《二次函数的应用》第二课时教案
浙教版数学九年级上册_《二次函数的应用(2)》参考教案3
1．4 二次函数的应用(二)1．继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程．会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等函数最值问题．2．提高应用数学解决问题的能力，培养学生分析问题的能力，能初步建立起解决最大值和最小值问题的数学模式．3．体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值，体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型．重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题．难点：例1将现实问题数学化，情境比较复杂．一、新课导入拟建中的一个温室的平面如图，如果温室外围是一个矩形，周长是120 m，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(m)，种植面积为y(m2)．试建立y与x的函数解析式．求当x取何值时，种植面积最大？最大面积是多少？解：y＝(x－2)(56－x)＝－x2＋58x－112＝－(x－29)2＋729(自变量取值范围2＜x＜56)，x取29时，种植面积最大，最大面积是729 m2.说明：通过分析问题情境，复习回顾已学知识，由学生总结运用二次函数解决实际问题的一般步骤．二、新知学习活动1想一想：如何求下列函数的最值？(1)y＝－2x2＋10x＋1(3≤x≤4)；(2)y＝2x2＋4x＋5；(3)y＝1100＋5x2.解：(1)当x＝3时，有最大值为13；当x＝4时，有最小值为9.(2)当x＝－1时，y有最小值为 3.(3)当x＝0时，5x2取到最小值为0，故100＋5x2取得最小值100，所以当x＝0时，y有最大值为1100.活动2归纳小结：1．解题循环图：2．利用二次函数的性质解决实际生活和生产中的最大值和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式．列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值．三、新知应用活动3典例探究：【例】某市某超市购进一批20元/kg的绿色食品，如果以30元/kg销售，那么每天可售出400 kg.由销售经验知，每天销售量y(kg)与销售单价x(元)(x≥30)存在如图所示的一次函数关系．(1)试求出y 与x 的函数解析式；(2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润p 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？【分析】对于(1)，可设一次函数的解析式，并用点(30，400)和(40，200)代入求得解析式；对于(2)，可转化为二次函数求得最大利润．【解】(1)设一次函数的解析式为y ＝kx ＋b ，把点(30，400)和(40，200)代入，得⎩⎨⎧30k ＋b ＝400，40k ＋b ＝200，解得⎩⎨⎧k ＝－20，b ＝1000.∴y 与x 的函数解析式为y ＝－20x ＋1000. (2)p ＝(x －20) (－20x ＋1000)＝－20x 2＋1400x －20000＝－20(x －35)2＋4500.∴当x ＝35(在范围x≥30内)时，p 最大＝4500元．说明：本题的一部分信息应从图象中得到，故碰到图象信息题或图表信息题时应尽量多地找出图象或图表的信息，从而找到解决问题的思路．四、巩固新知尝试完成下面各题．1．已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( C )A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值2．函数y ＝x 2＋2x ＋3，下列叙述正确的是( C )A ．当x ＝－1时，y 有最小值，值是2B．当x＝－1时，y有最大值，值是2C．当x＝－1时，y有最小值，值是 2D．当x＝－1时，y有最大值，值是 23．如图，学校运动会上小徐参加推铅球比赛，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y＝－112x2＋23x＋53.则他将铅球推出的距离是( C )A.53m B．2 m C．10 m D．无法确定4．某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足关系式：m＝140－2x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数解析式；(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1)y＝(x－20)(140－2x)＝－2x2＋180x－2800.(2)y＝－2x2＋180x－2800＝－2(x2－90x)－2800＝－2(x－45)2＋1250.当x＝45时，y最大＝1250.∴每件商品售价定为45元最合适，此时销售利润最大，为1250元．五、课堂小结1．由学生再次归纳出运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤．2．提问：你认为在解题时应注意哪些问题．六、课后作业请完成本资料对应的课后作业部分内容．。
2.4 二次函数的应用 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册
第2课时利用二次函数解决利润问题1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.【重点】1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.导入一:【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.导入二:请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.【引入】显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?[设计意图]让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?【师生活动】教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得y=(x-10)=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.∴当x=12时,y=20000.最大∴厂家批发价是12元时可以获利最多.思路二【思考】此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?【师生活动】学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.则y=(13-10-x)=(5000+5000x)(3-x)=-5000(x-1)2+20000,=20000.∴当x=1时,y最大13-1=12.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.【教师点评】在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.[设计意图]让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.=19440,当x=2时,y最大这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.[设计意图]让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.二、利用二次函数图象解决实际问题课件出示:【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.要求:同伴合作,画出图象.师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.学生积极思考,合作交流.请代表展示他们的讨论成果:结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.[设计意图]让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w 有最大值,为25.故填25.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.第2课时用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.一、教材作业【必做题】1.教材第49页随堂练习.2.教材第50页习题2.9第1,2题.【选做题】教材第50页习题2.9第3题.二、课后作业【基础巩固】1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是()A.当x=2时,利润有最大值48元B.当x=-2时,利润有最大值48元C.当x=2时,利润有最小值48元D.当x=-2时,利润有最小值48元2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价()A.5元B.10元C.12元D.15元3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是元.4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y (单位:万元)与销售量x (单位:辆)之间分别满足:y 1=-x 2+10x ,y 2=2x ,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低()A.0.2元或0.3元B.0.4元C.0.3元D.0.2元7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价/(元/100110120130件)…月销量/200180160140件…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润;②月销量.