图的基本概念优秀课件
建筑制图课件ppt完整版
建筑制图基本规定
详细阐述国家建筑制图标准中关于图纸幅面、标 题栏、会签栏、比例、字体、图线、尺寸标注等 基本规定。
常用建筑图例及画法
列举并解释国家建筑制图标准中常用的建筑图例 ，如墙、门、窗、楼梯、台阶等，以及相应的画 法。
行业建筑制图规范解读
行业建筑制图规范概述
02 建筑制图基础知识
投影原理与分类
投影法的基本概念
投影线、投影面、投影、投影 中心
投影法的分类
中心投影法、平行投影法
正投影的基本特性
真实性、积聚性、类似性
工程上常用的投影图
多面正投影图、轴测投影图、 标高投影图、透视投影图
视图表达与绘制方法
01
02
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视图
基本视图、向视图、局部视图 、斜视图
提高建筑制图质量的途径和措施
• 注重实践训练，多做案例分析和模拟练习。
提高建筑制图质量的途径和措施
加强建筑制图课程的教学 和培训。
建立完善的建筑制图规范 和标准体系。
具体措施
01
03 02
提高建筑制图质量的途径和措施
开展建筑制图竞赛和交流活动，促进 经验分享和技术交流。
鼓励创新和实践，探索新的建筑制图 技术和方法。
纠正方法
常见错误类型及纠正方法探讨
加强基本功训练，提高手 绘和计算机绘图能力。
注重细节处理，做到精益 求精。
学习并遵守建筑制图规范 和相关标准。
建立良好的图层管理习惯 ，保持图面清晰易读。
提高建筑制图质量的途径和措施
提高途径
加强理论学习，掌握建筑制图的基本原理和方法 。 多看优秀作品，培养审美能力和表现力。
扇形统计图ppt课件
未来发展趋势预测
01
数据可视化工具的发展
随着数据可视化技术的不断进步，未来扇形统计图的绘制将更加便捷、
高效和美观。
02
Hale Waihona Puke 个性化定制需求的增加用户对数据可视化的个性化需求将不断增加，扇形统计图的样式、配色
、交互等方面将更加丰富多样。
03
大数据与人工智能的结合
大数据和人工智能技术的结合将为扇形统计图的应用提供更多可能性，
同的扇形区域。
标签不清晰
02
确保标签字体大小适中、颜色与背景对比明显，同时标签位置
应易于阅读。
图表布局不合理
03
合理安排图表在页面中的位置，留出足够的空间添加标题、标
签和其他必要信息。
解读误差问题
比例误解
在课件中明确标注扇形的百分比或比例，避免观众对数据的误解 。
数据比较困难
提供辅助线和注释，帮助观众比较不同扇形区域的大小和比例。
Microsoft PowerPoint
在PPT中插入饼图，通过调整数据系 列和类别，制作出扇形统计图。
Excel
其他专业绘图工具
如Adobe Illustrator、CorelDRAW 等，可以绘制更为精美和专业的扇形 统计图。
在Excel中制作扇形统计图，可以更方 便地进行数据处理和分析。
调整颜色、标签等视觉元素
颜色选择
根据数据特点和展示需求，选择 合适的颜色进行区分和标注，使 扇形统计图更加直观和易于理解
。
标签设置
在扇形统计图上添加数据标签，显 示各类别的名称和占比或数量等信 息，方便观众快速了解数据情况。
图表样式调整
根据需要调整扇形统计图的样式， 如边框、背景、字体等，使其更加 美观和符合主题要求。
2024全新《工程制图完整》ppt课件
零件图作用
制造、检验零件的依据；进行技术交流的重要工 具。
零件图内容
一组视图、完整尺寸、技术要求、标题栏。
2024/1/26
19
零件结构类型及表达方法选择
轴套类零件
主要结构为回转体，常 采用主视图加断面图表
达。
2024/1/26
轮盘类零件
主要结构为扁平的盘形 或环形，常采用全剖视
图表达内部结构。
叉架类零件
典型电子设备工程制图案例
通过具体案例，如手机、电脑等电子设备的制图过程，拓展视野。
31
讨论：如何提高工程制图能力
