αβ-）的终边不能落在y 轴上，即不为()2k k ππ+∈Z . （2）结构特征：公式T a β±的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan tan αβ的差或和.（3）符号规律：对于公式T αβ-与T a β+，可记为“分子同，分母反”.3.两角和与差的正弦、正切公式的常用方法.（1）正用：把两角和与差的正弦、正切公式从左向右展开；（2）逆用：公式的右边化简成左边的形式，当结构不具备条件时，要用诱导公式调节后再逆用.（3）变形应用：它涉及两个方面，一是公式本身的变形；二是角的变形，也称为角的拆分变换，如(),2()()βαβαααβαβ=+-=++-.注意：两角和与差的正切公式的常用变形有：（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-；（2）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+；（3）tan tan tan tan tan()tan()αβαβαβαβ+++=+；（4）tan tan tan tan 1tan()αβαβαβ+=-+；（5）tan tan tan tan 1tan()αβαβαβ-=--. 4.角的代换.代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出.例如在推导出C ,S ,T a a a βββ-++后，可以将β代换成β-，即可推导出C ,S ,T a a a βββ+--.常用的角的代换形式：（1） ()ααββ=+-；（2）()αββα=--；（3）1[()()2ααβαβ=++-；（4）1[()()]2ααββα=+--；（5）222αββααβ+⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（6）()()αγαββγ-=-+-.5.常值代换.用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换，如221sin cos ,1tan 45αα=+=，1sin 90,1cos 0==等.1,2223等常数均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数代换为三角函数值使用.例如()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 6031tan151tan 45tan15++==+==--. 6.给值求值问题的解题策略.根据已知角与未知角之间的联系，运用拆角和拼角技巧、诱导公式、同角三角函数关系式、两角和与差的余弦公式等进行变形，化未知为已知，从而达到求解的目的，求解过程中要注意根据角的范围判断所求三角函数的符号.在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：（1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；（2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β，得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0，保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143，由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评：解答此类问题分三步：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式考试要求 1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； (2)公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(3)公式S (α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；(4)公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(5)公式T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β； (6)公式T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β. 2．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 知识拓展两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)32sin α＋12cos α＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3.( × ) 教材改编题1．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．－210 B.210C ．－7210 D.7210答案 C解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝－35×22＋⎝⎛⎭⎫－45×22＝－7210. 2．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ . 答案 12解析原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝12. 3．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.题型一两角和与差的三角函数公式例1 (1)(2022·包头模拟)已知cos α＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6等于() A.13 B.12C.22D.33 答案 D解析 ∵cos α＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝1，∴cos α＋12cos α＋32sin α＝32cos α＋32sin α＝3⎝⎛⎭⎫32cos α＋12sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝1，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝33.(2)化简：①sin x ＋3cos x ＝ .答案 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3解析 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ②24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝ .答案 22sin ⎝⎛⎭⎫7π12－x解析原式＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝22sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫7π12－x . 教师备选1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝1，则sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6等于( ) A.12 B.33 C.23 D.22答案 B解析因为sin θ＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6cos π6－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6sin π6＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6sin π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6cos π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1. 所以sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝33. 2．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－112答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－45，tan α＝－34，又tan(π－β)＝12， ∴tan β＝－12， ∴tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan α·tan β＝－34＋121＋⎝⎛⎭⎫－34×⎝⎛⎭⎫－12＝－211. 思维升华两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．跟踪训练1 (1)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小值为( ) A. 2B ．－2C ．－ 2 D. 3答案 C解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 ＝sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4＋sin 2x cos π4－cos 2x sin π4＝2sin 2x . ∴y 的最小值为－ 2.(2)已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝3cos α，tan β＝33，则tan(α＋β)＝ . 答案－33 解析因为cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝32cos α－12sin α＝3cos α，所以－sin α＝3cos α，故tan α＝－3，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3＋331＋3×33 ＝－2332＝－33.题型二两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例2 (1)(多选)已知α，β，γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是( ) A ．cos(β－α)＝12B ．cos(β－α)＝13C ．β－α＝－π3D ．β－α＝π3答案 AD解析由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，将两式分别平方后相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，∴cos(β－α)＝12，即选项A 正确，B 错误；∵γ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴0<β－α<π2，∴β－α＝π3，即选项D 正确，C 错误．(2)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( )A.14 B.13C.12 D.53答案 B解析 ∵C ＝120°，∴tan C ＝－ 3.∵A ＋B ＝π－C ，∴tan(A ＋B )＝－tan C .∴tan(A ＋B )＝3，tan A ＋tan B ＝3(1－tan A tan B )，又∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13.延伸探究若将本例(2)的条件改为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则C 等于() A ．45° B ．135°C ．150°D ．30°答案 A解析在△ABC 中，因为tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－1＝－tan C ，所以tan C ＝1，所以C ＝45°.教师备选1．若α＋β＝－3π4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ . 答案 2解析 tan ⎝⎛⎭⎫－3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.2．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .答案－12解析 ∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12， ∴sin(α＋β)＝－12. 思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．跟踪训练2 (1)设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b答案 D 解析由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°) ＝22sin 56°－22cos 56° ＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .答案 4解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4. 题型三角的变换问题例3 (1)已知α，β∈⎝⎛⎭⎫π3，5π6，若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，cos ⎝⎛⎭⎫β－5π6＝513，则sin(α－β)的值为( ) A.1665B.3365C.5665D.6365答案 A解析由题意可得α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π2，π， β－5π6∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－5π6＝－1213，所以sin(α－β)＝－sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π6－⎝⎛⎭⎫β－5π6 ＝－45×513＋⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－1213 ＝1665. (2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝，tan α＝ .答案－1 12解析 ∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝tan (α＋2β)－tan β1＋tan (α＋2β)tan β＝2－(－3)1＋2×(－3) ＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝－1－(－3)1＋(－1)×(－3)＝12.教师备选(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．解 (1)因为tan α＝43， tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，因此tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β) ＝－211. 思维升华常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等．跟踪训练3 (1)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝ . 答案 π4 解析因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝⎛⎭⎫－1010＝22. 所以β＝π4. (2)已知0<α<π2<β<π，tan α＝43，cos(β－α)＝210，则sin α＝，cos β＝ . 答案 45 －22解析因为0<α<π2，且tan α＝43，所以sin α＝45，cos α＝35，由0<α<π2<β<π，则0<β－α<π，又因为cos(β－α)＝210，则sin(β－α)＝7210，所以cos β＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α ＝210×35－7210×45＝－22. 课时精练1．(2022·北京模拟)tan 105°等于( )A ．2－ 3B ．－2－ 3C.3－2 D ．－ 3答案 B解析 tan 105°＝tan(60°＋45°)＝tan 60°＋tan 45°1－tan 60°·tan 45°＝3＋11－3＝(3＋1)2(1－3)(1＋3)＝4＋23－2＝－2－ 3.2．已知点P (x ，22)是角α终边上一点，且cos α＝－13，则cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α等于() A ．－3＋226 B.3＋226C.3－226D.22－36答案 A解析因为点P (x ，22)是角α终边上一点，则有cos α＝x x 2＋(22)2＝x x 2＋8，而cos α＝－13，于是得x x 2＋8＝－13，解得x ＝－1，则sin α＝22x 2＋8＝223，因此，cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝cos π6cos α－sin π6sin α＝32×⎝⎛⎭⎫－13－12×223＝－3＋226，所以cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－3＋226.3.sin 10°1－3tan 10°等于( )A ．1 B.14C.12 D.32 答案 B解析 sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10° ＝2sin 10°cos 10°4⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin (30°－10°)＝14.4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于() A.3π4 B.π4或3π4C.π4 D ．2k π＋π4(k ∈Z )答案 C解析由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝255×31010－55×1010 ＝22，又0<α＋β<π，故α＋β＝π4. 5．(多选)下列四个选项中，化简正确的是( )A ．cos(－15°)＝6－24B ．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0C ．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12D ．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝12答案 BCD解析对于A ，方法一原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24. 方法二原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝22×32＋22×12＝6＋24，A 错误．对于B ，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B 正确．对于C ，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝12，C 正确．对于D ，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝12，D 正确． 6．(多选)已知cos(α＋β)＝－55，cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，以下判断正确的是( ) A ．sin 2α＝1213B ．cos(α－β)＝19565C ．cos αcos β＝8565D ．tan αtan β＝118答案 AC解析因为cos(α＋β)＝－55， cos 2α＝－513，其中α，β为锐角，所以sin 2α＝1－cos 22α＝1213，故A 正确；因为sin(α＋β)＝255，所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝⎛⎭⎫－513×⎝⎛⎭⎫－55＋1213×255＝29565，故B 错误； cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] ＝12⎝⎛⎭⎫－55＋29565＝8565，故C 正确；sin αsin β＝12[cos(α－β)－cos(α＋β)] ＝12⎣⎡⎦⎤29565－⎝⎛⎭⎫－55＝21565，所以tan αtan β＝218，故D 错误． 7．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .答案 sin(α＋γ)解析 sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．8．已知α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案－5665解析因为α，β∈⎝⎛⎭⎫3π4，π，所以3π2<α＋β<2π， π2<β－π4<3π4，因为sin(α＋β)＝－35， sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝1213，所以cos(α＋β)＝45， cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝－513，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝cos ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝45×⎝⎛⎭⎫－513＋⎝⎛⎭⎫－35×1213＝－5665. 9．已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．解 ∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2， π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53，sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459， ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729. 10．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解 (1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2. 又∵tan(α－β)＝－13＜0， ∴－π2＜α－β＜0. ∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050.11．已知cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α等于( ) A ．－3 B.13C ．－13D ．3答案 C解析由cos ⎝⎛⎭⎫π2－α＝2cos(π－α)得sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α ＝1－21－1×(－2)＝－13. 12．(多选)下列结论正确的是( )A ．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)B ．315sin x ＋35cos x ＝35sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 C ．f (x )＝sin x 2＋cos x 2的最大值为2 D ．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1答案 AD解析对于A ，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A 正确；对于B ， 315sin x ＋35cos x ＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，故B 错误；对于C ，f (x )＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，所以f (x )的最大值为2，故C 错误；对于D ，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D 正确．13．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝ .答案－3π4解析依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝－3a ，tan α·tan β＝3a ＋1，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β ＝－3a 1－(3a ＋1)＝1. 又⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β<0，tan α·tan β>0，所以tan α<0且tan β<0，所以－π2<α<0且－π2<β<0，即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－3π4. 14．(2022·阜阳模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为．答案 [－1，1]解析由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，又α，β∈[0，π]，∴－π≤α－β≤π，∴α－β＝π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，即π2≤α≤π， ∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎫2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π) ＝cos α＋sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4. ∵π2≤α≤π， ∴3π4≤α＋π4≤5π4， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．15．(2022·河北五校联考)已知x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin(x ＋y )＝2sin(x －y )，则x －y 的最大值为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π8 答案 B解析由sin(x ＋y )＝2sin(x －y )得sin x cos y ＋cos x sin y＝2sin x cos y －2cos x sin y ，则tan x ＝3tan y ，所以tan(x －y )＝tan x －tan y 1＋tan x tan y＝2tan y 1＋3tan 2y ＝21tan y＋3tan y ≤33，当且仅当tan y ＝33时等号成立，由于f (x )＝tan x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，又x ，y ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则x －y 的最大值为π6. 16.如图，在平面直角坐标系Oxy 中，顶点在坐标原点，以x 轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O 分别交于A ，B 两点，x 轴的非负半轴与单位圆O 交于点M ，已知S △OAM＝55，点B 的纵坐标是210.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解 (1)由题意知，|OA |＝|OM |＝1，因为S △OAM ＝12|OA |·|OM |sin α＝55，所以sin α＝255，又α为锐角，所以cos α＝55. 因为点B 是钝角β的终边与单位圆O 的交点，且点B 的纵坐标是210，所以sin β＝210，cos β＝－7210，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝55×⎝⎛⎭⎫－7210＋255×210＝－1010. (2)因为sin α＝255，cos α＝55， cos(α－β)＝－1010， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝255×⎝⎛⎭⎫－7210－55×210＝－31010，所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－22，因为α为锐角，sin α＝255>22，所以α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，所以2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，又β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4.。