(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?【拓展探究】9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x 满足下列关系式:y=(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【答案与解析】1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,=3600.)由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)4.22(解析:设定价为x 元,根据题意得平均每天的销售利润y =(x -15)·[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870,∴y =-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98.∵a =-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x =22时,y 最大值=98.故填22.)5.D (解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x )辆,根据题意得出:W =y 1+y 2=-x 2+10x +2(15-x )=-x 2+8x +30=-(x -4)2+46,∴最大利润为46万元.)6.C (解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得(3-2-x )-24=200.解这个方程,得x 1=0.2,x 2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),由所给函数图象可知解得故y 与x 的函数关系式为y =-x +180.(2)∵y =-x +180,∴W =(x -100)y =(x -100)(-x +180)=-x 2+280x -18000=-(x -140)2+1600.∵a =-1<0,∴当x =140时,W 最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x -60)元.②设月销量w 与x 的关系式为w =kx +b ,由题意得解得∴w =-2x +400.∴月销量为(-2x +400)件.(2)由题意得y =(x -60)(-2x +400)=-2x 2+520x -24000=-2(x -130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.9.解:(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n +120=420,解得n =10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得当0≤x ≤9时,p =4.1;当9≤x ≤15时,设p =kx +b ,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p =0.1x +3.2.①当0≤x ≤5时,w =(6-4.1)×54x =102.6x ,当x =5时,w 最大=513(元);②当5<x ≤9时,w =(6-4.1)×(30x +120)=57x +228,∵x 是整数,∴当x =9时,w 最大=741(元);③当9<x ≤15时,w =(6-0.1x -3.2)×(30x +120)=-3x 2+72x +336,∵a =-3<0,∴当x =-=12时,w 最大=768元.综上所述,第12天的利润最大,最大利润为768元.(3)由(2)可知m =12,m +1=13,设第13天每只粽子提价a元,由题意得w=[6+a-(0.1×13+3.2)](30×13+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)-768≥48,解得a≥130.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.随堂练习(教材第49页)解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大最大利润为4500元.习题2.9(教材第50页)1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.最大值2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值最大,最大利润为360元.3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x/天1≤x<5050≤x≤90售价/(元/x+4090件)每天销量/200-2x件已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.〔解析〕(1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,=-2×452+180×45+2000=6050.当x=45时,y最大当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,=6000.当x=50时,y最大综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.。
二次函数的应用第二课时教案
作业
布置
必做题：P26练习第1题
选做题：,P30习题第1,2题
选做题先讲解一下
板书设计
课题
知识点学生练习
例题
教后随笔
备注
如何正确的建立直角坐标系，找到数量关系，建立函数并确定关系是本节课的关键。
序号
72
课题
6．4二次函数的运用
计4教时
时间
12．15．
第2教时
教学
目标
知识目标：
通过操作活动，运用二次函数解决面积问题。
情感目标：
让学生先观察实物，再想象结果，最后经过实践得出结论，通过这一系列活动，培养学生的观察、想象、实践能力，同时训练他们的语言表达能力，使他们获得学习数学的经验，感受成功的体验．
(1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
能力目标：
教学
重点
运用二次函数解决面积问题
教学
难点
运用二次函数解决面积问题
设计
思想
讨论、探究
课前教师准备
准备课件
课前学生准备
预习书本上的知识点
教学进程
教师活动
学生活动
情景创设
何时ห้องสมุดไป่ตู้积最大？
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
动手操作解决问题
最新初中沪科版九年级数学上册第2课时二次函数的应用(2)公开课教案
第2课时二次函数的应用(2)【学习目标】1．能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型从而解决实际问题．2．经历探索问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验．【学习重点】会根据不同条件，利用二次函数解决生活中的实际问题．【学习难点】利用二次函数解决生活中的实际问题．1．线段长度转化为点的坐标．2．点的坐标转化为线段长度．情景导入生成问题如图所示从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：米)与小球运动时间t(单位：秒)＝4.9米．的函数关系式是h＝9.8t－4.9t2，那么小球运动中的最大高度h最大解：h＝9.8t－4.9t2＝－4.9(t2－2t)＝－4.9(t－1)2＋4.9当t＝1时，小球运动最大高度为4.9米．利用二次函数还可以解决日常生活中一些常见的问题，下面就让我们一起去看看吧！自学互研生成能力知识模块一二次函数与高度问题阅读教材P38～39页，回答问题：1．当初始速度为10m/s，问题中得到哪两个量之间的二次函数关系式？如何求解？得到排球上升高度与排球被垫起的时间之间的二次函数关系式，求解方法是化为顶点式，求出最大值即可．2．第2个问题属于什么问题？怎样求解？答：第2个问题属于知道函数值求相应自变量值的问题．范例：如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大高度12米时，球移动的水平距离为9米，已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30°，O 、A 两点相距83米．(1)求出点A 的坐标及直线OA 的解析式；(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；(3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点．归纳：1．将线段长度转化为点的坐标问题．2．利用点的坐标以及抛物线的特点，设出函数解析式并求解．3．利用函数解析式求点的坐标，转化为线段的长度．解：(1)在Rt △OAC 中，∵∠AOC ＝30°，OA ＝83，∴AC ＝12OA ＝43，∴OC ＝（83）2－（43）2＝12，∴A 点坐标为(12，43)，∴OA 解析式y ＝33x ；(2)抛物线顶点B(9，12)，设抛物线解析式y ＝a(x －9)2＋12，代入O(0，0)得a ＝－427，∴y ＝－427(x －9)2＋12；(3)代入A(12，43)，－427×(12－9)2＋12≠43，∴不能． 知识模块二 二次函数与刹车距离阅读教材P 39～40页，回答下列问题：1．如何明确汽车刹车的制动距离与车速成二次函数关系式？通过描点观察，图象可近似地以二次函数来模拟．2．通过本例的解决，你认为利用二次函数解决实际问题的方法是什么？