掌握基本制图技能
熟练掌握视图表达、尺寸标注 、技术要求等基本制图技能。
2024/1/26
学习专业制图软件
学习使用AutoCAD、 SolidWorks等专业制图软件， 提高制图效率和质量。
2024/1/26
7
02
基本几何元素绘制方 法
2024/1/26
8
点、直线段和射线绘制
点的绘制
在绘图区域确定点的位置，使用 绘图工具中的“点”命令进行绘
制。
2024/1/26
直线段的绘制
确定直线段的起点和终点，使用“ 直线”命令进行绘制。可以通过输 入坐标值或捕捉屏幕上的点来确定 起点和终点。
射线的绘制
箱体类零件
结构复杂且不规则，需 采用多个基本视图和辅
助视图表达。
20
结构复杂，有空腔和壁 板，常采用全剖、半剖
或局部剖视图表达。
零件尺寸标注原则和方法
01
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03
04
正确
符合国家标准规定，保证设计 要求。
完整
标注出制造和检验零件所需的 全部尺寸，不遗漏、不重复。
概念图与思维导图的区别课件
04
CATALOGUE
概念图与思维导图的制作工具
概念图的制作工具
Inspiration
一款专业的概念图制作软件，提供丰富的模板和符号库，支持导入和导出多种格 式，适合制作复杂的概念图。
MindManager
一款功能强大的概念图制作软件，支持导入和导出多种格式，包括Word、PPT 等，适合制作大型的概念图。
链接
节点之间的链接表示它们之间的 关系，这种关系可以是因果关系 、顺序关系或其他逻辑关系。
思维导图的层级与发散
层级
思维导图通常有一个中心主题，其他 内容围绕这个中心主题展开，形成不 同的层级。
发散
从中心主题出发，思维导图的内容以 放射性方式展开，每个层级都有自己 的分支和子分支。
概念图与思维导图的视觉呈现
思维导图的制作工具
XMind
一款流行的思维导图制作软件，提供多种主题样式和符号库 ，支持导入和导出多种格式，适合制作复杂的思维导图。
MindNode
一款简洁易用的思维导图制作软件，支持导入和导出多种格 式，包括PDF、PNG等，适合制作简单的思维导图。
概念图与思维导图的在线制作平台
MindMeister
跨平台兼容性
提高跨平台兼容性，使概念图与 思维导图在不同操作系统和设备
上都能流畅使用。
概念图与思维导图在未来的发展趋势
普及化
随着教育和培训领域的不断发展，概念图与思维导图将更加普及 ，成为学习和工作中不可或缺的工具。
个性化定制
提供更多个性化定制选项，满足不同用户对概念图与思维导图的不 同需求。
智能化辅助
而思维导图则是由英国心理学家Tony Buzan在20世纪60年代提出的，并逐渐在全 球范围内得到广泛应用。
心电图入门基础PPT课件
T波形态与意义
• T波代表心室快速复极时的电位变化
T波形态与意义
形态
T波方向与QRS主波方向一致，在Ⅰ、Ⅱ 、V4～V6导联中直立，aVR导联中倒置 。 在Ⅲ、aVL、aVF、V1～V3导联中可以倒 置、双向或直立。
T波形态与意义
时间
<0.25s
电压
肢导联<0.5mV，胸导联一般<1.0mV(除V1～V3导联外)
病例一
宽QRS波心动过速的鉴别诊断
临床表现
心悸、胸闷、头晕等
心电图特征
QRS波增宽，心室率加快
疑难病例分享交流
鉴别诊断
01
通过病史、体检、心电图及电生理检查进行综合分析，确定诊
断
病例二
02
不典型心肌缺血的心电图表现
临床表现
03
胸闷、胸痛等不典型症状
疑难病例分享交流
心电图特征
ST段压低、T波倒置等不典型表现
01
讲解心电图各波形的意义及阅读 分析方法
02
通过实例演示如何进行心电图的 阅读和分析
谢谢您的聆听
THANKS
包括自律性、传导性和兴奋性，这些 特性决定了心脏能够自动产生节律性 兴奋并传导至整个心脏。
