多元函数积分学习题课

第九章 多元函数积分学习题课

题目见幻灯片

例１

【解】使用轮换对称性：若D 关于直线x y =对称，则

⎰⎰D

d y x f σ),(⎰⎰=D

d x y f σ),(．

⎰⎰+=

D

d b a σ)(21

D b a )(21+=的面积π)(21b a +=．

故选【Ｄ】． 例２

【解】由于122≤+y x ，则≤+≤222)(0y x 2

1222

2

π

<

≤+≤

+y x y x ，

又在指定区间，x cos 是减函数，则cos )cos(222≥+y x 0cos )(222

2≥+≥+y x y x ，

且等号不能总成立，由积分单调性，知 321I I I <<，故选【Ａ】． 例３

【解】使用奇偶对称性．

积分区域D 关于x 轴是对称的，且由于)()()()(x g y f x g y f -=-，0)()(=⎰⎰

D

d x g y f σ，

故选【Ａ】． 例４

【解】使用奇偶对称性，知 042==I I ；在区域1D 上，0cos ≥x y 且不总等于０，故01>I ；

在区域3D 上，0cos ≤x y 且不总等于０，故03

【解】设),(11y x M ，),(22y x N ，则由题意，21x x <，21y y >，

0),(12

2

1

>-==⎰⎰x x

dx dx y x f x x T

；0),(122

1

<-==⎰⎰y y dy dy y x f y y T

；

=⎰T

ds y x f ),(0>⎰T

ds ；0),('),('

=+⎰T

y x

dy y x f dx y x f ，故选【Ｂ】

． 例６ 【解】积分区域为如图所示梯形区域，则取y

有 原积分＝⎰⎰-y

dx y x f dy

41

2

1

),(，故选【Ｃ】

． 例７

【解】积分区域如图，则取y 为外积分变量，

原积分＝⎰⎰

-π

πy

dx y x f dy

arcsin 1

),(，故选【Ｂ】

．

例８

【解】作出积分区域为圆扇形区域，若取x 为外积分变量，则积分应为两积分之和，故取y 为外积分变量，

原积分＝

⎰⎰-2

12

20

),(y y

dx y x f dy ，故选【Ｃ】

． 例９

【解】利用极坐标下的积分，则

原积分＝⎰

⎰u

v

dr r f d 1

2

)(θ

⎰=u

dr r f v 1

2)(，

)(2u vf u

F

=∂∂，故选【Ａ】． 例１０

【解】由于积分区域D 既对x 轴又对y 轴对称，利用奇偶对称性及轮换对称性，

⎰⎰+=D dxdy y x )(21224

211

0320πθπ==⎰⎰dr r d ． 例１１

【解】⎰

⎰1

2

1

ln xdy x dx y ⎰

=2

1

10|dx x y 2

1

)1(2

1

=

-=⎰

dx x ． 例１２

【解】利用轮换对称性及球面坐标计算．

⎰⎰⎰⋅=1

22020sin 31

ρϕρρϕθππd d d ππ154512231=

⋅⋅⋅=． 例１３

【解】曲线L 的方程为 2

x y =，则dx x ds 241+=，（20≤

≤x ），故

⎰⎰+=20

2

41dx x x xds L ⎰

++=

2

22)41(4181x d x 6

13

|)41(328120232=+⋅=

x ． 例１４

【解】因积分区域D 关于x 轴对称，且被积函数关于y 是奇函数，故

0122=++⎰⎰D

dxdy y x xy

． 2ln 2|)1ln(2011

021

2

2

2

ππθππ

=+=++=

⎰

⎰-

r dr r r d ． 例１５

【解】积分区域为如图左上半圆盘，故采用极坐标计算较简便．

用极坐标表示积分区域：

4

34

π

θπ

≤

≤，)sin (cos 20θθ+≤≤r 3

8|)sin (cos 41384/34/4-=+⋅=

ππθθ． 例１６

【解】取y 为外积分变量，则10≤≤y ，y x ≤≤0，

⎰⎰

-D

dxdy xy y 2⎰

⎰-=y

dx xy y dy 0

21

⎰-⋅-=10032])(321[dy xy y y y

92321

2==⎰dy y ．

例１７

【解】令}0,0,1|),{(221≥≥<+=y x y x y x D ，

}0,0,21|),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D ，则21D D D ⋃=．

在区域1D 上，1]1[22=++y x ；在区域2D 上，2]1[22=++y x ，

2sin cos 1

32

+=⎰⎰dr r d πθθθ8

3412124121sin cos 2

1

3

2

=⋅⋅+⋅=⎰⎰dr r d πθ

θθ． 例１８

【解】令}0,0,1|),{(221≥≥≤+=y x y x y x D ，

}01,01,1|),{(222≥≥≥≥≥+=y x y x y x D ，则21D D D ⋃=．

在区域1D 上，)(1|1|2222y x y x +-=-+； 在区域2D 上，1|1|2222-+=-+y x y x ，

⎰⎰--1

)1(2

2D dxdy y x 8

)1(1

220π

θπ

=-=⎰⎰rdr r d ，

但 ⎰⎰-+1

)1(22

D dxdy y x

⎰⎰-++2

)1(22D dxdy y x ⎰⎰-+=D

dxdy y x )1(22，

故

=

-+⎰⎰2

)1(22

D dxdy y x

⎰⎰-+D

dxdy y x

)1(22

⎰⎰-+-1

)1(22D dxdy y x ，

⎰⎰-+=102210)1(dy y x dx =--⎰⎰102

20)1(rdr r d π

θ8)32(1

2π

+-⎰dx x 831π+-=，

所以 ⎰⎰-+D

dxdy y x |1|2

23

1

48318

-=+-

=πππ

． 例１９