通过实际问题中数据建立坐标系，求出二次函数解析式，再利用二次函数来解答相应问题． 变例1：某一型号的飞机着陆后滑行的距离y(单位：m )与滑行时间x(单位：s )之间的函数关系式是：y ＝60x －1.5x 2.该型号飞机着陆后滑动600m 才能停下来．变例2：某车的刹车距离y(m )与开始刹车时的速度x(m /s )之间满足二次函数y ＝120x 2(x ＞0)，若该车某次的刹车距离为5m ，则开始刹车时的速度为10m /s ．交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一二次函数与高度问题知识模块二二次函数与刹车距离检测反馈达成目标1．军事演习在平坦的草原上进行，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足y＝－15x2＋10x.经过25s炮弹到达它的最高点，最高点的高度是125m，经过50s，炮弹落到地上爆炸了．2．行驶中的汽车，在刹车后由于汽车惯性，还要向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某型号汽车的刹车性能，对其进行了测试，测得数据如下表：刹车时车速x/km·h－10 10 20刹车距离y/m0 5 20若刹车距离y/m与刹车时车速x/km·h－1可近似地看成二次函数关系，试求此函数关系式y＝1 20x2．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。
二次函数的应用(生活中的抛物线)教案
二次函数的应用----生活中的抛物线主备人：王新龙一、课程名称：21.4二次函数的应用---生活中的抛物线二、课时：共2个课时，第2课时三、课型：新授课四、教学方法：先学后教，讲练结合五、教学目标：1、知识与技能通过建模学会用二次函数的知识解决有关的实际问题2、过程与方法掌握数学建模的思想，体会数学来源于生活，又服务于生活3、情感、态度与价值观培养学生的独立思考能力和合作学习的精神，在动手、交流中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的提高。
六、重点与难点重点：根据情境建立合适的直角坐标系，并将有关线段转化为坐标系中的点难点：如何根据情境建立合适的平面直角坐标系，并判断直角坐标系建立的优劣。
七、教学过程（一）新课引入思考：（1）用待定系数法设函数解析式有哪几种形式？分别为？（2）如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，当水面宽度为8米时，桥洞顶部离水面的距离为米。
老师：要解决此题，需要求出抛物线的函数解析式，而求抛物线的解析式，离不开建立平面直角坐标系，求出关键点的坐标，那么如何建立合适的平面直角坐标系呢？不同的直角坐标系中，点的坐标不同，用待定系数法该设定何种形式的函数解析式呢？给一定时间让学生相互讨论，让学生思考再由老师予以总结和说明。
.（二）讲授新课1、总结如下：建立平面直角坐标系的方法有如下几种：A 为坐标原点，以AB 所在直线为X 轴建立平面直角坐标系此时A(0,0),B(12,0),顶点为（6,4），此时三种设函数解析式的方法是否均可？让学生将三种设法都表示出来，并求出函数解析式。
（方法一）（方法二）B 为坐标原点，以AB 所在直线为X 轴建立平面直角坐标系此时A(-12,0),B(0,0),顶点为（-6,4），此时三种设函数解析式的方法是否均可？让学生将三种设法都表示出来，并求出函数解析式。
AB 中点为坐标原点，以AB 所在直线为X 轴建立平面直角坐标系此时A(-6,0),B(6,0),顶点为（0,4），此时三种设函数解析式的方法是否均可？让学生将三种设法都表示出来，并求出函数解析式。
二次函数的应用优秀教案
二次函数的应用【第一课时】【教学目标】1．经历数学建模的基本过程。
2．会运用二次函数求实际生活中的最值问题。
3．体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
【教学重点】二次函数在最优化问题中的应用。
【教学难点】从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课。
由课文中的问题1引入。
例1：在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？问题分析：这是一个求最值的问题。
要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。
二、讲授新课。
在前面的学习中我们已经知道S=-x2+20x，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式。
通过配方，得到S=-（x-10）2+100。
由此可以看出，这个函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是（10，100）。
所以，当x=10m时，函数取得最大值，为S最大值=100（m²）。
所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100m²。
总结得出解这类题的一般步骤：（一）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；（二）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。
三、例题讲解。
例3：上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：，其中h 是物体上升的高度，v 0是物体被上抛时的初始速度，g 表示重力加速度，通常取g ＝10m/s ²，t 是舞台抛出后经过的时间。
在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s 。
（一）问排球上升的最大高度是多少？（二）已知某运动员在2.5m 高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s ）。
分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。
《二次函数的应用》(第2课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】
第二章二次函数2.4二次函数的应用第2课时一、教学目标1．经历计算最大利润问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学是应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力．二、教学重点及难点重点：1．探索销售中的最大利润问题．2．能分析并表示实际问题中变量之间的二次函数关系，运用二次函数的相关知识解决实际问题中的最大（小）值，提高解决实际问题的能力．难点：运用二次函数的知识解决实际问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源《生产服装》动画，，.五、教学过程【情境导入】【情景演示】生成服装，描写工厂生产服装的场景。
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？同学们，你们能解决这个问题吗？这就是我们今天要研究的内容——何时获得最大利润．师生活动：教师出示问题，引出本节课所学内容．设计意图：通过问题情境引出本节课要研究的内容，激发学生的学习兴趣．【探究新知】教师引导学生分析问题中的数量关系，设出未知数，将销售量、销售额、获得的利润用含未知数的式子表示出来，然后利用二次函数模型确定获得的最大利润．设厂家批发单价是x元时可以获利最多，获得的最大利润为y元．那么销售量可表示为1350005000.1x-⎛⎫+⨯⎪⎝⎭件．所以销售额为1350005000.1xx-⎛⎫+⨯⎪⎝⎭；所获利润135000500(10)0.1xy x-⎛⎫=+⨯-⎪⎝⎭．整理，得y=-5000(x-14)(x-10)=-5000(x2-24x+140)=-5000(x-12)2+20000．∵a=-5000＜0，∴二次函数有最大值．当x=12时，y最大值=20000．答：厂家批发单价是12元时可以获利最多．设计意图：培养学生把文字语言转化为数学符号的能力．议一议在本章开始“种多少棵橙子树”的问题中，我们得到表示增种橙子树的数量x （棵）与橙子总产量y（个）的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000．（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？师生活动：教师出示问题，学生画出函数的图象并回答问题．解：（1）列表：描点、连线，如下图所示，由图象知，当0≤x≤10时，橙子的总产量随橙子树的增种而增加；当x≥10时，橙子的总产量随橙子树的增种而减少．（2）由图象知，当增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵时，都可以使橙子的总产量在60400个以上．设计意图：进一步用图象刻画橙子的总产量与增种橙子树之间的关系，并利用图象解决问题.通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发学生的探索精神，并提高学生解决问题的自信心．【典例精析】例某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？旅馆的客房师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，师生共同完成解题过程．解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间．设客房日租金总收入为y元，则y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440．∵x≥0，且120-6x＞0，∴0≤x＜20．当x=2时，y最大=19440．