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五

( − ) = ，

( − ) = .

公式六

( + ) = ，
2

( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.

2
;

1
④ cos

两角和与差的正、余弦和正切公式

两角和与差的正、余弦和正切公式和与差的三角函数公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．◆ 教材通关 ◆1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β. cos(α∓β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.[必记结论]1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． 3．二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)． (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. [必记结论]重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．4．函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝a b . [小题诊断]1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.答案：B2．(优质试题·河北三市第二次联考)若2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝3sin(π－θ)，则tan θ 等于( ) A ．－33B.32C.233D ．2 3解析：由已知得sin θ ＋3cos θ＝3sin θ，即2sin θ＝3cos θ，所以tan θ＝32.故选B. 答案：B3．(优质试题·广州模拟)已知cos(θ＋π)＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝________. 解析：cos(θ＋π)＝－13，所以cos θ＝13，sin ⎝⎛⎫2θ＋π2＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79. 答案：－794．(优质试题·高考全国卷Ⅰ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：∵α∈(0，π2)，tan α＝2，∴sin α＝255，cos α＝55，∴cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝22×(55＋255)＝31010.答案：310105．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．解析：由题可知，tan α＝sin αcos α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－43. 答案：－43◆ 易错通关 ◆1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．[小题纠偏]1．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2， ∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 答案：D2．已知α，β，γ∈(0，π2)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，那么β－α＝( )A.π6 B ．－π3C.π3D ．±π3解析：已知两式化为sin γ＝sin β－sin α，cos γ＝cos α－cos β，平方之后相加得(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2＝sin 2γ＋cos 2γ，即2－2sin βsin α－2cos αcos β＝1，cos(β－α)＝12，由于α，β，γ∈(0，π2)，∴sin γ＝sin β－sin α＞0，因而β＞α，则β－α＝π3，故选C.答案：C考点一三角函数公式的基本应用自主探究基础送分考点——自主练透[题组练通]1．(优质试题·高考全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A ．－79B ．－29C.29D.79解析：将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79.答案：A2．(优质试题·太原模拟)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos(α－π3)＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：由cos(α－π3)＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝3cos(α－π6)＝－1，故选C.答案：C3．已知cos(2α－π3)＝－13，则sin(α＋π6)－cos α＝( )A ．±33B ．－63C.63D ．±63解析：sin(α＋π6)－cos α＝sin αcos π6＋cos αsin π6－cos α＝sin(α－π6)，而cos(2α－π3)＝1－2sin 2(α－π6)＝－13，则sin(α－π6)＝±63，所以sin(α＋π6)－cos α＝±63，故选D.答案：D4．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝( ) A ．－195B ．－519C ．－3117D ．－1731解析：由题意得cos α＝－45，则sin 2α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝725.∴tan 2α＝－247，∴tan ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝tan 2α＋tan π41－tan 2αtan π4＝－247＋11－⎝⎛⎭⎫－247×1＝－1731. 答案：D三角函数公式的应用策略(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.考点二三角函数公式的逆用及变形用互动探究重点保分考点——师生共研[典例] (1)(优质试题·温州测试)已知sin x ＋3cos x ＝65，则cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝( ) A ．－35B.35 C ．－45D.45(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝________.(3)若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________.解析：(1)∵sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2⎝⎛⎭⎫sin π6sin x ＋cos π6cos x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝65，∴cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝35. (2)原式＝2cos 2x (cos 2x －1)＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝－4cos 2x sin 2x ＋14cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝1－sin 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x2cos 2x＝12cos 2x . (3)∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，∴1＋3(tan α＋tan β)＋3tan α·tan β＝4，即3(tan α＋tan β)＝3－3tan α·tan β＝3(1－tan αtan β)，即tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝ 3.又∵α，β为锐角，∴α＋β＝π3.答案：(1)B (2)12cos 2x (3)π3(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用.[即时应用]1．(优质试题·河南六市联考)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235 B.235 C.45 D ．－45解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎫α＋π6＝－45. 答案：D2．(优质试题·西安模拟)化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三角的变换互动探究重点保分考点——师生共研[典例] (优质试题·合肥质检)已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋αcos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．解析：(1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32.∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3.角的拆分与组合技巧(1)已知角表示未知角例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2 β＝(α＋β)－(α－β)， α＝(α＋β)－ β＝(α－β)＋β，α＝⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝⎝⎛⎭⎫α－π3＋π3. (2)互余与互补关系例如，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＝π， ⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2.(3)非特殊角转化为特殊角的和或差例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.[即时应用]1．(优质试题·深圳调研)若α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，则cos β＝( ) A.22 B.210 C.22或－210D.22或210解析：∵α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α－β)＝1010，∴sin α＝255，cos(α－β)＝31010，从而cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝22，故选A. 答案：A2．(优质试题·广州质检)若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：由题意得cos α≠0，∴sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，∴tan α＝2.又∵tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝－tan [(α－β)＋α]＝－tan (α－β)＋tan α1－tan (α－β)·tan α＝43.答案：43课时作业A 组——基础对点练1．设sin(π－θ)＝13，则cos 2θ＝( )A ．±429B.79 C ．－429D ．－79解析：因为sin(π－θ)＝sin θ＝13，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝79，故选B.答案：B2．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( )A ．－12B.12C.32D ．－32解析：sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310° ＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.答案：B3．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17 B.16 C.57D.56解析：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝13＋tan β1－13tan β＝12，解得tan β＝17.答案：A4．(优质试题·西安质量检测)sin 45°cos 15°＋cos 225°·sin 165°＝( ) A ．1 B.12 C.32D ．－12解析：sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°cos 15°＋(－cos 45°)·sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.答案：B5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝－78，则sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值为( ) A.14 B.78 C ．±14D ．±78解析：因为cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝78，所以有sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝12⎣⎡⎦⎤1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝12⎝⎛⎭⎫1－78＝116，从而求得sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值为±14，故选C. 答案：C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( ) A ．－233B ．±233C ．－1D ．±1解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－33，∴cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝⎛⎭⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1. 答案：C7．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan(α＋π4)的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．－1或3解析：∵2sin 2α＝1＋cos 2α， ∴4sin αcos α＝1＋2cos 2α－1，即2sin αcos α＝cos 2α，①当cos α＝0时，α＝k π＋π2，此时tan(α＋π4)＝－1，②当cos α≠0时，tan α＝12，此时tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝3，综上所述，tan(α＋π4)的值为－1或3.答案：D8．已知sin 2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( )A.16B.13。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

