2011年电工杯数学建模B题论文

拔河比赛
摘要
本文从拔河比赛中的物理分析出发，根据获得最大摩擦力和保持绳子稳定的条件，得出能发挥最大能量的队员排序，再根据能量模型和运动员体能数学模型来判断获胜规定的科学性，然后为了使拔河比赛更加公平，设计了一个解决这问题的规则，最后根据前面的分析，写了一个提案。

问题一：我们研究了拔河比赛中出现的各种情况，针对“如何安排队员的位置使该队发挥最大能量”的问题，首先建立理想简化模型，运用力学分析方法，得出发挥最大能量关键在于获得最大静摩擦力；其次对拔河比赛中获得最大压力进行分析和对绳子进行受力分析，得到队列按身高从低到高，且当身高一样的时候，质量大的队员应安排在后面时，能发挥最大能量。

问题二：为了判断绳子拉过4米为获胜者这一规定是否科学，我们建立了能量模型和运动员体能数学模型，得出当绳子拉过的距离l 符合公式mg
l E μ0
8≤
时科
学。

从而得出这一规定在320公斤级、360公斤级、400公斤级、440公斤级、480公斤级、520公斤级、560公斤级、600公斤级的拔河比赛中是科学的；而在640公斤级、680公斤级和720公斤级的拔河比赛中是不科学的。

问题三：为了使拔河比赛既能保证大部分同学都乐于参加，又能体现比赛竞争性，我们设计出解决这一问题的规则：建设两边粗糙程度不同比例的拔河道，比赛双方场地的选择由双方队员的总体重比例决定。

再定量用最大摩擦力相等的关系得出各个场地的比例系数和需要建立11道拔河道，最后根据公式
0625.0625.02
1+<<
-k k m
m 来选择场地。

问题四：运用了问题二的判断和问题三的规则，再根据了现代大学生的的体质状况和学习物理的兴趣现状向全国大学生体育运动组委会提出一个提案。

关键词： 摩擦力 力学分析 能量模型
一、问题重述
1.1 背景资料与条件
拔河比赛是一项历史悠久，具有广泛群众基础且深受人们喜欢的多人体育运动。

参加拔河既可以锻炼个人的臂力、腿力、腰力和耐力，又可以培养团队的合作精神。

拔河比赛是按照参赛双方每方8人的总体重来分级的，从320公斤到720公斤，每隔40公斤一级。

而拔河比赛的用时相对较少，若参赛的某一方将绳子标记拉过自己一侧4米则该方获胜，一般几分钟或十几分钟便分出胜负，现场气氛甚是热烈。

1.2 需要解决的问题：
利用相关知识解答以下四个问题：
1.建立相关数学模型来安排某种分级比赛中的拔河队员位置，使该队在拔河比赛中发挥出最大能量；
2.利用数学建模的方式，来说明在比赛中拉过绳索4米便获胜的规定是否科学；
3.设计一个既能保证在校大部分同学都能参加，又能体现比赛竞争性的拔河比赛规则，以此来吸引更多的学生参加运动，并要对规则进行定量说明。

4.向全国大学生体育运动组委会写一个将所设计的拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目的提案。

二、问题分析
2.1问题的重要性分析（社会背景）
人数相等的双方对拉一根粗绳以比较力量的对抗性体育娱乐活动。

拔河起源于中国，源于春秋战国时期。

最初拔河主要用以训练兵卒在作战时钩拉或强拒的能力，后来被水乡渔民仿效，成为一项民间体育娱乐活动。

1900～1920年的奥运会上曾被列为比赛项目。

拔河是一项具有广泛群众基础且深受人们喜爱的多人体育运动。

拔河运动可以锻炼参加者的臂力、腿力、腰力和耐力，并且能够培养团队合作精神。

通过对本题的研究，给我们分析了拔河比赛中的主要决定胜负的因素，从而给大家知道如何在拔河比赛中取胜。

找到拔河比赛中的理论原理，为我们赢得比赛找到了一个方法。

所以说，研究本课题是非常重要的现实意义的。

2.2问题的思路分析
问题一：对队员位置的安排问题，队员的区别主要在队员的身高和队员的体重，所以说主要是分析身高和体重对整体发挥的最大能量的影响。

首先建立物理模型要对拔河比赛中总体情况的分析，再根据身高影响最大正压力和体重影响绳子的稳定性，从而求出队员的排列顺序。

问题二：对于绳子被拉动的距离l，应用能量模型对双方在拔河比赛中的能量进行分析就得关系，再由一般人的最大能量和一般场地与鞋子的摩擦系数，求得一方一次发力时，绳子被拉动的最大距离。

根据最大距离和规定的4米进行比较，从而得出是否科学。

问题三：根据拔河比赛中的力学分析，其主要的决定胜负的因素是比赛双方的总质量。

这样拔河比赛就成了大质量人的游戏了。

为了去掉这一弊端，让比赛更具有公平性和竞争性，就设计一个规定：建设两边粗糙程度不同比例的场地，
比赛双方场地的选择由双方队员的总体重比例决定。

让比赛双方在静止的最大摩擦力相等。

再根据这一规定，定量求出各个场地的比例。

问题四：针对大学生的体质问题和学习物理的兴趣状况，提出将拔河比赛列入全国大学生正式比赛项目，并根据问题三设立一个比赛规定。

三、模型假设
3.1假设拔河比赛场地平坦；
3.2假设队员与地面的摩擦系数相同；
3.3假设拔河比赛过程中绳子与队员的手不产生相对滑动； 3.4假设每个队员比赛前的体力能量相等且已知。