这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）．因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．设计意图：培养学生分析问题和解决问题的能力．【课堂练习】1．某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位每天可全部租出，若每张床位每天的收费每提高2元，则相应地每天就减少了10张床位的租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使每天租出的床位少且总租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）．A．14元B．15元C．16元D．18元2．某产品进货单价为90元，按每个100元售出时，每周能售出500个，如果这种商品的销售单价每上涨1元，其每周的销售量就减少10个，那么为了获得最大利润，其销售单价应定为（）．A．130元B．120元C．110元D．100元3．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？4．某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．（1）请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？5．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y= -10x+500．（1）设李明每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案1．C．2．B．3．销售单价为35元时，半月内可以获得最大利润4500元．4．解：（1）因为单价上涨x元后，每件商品的利润是(80+x-60)元，每月售出的件数为(300-10x)件，所以y与x之间的函数关系式为y=(x+20)(300-10x)=-10x2+100x+6 000．（2）将y=-10x2+100x+6 000配方，得y=-10(x-5)2+6250．因为a=-10＜0，所以y有最大值．因为300-10x≥0，且x≥0，所以0≤x≤30．所以当x=5时，y有最大值，最大值为6 250．所以当单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6 250元．5．解：（1）由题意，得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)= -10x2+700x-10 000．当x=7003522(10)ba-=-=⨯-时，w有最大值，符合题意，所以当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得-10x2+700x-10 000=2 000．解这个方程，得x1=30，x2=40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结利用二次函数解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意，列出二次函数表达式，注意实际问题中自变量x的取值范围；（2）将二次函数表达式配方为顶点式的形式；（3）根据二次函数的图象及其性质，在自变量的取值范围内求出函数的最值．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计2.4二次函数的应用（2）1．一般步骤。
《二次函数的应用》第二课时教案 (1)
5.7二次函数的应用(２)教材分析：本节课的主要内容是通过解决学生熟悉的生活中的实际问题，加深对二次函数性质的应用．本节课的内容综合建立直角坐标系、二次函数图象、二次函数的最大（小）值和解一元二次方程等知识．通过一个富有鲜活的生活气息，综合运用多方面数学知识解决的问题，体现了数学知识之间的内在联系．教学设想：对于二次函数的图象与性质的应用，学生通过上一节课的学习已经掌握了一定的思路，对于二次函数图象和性质更深层次的应用，学生通过理性分析后，基本上能够找到相应的解题思路，然后通过小组交流，大部分问题能够得到解决，对于难度较大的地方，教师进行点拨或讲解．学习目标：知识与技能：1．利用二次函数建立数学模型，并利用二次函数的有关性质来解决实际问题，在实际问题中，渗透数学建模的．2．能分析和表示不同背景下变量之间二次函数关系，并解决简单问题中与二次函数有关的问题，增强学生应用意识和创新意识．过程与方法：经历二次函数的图象和性质解决实际问题中的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力.情感态度和价值观：使学生在数学应用中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感．学习重难点：重点：熟练运用二次函数的图象与性质解决实际问题.难点：从实际问题中抽象出二次函数的模型.课前准备教具准备教师准备PPT课件教学过程：知识回顾：利用二次函数解应用题的一般步骤：1．设未知数(确定自变量和函数);2．找等量关系,列出函数关系式;3．化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);4．求自变量取值范围；5．利用函数知识，求解（通常是最值问题）；6．写出结论.【设计意图】：通过对列方程解应用题的一般步骤复习为本节课的学习奠定基础．例题讲解:例3:运动员掷一枚铅球，铅球抛出时离地面的高度为5/3m，抛出后，铅球行进的路线是一抛物线，行进时里离地面的最大高度是3m，此时铅球沿水平方向行进了4m.求铅球从抛出到落在地面走过的水平距离？解：以铅球出手点A所在铅垂线为y轴，铅垂线与地面的交点为O点，射线OA的方向为y轴正方向.铅球的落地点为B点，直线OB为x轴，射线OB的方向为x轴的正方向,x轴,y轴均匀1m为单位长度,建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，抛物线的顶点C 的坐标是(4,3). 设抛物的表达式为：y=a(x-4)²+3.由题意知，当x=0时，y=5/3，所以5/3=a(0-4)²+3，解得a=-1/12.所以，抛物线的表达式为：y=-1/12(x-4)²+3.令y=0，得-1/12(x-4)²+3=0.解之得x1=-2，x2=10代入实际问题中检验，x1=-2(m)不符合题意，舍去；x2=10符合题意.所以，铅球从抛出到落地走过的水平距离为10m.例4:右图是龙泉镇最近5年的财政总收入情况的折线统计图.图中点A,B,C,D,E的横坐标分别代表年度，纵坐标代表该年度的财政总收入(单位：亿元).试根据折线图的发展趋势，预测该镇第6年的财政总收入?解：设图像过A,C,D三点的二次函数表达式为y=ax²+bx+c.将这三点的坐标(1,2.6)(3,3.8)(4,5)分别代入上式，得2.6=a×1²+b×1+c3.8=a×3²+b×3+c5=a×4²+b×4+c解得a=0.2b=-0.2c=2.6所以，经过A,C,D三点的二次函数的表达式为y=0.2x²-0.2x+2.6当x=2时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得y=3，与B点纵坐标相等，这说明点B在经过A,C,D三点的二次函数的图像上，即这条抛物线上相应的点的纵坐标反映了该镇第2年的财政收入.当x=5时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得y=6.6，E点纵坐标为6.9，相差0.3(亿元)，这说明点E虽不在经过A,C,D三点的抛物线上，但比较接近，即这条抛物线上相应的点的纵坐标可以近似的反映该镇第5年的财政收入.由此可知，二次函数y=0.2x²-0.2x+2.6可以近似的反映该镇最近5年的财政收入情况发展趋势，因此可以利用前5年的发展趋势预测第6年的财政收入.当x=6时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得x=8.6，所以，可以预测2010年该镇的财政收入约为8.6亿元.归纳：1、恰当的建立平面直角坐标系，构造出符合题意的二次函数(一次函数、反比例函数)是解决此类问题的关键.2、此类问题进一步体现了数学建模思想方法的应用，同学们要认真掌握.【设计意图】：对于例题要先让学生自己独立思考，然后小组之间进行交流，最后在教师的指导下形成解决问题的思路，应规范解题过程.当堂检测：1．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求：(1)以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)有一辆宽2.8米，高1米的农用货车(货物最高处与地面AB的距离)能否通过此隧道？2．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分.（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．课堂小结:本节课利用二次函数建立数学模型，并利用二次函数的有关性质来解决实际问题．作业:课本 P.55第1题板书设计:5.7二次函数的应用(２)知识回顾：例3例4归纳：。
2.4 二次函数的应用(2)——抛物线形问题 教案 2021—2022学年北师大版数学九年级下册
2.4 二次函数的应用（2）——抛物线形问题教案一、教学目标1.理解抛物线形问题的概念及其应用背景；2.掌握通过二次函数求解抛物线形问题的方法；3.能够运用二次函数解决实际问题。
二、教学重点1.理解抛物线形问题的概念；2.掌握通过二次函数求解抛物线形问题的方法。
三、教学难点1.运用二次函数解决实际问题；2.分析问题中所给条件，建立数学模型。
四、教学过程1. 引入•引导学生思考下面的问题：–什么是二次函数？–二次函数有什么特点？•解答学生的问题，简要介绍二次函数。
2. 了解抛物线形问题•通过实际例子，引入抛物线形问题的概念。
•解释抛物线形问题与二次函数的关系。
3. 运用二次函数求解抛物线形问题•通过示例，详细讲解如何运用二次函数解决抛物线形问题。
•引导学生思考步骤，并进行示范。