心脏电生理活动是心电图产生的基础 ，心电图是心脏电生理活动的客观记 录。
心脏传导系统
由窦房结、结间束、房室结、房室束 、右束支、左束支和Purkinje纤维等 组成，负责心脏电信号的传导。
心电图产生原理
心肌细胞除极与复极过程
要点一
心电图特征
要点二
诊断要点
持续而显著的窦性心动过缓，窦性停搏与窦房阻滞，快慢 综合征。
临床表现与心电图改变相符合，阿托品试验和食道调搏检 测可辅助诊断。
《制图的基本知识》课件
比例尺的换算
根据实际需要，可以将 比例尺进行换算，以便 在图纸上表示不同比例
的物体。
线条与箭头
01
02
03
04
线条
线条是构成图形的基本元素， 不同线条的组合可以表示不同
的形状和结构。
箭头
箭头用于指示方向和表示线条 的起点和终点，是图形中不可
或缺的元素。
线条粗细
线条的粗细对于图形的可读性 和清晰度有很大影响，应根据 需要选择适当的线条粗细。
随着新技术的应用，制图行业需要不断更新知识和技能，以适应行业发展的需 求。同时，也需要关注行业的发展趋势，以便及时调整自己的发展方向。
将制图与其他学科结合，如物理、化学、生物等，以培养更全面 的设计人才。
在线教育
利用在线教育平台，可以方便地分享知识和经验，提高教育效率 。
实践教育
加强实践教育，让学生在实际项目中锻炼技能，提高实际操作能 力。
制图行业的趋势和挑战
趋势
随着科技的发展，制图行业正朝着数字化、智能化、自动化的方向发展。
挑战
线条颜色
线条的颜色也是影响图形视觉 效果的重要因素，应根据需要
选择适当的颜色。
文字标注与标签
文字标注
文字标注用于说明图形中的内 容，包括物体名称、尺寸、注
释等。
标签
标签是用于标识图形中各个部 分的名称或类别的文字说明。
字体与字号
文字的字体和字号应根据需要 选择，以确保文字清晰易读。
文字位置
文字标注和标签的位置应合理 安排，以不影响图形的整体美
AutoCAD是一款专业的CAD软件， 用于二维和三维绘图、建模和设计。
Adobe Illustrator是一款矢量绘图软 件，适用于绘制插图、图标和标志等 。
图形创意(第二版)课件第一章 图形基础
课程一 图形基本概念
《记忆的永恒》 年轻的何希妮
超现实主义绘画图形大师 萨尔瓦多·达利（Salvador Dali）
“The Farm”/ 胡安·米罗 /1921-1922
课程一 图形基本概念
《加泰隆风景》
课程一 图形基本概念 《哈里昆的狂欢》
图形设计大师 西摩·切瓦斯特（Seymour Chwast））
甲骨文文字 / 商朝武丁时代 公元前 1271 年至公元前1213 年 / 河南安阳殷墟
青铜神树 / 古蜀 3500 年前 四川广汉三星堆
课程一 图形基本概念
玉猪龙 / 红山文化后期 5000—6000 年前 / 辽宁建平
四灵—龙凤龟麟瓦当图 形 / 西汉 / 陕西茂陵四 灵都是中国古代的图腾， 是图形文化的重要视觉 符号，其中龟是真实存 在的。麟、凤、龙、龟 都是综合各种动物形象 重构的图形。
（二）中国的图形文化 1. 中国图形源于华夏民族对自然的崇拜
课程一 图形基本概念
人面鱼纹彩陶盆 / 新石器时代 6800—6300 年前 / 陕西省西安市半坡
舞蹈纹彩陶盆 / 新石器时代 距今 5000 年 / 青海省大通县上孙 家寨
课程一 图形基本概念
阴山岩画 巫师与人面像 / 新石器至青铜时代 / 内蒙古 自治区 阴山山脉
阴山岩画 三神像 / 新石器至青铜时代 / 内蒙古自治区阴山 山脉
图腾信仰岩画 / 春秋战国时期 / 宁夏贺兰山
陶器上发现二十二种符号 / 新石器时代仰韶文化 / 陕西西 安市半坡
课程一 图形基本概念
朱书文字 / 夏 距今 4000 年前 / 山西襄汾陶寺
青铜纵目人 / 古蜀 3500 年前 / 四川广汉三星堆
课程一 图形基本概念
水压图的基本概念与绘制(ppt 17页)PPT学习课件
③ 不倒空
1.
