《二次函数的应用》第二课时教案

5.7二次函数的应用(２)

教材分析：

本节课的主要内容是通过解决学生熟悉的生活中的实际问题，加深对二次函数性质的应用．本节课的内容综合建立直角坐标系、二次函数图象、二次函数的最大（小）值和解一元二次方程等知识．通过一个富有鲜活的生活气息，综合运用多方面数学知识解决的问题，体现了数学知识之间的内在联系．

教学设想：

对于二次函数的图象与性质的应用，学生通过上一节课的学习已经掌握了一定的思路，对于二次函数图象和性质更深层次的应用，学生通过理性分析后，基本上能够找到相应的解题思路，然后通过小组交流，大部分问题能够得到解决，对于难度较大的地方，教师进行点拨或讲解．

教学目标：

知识与技能：1．利用二次函数建立数学模型，并利用二次函数的有关性质来解决实际问题，在实际问题中，渗透数学建模的．

2．能分析和表示不同背景下变量之间二次函数关系，并解决简单问题中与二次函数有关的问题，增强学生应用意识和创新意识．

过程与方法：经历二次函数的图象和性质解决实际问题中的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力.

情感态度和价值观：使学生在数学应用中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感．

教学重难点：

重点：熟练运用二次函数的图象与性质解决实际问题.

难点：从实际问题中抽象出二次函数的模型.

课前准备

教具准备教师准备PPT课件

课时安排：2课时

教学过程：

知识回顾：

利用二次函数解应用题的一般步骤：

1．设未知数(确定自变量和函数);

2．找等量关系,列出函数关系式;

3．化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);

4．求自变量取值范围；

5．利用函数知识，求解（通常是最值问题）；

6．写出结论.

【设计意图】：

通过对列方程解应用题的一般步骤复习为本节课的学习奠定基础．

例题讲解:

例3:运动员掷一枚铅球，铅球抛出时离地面的高度为5/3m，抛出后，铅球行进的路线是一

抛物线，行进时里离地面的最大高度是3m，此时铅球沿水平方向行进了4m.求铅球从抛出到

落在地面走过的水平距离？

解：以铅球出手点A所在铅垂线为y轴，铅垂线与地面的交点为O点，射线OA的方向为y轴正方向.铅球的落地点为B点，直线OB为x轴，射线OB的方向为x轴的正方向,x轴,y轴均

匀1m为单位长度,建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，抛物线的顶点C 的坐标是(4,3). 设抛物的表达式为：y=a(x-4)²+3.

由题意知，当x=0时，y=5/3，

所以5/3=a(0-4)²+3，解得a=-1/12.

所以，抛物线的表达式为：y=-1/12(x-4)²+3.

令y=0，得-1/12(x-4)²+3=0.

解之得x1=-2，x2=10

代入实际问题中检验，x1=-2(m)不符合题意，舍去；x2=10符合题意.

所以，铅球从抛出到落地走过的水平距离为10m.

例4:右图是龙泉镇最近5年的财政总收入情况的折线统计图.图中点A,B,C,D,E的横坐标

分别代表年度，纵坐标代表该年度的财政总收入(单位：亿元).试根据折线图的发展趋势，预测该镇第6年的财政总收入?

解：设图像过A,C,D三点的二次函数表达式为y=ax²+bx+c.将这三点的坐标

(1,2.6)(3,3.8)(4,5)分别代入上式，得

2.6=a×1²+b×1+c

3.8=a×3²+b×3+c

5=a×4²+b×4+c

解得a=0.2

b=-0.2

c=2.6

所以，经过A,C,D三点的二次函数的表达式为y=0.2x²-0.2x+2.6

当x=2时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得y=3，与B点纵坐标相等，这说明点B在经过

A,C,D三点的二次函数的图像上，即这条抛物线上相应的点的纵坐标反映了该镇第2年的财

政收入.当x=5时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得y=6.6，E点纵坐标为6.9，相差0.3(亿元)，这说明点E虽不在经过A,C,D三点的抛物线上，但比较接近，即这条抛物线上相应的点的纵

坐标可以近似的反映该镇第5年的财政收入.由此可知，二次函数y=0.2x²-0.2x+2.6可以近

似的反映该镇最近5年的财政收入情况发展趋势，因此可以利用前5年的发展趋势预测第6

年的财政收入.

当x=6时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得x=8.6，所以，可以预测2010年该镇的财政收

入约为8.6亿元.

归纳：

1、恰当的建立平面直角坐标系，构造出符合题意的二次函数(一次函数、反比例函数)是

解决此类问题的关键.

2、此类问题进一步体现了数学建模思想方法的应用，同学们要认真掌握.

【设计意图】：

对于例题要先让学生自己独立思考，然后小组之间进行交流，最后在教师的指导下形成解

决问题的思路，应规范解题过程.

当堂检测：

1．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，

求：(1)以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；

(2)有一辆宽2.8米，高1米的农用货车(货物最高处与地面AB的距离)能否通过此隧道？2．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分.

（1）求演员弹跳离地面的最大高度；

（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．