两角和与差的余弦、正弦、正切(一)1.2.公式：a sin θ＋b cos θ＝22b a +sin （θ＋ϕ(其中cos ϕ＝2222sin ,ba b ba a +=+ϕ，θ为任意角).(二)1.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用2.理解公式：a sin θ＋b cos θ＝22b a +sin （θ＋ϕ） (其中2222sin ,cos ba b ba a +=+=ϕϕ，θ为任意角).3.灵活应用上. (三)1. 2.提高学生的思维素质.利用两角和与差的正、余弦公式将a sin θ＋b cos θ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式.使学生理解并掌握将a sin θ＋b cos θ形式的三角函数式化为某一个角的三角函数形式，并能灵活应用其解决一些问题.cos θcos ϕ＋sin θsin ϕ＝cos （θ－ϕ cos θcos ϕ－sin θsin ϕ＝cos （θ＋ϕ sin θcos ϕ＋cos θsin ϕ＝sin （θ＋ϕ sin θcos ϕ－cos θsin ϕ＝sin （θ－ϕ1.)4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x2.利用和(差))3cos(66)3sin(62)4(cos sin 3)3(cos 53sin 153)2(cos 21sin 23)1(x x x x x x x x -+---+ππ［例1］求证)6sin(2sin 3cos απαα+=+证明：右边＝)sin 6coscos 6(sin2)6sin(2απαπαπ+=+)sin 23cos 21(2α+=或：左边＝)sin 6cos cos 6(sin 2sin 23cos 21(2sin 3cos απαπαααα+=+=+ )6sin(2απ+=(其中令6cos 23,6sin 21ππ==) ［例2］求证)3cos(2sin 3cos απαα-=+分析：要证此式，可从右边按照两角差的余弦公式展开，化简整理可证此式.若即：左＝)sin 3sin cos 3(cos 2)sin 23cos 21(2sin 3cos απαπαααα+=+=+ )3cos(2απ-=(其中令3sin 33,3cos 21ππ==) 师：综合上两例可看出对于左式ααsin 3cos +可化为两种形式)6sin(2απ+或)3cos(2απ-，右边的两种形式均为一个角的三角函数形式.那么，对于a sin α＋b cos α的式子是否都可化为一个角的三角函数形式呢?师：推导)cos sin (cos sin 222222ααααba b ba ab a b a ++++=+由于1)()(222222=+++b a b b a asin 2θ＋cos 2θ＝1(1)若令22ba a +＝sin θ，则22ba b +＝cos θ∴a sin α＋b cos α＝22b a +（sin θsin α＋cos θcos α）＝22b a +cos （θ－α或＝22b a +cos （α－θ(2)若令22ba a +＝cos ϕ，则22ba b +＝sin ϕ∴a sin α＋b cos α＝22b a +（sin αcos ϕ＋cos αsin ϕ）＝22b a +sin （α＋ϕ）例如：2sin θ＋cos θ＝)cos 55sin 552(1222θθ++ 若令cos ϕ＝552，则sin ϕ＝55∴2sin θ＋cos θ＝5（sin θcos ϕ＋cos θsin ϕ）＝5sin （θ＋ϕ若令552＝sin β，则55＝cos β∴2sin θ＋cos θ＝5（cos θcos β＋sin θsin β）＝5cos （θ－β）或＝5cos （β－θ）看来，a sin θ＋b cos θ均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式. Ⅳ.师：通过本节的学习，要在熟练掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式的基础上，推导并理解公式：a sin θ＋b cos θ＝22b a +sin （θ＋ϕ(其中cos ϕ＝22ba a +，sin ϕ＝22ba b +)ｍcos α＋ｎsin α＝22n m +cos （α－β(其中cos β＝22nm m +，sin β＝22nm n +进而灵活应用上述公式对三角函数式进行变形，解决一些问题.两角和差的正弦、余弦和正切公式（基础训练）1．化简)sin()sin()cos()cos(γββαγββα-----为（）A ．)2sin(γβα+-B ．)sin(γα- .cos()C αγ-D ．)2cos(γβα+- 2．已知3tan =α，则αααα22cos 9cos sin 4sin 2-+的值为（）A ．3B ．2110 C ．13 D ．1303．已知4sin 25α=-，(,)44ππα∈-，sin 4α的值为（）A ．2425B ．2425-C ．45D ．7254．函数2sin y x =是（）A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数5．已知sin αcos α=38，且4π<α<2π,则cos α－sin α的值为（） A ．12 B ．—12 C ．14- D ．12±6．已知α+ β =3π, 则cos αcos β αcos β αsin β – sin αsin β 的值为（）A ．2-B ．–1C ．1D ．7、已知1tan 23α=，求tan α的值． 8、已知4sin 5α=，(,)2παπ∈5cos 13β=-,β是第三象限角，求cos()αβ-的值.课时对点练一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分) 1．函数y ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数2．tan 70°＋tan 50°－3tan 70°·tan 50°＝( )A. 3B.33C ．－33D ．－ 33．若3sin x －3cos x ＝23sin(x －φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝( )A ．－π6B.π6C.5π6D ．－5π64．(2010·烟台调研)已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )A.725B.1625C.1425D.19255．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6－cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α的值是 ( )A.2＋33B ．－2＋33C.2－33D.－2＋33二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 6．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________． 7．(2010·汕头二模)若0＜α＜π2＜β＜π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________.8．已知α、β为锐角，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则β的值为________．三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分) 9．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12.(1)求tan α的值； (2)求sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值．10．(2010·湖南卷)已知函数f (x )＝sin 2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )的最大值及f (x )取最大值时x 的集合．素能提升练一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分) 1．(2009·海南卷)有四个关于三角函说法正确的是（） A ：x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； B x 、y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；C.：x ∈[0，π],1－cos 2x 2＝sin x ； D ：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2.二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分) 3.3－sin 70°2－cos 210°＝________. 4．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β＝________.三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分) 5．如图在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 两点的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的大小．6．(2010·珠海质量检测)已知函数f (x )＝4cos 4x －2cos 2x －1cos 2x .(1)求f ⎝⎛⎭⎫－1112π的值； (2)当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π4时，求g (x )＝f (x )＋sin 2x 的最大值和最小值．。