4. 实践练习•给学生提供一些实际问题，并要求他们运用二次函数解决。
•分组讨论，学生之间相互交流思路。
•点名让各组发表他们的解题思路和答案。
5. 拓展延伸•引导学生思考更复杂的抛物线形问题，并让他们自己尝试解决。
•鼓励学生进行积极思考和探索，提高问题解决能力。
6. 小结•对本课所学内容进行总结和归纳。
7. 作业布置•布置作业：要求学生完成课本上的相关练习题，并要求写出详细解题思路。
五、教学反思通过本节课的教学，学生对抛物线形问题有了更深入的了解，并能够熟练运用二次函数解决相关问题。
课堂上进行了实践练习，有利于学生独立思考和解决问题的能力的培养。
在拓展延伸环节，带领学生探索更复杂的问题，提高了学生的解决问题的灵活性。
整体而言，本节课教学效果良好。
《二次函数的应用2》教学设计
《二次函数的应用2》教学设计
一、教学内容及内容解析
分析实际变量中的二次函数的关系，运用二次函数求出最大（小）值问题.二、教学目标
1．知识与技能：经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会用二次函数解决最优化问题的过程，并感受数学的应用价值．
2．过程与方法：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．
3.情感、态度与价值观：经历销售中最大利润问题的探究过程，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神．三、教学问题诊断分析
根据教学目标确定重难点如下：
重点：探索销售中最大利润问题，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．
难点：能正确理解题意，找准数量关系，运用二次函数的知识解决实际问题．四、教学过程设计（脚本）。
二次函数的应用优秀教案
二次函数的应用【课时安排】2课时【第一课时】【教学目标】（一）教学知识点。
能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值。
（二）能力训练要求。
1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力。
2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
（三）情感与价值观要求。
1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值。
2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格。
3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。
增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力。
【教学重点】1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值。
2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题。
【教学难点】能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题。
【教学方法】教师指导学生自学法。
【教学过程】一、创设问题情境，引入新课师：本节课我们来学习用二次函数来解决实际问题。
解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解。
本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题。
二、新课讲解（一）例题讲解展示例题：1．如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD 。
其中AB 和AD 分别在两直角边上。
（1）设长方形的一边AB ＝x m ，那么AD 边的长度如何表示？（2）设长方形的面积为y m 2当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？2．师：分析：（1）要求AD 边的长度，即求BC 边的长度，而BC 是△EBC 中的一边，因此可以用三角形相似求出BC ．由△EBC ∽△EAF ，得304040BC x AF BC EA EB =-=即所以AD=BC=43（40－x ）。
数学北师大九年级下册(2014年新编)《二次函数的应用(2)》教案2
《二次函数的应用（2）》教案2一、学生知识状况分析通过本章前三节的学习，学生已对二次函数的概念、二次函数的图像及其性质、如何确定二次函数的解析式等问题有了明确的认识.二次函数应用的第一课时是“何时面积最大”，学生初步感受到数学模型思想及数学的应用价值.本节课将进一步利用二次函数解决实际问题.二、教学任务分析“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴.二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值.而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题.因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践.即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释.教学目标(一)知识与技能1、经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.(二)过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.(三)情感态度与价值观1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值.增进对数学的理解和学好数学的信心.2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程分析本节课以探究活动一、探究活动二及议一议这三个环节为主体，展开对二次函数应用的研究与探讨.第一环节 探究活动一活动内容：（有关利润的问题）服装厂生产某品牌的T 恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？回顾:在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用相等关系是：销售利润=单件利润×销售量若设批发单价为x 元，则：单件利润为 ； 降价后的销售量为 ； 销售利润用y 元表示，则)14024(5000-2+-=x x20000)12(50002+--=x∵-5000＜0∴抛物线有最高点，函数有最大值.当x ＝12元时，y 最大= 20000元.答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元．若设每件T 恤衫降a 元，则：单件利润为 ；降价后的销售量为 ； 销售利润用y 元表示，则)32(5000-2--=a a20000)1(50002+--=a∵-5000＜0∴抛物线有最高点，函数有最大值.当x ＝1元时，即批发单价是12元时，y 最大= 20000元.答：当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20000元．想一想：解决了上述关于服装销售的问题，请你谈一谈怎样设因变量更好？活动目的：）元（10-x 件)5001.0-135000(⨯+x )5001.0135000)(10(⨯-+-=x x y ）元（1013--a 件)5001.05000(⨯+a ）（5001.05000)(1013⨯+--=a a y通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容.第二环节 探究活动二活动内容：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？分 析：相等关系是客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数解：设每间客房的日租金提高x 个10元，则每天客房出租数会减少6x 间，若客房日租金的总收入为y 元，则：=19440)260-2+-x （∵06-120,0>≥x x 且∴200<≤x当x ＝2时，y 有最大值 19440.这时每间客房的日租金为180210160=⨯+元，客房总收入最高为19440元.随堂练习：课本P49随堂练习某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？解：设销售单价提高x 元，销售利润为y 元，则y=(30-20+x)(400-20x)＝-20x 2+200x+4000＝-20(x-5)2+4500.答：当销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．第三环节 议一议活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y ＝(600-5x)(100+x)＝-5x 2+100x+60000.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）)6120)(10160(x x y -+=实际教学效果：学生可以顺利解决这个问题，答案如下(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小.(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上.课堂小结:请你结合本节课的内容谈谈你对二次函数应用的认识.。
二次函数应用教案第2课时最大利润优质课件
(1)假设果园增种x棵橙子树,那么果 园共有多少棵橙子树？这时平均每棵 树结多少个橙子？
果园共有（100+x）棵树, 平均每棵树结（600-5x）个橙子
(2)如果果园橙子的总产量为y个,那么 请你写出y与x之间的关系式.
