多元函数积分学习题课

第九章 多元函数积分学习题课题目见幻灯片例１【解】使用轮换对称性：若D 关于直线x y =对称，则⎰⎰Dd y x f σ),(⎰⎰=Dd x y f σ),(．⎰⎰+=Dd b a σ)(21D b a )(21+=的面积π)(21b a +=．故选【Ｄ】． 例２【解】由于122≤+y x ，则≤+≤222)(0y x 212222π<≤+≤+y x y x ，又在指定区间，x cos 是减函数，则cos )cos(222≥+y x 0cos )(2222≥+≥+y x y x ，且等号不能总成立，由积分单调性，知 321I I I <<，故选【Ａ】． 例３【解】使用奇偶对称性．积分区域D 关于x 轴是对称的，且由于)()()()(x g y f x g y f -=-，0)()(=⎰⎰Dd x g y f σ，故选【Ａ】． 例４【解】使用奇偶对称性，知 042==I I ；在区域1D 上，0cos ≥x y 且不总等于０，故01>I ；在区域3D 上，0cos ≤x y 且不总等于０，故03<I ，因此选【Ａ】． 例５【解】设),(11y x M ，),(22y x N ，则由题意，21x x <，21y y >，0),(1221>-==⎰⎰x xdx dx y x f x x T；0),(1221<-==⎰⎰y y dy dy y x f y y T；=⎰Tds y x f ),(0>⎰Tds ；0),('),('=+⎰Ty xdy y x f dx y x f ，故选【Ｂ】． 例６ 【解】积分区域为如图所示梯形区域，则取y有 原积分＝⎰⎰-ydx y x f dy4121),(，故选【Ｃ】． 例７【解】积分区域如图，则取y 为外积分变量，原积分＝⎰⎰-ππydx y x f dyarcsin 1),(，故选【Ｂ】．例８【解】作出积分区域为圆扇形区域，若取x 为外积分变量，则积分应为两积分之和，故取y 为外积分变量，原积分＝⎰⎰-21220),(y ydx y x f dy ，故选【Ｃ】． 例９【解】利用极坐标下的积分，则原积分＝⎰⎰uvdr r f d 12)(θ⎰=udr r f v 12)(，)(2u vf uF=∂∂，故选【Ａ】． 例１０【解】由于积分区域D 既对x 轴又对y 轴对称，利用奇偶对称性及轮换对称性，⎰⎰+=D dxdy y x )(212242110320πθπ==⎰⎰dr r d ． 例１１【解】⎰⎰121ln xdy x dx y ⎰=2110|dx x y 21)1(21=-=⎰dx x ． 例１２【解】利用轮换对称性及球面坐标计算．⎰⎰⎰⋅=122020sin 31ρϕρρϕθππd d d ππ154512231=⋅⋅⋅=． 例１３【解】曲线L 的方程为 2x y =，则dx x ds 241+=，（20≤≤x ），故⎰⎰+=20241dx x x xds L ⎰++=222)41(4181x d x 613|)41(328120232=+⋅=x ． 例１４【解】因积分区域D 关于x 轴对称，且被积函数关于y 是奇函数，故0122=++⎰⎰Ddxdy y x xy． 2ln 2|)1ln(2011021222ππθππ=+=++=⎰⎰-r dr r r d ． 例１５【解】积分区域为如图左上半圆盘，故采用极坐标计算较简便．用极坐标表示积分区域：434πθπ≤≤，)sin (cos 20θθ+≤≤r 38|)sin (cos 41384/34/4-=+⋅=ππθθ． 例１６【解】取y 为外积分变量，则10≤≤y ，y x ≤≤0，⎰⎰-Ddxdy xy y 2⎰⎰-=ydx xy y dy 021⎰-⋅-=10032])(321[dy xy y y y923212==⎰dy y ．例１７【解】令}0,0,1|),{(221≥≥<+=y x y x y x D ，}0,0,21|),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D ，则21D D D ⋃=．