北师大版(2019)数学必修第二册：4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用教案

两角和与差的正弦、正切公式及其应用【第一课时】【教学目标】1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．2．能利用公式解决简单的化简求值问题．【教学重难点】利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.【教学过程】一、问题导入怎样借助30°，45°的三角函数值求出sin75°，sin15°的值？二、新知探究1．利用公式化简求值【例1】（1）sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝()A．－32B．－12C．12D．32（2）求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；（3）求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)的值．[思路探究]（1）化简求值应注意公式的逆用．（2）（3）对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．（1）C[sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin(17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°cos 17°＝cos 17°sin 30°cos 17°＝sin 30°＝12.]（2）解：原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1．（3）sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－3cos(θ＋15°) ＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)· cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－3cos(θ＋15°)＝12sin(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)＋32cos(θ＋15°)－12sin(θ＋15°)－3cos(θ＋15°)＝0. 【教师小结】（一）对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：(1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正负相消的项，消去，求值； (3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．（二）在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．2．给值(式)求值【例2】设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，若cos α＝－12，sin β＝－32，求sin(α＋β)的值． [思路探究]应用公式⇒注意角的范围⇒求出所给角的正弦值．[解]因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－12，所以sin α＝32，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，sin β＝－32，所以cos β＝12.所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝32×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝32.【教师小结】（1）当“已知角”有两个或多个时，“所求角”一般可以表示为其中两个“已知角”的和或差的形式．（2）当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．（3）角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式．提醒：解题时要重视角的范围对三角函数值的制约，从而恰当、准确地求出三角函数值．三、课堂总结1．两角和与差的正弦公式的结构特点(1)公式中的α，β均为任意角．(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．(3)两角和与差的正弦公式结构是“正余余正，加减相同”，两角和与差的余弦公式结构是“余余正正，加减相反”．2．两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系3．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式.四、课堂检测1．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B ．7210C ．－210D ．210A [∈cos α＝－45，α为第三象限角，∈sin α＝－35，由两角和的正弦公式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos π4＋cos α·sin π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.]2．函数f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为( )A ．[－2,2]B ．[]－3，3C ．[－1,1]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B [f (x )＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，所以函数f (x )的值域为[－3，3]．故选B ．]3．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________.32 [原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝sin(25°＋35°)＝sin 60°＝32.]4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β.[解] ∈α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，∈sin β＝31010，cos α＝255.∈sin α<sin β，∈α<β，∈－π2<α－β<0， ∈sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝55×1010－255×31010＝－22，∈α－β＝－π4.【第二课时】【教学目标】1．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式． 2．掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．【教学重难点】利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.【教学过程】一、问题导入怎样借助30°，45°的三角函数值求出tan75°，tan15°的值？二、新知探究 1．利用公式化简求值【例1】求下列各式的值：（1）tan 15°；（2）1－3tan 75°3＋tan 75°；（3）tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°.[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如（1）)及公式的逆用(如（2）)与活用(如（3）)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．[解]（1）tan 15°＝tan(45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－ 3. （2）1－3tan 75°3＋tan 75°＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75°＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1．（3）∈tan(23°＋37°)＝tan 60°＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°＝3，∈tan 23°＋tan 37°＝3(1－tan 23°tan 37°)，∈原式＝3(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3.【教师小结】（1）公式Tα＋β，Tα－β是变形较多的两个公式，公式中有tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．（2）一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．2．条件求值(角)问题【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.（1）求tan(α＋β)的值；（2）求α＋2β的值．[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tanα，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．[解]由条件得cos α＝210，cos β＝255，∈α，β为锐角，∈sin α＝7210，sin β＝55，∈tan α＝7，tan β＝1 2.（1）tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3．（2）tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝tan(α＋β)＋tan β1－tan(α＋β)·tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1，∈α，β为锐角，∈0＜α＋2β＜3π2，∈α＋2β＝3π4.【教师小结】（一）通过先求角的某个三角函数值来求角．（二）选取函数时，应遵照以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．（三）给值求角的一般步骤： (1)求角的某一三角函数值； (2)确定角的范围；(3)根据角的范围写出所求的角． 3．公式的变形应用 [探究问题]（1）判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示]根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．（2）在∈ABC 中，tan(A ＋B )与tan C 有何关系？ [提示]根据三角形内角和定理可得A ＋B ＋C ＝π， ∈A ＋B ＝π－C ，∈tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ．【例3】已知∈ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，判断∈ABC 的形状．[思路探究]化简条件→求出tan A ，tan C → 求出角A ，C →判断形状. [解]由tan A ＝tan[π－(B ＋C )] ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C tan B tan C －1＝3－3tan B tan Ctan B tan C －1＝－ 3. 而0°＜A ＜180°， ∈A ＝120°.由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝tan A＋tan B tan A tan B－1＝tan A＋tan B3tan A＋3tan B＝33，而0°＜C＜180°，∈C＝30°，∈B＝30°.∈∈ABC是顶角为120°的等腰三角形．【教师小结】公式T α＋β的逆用及变形应用的解题策略(1)“1”的代换：在T α＋β中，如果分子中出现“1”常利用 1＝tan 45°来代换，以达到化简求值的目的，如1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α；3tan α＋31－tan α＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4.(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．三、课堂总结1．公式T (α±β)的适用范围和结构特征(1)由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )． (2)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．2．两角和与差的正切公式的变形变形公式如：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan α tan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan α tan β)； tan α tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋ β)等.四、课堂检测1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝( )A ．15B ．－15C ．5D ．－5A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝32，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝32－11＋32＝15，选A ．]2．tan 10°tan 20°＋3(tan 10°＋tan 20°)等于( ) A ．33 B ．1 C ． 3D ．6B [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1．]3．计算3－tan 15°1＋3tan 15°＝________.1 [3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1．]4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝14，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5的值．[解] ∈α＋π5＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5，∈tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π51＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π5＝25－141＋25×14＝322.。

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

3．1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)学习目标1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一两角和与差的正切公式知识点二两角和与差的正切公式的变形 1．T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)． tan αtan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β).2．T (α－β)的变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝tan(α－β)． tan αtan β＝tan α－tan βtan (α－β)－1.1．对于任意角α，β，总有tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β .( × )提示公式成立需α，β，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z .2．使公式tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β有意义，只需α，β≠k π＋π2(k ∈Z )即可．( × )提示还应使α±β≠k π＋π2，k ∈Z .3．若α，β，α＋β≠k π＋π2，k ∈Z ，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)恒成立．( √ )4．α≠k π－π4，且α≠k π＋π2，k ∈Z 时，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α.( √ )题型一正切公式的正用例1 (1)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝ . 考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案 75解析方法一 ∵tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝tan α－11＋tan α＝16. ∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)， ∴tan α＝75.方法二 tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.(2)设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用答案 A解析由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝31－2＝－3.反思感悟 (1)直接运用两角和与差的正切公式进行求值、化简与证明的关键是准确记忆公式，特别是T α±β中的符号规律是“分子相同、分母相反”．(2)对于不能直接套用公式的情况，需根据已知与未知进行变形使之联系起来，有时还要借助角的变换技巧．跟踪训练1 已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为．考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案 3解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.题型二正切公式的逆用与变形使用例2 (1)1＋tan 15°1－tan 15°＝ .考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简答案3解析原式＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝tan 60°＝ 3.(2)化简：tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°. 考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简解方法一 tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37° ＝tan(23°＋37°)(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37° ＝tan 60°(1－tan 23°tan 37°)＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 方法二 ∵tan(23°＋37°)＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3＝tan 23°＋tan 37°1－tan 23°tan 37°，∴3－3tan 23°tan 37°＝tan 23°＋tan 37°， ∴tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°＝ 3. 反思感悟两角和与差的正切公式有两种变形形式 ①tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan α·tan β＝tan α±tan βtan (α±β).当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．跟踪训练2 若A ，B 是△ABC 的内角，并且(1＋tan A )·(1＋tan B )＝2，则A ＋B 等于( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.2π3 考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求角答案 A解析由(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，得1＋tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝2. 所以tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B .由tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝1－tan A tan B 1－tan A tan B ＝1，得A ＋B ＝π4.和、差角公式的综合应用典例已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝ . 考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案 17[素养评析] 借助和、差角公式，将要求代数式与已知条件建立联系，需要具备较好的运算能力，这正是数学核心素养数学运算的具体体现.1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A.13 B ．－13 C ．3 D ．－3 考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案 A解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.2．(2018·全国Ⅱ)已知tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝15，则tan α＝ . 考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案 32解析 tan ⎝⎛⎭⎫α－5π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝15，解得tan α＝32.3．计算：3－tan 15°1＋3tan 15°＝ .考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式化简答案 1解析 3－tan 15°1＋3tan 15°＝tan 60°－tan 15°1＋tan 60°tan 15°＝tan 45°＝1.4．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，则α＋β＝ . 考点两角和与差的正切公式题点综合应用两角和与差的正切公式求角答案－2π3解析因为tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33<0，tan α·tan β＝4>0.所以tan α<0，tan β<0，所以α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. 所以－π<α＋β<0，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝333＝ 3.所以α＋β＝－2π3.5．已知cos α＝55，cos β＝35，其中α，β都是锐角．求： (1)sin(α－β)的值； (2)tan(α＋β)的值．考点和、差角公式的综合应用题点综合运用和、差角公式化简求值解 (1)因为α，β都是锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝255，sin β＝1－cos 2β＝45，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝255×35－55×45＝2525. (2)tan α＝sin αcos α＝2，tan β＝sin βcos β＝43，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－2.1．公式T (α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T (α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”． 2．应用公式T (α±β)时要注意的问题 (1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α，β，α＋β(或α－β)的终边不能落在y 轴上，即不为k π＋π2(k ∈Z )．(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan π4＝1，tan π6＝33，tan π3＝3等．特别要注意tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α，tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α. (3)公式的变形应用只要用到tan α±tan β，tan αtan β时，有灵活应用公式T (α±β)的意识，就不难想到解题思路．特别提醒：tan α＋tan β，tan αtan β容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．一、选择题1．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案 C解析 (1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27° ＝1＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2. 2．已知tan α＝3，则tan ⎝⎛⎭⎫13π4－α等于( ) A ．－2 B ．2 C.12 D ．－12考点两角和与差正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案 D解析 tan ⎝⎛⎭⎫13π4－α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1－tan α1＋tan α＝1－31＋3＝－12. 3．在△ABC 中，若3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，则sin 2A 等于( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.12考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用答案 B解析在△ABC 中，因为3(tan B ＋tan C )＝tan B tan C －1，所以tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－33，所以B ＋C ＝150°，所以A ＝30°，所以sin 2A ＝sin 60°＝32.4．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.π3考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求角答案 C解析 ∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，∴tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝－1，又α为锐角，∴2α＝3π4，∴α＝3π8.5．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( )A ．－13 B.13 C ．－3 D ．3考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用答案 B解析由a ·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2.tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2＝13.6．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B 等于()A ．30°B ．45°C ．120°D ．60°答案 D解析由公式变形得tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝tan(180°－C )(1－tan A tan B )＝－tan C (1－tan A tan B )＝－tan C ＋tan A tan B tan C .∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C＝tan A tan B tan C ＝3 3.又∵tan 2B ＝tan A tan C ，∴tan 3B ＝33，∴tan B ＝3，又0°＜B ＜180°，∴B ＝60°.7．已知tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为() A ．1 B.110C ．1或110D ．1或10考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用答案 C解析 ∵α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β，即lg(10a )＋lg 1a ＝1－lg(10a )·lg 1a ，1＝1－lg(10a )·lg 1a ，∴lg(10a )·lg 1a ＝0.∴lg(10a )＝0或lg 1a＝0. 得a ＝110或a ＝1. 二、填空题8.tan 17°＋tan 43°1－tan 17°tan 43°＝ . 考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案3 9.1－3tan 75°3＋tan 75°＝ . 考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值答案－1解析原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75° ＝tan(30°－75°)＝－tan 45°＝－1.10．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝ . 考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式综合应用答案 43 解析由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，则tan α＝2，因为tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2.故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝－2－21＋(－2)×2＝43. 11.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，D 为垂足，AD 在△ABC 的外部，且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，则tan ∠BAC ＝ .考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用答案 17解析 ∵AD ⊥BC 且BD ∶CD ∶AD ＝2∶3∶6，∴tan ∠BAD ＝BD AD ＝13， tan ∠CAD ＝CD AD ＝36＝12， tan ∠BAC ＝tan(∠CAD －∠BAD )＝tan ∠CAD －tan ∠BAD1＋tan ∠CAD tan ∠BAD ＝12－131＋12×13＝17. 三、解答题12．已知一元二次方程ax 2－(2a ＋1)x ＋(a ＋2)＝0的两个根为tan α，tan β，求tan(α＋β)的值．考点两角和与差的正切公式题点利用两角和与差的正切公式求值解由a ≠0和一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＋tan β＝2a ＋1a ，tan αtan β＝a ＋2a，代入上式可得：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝2a ＋1a 1－a ＋2a＝－12－a .13．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B 的横坐标分别为13，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α的值．考点两角和与差的正切公式题点两角和与差的正切公式的综合应用解 (1)由题意得cos α＝13，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55，因此tan α＝22，tan β＝12，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522. (2)tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α＝12×tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12×tan [(α＋β)－α]＝12×tan β＝12×12＝14.。