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000.
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？
则
y=(x
-
10)(5000
+
13-x 500×0.1 )
探究活动二
例2：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都 客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时， 那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客 房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
设提高售价x元,利润为y元,则
y=(30+x-20)[400-20x)]
= - 20x2+200x-4000
= - 20(x-5)2+4500
探究活动三
何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一 些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵 树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵 树就会少结5个橙子.
解：设每间客房的日租金提高x个10元， 则每天客房出租数会减少6x 间。 设客房日租金总收入为y元
则y=(160+10x)(120-6x)= - 60(x-2)2+19440
∵x≥0,且120-6x>0 ∴0≤x<20
∵- 60<0 ∴当x=2时，y有最大值19440。
九年级数学下册《二次函数的应用》教案、教学设计
3.拓展作业：
（1）针对优秀生，布置一些具有挑战性的题目，如研究二次函数图像的变换规律、探讨二次方程与二次不等式之间的关系等。
（2）鼓励学生利用网络、书籍等资源，了解二次函数在其他学科领域的应用，拓宽知识视野。
（三）情感态度与价值观
在本章节的教学中，学生将形成以下情感态度与价值观：
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发他们探索数学问题的热情，增强自信心和自主学习的意识。
2.通过解决实际生活中的问题，使学生感受到数学与现实生活的紧密联系，认识数学的价值，提高学习的积极性。
3.培养学生的团队合作意识，让他们在交流、互助中学会尊重他人，培养良好的人际沟通能力。
2.运用问题驱动法，设计具有挑战性的问题和实际案例，激发学生的兴趣和求知欲，培养其独立思考、合作交流的能力。
3.利用数形结合的方法，结合图像和解析式，帮助学生形象地理解二次函数的几何意义，提高解决问题的直观感知能力。
4.通过分类讨论、逐步推进的解题策略，培养学生的逻辑思维和条理性。
5.组织课堂讨论和小组活动，鼓励学生分享解题心得，提高表达和沟通能力。
九年级数学下册《二次函数的应用》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《二次函数的应用》的教学中，学生将掌握以下知识与技能：
1.理解二次函数的定义及其图像特点，能够识别并写出一般形式的二次函数表达式。
2.学会运用二次函数的顶点式、交点式等不同形式进行问题求解，掌握求解二次方程的方法。
3.能够利用二次函数解决实际生活中的问题，如最值问题、范围问题等，并能够解释其几何意义。
4.掌握二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系，能够进行简单的综合应用。
2024北师大版数学九年级下册2.4.2《二次函数的应用》教案
2024北师大版数学九年级下册2.4.2《二次函数的应用》教案一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版数学九年级下册第2章《二次函数》的第4节内容。
本节课主要让学生掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生的实际问题解决能力。
教材通过生活实例引入二次函数的应用，使学生感受到数学与生活的紧密联系。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有了初步了解。
但学生在应用二次函数解决实际问题时，往往会因为不能很好地将实际问题转化为数学模型而感到困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生正确地将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决问题。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数在实际生活中的应用。
2.培养学生将实际问题转化为数学模型并解决的能力。
3.提高学生对数学与生活紧密联系的认识。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究、合作交流，提高学生解决实际问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和案例分析。
2.准备教学课件和板书设计。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活实例引入二次函数的应用，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
例如，假设某商场举行打折活动，商品的原价为100元，打折力度为x（0≤x≤1），求打折后的价格。
2.呈现（10分钟）呈现教材中的案例分析，引导学生将实际问题转化为二次函数模型。
例如，某工厂生产一批产品，生产成本为c元，生产数量为x（x≥0），求总成本。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试将其转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决问题。
教师巡回指导，为学生提供帮助。
4.巩固（10分钟）选取几组学生解决的实际问题，让学生分享自己的解题过程和心得。
二次函数运用第二课时教案
二次函数运用第二课时教案第二课时教案，二次函数的运用。
一、教学目标。
1. 知识与技能。
（1）掌握二次函数的基本概念和性质；（2）能够应用二次函数解决实际问题；（3）能够画出二次函数的图像，并分析图像的特点。
2. 过程与方法。
（1）通过实例引入，激发学生的学习兴趣；（2）采用启发式教学方法，引导学生主动探究；（3）结合生活实际，培养学生的数学建模能力。
3. 情感态度价值观。
（1）培养学生的数学思维能力和解决问题的能力；（2）激发学生对数学的兴趣，树立正确的学习态度。
二、教学重点与难点。
1. 重点。
（1）二次函数的基本概念和性质；（2）二次函数的图像特点及其应用。
2. 难点。
（1）二次函数的实际问题应用；（2）二次函数图像的分析。
