第三章 晶格振动

又 : xn Ae
i ( kna t )
又： k s N 1, N 2 N 共有 N个取 值 a a 2 2 2
1 e 2 π s ，L Na k L
ikNa
k 2 , 2 2 ,..., 有N种均匀分布的分立取值 a L a L a 间隔k 2 ，密度 L ，第一布里渊区倒格点 数N。 L 2
质量加权坐标下：
3N
独立的谐振子 声子
q k bikqi 0
i 1
k 1,2,,3N
qk Akl si n ( l t l )
l 1
3N
简正坐标下：
l1,2,,3N
Ql Ql0 sin( l t 1 )
1 l (Q l l2Ql2 ) 2
3.3 一维复式格子的晶格振动
由边界条件：一维双原子链由N个原胞组成，每个原胞中含 有两个不同的基，将若干个相同的一维双原子链首尾相接， 形成无限长的一维链。则有：
x2 n x2 n2 N e ik 2 Na 1 k 2 π s 2 π s
N 其中，S 2 1, N , 2
晶体的振动动能：
q m x i i i 1 3N 2 i T Ti mi x 2 i 1 i 1
3N
质量加权坐标
( i 1,2,33N )
1 2 T q 2 i 1 i
3N
3.1晶体中原子的微振动 声子 晶体振动势能U qi 按 q i的幂将势能在平衡位置附近展开为泰勒级数 U 1 2U U U0 ( )0 qi ( )0 qi q j 高阶项 qi 2 ij qi q Fra Baidu bibliotek i 其中 U 0 0 平衡位置处的势能为零势能点 U q 0 平衡位置处势能为极小值 i 0 2U bij 略去高阶项（简谐近似） q q i j 0
3N
3N 2 2 2 1 总能量： E T U Q l l Ql l 2 l 1 l 1 2 1 其中： l (Q l l2Ql2 ) 为v l 的谐振子的能量。 2 2
将N个相互作用着的原子系统简化为3N个独立的谐振子
一维双原子链（N个原胞，2N个原子）
一 、运动方程
2n 2n+1
M 2a
m
2 n ( x2 n1 x2 n1 2 x2 n ) m x 2 n1 ( x2 n2 x2 n 2 x2 n1 ) M x
试解
x 2 n Ae
i(k 2 na ωt) i[k(2 n 1)a ωt]


2 m 2 M
称为光频支，相应的格波称为光学波


2a
2β 2 β(m M) 频率较高 ω , mM m 2 βcoska 相邻原子振 A （ ） 0 光学波 ω ω B 2 β mω 2 动方向相反
0
2a
k

称为声频支，相应的格波称为声学波 频率较低
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动
2 k1 2a
k2 2 5 2a k1 k2 2 波矢相差倒格矢，晶格振动相同 a
一组（k，ω）对应一种振动模式。 晶格的独立振动模式数等于N，等于晶体的自由度数。 波矢空间中，晶格振动模式（代表点）均匀分布。
3.3 一维复式格子的晶格振动
mA MB 0
表明光频支在长波极限下，相邻原子反向振动，基质心 保持静止。若是离子晶体，在电场作用下异号离子受力 相反，可用光波来激发离子晶体中的这种长波振动。
2
能量量子化
1 εl (nl )h υl 2
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一、简谐近似
du 1 d 2u 2 u ( x) u ( x0 ) x ( x ) 2 dx r0 2 dx x
0
1d u 2 u ( x0 ) ( x ) 2 2 dx x
则原子间相互作用力
2 Na ，共有N种取值
L
所以 k π 2 π , π 2 2 π ,..., π 有N种取值
2a
L
2a
L
2a
波矢的取值数=晶格原胞数N
振动模式数=总自由度数 2N 对每一个波矢k，有两类独立的振动
3.3 一维复式格子的晶格振动 二、声频支和光频支
2 β(m M) mM
( k )
i 1
k 1,2,,3N
由3N个线性齐次方程组成的方程组,其特解为
qk Ak sint k 1,2,,3N
所有原子在每个方向上都作同频率,同相位,不同振幅的 振动,称为简谐振动。 每一个简谐振动并不表示某一个原子的振动，而是表示 整个晶体所有原子都参与的振动，称为一个振动模式。 有N个原子组成的晶体，一共有3N个振动模式
第三章
晶格振动
§3.1晶体中原子的微振动 声子 一、微振动方程及其解 设晶体由N个原子组成，考虑原子振动，每个原子的位矢：
Rn ' Rn xn
平衡位置
以位移矢量作为考察量：
位移矢量（原子偏离平衡位置）
( x1 x2 x3 ), ( x4 x5 x6 ) ( x3N 2 x3N 1 x3N )
k a a
称为第一布里渊区的范围。 (即倒空间中一维晶格的原胞)