两角和与差的正切公式的几何意义

正切公式是初等数学中的一个基本概念，它在几何问题中有着重要的应用。

本文将从两角和与差的正切公式出发，探讨其在几何中的意义，希望能给读者一个清晰的认识。

一、两角和的正切公式两角和的正切公式是初等数学中的重要公式之一。

它表示了两个角的正切之和与它们的其他三角函数之间的关系。

具体表达式如下：tan(α+β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα * tanβ)这个公式在解决一些几何问题时具有重要的作用。

在三角形中，如果已知两个角的正切值，我们可以利用两角和的正切公式求出这两个角的正切值之和，从而进一步得到角的具体数值。

二、差的正切公式与两角和的正切公式类似，差的正切公式是另一个重要的公式。

它表示了两个角的正切之差与它们的其他三角函数之间的关系。

具体表达式如下：tan(α-β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanα * tanβ)这个公式同样可以应用在解决几何问题中。

在求解一个三角形中的角度时，如果已知两个角的正切值之差，我们就可以利用差的正切公式求出这两个角的正切值之差，从而进一步得到角的具体数值。

三、两角和与差的正切公式的几何意义两角和与差的正切公式的几何意义在于，它们可以帮助我们解决一些与角度相关的几何问题。

通过这些公式，我们可以根据已知的角度信息，推导出其他角度的数值。

这在实际问题中有着重要的应用，特别是在工程、测量、导航等领域。

在测量工程中，我们经常会遇到需要求解某个角度的情况。

通过两角和与差的正切公式，我们可以根据已知的角度信息，快速准确地计算出需要的角度数值。

这对于确保测量的准确性具有重要的意义。

在导航领域，两角和与差的正切公式同样可以发挥重要作用。

在航空、航海等领域，我们需要根据已知的航向角和风向角，计算出实际的飞行或航行角度。

借助正切公式，我们可以便捷地完成这一计算过程，确保飞行或航行的准确性和安全性。

两角和与差的正切公式在几何中具有重要的意义，它为我们解决与角度相关的实际问题提供了有力的工具和方法。

两角和差的正弦余弦正切公式

两角和差的正弦余弦正切公式两角和差的正弦、余弦、正切公式是解决三角函数的运算中的常用工具。

它们可以通过已知两个角的三角函数值来求解它们的和或差的三角函数值。

这些公式在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

下面将详细介绍这些公式，以及它们的推导和应用。

1.两角和差的正弦公式sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。

为了推导这个公式，我们可以使用三角函数的和差角公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)通过观察可以发现，两角和差的正弦公式可以通过将cos(A ± B)公式正负号变化得到。

2.两角和差的余弦公式cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)其中A和B为任意两个角。

可以看到，这个公式可以通过将sin(A ± B)的公式正负号变化得到。

3.两角和差的正切公式tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))其中A和B为任意两个角。

这个公式可以通过两角和差的正弦公式和余弦公式相除得到。

使用公式sin(A)/cos(A) = tan(A)和cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)=cos(A+B)得到。

这些公式在解决三角函数运算中有着广泛的应用。

例如，我们可以将它们用于证明或求解三角恒等式。

以下是一些常见的应用示例：1.求两个特定角的正弦、余弦或正切值的和或差的问题。

例如，已知sin(A) = 0.6，cos(B) = 0.8，求sin(A+B)的值。

根据两角和差的正弦公式，我们可以有：sin(A+B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)= 0.6*0.8 + cos(A)*sin(B)如果我们已经知道了cos(A)和sin(B)的值，就可以计算出sin(A+B)的值。

两角和与差的正切公式的应用

证明：左边 tan A B 1 tan A tan B tan C tan k C 1 tan A tan B tan C 讨论：当k 2n, (n Z )时，左边 tan 2n C 1 tan A tan B tan C tan C 1 tan A tan B tan C
tan( ) tan( ) 0 1 tan( ) tan( )
例题1
例题2
例题3
退出
§4.6 两角和与差的正切公式的应用
学习目标朝花夕拾基础应用变形应用基础应用小结达标测试作业
2 1 例题2、（3）已知 tan , tan( ) , 求 tan( ). 5 4 4 4 解：
例题1 例题2 例题3
退出
§4.6 两角和与差的正切公式的应用
学习目标朝花夕拾基础应用变形应用基础应用小结达标测试作业
例题3、计算
1 tan15 tan 45 tan15 （1）（ tan 45 15 ） tan 60 3. 1 tan15 1 tan 45 tan15 1 cot15 1 tan 75 （2） = tan 45 75） tan120 3. （ 1 tan 75 1 tan 75 1 tan （3）已知，化简 4 1 tan
学习目标朝花夕拾基础应用变形应用变形应用小结达标测试作业
变形公式
tan tan tan 1 tan tan
tan tan tan 1 tan tan 例题3、在非直角三角形中，求证： A tan B tan C tan A tan B tan C. tan 证明：由题意A B C 左边 tan A B 1 tan A tan B tan C

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (精讲+精练)(学生版)