三、教学过程。
1. 导入新课。
老师通过一个生活实际问题引入二次函数的概念，比如一个抛物线运动的问题，让学生在实际问题中感受二次函数的存在和应用。
然后引出二次函数的定义和性质。
2. 概念讲解。
（1）二次函数的定义，y=ax^2+bx+c，其中a≠0；（2）二次函数的图像特点，开口方向、顶点、对称轴等；（3）二次函数的性质，顶点坐标、对称轴方程等。
3. 例题讲解。
老师通过一些例题，让学生掌握二次函数的基本应用和解题方法，比如求解二次函数的顶点、对称轴方程等。
4. 练习。
让学生进行一定数量的练习，巩固所学知识，提高解题能力。
5. 拓展。
老师可以结合实际生活中的问题，引导学生应用二次函数解决实际问题，比如抛物线运动、建筑物的设计等。
6. 总结。
总结本节课的重点内容，让学生对二次函数的基本概念和应用有一个清晰的认识。
四、教学反思。
本节课采用了启发式教学方法，通过生活实际问题引入，让学生更容易理解和接受二次函数的概念和应用。
同时，通过大量的例题练习，让学生掌握了二次函数的解题方法和技巧。
在拓展环节，结合实际问题进行应用拓展，培养了学生的数学建模能力。
但是在教学过程中，也需要注意引导学生主动思考和解决问题，培养他们的数学思维能力。
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案2
浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》教案2一. 教材分析浙教版数学九年级上册《1.4 二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象和性质之后，进一步探究二次函数在实际生活中的应用。
本节内容主要包括二次函数在几何中的应用和二次函数在实际生活中的应用两个方面。
通过本节课的学习，学生能够更好地理解二次函数的实际意义，提高解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图象和性质，对二次函数有一定的认识和理解。
但是，对于如何将二次函数应用于实际问题中，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.理解二次函数在几何中的应用，如圆的方程、抛物线的性质等。
2.掌握二次函数在实际生活中的应用，如物体运动、最优化问题等。
3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的创新意识和实践能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在几何中的应用和二次函数在实际生活中的应用。
2.难点：如何将二次函数理论知识与实际问题相结合，解决实际问题。
五. 教学方法1.案例分析法：通过分析具体的实际问题，引导学生理解和掌握二次函数在实际中的应用。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，如物体运动、最优化问题等。
2.准备多媒体教学资源，如PPT、图片、视频等。
3.准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过抛出一个实际问题，如“一个物体从地面抛出，上升到最高点后再下降，求物体的最大高度”，引发学生的思考。
引导学生回顾二次函数的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师展示与二次函数相关的实际问题，如物体运动、最优化问题等。
引导学生分析问题，找出其中的二次函数关系。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，共同解决问题。
九年级数学上册214二次函数的应用(第2课时)名师教案.doc
第2课时二次函数的应用教k案…_____教学目标1.会用待定系数法求二次函数解析式，能根据二次函数图象的特点设出相应的解析式.2.能建立适当的直角坐标系，并能设岀相应的解析式，利用二次函数的知识解决实际问题.3.体会二次函数解决实际问题时，应如何建立适当的坐标系从而使解题简便.教学重难点建立适当的坐标系，利用二次函数简便地解决实际问题.教学过程导入新课欣赏生活屮抛物线的图片，回忆二次函数的有关知识.推进新课一、合作探究【问题】有一座抛物线形拱桥，如图.当水面在/时，拱顶离水面2m,水面宽4m.求这座抛物线形拱桥的解析式.思路分析：这是一座抛物线形拱桥，要求它的解析式，因为二次函数的图象是抛物线，所以只要在这座抛物线形拱桥上建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数.让学生分组合作，讨论、交流应如何建立坐标系.此题方法很多，要充分发挥学生的优势，各抒己见.通过这--道题达到解决一类题的目的.方法一：以抛物线形拱桥的顶点为原点建立直角坐标系，可设二次函数的解析式为F= 自/然后把其屮一点的坐标(2, —2)代入解析式，即可求出尸方法二：以水面所在的直线为x轴，抛物线形拱桥的顶点与水面的垂线为y轴建立直角坐标系，此时应设二次函数的解析式为尸日#+2.然后把点(2,0)代入解析式，即可求出日1—2*方法三：以水面与抛物线形拱桥左边的交点为原点建立直角坐标系，因为顶点坐标为(2,2),所以可设二次函数的解析式为『=臼匕一2尸+ 2.然后把点(0,0)代入解析式，即可求, 1出a=—2-从以上方法可以看出，建立的坐标系不同，所求函数的解析式也不同，但都是正确的.在具体的实际问题情境中，建立适当的坐标系求得的解析式，对解决问题可能很简单.二、巩固提高【例题】见课本例3.rti学生求出解析式后，试着进行解答.【补例】如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子04,。
恰在水面中心，创=1.25米.由柱子顶端力处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离创距离为1米处达到距水面最大高度2. 25米.(1)求该抛物线的解析式.(2)如果不计其他因素，那么水池的半径至少耍多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？(3)若水流喷出的抛物线形状与(2)相同，水池的半径为3. 5米，要使水流不落到池外, 此时水流的最大高度应达到多少米？(精确到0. 1米)此题应先让学生建立.适当的坐标系，再进行解答.三、达标训练1.在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分別站在距甲拿绳的手水平距离1米和2.5米处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，己知学生丙的身高是1.5 米.(1)建立直角坐标系，求点/、B、C的坐标.(2)求过点久B、C的抛物线的函数解析式.(3)你能算出丁的身高吗？(4)若现有•一身高为1.625 m的同学也想参加这个活动，请问他能参加这个活动吗？若能，则他应从离甲多远的地方进入？若不能，请说明理由.