与热水网路直接连接的用户系统，其用
户系统回水管出口处的压力，必须高于用户
系统的充水高度 。
2. 网路回水管内任何一点的压力，都应比 大气压力至少高出5mH2O，以免吸入空气。
④ 压力满足
1.
供、回水管的资用压差，应满足热力站
或用户所需的作用压力。
2 水压图ห้องสมุดไป่ตู้绘制的步骤和方法
① 定坐标，定基准面 以网路循环水泵的中心线的高度（或其
不倒空与热水网路直接连接的用户系统其用户系统回水管出口处的压力必须高于用户系统的充水高度网路回水管内任何一点的压力都应比大气压力至少高出5mh2o以免吸入空气
本讲主要内容
水压图的基本概念 水压图的绘制
一 水压图的基本概念
水力计算只能确定热水管道中各管段的 压力损失（压差）值，不能确定热水管道上 各点的压力（压差）值。而绘制的水压图， 可以清楚地表示出热水管路中各点的压力。
按各管段的实际压力损失，确定回水管动水
压线。
④各支线动水压曲线 1.
——水流经管段l—2的压头损失， mH2O。
压力（压头）值。 用水头高度的形式表示 ：
网路回水管内任何一点的压力，都应比大气压力至少高出5mH2O，以免吸入空气。 与热水网路直接连接的用户系统，其用户系统回水管出口处的压力，必须高于用户系统的充水高度 。
管道中任意点的压头就等于该点测压管水 ——水流经管段l—2的压力损失，Pa；
二 水压图的绘制
水压图是热水网路设计和运行的重要 依据。
1 水压图的绘制的基本技术要求
① 不超压 ② 与热水网路直接连接的用户系统，网路的
压力不应超过该用户系统用热设备及其管道 构件的承压能力。
图论课件、子图的相关概念
判定方法：VF算法详解
初始化：为两个图的顶点分配初始颜色，并根据颜色对顶点进行排序。 搜索：从两个图中选择未匹配的顶点作为当前顶点对，并尝试建立映射关系。如果当前顶点对可以建立映射关系，则递归地搜索下一个顶点对；否则回溯到上一个顶点对，并尝试其他可能的映射关系。 剪枝：在搜索过程中，如果发现当前映射关系无法满足同构条件，则提前终止该分支的搜索。 判定：当所有顶点对都建立了映射关系时，判断映射是否满足同构条件。如果满足，则两个图是同构的；否则它们不是同构的。
子图领域未来发展趋势预测
THANKS FOR
WATCHING
感谢您的观看
对于子图中的任意顶点v，其在子图中的度不大于在原图中的度。
子图的连通分量数可能大于、等于或小于原图的连通分量数。
子图的补图不一定是原图的补图的子图。
02
子图类型及其特点
生成子图是指由原图中所有顶点及部分边构成的子图，且子图中任意两个顶点间若存在边，则这条边一定是原图中的边。
生成子图保留了原图的所有顶点，但边数可能少于原图。由于包含原图所有顶点，因此生成子图能够较好地反映原图的拓扑结构。
适用于任意图，通过每次选择最小边的方式逐步构建生成树，求解最小生成树。
05
子图在计算机科学中应用
树是一种特殊的图，用于表示具有层次结构的数据。在计算机科学中，树被广泛应用于各种数据结构和算法，如二叉树、红黑树、B树等。
树（Tree）
图是一种更一般化的数据结构，用于表示对象之间的复杂关系。在计算机科学中，图被用于表示网络、电路、程序流程等多种结构。
判定方法：VF算法详解
在化学领域中，图论被广泛应用于分子结构的表示和比较。通过将分子结构转换为图模型，并利用子图同构判定方法，可以比较两个分子的结构相似性，从而预测它们的化学性质和反应活性。
《离散数学》课件第14章图的基本概念
定义14.5（图同构）设两个无向图G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对 于 任 意 的 e=（vi，vj）∈E1 当 且 仅 当 e’=（f(vi)， f(vj)）∈E2，并且e与e’的重数相同，则称G1和G2是 同构的，记作G1≌G2。
若vi=vj，则称ek与vi的关联次 数为2；
若vi不是ek的端点，则称ek与vi 的关联次数为0。
无边关联的顶点称为孤立点 （isolated vertex） 。
19
定义(相邻) 设无向图G=<V，E>， 若∃et∈E且et=（vi,vj），则称vi和vj是相邻的 若ek,el∈E且有公共端点，则称ek与el是相邻的。