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：公式的基本应用高频考点二：公式的逆用及变形高频考点三：辅助角公式的运用高频考点四：二倍角高频考点五：拼凑角第四部分：高考真题感悟第五部分：第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式（精练）1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式①两角和与差的正弦公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-②两角和与差的余弦公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+③两角和与差的正切公式tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-2、二倍角公式①sin22sin cos ααα=②22cos2cos sin ααα=-；2cos22cos 1αα=-；2cos212sin αα=- ③22tan tan 21tan ααα=-3、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα-=4、辅助角公式：sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 5、常用结论①两角和与差的正切公式的变形：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=± ②21sin 2(sin cos )ααα+=+ ③21sin 2(sin cos )ααα-=- ④sin cos )4πααα±=±一、判断题1．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）tan 35tan8535tan85︒︒︒︒+=.( ) 2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）1sin 73cos13cos73sin132-=.( ) 二、单选题3．（2022·北京·高三学业考试）sin cos θθ=（） A ．1sin 22θB ．1cos 22θC ．sin 2θD ．cos2θ4．（2022·四川成都·高一期中（理））sin5sin55︒+︒=（） A ．sin 60︒ B ．sin 65︒ C ．sin 70︒ D ．sin 75︒三、填空题5．（2022·云南玉溪·高一期末）23sin1601sin 35-︒+︒的值等于____________．6．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）将sin x x 化为sin()(0)A x A ωϕ+>的形式为______．高频考点一：公式的基本应用例题1．（2022·江苏徐州·高一期中）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若4sin 5α，则()cos 6πα-=（） A B C D 例题2．（2022·四川成都·高一期中（理））若tan α，tan β是方程22370x x +-=两个实数根，则tan()αβ+=（） A ．13-B ．13C ．32-D ．25例题3．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）已知sin cos αβ+=cos sin αβ+=则sin()αβ+= A ．12B C ．12-D ．例题4．（2022·江苏·淮阴中学高一阶段练习）求值1tan15tan15︒+︒（） A ．4B ．14C．4+D．4-例题5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））化简计算：sin 58sin13cos 45cos13︒-︒︒=︒___________．例题6．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）若tan 2θ=，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________；tan 2θ=___________．题型归类练1．（2022·河北·沧县中学高一阶段练习）sin50cos100cos50sin100+=（） A ．12BC ．－12D2．（2022·北京市第二十五中学高一期中）sin 75︒=（） A 122 BCD3．（2022·北京·北师大实验中学高一期中）已知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin 5θ=，则os 4πc θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A．10B．10-C．10D．10-4．（2022·江苏·南京外国语学校高一期中）已知1sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A．BC． D5．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若3sin ,(,)52πααπ=∈，则sin()3πα-=（）ABCD6．（2022·山东德州·高一期中）已知cos 2πcos 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 2α=______．7．（2022·江苏·南京师大附中高一期中）设复数1cos isin z αα=+，2cos isin z ββ=+，已知12z z -=. (1)求()cos αβ-的值； (2)若0,tan 72παβα-<<<=-，求2αβ-的值.高频考点二：公式的逆用及变形例题1．（2022·江苏省前黄高级中学高一阶段练习）cos17cos43sin17sin223+=（）A ．12-B ．C ．12D例题2．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）已知cos α=，()sin βα-=,αβ均为锐角，则β=（） A ．12πB ．6πC ．4π D ．3π 例题3．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））3πππ13πsincos cos sin 412412+=___________．例题4．（2022·四川凉山·高一期中（理））tan 26tan 343tan 26tan 34++⋅=_________．例题5．（2022·江苏·盐城市伍佑中学高一期中）求下列各式的值． (1)sin10cos20sin80sin 20︒︒+︒︒ (2)cos 47sin17sin 30cos17︒+︒︒︒题型归类练1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））tan204sin20︒+︒=（）AB ．1CD ．2．（2022·四川省广安第三中学校高一阶段练习）tan17tan 28tan17tan 28︒+︒+︒︒等于（）A ．BC ．-1D ．13．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）已知3cos()cos sin()sin 5αβααβα+++=-，则cos 2β=____________．4．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）化简：tan10tan20tan30tan10tan20tan30+++=__________．5．（2022·江苏宿迁·高一期中）在ABC 中，已知tan tan tan A B A B +，则C =_________6．（2022·江苏·马坝高中高一期中）22tantantan 9999ππππ+=__________.高频考点三：辅助角公式的运用例题1．（2022·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值：(1)1cos 2y x x =； (2)sin cos y x x =-；(3)sin y x x =； (4)sin 22y x x =.例题2．（2021·全国·高一课时练习）设m 为实数，已知sin 1m αα=-，求m 的取值范围．例题3．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一阶段练习）求函数21sin cos (sin cos )y x x x x =++++的值域.题型归类练1．（2022·江西九江·三模（文））已知1sin cos 3αα-=，则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．13-B ．C ．13D2．（2022·江西·︒︒=（）A B ．12C ．D ．12-3．（2022·湖南·=___________．4．（2022·陕西汉中·高一期中）（1）若sin cos αα+=tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若2cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．5．（2021·全国·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值： (1)34sin cos 55y x x =+；(2)sin cos y a x b x =+（a ，b 均为正数）.高频考点四：二倍角例题1．（2022·北京·汇文中学高一期中）若sin cos αα-=，则sin 2α=（） A ．35B ．45C ．35 D ．45-例题2．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二期中（文））已知sin 2cos 0αα+=，则cos2sin 2αα-等于（） A ．45B ．35C ．25D ．15例题3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知tan 24tan 4πθθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则sin 2θ=（）A ．25-B ．45-C ．25D ．45例题4．（2022·云南曲靖·二模（文））已知3sin 2παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则cos2=α___________.例题5．（2022·北京·中关村中学高一期中）若角α的终边经过点()1,2P -，则cos α=___________.tan2α=___________.题型归类练1．（2022·江西鹰潭·二模（文））已知(,)2παπ∈，且213sin 2cos 25αα-=-，则cos2=α（）A ．35B ．45C ．35 D ．45或352．（2022·陕西·长安一中模拟预测（理））已知函数()2cos cos2f x x x =+，则()f x 的最小值为（） A ．1-B ．12-C ．32-D ．52-3．（2022·云南德宏·高三期末（文））已知πsin 2sin()2αα=+，则cos2α=（） A ．35 B ．45-C ．35D ．454．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））若()()3πsin 3πsin 12π3cos cos π2αααα⎛⎫---- ⎪⎝⎭=⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭，则tan2α=（）A ．34B ．34-C ．43-D ．435．（2022·江苏南通·高一阶段练习）已知cos 3sin 0αα+=，则tan2α=（）A ．34B ．34-C ．35 D ．38-6．（2022·陕西·长安一中高一期中）已知1sin 24α=，且42ππα<<，则cos sin αα-=________．7．（2022·北京市西城外国语学校高一期中）已知角α的终边在直线y =上，则sin 2α=________． 8．（2022·辽宁沈阳·高一期中）若1sin cos ,05αααπ+=<<，则sin 2cos2αα+=___________. 9．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知tan 2α=，则tan2α=________，2sin 2cos αα+=__________．高频考点五：拼凑角例题1．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3α=，()7sin 9αβ+=，则cos β的值为（） A ．13-B ．13C ．12-D ．12例题2．（2022·江苏·苏州市苏州高新区第一中学高一期中）设0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且11tan ,tan 73αβ==，则2αβ+=（） A ．4πB ．3π C ．34π D ．54π 例题3．（2022·江苏·星海实验中学高一期中）已知22ππθ-<<，且1sin 63πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ的值为（）A ．16B C D 例题4．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）已知,αβ都是锐角，3sin 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β=（） A ．1B ．5665-C ．1665D ．5665题型归类练1．（2022·北京市第五十中学高一期中）若,αβ都是锐角，且sin α=，()sin αβ-=，则sin β=（） AB2C ．12D ．1102．（2022·安徽淮南·二模（理））已知ππ340,π,sin ,cos()2255αβααβ<<<<=+=-，则sin β=（） A ．2425B ．2425-C ．2425-或2425D ．0或24253．（2022·甘肃省民乐县第一中学高一期中）若()3tan 2αβ-=，tan 2β=，则tan α=（） A ．74-B ．47-C ．47D ．744．（2022·四川成都·高一期中（理））已知α、β为锐角，且3sin 5β=，5cos()13αβ+=-，则sin α的值为（） A ．6365B ．3365C ．4865-D ．48654．（2022·江苏省镇江中学高一期中）已知αβ､为锐角，()31tan ,tan 43αβα=-=，则tan β=（）A ．139B ．913C ．3D ．131．（2021·全国·高考真题（文））函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（） A ．3πB ．3π和2C ．6πD ．6π和22．（2020·全国·高考真题（理））已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（）A ．–2B ．–1C ．1D ．23．（2020·全国·高考真题（文））已知πsin sin =31θθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则πsin =6θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（） A ．12B C ．23D ．24．（2020·全国·高考真题（文））若2sin 3x =-，则cos2x =__________．5．（2020·江苏·高考真题）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是____.6．（2020·浙江·高考真题）已知tan 2θ=，则cos 2θ=________；πtan()4θ-=______．7．（2021·浙江·高考真题）设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y fx π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期；（2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.一、单选题1．（2022·四川省南充市白塔中学高一期中（文））sin75cos15sin15cos75︒︒-︒︒的值是（） A ．0B ．12C D ．12-2．（2022·江苏淮安·高一期中）已知tan 2α=，tan 4β=，则()tan αβ+=（） A ．67B ．－67C ．－57D ．573．（2022·四川凉山·高一期中（理））已知sin cos 12sin cos 3αααα+=-，则πtan(α)4+的值为（）A ．35B ．45-C ．35 D ．454．（2022·湖南·岳阳市教育科学技术研究院三模）212cos 67.5-︒=（）A ．12-B ．C ．D 5．（2022·四川凉山·高一期中（理））求cos60sin15cos15⋅⋅的值为（）A ．14B ．12C D ．186．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）已知1sin cos 2θθ-=，则2cos 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．716B ．78C D7．（2022·广东茂名·模拟预测）已知1sin15cos15cos 6αα=，则()cos 2120α+︒=( ) A ．79B ．79-C ．1718D ．1718-8．（2022·江苏南通·模拟预测）在△ABC 中，若tan tan tan A B A B +，则tan 2C =（）A ．-B ．C ．-D ．二、填空题9．（2022·上海市仙霞高级中学高一期中）函数3sin 4cos y x x =+的最大值是______. 10．（2022·北京市育英中学高一期中）已知32ππα<<，3sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α的值为__________．11．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 24cos20αα+=，则cos cos 2sin cos αααα=+_______．12．（2022·全国·高三专题练习）已知4cos 25πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则22cos 24παα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是______. 三、解答题13．（2022·宁夏吴忠·高一期中）已知3cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. (1)求cos2α，sin 2α的值； (2)求sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．14．（2022·北京市第十九中学高一期中）已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，,44ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.(1)求sin α的值；(2)求()sin cos 4cos 2παααα⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的值.15．（2022·广东·深圳中学高一期中）已知,αβ为锐角，tan 2,sin()ααβ=-=． (1)求cos2α的值； (2)求tan β的值．16．（2022·陕西·泾阳县教育局教学研究室高一期中）计算求值： (1)(2cos1023cos 100sin10--的值；(2)已知α、β均为锐角，1sin 7α=，()cos αβ+=sin β的值．。