若身高为1.7 m呢？2.有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面月E的宽为20 m,如果水位上升3米吋，水面仞的宽为10 m.(1)建立如图直角坐标系，求点〃、〃的坐标.(2)求此抛物线的解析式.⑶现有一辆载有救援物质的货车，从甲出发需经此桥开往乙，已知甲距此桥280 km(桥长忽略不计).货车以40 km/h的速度开往乙；当行驶1小时，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0. 25 m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在Q处，当水位到达最髙点上'时，禁止车辆通行).试问：如果货车按原速行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应不小于每小时多少千米？本课小结1.根据实际问题的情境建立适当的坐标系，求出抛物线的解析式是解决实际问题的关键.2.会借用函数思想方法来解决实际问题，培养学生的“转化”思想，即实际问题中的某些值，实际上就是二次函数解析式中知道横坐标求纵坐标或知道纵坐标求横坐标.。
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5.7二次函数的应用(２)
教材分析：
本节课的主要内容是通过解决学生熟悉的生活中的实际问题，加深对二次函数性质的应用．本节课的内容综合建立直角坐标系、二次函数图象、二次函数的最大（小）值和解一元二次方程等知识．通过一个富有鲜活的生活气息，综合运用多方面数学知识解决的问题，体现了数学知识之间的内在联系．
教学设想：
对于二次函数的图象与性质的应用，学生通过上一节课的学习已经掌握了一定的思路，对于二次函数图象和性质更深层次的应用，学生通过理性分析后，基本上能够找到相应的解题思路，然后通过小组交流，大部分问题能够得到解决，对于难度较大的地方，教师进行点拨或讲解．
教学目标：
知识与技能：1．利用二次函数建立数学模型，并利用二次函数的有关性质来解决实际问题，在实际问题中，渗透数学建模的．
2．能分析和表示不同背景下变量之间二次函数关系，并解决简单问题中与二次函数有关的问题，增强学生应用意识和创新意识．
过程与方法：经历二次函数的图象和性质解决实际问题中的过程，培养学生分析问题，解决问题的能力.
情感态度和价值观：使学生在数学应用中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感．
教学重难点：
重点：熟练运用二次函数的图象与性质解决实际问题.
难点：从实际问题中抽象出二次函数的模型.
课前准备
教具准备教师准备PPT课件
课时安排：2课时
教学过程：
知识回顾：
利用二次函数解应用题的一般步骤：
1．设未知数(确定自变量和函数);
2．找等量关系,列出函数关系式;
3．化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等);
4．求自变量取值范围；
5．利用函数知识，求解（通常是最值问题）；
6．写出结论.
【设计意图】：
通过对列方程解应用题的一般步骤复习为本节课的学习奠定基础．
例题讲解:
例3:运动员掷一枚铅球，铅球抛出时离地面的高度为5/3m，抛出后，铅球行进的路线是一
抛物线，行进时里离地面的最大高度是3m，此时铅球沿水平方向行进了4m.求铅球从抛出到
落在地面走过的水平距离？
解：以铅球出手点A所在铅垂线为y轴，铅垂线与地面的交点为O点，射线OA的方向为y轴正方向.铅球的落地点为B点，直线OB为x轴，射线OB的方向为x轴的正方向,x轴,y轴均
匀1m为单位长度,建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，抛物线的顶点C 的坐标是(4,3). 设抛物的表达式为：y=a(x-4)²+3.
由题意知，当x=0时，y=5/3，
所以5/3=a(0-4)²+3，解得a=-1/12.
所以，抛物线的表达式为：y=-1/12(x-4)²+3.
令y=0，得-1/12(x-4)²+3=0.
解之得x1=-2，x2=10
代入实际问题中检验，x1=-2(m)不符合题意，舍去；x2=10符合题意.
所以，铅球从抛出到落地走过的水平距离为10m.
例4:右图是龙泉镇最近5年的财政总收入情况的折线统计图.图中点A,B,C,D,E的横坐标
分别代表年度，纵坐标代表该年度的财政总收入(单位：亿元).试根据折线图的发展趋势，预测该镇第6年的财政总收入?
解：设图像过A,C,D三点的二次函数表达式为y=ax²+bx+c.将这三点的坐标
(1,2.6)(3,3.8)(4,5)分别代入上式，得
2.6=a×1²+b×1+c
3.8=a×3²+b×3+c
5=a×4²+b×4+c
解得a=0.2
b=-0.2
c=2.6
所以，经过A,C,D三点的二次函数的表达式为y=0.2x²-0.2x+2.6
当x=2时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得y=3，与B点纵坐标相等，这说明点B在经过
A,C,D三点的二次函数的图像上，即这条抛物线上相应的点的纵坐标反映了该镇第2年的财
政收入.当x=5时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得y=6.6，E点纵坐标为6.9，相差0.3(亿元)，这说明点E虽不在经过A,C,D三点的抛物线上，但比较接近，即这条抛物线上相应的点的纵
坐标可以近似的反映该镇第5年的财政收入.由此可知，二次函数y=0.2x²-0.2x+2.6可以近
似的反映该镇最近5年的财政收入情况发展趋势，因此可以利用前5年的发展趋势预测第6
年的财政收入.
当x=6时，代入y=0.2x²-0.2x+2.6，得x=8.6，所以，可以预测2010年该镇的财政收
入约为8.6亿元.
归纳：
1、恰当的建立平面直角坐标系，构造出符合题意的二次函数(一次函数、反比例函数)是
解决此类问题的关键.
2、此类问题进一步体现了数学建模思想方法的应用，同学们要认真掌握.
【设计意图】：
对于例题要先让学生自己独立思考，然后小组之间进行交流，最后在教师的指导下形成解
决问题的思路，应规范解题过程.
当堂检测：
1．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，
求：(1)以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；
(2)有一辆宽2.8米，高1米的农用货车(货物最高处与地面AB的距离)能否通过此隧道？2．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分.
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
课堂小结:
本节课利用二次函数建立数学模型，并利用二次函数的有关性质来解决实际问题．作业:
课本 P.55第1题
板书设计:
5.7二次函数的应用(２)
知识回顾：
例3
例4
归纳：。