在区域1D 上，1]1[22=++y x ；在区域2D 上，2]1[22=++y x ，2sin cos 132+=⎰⎰dr r d πθθθ83412124121sin cos 2132=⋅⋅+⋅=⎰⎰dr r d πθθθ． 例１８【解】令}0,0,1|),{(221≥≥≤+=y x y x y x D ，}01,01,1|),{(222≥≥≥≥≥+=y x y x y x D ，则21D D D ⋃=．在区域1D 上，)(1|1|2222y x y x +-=-+； 在区域2D 上，1|1|2222-+=-+y x y x ，⎰⎰--1)1(22D dxdy y x 8)1(1220πθπ=-=⎰⎰rdr r d ，但 ⎰⎰-+1)1(22D dxdy y x⎰⎰-++2)1(22D dxdy y x ⎰⎰-+=Ddxdy y x )1(22，故=-+⎰⎰2)1(22D dxdy y x⎰⎰-+Ddxdy y x)1(22⎰⎰-+-1)1(22D dxdy y x ，⎰⎰-+=102210)1(dy y x dx =--⎰⎰10220)1(rdr r d πθ8)32(12π+-⎰dx x 831π+-=，所以 ⎰⎰-+Ddxdy y x |1|223148318-=+-=πππ． 例１９【解】令}20,20,1|),{(1≤≤≤≤≤=y x xy y x D ，}20,20,1|),{(2≤≤≤≤≥=y x xy y x D ，则21D D D ⋃=．在区域1D 上，1)1,max(=xy ；在区域2D 上，xy xy =)1,max(，⎰--=221)12(4dx x ⎰-+221)212(dx x x 2ln 419)2ln 415()2ln 23(4+=-+--=．例２０【解】由被积函数及积分区域关于两轴的对称性，知4),(=⎰⎰Ddxdy y x f ⎰⎰*),(D dxdy y x f ，其中}0,0,1|),{(1≥≥≤+=y x y x y x D ，}0,0,21|),{(2≥≥≤+<=y x y x y x D ， 而21*D D D ⋃=．在区域1D 上，2),(x y x f =；在区域2D 上，221),(yx y x f +=，)223ln(21121++=， 所以4),(=⎰⎰Ddxdy y x f ⎰⎰*),(D dxdy y x f ．例２１【解】（１）用ADB 表示从A 通过D 到B 的有向弧．则由题目条件知k yx xydydx y BEAACB =++⎰+4222)(ϕ（常数），k yx xydydx y BDAACB =++⎰+4222)(ϕ，从而⎰++=ACBy x xydydx y 422)((ϕ⎰+++BDAy x xydydx y 422)(ϕ）⎰+++=BDAACB yx xydydx y 4222)(ϕ022)(42=-=++-⎰+k k yx xydydx y BEAACB ϕ．证完（２）由（１）知，曲线积分在全平面内与积分路径无关，故由 y P x Q ∂∂=∂∂，可知 =+-24225)2(42y x yx y 242342)2()(4)2)(('y x y y y x y +-+ϕϕ， 比较两端的分子，即可知 y y 2)('-=ϕ，5342)(4)('y y y y y =-ϕϕ．前一式说明C y y +-=2)(ϕ，代入后一式，得 52352)(42y C y y y =+---，因此 0=C ，所以 2)(y y -=ϕ例２２【解】令),(y x yf P =，),(y x xf Q -=，则由等价条件知，只需证明yPx Q ∂∂=∂∂即可， 即证 ),('),(),('),(21y x yf y x f y x xf y x f +=--， 也即 ),(2),('),('21y x f y x yf y x xf -=+． 等式 ),(),(2y x f t ty tx f -= 两边对参数t 求导，得 ),(2),('),('321y x f t ty tx yf ty tx xf --=+，令 1=t ，即得 ),(2),('),('21y x f y x yf y x xf -=+． 证完．。