两角和差的正弦、余弦、正切公式应用

2
π π π π ∴ sin α ＝ sin[(α ＋ 6 ) － 6 ] ＝ sin(α ＋ 6 )cos 6 － cos(α ＋ π π 4 3＋3 4 3 3 1 6 )sin 6 ＝(－5) 2 －5·2＝－ 10 .
4 3＋3 【答案】－ 10
π 3π 3 12 (2)已知 2 <β <α < 4 ，sin(α＋β)＝－5，cos(α－β)＝13，求 cos2α 的值．
【思路】比较给出的角与待求式中的角的关系，不难发现 3π π π π ( 4 ＋β)－( 4 －α)＝ 2 ＋(α＋β)，或者是先将 cos( 4 －α)变化为 π π 3 sin( ＋α)，再考虑( ＋α)＋( π＋β)＝π＋(α＋β)，再利用诱导 4 4 4 公式即可出现 α＋β，故只需求出相应角的正、余弦值，利用两角和与差的三角公式即可．
π ＋ )等于________． 4
π π 【解析】 tan(α＋ )＝tan[(α＋β)－(β－ )] 4 4 π 2 1 tan（α＋β）－tan（β－ 4 ） 5－4 3 ＝＝ 2 1＝22. π 1＋tan（α＋β）· tan（β－ 4 ） 1＋5×4 3 【答案】 22
π π 3π 3 3 5 (2)已知 0＜β＜ 4 ＜α＜4π ， cos( 4 －α)＝5， sin( 4 ＋β)＝13，求 sin(α＋β)的值．
(2)(2013· 重庆理)4cos50°－tan40°＝________．
【解析】
4sin40°cos40°－sin40° 4cos50°－tan40°＝ cos40°
2sin80°－sin40° 2sin100°－sin40° ＝＝ cos40° cos40° 2sin（60°＋40°）－sin40° ＝ cos40° 3 1 2× cos40°＋2× sin40°－sin40° 2 2 ＝＝ 3. cos40° 【答案】 3

两角和与差的正切公式及应用

两角和与差的正切公式及应用
一、两角和与差的正切公式
首先，我将介绍两角和的正切公式：
tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A * tan B)
其中A和B表示两个角。

这个公式表示了两个角的正切之和与差之间的关系。

接下来，我将介绍两角差的正切公式：
tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A * tan B)
同样，A和B表示两个角。

这个公式表示了两个角的正切之差与和之间的关系。

这两个公式在解决复杂的三角函数问题时非常有用。

二、两角和与差的正切公式的应用
1.确定特定角度的正切值：
通过两角和与差的正切公式，我们可以确定一些特定角度的正切值，从而解决各种问题。

例如，如果我们知道tanA和tanB的值，以及A和B 的关系，我们就可以使用公式来计算tan(A + B)或tan(A - B)的值。

2.化简复杂的三角函数表达式：
3.解决三角方程：
4.几何问题的解决：
5.物理学问题的求解：
总结：
两角和与差的正切公式是三角函数的重要性质之一，它广泛应用于各种三角函数问题的解决中。

通过这个公式，我们可以确定一个特定角度的正切值，化简复杂的三角函数表达式，解决三角方程，解决几何问题，以及求解物理学问题。

所以，掌握两角和与差的正切公式对于解决各种三角函数问题非常重要。

两角和与差的三角函数公式应用

两角和与差的三角函数公式应用首先，我们来介绍两角和的公式：1. 正弦两角和公式：sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的和。

例如，求解sin(π/6 + π/4)的值。

根据公式，sin(π/6 + π/4) = sin(π/6) * cos(π/4) +cos(π/6) * sin(π/4) = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2) = (√2 + √6)/42. 余弦两角和公式：cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的和。

例如，求解cos(π/3 + π/6)的值。

根据公式，cos(π/3 + π/6) = cos(π/3) * cos(π/6) -sin(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = 3/43. 正切两角和公式：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y))这个公式可以用来求解两个角的正切的和。

例如，求解tan(π/4 + π/6)的值。

根据公式，tan(π/4 + π/6) = (tan(π/4) + tan(π/6)) / (1 - tan(π/4) * tan(π/6)) = (1 + (1/√3)) / (1 - 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 - 1)接下来，我们来介绍两角差的公式：1. 正弦两角差公式：sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的差。

例如，求解sin(π/3 - π/6)的值。

根据公式，sin(π/3 - π/6) = sin(π/3) * cos(π/6) -cos(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = (√3 - 1) / 22. 余弦两角差公式：cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的差。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