max


a
0 格波的色散关系
a
k
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 考虑极限： （ 1）
k 2
β 2 sin ka m 2
长波极限， , k 0 整个晶格象刚体一样作整体运 动, 因而恢复力为0, 故 0
0
2
du du d u f ( x) 2 dx dx x0 dx
2
x x
x0
作用力常数
近似1：原子间作用力简化为弹性力。 近似2：只考虑最近邻原子间作用力
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 一维无限长单原子链
n 2a n 1a
na
n 1a
n 2a
3.1晶体中原子的微振动 声子 方程的一般解可表示为特解的线性叠加
qk Akl Sin(l t l ) k 1,2,,3N
l 1
3N
对某一个原子而言，实际振动是由许多振动模式引起的 振动的叠加，形式极为复杂。
共有3N种叠加方式，表示在3N个方向上的振动。 所以，实际晶体中每一种微振动都是3N个简谐振动的 叠加，是一种极为复杂的运动。
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 试解代入运动方程：
eix cos x i sin x
ika
m β( e e
2 ika
2
2)
cos 2 x cos2 x sin 2 x
β 2 [ 1 cos( ka )] m
β 2 sin ka m 2
波矢(k)与格波频率(ω)间的函数关系称为色散关系,即声 子谱。能直接地反映原子间相互作用,是晶格动力学的基 础,以其为起点可进一步求得声子态密度、晶格摩尔热容、 德拜温度、热膨胀系数等一系列晶体热力学性质。
x 2 n 1 Be
(2 β mω2 ) A 2 βcos kaB 0 代入运动方程 2 2 βcos kaA (2 β M ω )B 0
3.3 一维复式格子的晶格振动
线性齐次方程非平凡解条件： 2 β mω 2 2 βcoska
2 βcoska 2 β Mω
3.1晶体中原子的微振动 声子
二、声子 根据量子理论
1 每一个谐振子能量可表示为: εl (nl )hυl 2
系统的总能量：
1 E (nl )hυl 2 l 1
3N
声子
系统由3N个谐振子组成，每一个谐振子的能量是量子 化的，能量单位即为声子。
3.1晶体中原子的微振动 声子 晶格振动模式
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动
2 β sin ka m 2
格波的色散关系
由公式和色散关系谱看出，色散关系具有明显的周期性， 周期为n∙2π/a。 对于波矢为k1和k2＝k1＋n∙2π/a的两个格波具有相同的角 频率，相同的能量，相同的位移。
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动
色散关系具有周期性，常将k 限制在:
1 U qi bij qi q j 晶体的振动势能： 2 ij
3.1晶体中原子的微振动 声子 拉格朗日函数（概括整个系统动力状态的函数） L T U d L L 代入拉格朗日方程 ( ) 0 (k 13N ) k dt q qk 3N
q k bik qi 0
2
0
ω2
β [(m M) (m 2 M 2 2 mMcos 2 ka)1 2 ] mM
2 β(m M) mM
色散关系具有周期性， 将k限制在：
( k )

π k π 2a 2a
称为一维双原子链的 第一布里渊区

2 m 2 M

2a
0

2a
k
如m<M，色散关系中存在频隙
3.1晶体中原子的微振动 声子
运用线性变换的方法，引入简正坐标，
3N
qk akl Ql 用Q表达T和U，消除势能交叉项（即消去相互
k 1
Ql blk qk
3N
l 1
作用），组成拉氏函数，带入拉氏方程，求解 系统运动方程： 谐振子运动方程
QlQ
0 l
sin ( l t l ) l 1 , 2 , , 3 N
xn 2 xn1
xn
xn1
xn +2
第n+1个原子对第n个原子的作用力
f n, n 1 ( xn xn 1)
第n-1个原子对第n个原子的作用力
f n,n1 ( xn xn1 )
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动
第n个原子受到的合力为（仅考虑最近邻作用）
f n f n,n 1 f n,n 1 ( xn 1 xn 1 2 xn )
第n个原子的牛顿运动方程：
mxn β( xn1 xn1 2 xn )

每一个原子对应一个方程，n个原子对应n个联立的线性齐次方程组. 2 为格波角波矢 i ( kna t ) 其中： k x 试解： n Ae 位于 na 处的原子的振动解 正k对应于沿+x方向的前进波，负k对应于沿-x方向的波，这种在晶 体中传播的波，称为 格波。 一种振动模式（k，ω ）
q1 q 2 q3 简正坐标和谐振子： 1 D 晶体的振动势能： U qi 2 bij qi q j ij 力常数 q 3 N 1 其中势能公式中用到的力常数可以用矩阵的形式表示出来： q3 N 正交变换 fij f ji A 为正 交矩阵
（2 ）
2a , k 邻近原子反向运动(位相相反)，所以恢 a 复力和频率取极大值。
3.2 一维布拉菲格子的晶格振动 二、 周期性边界条件
考虑有限长的一维原子链，由N个原子组成；另有无穷多个相 同的一维原子链与之联结而形成无限长的一维原子链，各段相 应原子运动情况同。
xn xN n
3.1晶体中原子的微振动 声子

B为正交矩阵
B1 BT
令D为由所有质量加权 A B B 坐标构成的列矩阵
1
1 T U D AD 2
U U
1 T T D B BD 2
Q的每一个矩阵元都是所有质量加权坐 标的线性组合,这些矩阵元就是简正坐标 Q BD
1 ( BD )T ( BD ) 2
2 cos qa 相邻原子振 A （ ） 0 声学波 B 2 m 2 动方向相同
2β ω 0, M
3.3 一维复式格子的晶格振动
考虑长波极限
( ,k 0 )
( A B) M m

2 m M mM