四、符号说明
以下符号下标1,2分别表示拔河比赛的甲方和乙方。

m ：队员的总质量；
m 0
：绳子的质量；
'
m ：两名队员之间绳子的质量； G :队员所受的总重力； N
：队员对地面的正压力；
f
：队员所受地面的摩擦力； f
m
：队员所受地面的最大静摩擦力； f
：运动员发挥出来的力；
F ：队员所受绳子的拉力或绳子所受到的拉力； T :绳子的张力；
F 0:绳子受到的垂直干扰力；
a ：队员的水平加速度；
a 0
：绳子的加速度；
μ
：队员与地面的摩擦系数；
d :队员所受重力的力臂；
L
：队员所受拉力的力臂；
L 0：某方第一位队员到对方第一位队员的距离；
s
：队员向上做加速运动的位移；
0t ：队员向上做加速运动的时间；
θ：人的身体与竖直方向的夹角；
β：绳子与水平方向的夹角；
n ：绳子的段数；
l ：一方把另一方拉过的距离；
E ：队员在整个比赛过程中消耗的总能量；
E
：初始时刻每名队员体内贮存的能量；
g ：重力加速度；
σ
：呼吸和循环系统在氧的代谢作用下单位时间提供的能量；
v : 运动员的速度；
k ：拔河道两边的摩擦系数的比值；
五、 模型的建立与求解
5.1建立模型与求解
5.1.1理想拔河比赛的力学分析
从总体的运动力学分析，可假设拔河双方均为一个人参加比赛，拔河用的绳子质量不计，将两人的双脚站立位置各设为一个点。

对甲乙双方的受力进行分析，画出力的示意图，如图1所示。

甲 乙
图1甲乙双方受力图
甲受4个力的作用：重力G 1； 地面对甲的支持N 1； 地面对甲的摩擦力
f
1
；
绳对甲的拉力F 1。

乙受4 力作用: 重力G 2 ；地面对乙的支持力N 2； 地面对乙的摩擦力
f
2
；绳对乙的拉力F 2。

根据牛顿第三定律，甲对绳的拉力和绳对甲的拉力是一对相互作用力，大小相等，乙对绳的拉力和绳对乙的拉力也是一对互相作用力，大小相等。

由于绳的质量不计，故张力处处相等。

因此，对于拔河的两个人，甲对乙施加了多大拉力，乙同时也对甲施加了一个同样大小的拉力。

所以
F
F 2
1=
（5-1-1）
既然双方所受的拉力大小相等，应该不可能分出胜负，但实际上总有一方获
胜。

可见，双方之间的拉力并不是决定的因素。

对于甲而言，甲要想获胜，必须在水平上产生一个向左的加速度a ，而
0>a 。

对甲在水平上进行受力分析：
a m F f 111
=-
其中m 1为甲的质量，根据0>a ，得到
01
1
>-F
f ，就是要
F f
11
> （5-1-2）
此时，对乙在水平上进行受力分析，有牛顿第二定律得：
a m F f
222
-=-
其中m 2为乙的质量，同理得到
F f
22
< （5-1-3）
联立（5-1-1）- （5-1-3）式得
f
f
2
1
>
（5-1-4）
也就是说拔河比赛的胜负取决于地面对人的摩擦力
f
1
、
f
2。

获胜的关键
在于增大静摩擦力，而地面对他们的最大静摩擦力由公式N f m
μ0
=决定，μ
为摩擦系数，N 为他们对地的正压力。

即地面越粗糙,
f
m
越大。

在拔河比赛
中,当人的重心静止时，一旦场地和队员的鞋子选定,μ0
亦确定。

因此, 不可能通过改变μ0
来增大
f
m。

能否用增大正压力的方法来增大摩擦力呢? 这也是不
可能的。

因为此时正压力始终只等于重力, 是不可变更的。

要增大摩擦力, 只有
人体向地面倾斜, 双脚用力蹬地, 对地面施以很大的力( 俗称腿劲) , 从而使地面对人脚施一很大的反作用力F, 这个力的水平分力f 就是地面对人体的静摩擦力, 如图2所示。

图2 人体直立和后倾时的受力分析比较图
归根结底, 在拔河比赛中, 决定胜负的因素之一是人体后倾蹬地的腿劲。

此即拔河比赛人体后倾的原因之一。

图3 人后仰受力矩作用分析图 图4 人前趴受力矩作用分析图
从力矩作用效果分析，选脚和地面的作用点A 为支点，如图3所示，以A 为支点，当人不转动时，重力矩和拉力矩相等，即
L d F G ⨯=⨯1
1
当人向后仰时重力和拉力的力矩相反，而使人沿逆时针方向转动的重力的力矩越大，人越能获胜，所以，必须增大人的重力G 1和重力的力臂d ，因此考虑增大d ，就必须要增大人的身体与竖直方向的夹角θ，但夹角θ是不能无限制地增大的。

