怎样使乘积最大

注明：不是原创，从网络上的文章收集整理，再此谢过原作者！（人教版义务教育课程标准试验教科书四年级上册数学第57页第10题（改版教材的是在第50页第12题）：用0,2,3,4,5组成三位数乘两位数的乘法算式，你能写出几个你能写出乘积最大的算式吗）

怎样使乘积最大

练习一的思考题：用1、2、3、4、5这五个数字组成一个两位数和一个三位数。要使乘积最大，应该是哪两个数要使乘积最小呢换五个数字再试试。

这道题教参上的答案是：要使乘积最大，两个乘数最高位应该分别是4和5，而三位数的十位上应该是3或2；因为3×5﹥3×4，2×5﹥2×4，所以两位数十位上应该是5，三位数百位上应该是4；又因为43×5﹥42×5，所以三位数十位上应该是3.然后再通过试验和调整，可以得出使乘积最大的两个数是431和52.而要使乘积最小，两个乘数最高位上应该是1和2，而三位数的十位上应该是3或4，通过试验和调整，也可以得出使乘积最小的两个数是245和13.

我反复研究了这个解法，觉得学生要按这种方法理解起来有一定的难度。我重新调整了思路，把这道题分三步来思考：

1、要使乘积最大，两个乘数最高位应该分别是4和5，最末位是1；

2、先不看最末位的1，就变成2、

3、

4、5四个数字，要想使乘积最大，这两个两位数就要最接近，53和42相差11，52和43相差9，应选择52和43（这是三年级接触过的内容）；

3、接下来看最末位的1跟着哪个两位数后面，通过计算521×43=22403，52×431=22412，由此得出末位的1跟在首位小的数的后面。

按照这种思路，要想使乘积最小，就应该这样做：

1、要使乘积最小，两个乘数最高位应该分别是1和2，最末位是5；

2、先不看最末位的5，就变成1、2、

3、4四个数字，要想使乘积最小，这两个两位数就要相差最大，13和24相差11，14和23相差9，应选择13和24；

3、接下来看最末位的5，应该跟在首位大的数的后面，也就是13×245=3185.

接下来，我用同样的方法求用5、6、7、8、9这五个数字组成的一个两位数和一个三位数。要使乘积最大，应该是哪两个数要使乘积最小呢结果是：乘积最大的是：96×875=84000，乘积最小的是：57×689=39273.

“用1～9组成几个几位数相乘的积最大”

下面对“用1～9组成几个几位数相乘的积最大”的问题分析如下。

先看组成几个因数相乘的积最大最多有9个因数，每个因数都是一位数。我们任选两个因数，看它们的积与这两个因数组成的两位数哪个大设这两个因数是a和b，则有10a+b-a×b= a（10-b）+b＞0，因为a和b都是一位数。由此说明，两个一位数的因数不如组成一个两位数的因数大。

再看一个两位数和一个一位数的积与由这三个一位数组成的三位数哪个大设这三个一位数是a、b、c。为便于说明，令0＜a＜b＜c ≤9。显然，一个两位数和一个一位数相乘的积中（10b+a）c最大，三位数最大是100c+10b+a。则有100c+10b+a -（10b+a）c = 100c+10b+a -10 bc- ac= c〔10（10-b）- a〕+10b+a＞0。由此说明，一个两位数和一个一位数的积不如这三个一位数组成一个三位数的因数大。

依此类推，当有一个因数确定时，剩下的一位数组成一个多位数的因数与这个确定的因数相乘的积最大。即用1～9组成两个多位数相乘的积最大。

最后看这两个多位数是多少时相乘的积最大

一位数乘八位数最大是：9×=9；

两位数乘七位数最大是：96×8754321=6；

三位数乘六位数最大是：964×875321=4；

四位数乘五位数最大是：9642×87531=2。

比较以上等号右边四个数，得出9642×87531=2最大。即用1～9组成9642和87531相乘的积最大。