【典型例题】 第五章 线性微分方程组
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第五章 线性微分方程组
5-1 考虑方程组
x A x )(t dt
d = （1）
其中)(t A 是区间b t a ≤≤上的连续n n ⨯矩阵，它的元素为n j i t a ij ,,2,1,),( =，
1）如果)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的任意n 个解，那么它们的朗斯基行列式
)()](,),(),([21t W t x t x t x W n ≡ 满足下面的一阶线性微分方程
W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）
； 2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：
],[,,)()(0)]()([0011b a t t e
t W t W t
t nn ds
s a s a ∈=⎰++ 。
证 1）根据行列式的微分公式
)()()()()()()
()
()()()()()
()
()()()()()(122111112211111221111
t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W nn
n
n n nn n n n nn n n n ''+
+''+''=
'
（3）
由于)(,),(),(21t t t n x x x 是（1）的解，所以
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛='∑∑∑===n
j jk nj n
j jk j n j jk j nk k k nn n n n k t x t a t x t a t x t a t x t x t x t a t a t a t a t a t a t 11
211211
221111)()()()()()()()()()()()()
()()
()(
x ， 所以∑==='n
j jk ij
ik
n k i t x t a
t x 1
),,2,1,(),()( )(，把这些等式代入（3）的右端，化
简计算每个行列式，如（3）式右端第一项等于
)()()
()
()()()()()
()
()
()()()
()()
()(1112211111112211
11
11t W t a t x t x t x t x t x t x t a t x t x t x t x t x t a
t x t a
nn n n n nn n n n
j jn j
n j j j
==∑∑==
类似地可以算出（3）式右端其它各项分别为)()(,),()(22t W t a t W t a nn ，代入（3）得
W t a t a t a W nn )]()()([2211+++=' （2）
2）方程（2）是关于)(t W 的一阶线性微分方程，分离变量可求得通解为 ⎰++=t
t nn ds
s a s a Ce
t W 011)]()([)( ，C 为任意常数。
若)(,00t W W t t ==，则 )(0t W C =， 于是 ⎰++=t
t n n ds
s a s a e
t W t W 011)]()([0)()( 。
评注：公式 ⎰++=t
t nn ds
s a s a e
t W t W 011)]()([0)()( 称为刘维尔公式，反映了线性齐次方程组
的解与系数矩阵)(t A 的关系。)()()()(22111
t a t a t a t a nn n
i ii +++=∑= 称为矩阵)(t A 的迹，
记为)(t tr A ，所以刘维尔公式又可表示为⎰=t
t ds
s tr e
t W t W 0)(0)()(A 。从公式中可以看出，线性
齐次方程组（1）的n 个解构成的朗斯基行列式)(t W 或者恒为零，或者恒不为零。
5-2 设)(t A 为区间b t a ≤≤上连续的n n ⨯实矩阵，)(t Φ为方程x A x )(t ='的基本解矩阵，而)(t φx =为其一解。试证：
1） 对于方程y A y )(t T
-='的任一解)(t ψy =必有=)()(t t T φψ常数；
2） )(t Ψ为方程y A y )(t T -='的基本解矩阵的充要条件是存在非奇异的常数矩阵C ，使C ΦΨ=)()(t t T
。
证 1） 由于)(t ψy =为方程y A y )(t T
-='的解，则
)()()(t t t T
ψA ψ-='，
两边转置，得())()()(t t t T
T A ψψ-='，即())()()(t t t T T A ψψ-='。
因为
[
]()
)()()()()
()(t t t t dt
t t d T
T
T
φψφψ
φψ'+'=