设地面与人之间的摩擦系数为μ0
，由图3可得
θtan N f = 所以有N
f
=θtan 当f 最大，即
N f
m
μ0
=时,
μμ
θ0
tan ==
=N
N
N
f
(5-1-5)
所以，当μθ0
tan r c a =时，摩擦力达到最大值，若继续增大θ，则人就会向前产生滑动，即人就会被拉动。

如图4所示，当人向前趴时，重力和拉力的力矩方向相同，使人顺时针转动，这时人只有向前跨步才能保持平衡，人也会被拉动。

由上面所述，最大静摩擦力与人对地面的压力有关，就是人对地面压力越大，其产生的最大静摩擦力也越大。

5.1.2对拔河比赛中获得最大压力的分析
拔河时，当队员重心不变的时候，其队员对地面的压力Ｎ等于人的重力Ｇ，当队员的重心在竖直方向做加速运动时，其队员对地面的压力Ｎ大于人的重力Ｇ，其关系为：
am G N +=
其中a 为一位队员的重心的加速度，m 为一位队员的质量。

当0>a 时，得G N > 当0<a 时，得G N <
综上所述，当队员的重心向上做加速运动时，其队员对地面的压力就大，其大小与重心的加速度有关。

当八位队员一起重心向上做加速运动时，其产生的最大压力N 总也最大为：
∑∑==+=8
1
i
81
i G N
i i m a i 总
(5-1-6)
但是产生最大压力的的时候，并不是都能同时产生的摩擦力最大。

当所有的队员的重心都向上做加速运动的时候且不发生滑动，可简化成一位队员向上做加速运动，如图5所示，由水平方向的合力为零得：
αcos T f = （5-1-7）
图5 一位队员向上做加速运动受力分析图
根据式(5-1-7)可知，当不发生滑动的时候，队员与地面的摩擦力等于拉力在水平方向的分力。

就是说，在不发生相对滑动的时候，地面对队员的摩擦力直接与绳子对队员的拉力和其拉力与水平方向的夹角有关。

所以想得到最大摩擦力就得在做加速的同时，使拉力T 最大和拉力与水平方向的夹角α最小。

图6 力的合成原理图
根据力的合成原理，如图6所示，当两个力共线且同向的时候，其合力最大，同理，现在有八位队员，也就是说，要使得其合力最大，就要使这八个拉力在同一方向且共线。

同时为了使得到的最大摩擦力持续的时间长，应当考虑每位队员重心在做向上加速运动的时间t ，由运动学公式得
21
2t a s = （5-1-8）
要使得t 0最大，其每位队员的在做向上加速运动的距离s 也应是最大，所以身材高大的队员在做加速运动的距离s 也大。

为了既满足拉力共线，又满足向上做加速运动的距离s 最大，这样在队员做加速运动就得与身高有关，队员的排序就应按身高的降序或升序来排列。

这样队员只能按高到低或按低到高两种情况。

再根据(5-1-7)式，应使拉力与水平方向的夹角尽可能的小。

由图5的几何关系得,
L
s 0
tan =
α
其中
s
为第一位队员做加速运动的位移，
L 0为第一位队员到对方第一位
队员的距离。

从高到低排列有：L
s 0
max arctan =α （5-1-9）
从低到高排列有：L
s 0
min arctan =α （5-1-10）
根据s s max min <可知，当从低到高排列，此时的拉力与水平方向的夹角最小，产生的拉力也最大，地面对人的摩擦力也最大。

综上所述，队员从绳子的始端到末端按从低到高排列，这样能更好地产生最大拉力，从而产生最大摩擦力。

5.1.3对绳子受力分析
5.1.3.1对中间绳子的受力分析
质量为m 0的一根绳，它的两端分别受到沿绳外的拉力F 1和F 2，将绳均匀地分成质量相等的n 段，且质量集中于各个段的一点，如图7所示。

图7 对绳的受力分析图 用整体法建立动力学方程：
a m a F F n n 000021)1
(m ==- 得到m
F
F a 0
2
1
0-=。

运用隔离法可求得各段绳之间的张力，如第1段与第2
段，第2段与第3段，…直到第（n-1）段与第n 段之间的张力分别是：
n n
n F
F F F F T 2
1
12
11)1(--
=
+-=，
,)
(22)2(211
2
22
n
n
n F F F
F F T
--
=
--=
……
直到n
n n
n F F F F F
T n )
)(1()1(2112
1
1---
=
-+=
-
上述结果表明, n 为正整数, T 1 > T 2> ……>T n 1-, 当绳向F 1方向作加速运动时, 绳上各处的张力不等, 前端的张力大, 愈往后绳上张力愈小. 且绳的质量愈大、加速度愈大这个差别就愈明显。

当绳处于静止或匀速运动时，加速度00=a ，则
0 0
21122111==
-=-==-=----a n
m
F T T T T T T F n n n
由此得
F
T
T F 21-n 2
1
1
T =⋯⋯===。