三角函数两角和与差及二倍角公式一、知识梳理1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β； tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α．3．注意：1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的． [试一试]1．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( ) A ．－22 B ．22 C ．32D ．1 答案：B2．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C ．13D ．23答案：C解析：因为sin α2＝33，所以cos α＝1－2sin 2 α2＝1－2×233⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭＝13二、方法归纳 1．公式的常用变形(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin 4πα⎛⎫± ⎪⎝⎭2．角的变换技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝22βααβ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．三角公式关系[练一练]1．已知tan 6πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝37，tan 6πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝25，则tan(α＋β)的值为( ) A ．2941 B ．129 C ．141 D ．1答案：D2．已知sin 2α＝23，则cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( ) A ．16 B ．13 C ．12 D ．23答案：A解析：法一：cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝121cos 22πα⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝12(1－sin 2α)＝16．法二：cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝22cos α－22sin α，所以cos 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝12(cos α－sin α)2＝12(1－2sin αcos α)＝12(1－sin 2α)＝16 三、考点精讲考点一三角函数公式的基本应用1．已知sin α＝35，α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos 22sin 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________．答案：－75解析：cos 22sin 4απα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝22cos sin 222sin cos 22αααα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝－45，∴原式＝－75．2．设sin 2α＝－sin α，α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则tan 2α的值是________．答案： 3解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，∴sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝()223313-=--3．已知函数f (x )＝2sin 136x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R ． (1)求f 54π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)设α，β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f 32πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)∵f (x )＝2sin 136x π⎛⎫-⎪⎝⎭，∴f 54π⎛⎫⎪⎝⎭＝2sin 5126ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2sin π4＝2． (2)∵α，β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，f 32πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝1013，f (3β＋2π)＝65， ∴2sin α＝1013，2sin 2πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝65，即sin α＝513，cos β＝35．∴cos α＝1213，sin β＝45∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665．[解题通法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．考点二三角函数公式的逆用与变形应用(1)在△ABC 中，若tan A ·tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( ) A ．－22 B ．22 C ．12 D ．－12(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为( ) A ．－12 B ．12 C ．32 D ．－32答案：(1)B (2)B解析：(1)由tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，可得tan A ＋tan B1－tan A tan B＝－1，即tan(A ＋B )＝－1，所以A ＋B ＝3π4，则C ＝π4，cos C ＝22，故选B ．(2)sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝sin 70°sin 20°cos 310°＝cos 20°sin 20°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12． [解题通法]运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等． [针对训练] 1．已知sin 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＋cos α＝435，则sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( ) A ．45 B ．35 C ．32 D ．35答案：A 解析：由条件得32sin α＋32cos α＝435，即12sin α＋32cos α＝45，∴sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝45． 2．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．答案：2解析：－1＝tan 3π4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β．∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，即(1－tan α)(1－tan β)＝2．考点三角的变换已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13．(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，从而－π2<α－β<π2 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0．∴sin(α－β)＝－1010． (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010． ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45，∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×1010⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝91050变式练习：在本例条件下，求sin(α－2β)的值解：∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010， cos β＝91050，sin β＝131050．∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cos β－cos(α－β)sin β＝－2425．[解题通法]1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；3．注意角变换技巧． [针对训练]1．设tan ()α＋β＝25，tan 4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝14，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．1318B ．1322C ．322D ．16答案：C解析：tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝()tan 4παββ⎡⎤⎛⎫+-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=()()tan tan 34221tan tan 4παββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭=⎛⎫++- ⎪⎝⎭2．设α为锐角，若cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝45，则sin 212πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________．答案：17250解析：因为α为锐角，cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝45，所以sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝35，sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2425， cos 26πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝725，所以sin 212πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin 264ππα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝2425×22－725×22＝17250．考点四三角函数式的化简1．化简：2sin 22cos sin 4ααπα-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝________．答案：22cos α解析：原式＝2sin αcos α－2cos 2α22α－cos α＝22cos α．2．化简：42212cos 2cos 22tan sin 44x x x x ππ-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：原式＝()222221112sin cos 1sin 2cos 22222sin cos 2sin cos sin 244442cos 4x x x x x x x x x x ππππππ-+-==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=1cos 22x 3．化简：1tan 1tan tan 22tan 2αααα⎛⎫ ⎪⎛⎫-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．解：1tan 1tan tan 22tan 2αααα⎛⎫⎪⎛⎫-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭＝cos sin sin sin 2221cos sin cos cos222αααααααα⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⋅+⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2⋅cos αcos α2＋sin αsinα2cos αcos α2＝2cos αsin α⋅cos α2cos αcosα2＝2sin α[解题通法]三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”； (3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．考点五三角函数式的求值研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．归纳起来常见的命题角度有：给值求值；给角求值；给值求角．角度一给值求值1．已知函数f (x )＝2cos 12x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R ． (1)求f 3π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)若cos θ＝35，θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，求f 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：(1)因为f (x )＝2cos 12x π⎛⎫-⎪⎝⎭，所以f 3π⎛⎫⎪⎝⎭＝2cos 312ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2cos π4＝2×22＝1． (2)因为θ∈3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭，cos θ＝35，所以2234sin 1cos 155θθ⎛⎫=--=--=- ⎪⎝⎭．所以f 6πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝2cos 612ππθ⎛⎫--⎪⎝⎭＝2cos 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝2×22cos sin 22θθ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭＝cos θ＋sin θ＝35－45＝－15．角度二给角求值2．(1)4cos 50°－tan 40°＝( ) A ． 2 B ．2＋32C ． 3D ．22－1 答案：C解析：4cos 50°－tan 40°＝4cos 50°－sin 40°cos 40°＝4sin 40°·cos 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－sin 40°cos 40°＝2cos 10°－＋cos 40°＝32cos 10°－32sin 10°cos 40°＝330°cos 10°－cos 40°＝3cos 40°cos 40°＝3．(2)化简：sin 50°(1＋3tan 10°)＝________．答案：1解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°00sin1013cos10⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×000132cos10sin1022cos10⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1．角度三给值求角3．已知α，β为锐角，sin α＝35，cos ()α＋β＝－45，求2α＋β．解：∵sin α＝35，α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos α＝45，∵cos(α＋β)＝－45，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝35，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝35×45⎛⎫- ⎪⎝⎭＋45×35＝0．又2α＋β∈30,2π⎛⎫⎪⎝⎭，∴2α＋β＝π． 4．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2123113⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭＝34>0，∴0<2α<π2， ∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1．∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4．[解题通法]三角函数求值有三类(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．考点六三角恒等变换的综合应用已知函数f (x )＝sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭，g (x )＝2sin 2x 2． (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解：f (x )＝sin 6x π⎛⎫-⎪⎝⎭＋cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x ．(1)由f (α)＝335得sin α＝35．又α是第一象限角，所以cos α>0．从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15．(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12，从而522666k x k πππππ+≤+≤+，k ∈Z ，即2223k x k πππ≤≤+，k ∈Z ．故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为222,3x k x k k Z πππ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭． [解题通法]三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题． [针对训练]设函数f (x )＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋33sin 2x －33cos 2x ． (1)求f (x )的最小正周期及其图像的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图像，求g (x )在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域．解：(1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π．令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)将函数f (x )的图像向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin 236x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－33cos 2x 的图像．即g (x )＝－33cos 2x ．当x ∈,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，2x ∈2,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，得cos 2x ∈1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以－33cos 2x ∈33,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即函数g (x )在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是33,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦课后作业课后练习一、选择题1．已知sin3πα⎛⎫+⎪⎝⎭＋sin α＝－435，则cos23πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于()A．－45B．－35C．35D．45答案：D2．已知cos6πα⎛⎫+⎪⎝⎭－sin α＝233，则sin76πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值是()A．－233B．233C．－23D．23答案：D3．已知向量a＝sin,16πα⎛⎫⎛⎫+⎪⎪⎝⎭⎝⎭，b＝(4,4cos α－3)，若a⊥b，则sin43πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于() A．－34B．－14C．34D．14答案：B4．函数y＝sin x＋cos x图象的一条对称轴方程是()A．x＝5π4B．x＝3π4C．x＝－π4D．x＝－π2答案：A5．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则C的大小为()A．π6B．56πC．π6或56πD．π3或23π答案：A6．已知0<α<π，3sin 2α＝sin α，则cos(α－π)等于()A．13B．－13C．16D．－16答案：D解析：∵0<α<π，3sin 2α＝sin α，∴6sin αcos α＝sin α，又∵sin α≠0，∴cos α＝16，cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－167．已知tan(α＋β)＝25，tan4πβ⎛⎫-⎪⎝⎭＝14，那么tan4πα⎛⎫+⎪⎝⎭等于()A ．1318B ．1322C ．322D ．16答案：C解析：因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－4πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝tan ()()()tan tan 344221tan tan 4παββπαββπαββ⎛⎫+-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+--== ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎣⎦++- ⎪⎝⎭8．已知cos 2α＝12 (其中α∈,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭)，则sin α的值为 ( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案：B解析：∵12＝cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝14．又∵α∈,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴sin α＝－129．若f (x )＝2tan x －2sin 2x2－1sin x 2cosx2，则f 12π⎛⎫⎪⎝⎭的值为 ( )A ．－433B ．8C ．4 3D ．－4 3 答案：B解析：f (x )＝2tan x ＋1－2sin 2x212sin x ＝2tan x ＋2cos x sin x ＝2sin x cos x ＝4sin 2x∴f 12π⎛⎫⎪⎝⎭＝4sinπ6＝8 10．在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是 ( ) A ．12B ．22C ．32D ．1答案：C解析：由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0化简变形，得2cos 2B －3cos B ＋1＝0，∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴sin B ＝32二、填空题 1．如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等．设第i 段弧所对的圆心角为αi (i ＝1,2,3)，则cos α13cos α2＋α33－ sinα13·sin α2＋α33＝________ 答案：－122．设sin α＝352παπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)＝________答案：－2113．已知tan α、tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且α、β∈,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则tan(α＋β)＝__________，α＋β的值为________．答案：3 －23π4．已知α为第二象限的角，且sin α＝35，则tan 2α＝________．答案：－247解析：因为α为第二象限的角，又sin α＝35，所以cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247． 5．函数y ＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．答案：1－ 2解析：∵y ＝2cos 2x ＋sin 2x ＝sin 2x ＋1＋cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋1， ∴当sin(2x ＋π4)＝－1时，函数取得最小值1－ 26．若cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22，则cos α＋sin α的值为________．答案：12解析：∵cos 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos 2α－sin 2α22α－cos α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12．三、解答题 1．(1)已知α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭且sin(α＋β)＝3365，cos β＝－513．求sin α； (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求2α－β的值．解：(1)∵β∈,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，cos β＝－513，∴sin β＝1213又∵0<α<π2，π2<β<π，∴π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝3365，∴cos(α＋β)＝－1－sin 2α＋β＝233165⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝－5665 ∴sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝33556123651365135⎛⎫⎛⎫⋅---⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝α－β＋tan β1－α－ββ＝12－171＋12×17＝13∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋α－β1－tan αα－β＝13＋121－13×12＝1∵α，β∈(0，π)，tan α＝13<1，tan β＝－17<0，∴0<α<π4，π2<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π42．(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．（2）已知△ABC 的面积S =12，AB →·AC →＝3，且cos B ＝35，求cos C解：(1)①证明：如上图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3；角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4．则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))，由|P 1P 3|＝|P 2P 4|及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ②解由①易得，cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α， sin 2πα⎛⎫-⎪⎝⎭＝cos α． sin(α＋β)＝cos ()2παβ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦＝cos ()2παβ⎡⎤⎛⎫-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝cos 2πα⎛⎫-⎪⎝⎭cos(－β)－sin 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭sin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β． ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(2)解：由题意，设△ABC 的角B 、C 的对边分别为b 、c ．则S ＝12bc sin A ＝12，AB →·AC →＝bc cos A ＝3>0，∴A ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，cos A ＝3sin A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1， ∴sin A ＝1010，cos A ＝31010，由cos B ＝35，得sin B ＝45，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝1010．故cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－10103．设函数f (x )＝a·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R ．(1)若函数f (x )＝1－3，且x ∈,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求x ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间，并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．解：(1)依题设得f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋1．由2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋1＝1－3，得sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝－32∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6．∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4(2)－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π (k ∈Z )，即36k x k ππππ-+≤≤+ (k ∈Z )，得函数单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．列表：x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y232－12描点连线，得函数图象如图所示：4．设函数f (x )＝3sin x cos x －cos x sin 2x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭－12． (1)求f (x )的最小正周期； (2)当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：f (x )＝3sin x cos x －cos x sin 2x π⎛⎫+⎪⎝⎭－12 ＝32sin 2x －12cos 2x －1 ＝sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭－1 (1)T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6．所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值0，当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )有最小值－32．6．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x －4cos x ． (1)求f (π3)的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (π3)＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1 ＝3(cos x －23)2－73，x ∈R因为cos x ∈[－1,1]，所以，当cos x ＝－1时，f (x )取得最大值6；当cos x ＝23时，f (x )取得最小值－73．。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________．解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋ 3 t an 25°·tan 35°＝ 3 (1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－12 (2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； 1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22 (sin 56°－cos 56°)＝22 s in 56°－22 c os 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435， ∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：453.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45，得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； (2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等．考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210，∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π， ∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A.3 B.2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( ) A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－1 11．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010. ∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45. ∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14， ∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：157 2．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45，可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。

两角和与差的正切公式的应用

两角和与差的正弦、正切公式及其应用高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册

两角和与差的正弦正切公式及其应用重点难点突破

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

两角和与差的正、余弦和正切公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式

北师大版(2019)数学必修第二册：4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用 教案

两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)

两角和与差的正切公式的几何意义

两角和差的正弦余弦正切公式

两角和与差的正切公式的应用

第03讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (精讲+精练)(学生版)

两角和差的正弦、余弦、正切公式应用

两角和与差的正切公式及应用

两角和与差的三角函数公式应用

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式考点与提醒归纳

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

北师大版(2019)数学必修第二册：4.2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用教案

第03讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (精讲+精练)(学生版)