素称为有向边，简称边。 由定义，有向图的边ek是有序对<vi，vj>，称vi，
vj是ek的端点，其中vi为ek的始点（origin），vj为ek 的终点（terminus）。
当vi=vj时，称ek为环，它是vi到自身的有向边。
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每条边都是无向边的图称为无向图（undirected graph）。
定义(邻接与相邻) 设有向图D=<V，E>， 若∃et∈E且et=<vi,vj>，则称vi邻接到vj，vj邻接 于vi。 若ek,el∈E且ek的终点为el的始点，则称ek与el是相 邻的。
20
定义14.4（度） 设G=<V，E>为一无向图，∀v∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度 （degree），记为d(v)。
定理14.2 （有向图握手定理）设D=<V，E>为任 意的有向图，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，则
电子科技大学《图论及其应用》复习总结--第一章图的基本概念
电⼦科技⼤学《图论及其应⽤》复习总结--第⼀章图的基本概念⼀、重要概念图、简单图、图的同构、度序列与图序列、偶图、补图与⾃补图、两个图的联图、两个图的积图1.1 图⼀个图G定义为⼀个有序对(V, E)，记为G = (V, E)，其中（1）V是⼀个有限⾮空集合，称为顶点集或边集，其元素称为顶点或点；（2）E是由V中的点组成的⽆序点对构成的集合，称为边集，其元素称为边，且同⼀点对在E中可出现多次。
注：图G的顶点数（或阶数）和边数可分别⽤符号n(G) 和m(G)表⽰。
连接两个相同顶点的边的条数，叫做边的重数。
重数⼤于1的边称为重边。
端点重合为⼀点的边称为环。
1.2 简单图⽆环⽆重边的图称为简单图。
（除此之外全部都是复合图）注： 1.顶点集和边集都有限的图称为有限图。
只有⼀个顶点⽽⽆边的图称为平凡图。
其他所有的图都称为⾮平凡图。
边集为空的图称为空图。
2.n阶图：顶点数为n的图，称为n阶图。
3.(n, m) 图：顶点数为n的图，边数为m的图称为(n, m) 图1.3 邻接与关联：顶点u与v相邻接：顶点u与v间有边相连接(u adj v)；其中u与v称为该边的两个端点。
注：1.规定⼀个顶点与⾃⾝是邻接的。
2.顶点u与边e相关联：顶点u是边e的端点。
3.边e1与边e2相邻接：边e1与边e2有公共端点。
1.4 图的同构设有两个图G1=(V1,E1)和G2=(V2,E2),若在其顶点集合间存在双射，使得边之间存在如下关系：u1,v1∈V1,u2,v2∈ V2 ，设u1↔u2，v1↔v2,; u1v1∈E1 当且仅当u2v2∈E2,且u1v1与u2v2的重数相同。
称G1与G2同构，记为：G1≌G2注：1、图同构的两个必要条件： (1) 顶点数相同；(2) 边数相同。
2、⾃⼰空间的理解：通过空间的旋转折叠可以进⾏形态转换1.5 完全图、偶图1、在图论中，完全图是⼀个简单图，且任意⼀个顶点都与其它每个顶点有且只有⼀条边相连接。
《施工图培训》课件
课程总结与展望
1 课程收获
总结本课程的收获和学习心得，帮助学员加深理解。
2 学习建议
提出学习建议和注意事项，有助于学员巩固知识和提高能力。
3 下一步规划
展望学员下一步的规划和发展方向，鼓励学员终身学习。
电气符号
介绍常用的电气符号和含义，有助于读懂电气 图和实施电气安装。
通信符号
介绍常用的通信符号和含义，有助于读懂通信 图和实施通信设备安装。
施工图的检查与审核
1
施工图审核的目的
介绍施工图审核的目的和意义，有助于避免施工图错误造成的损失和浪费。
2
施工图检查的内容和方法
介绍施工图检查的内容和方法，强调审查施工图的要点和应用规范。
介绍施工图应该遵守的规范和标准，确保施工图具备可读性、可理解性、可操作 性和可维护性。
施工图常用符号及其含义
地形符号
介绍常用的地形符号和含义， 有助于读懂地形图和制定施 工方案。
建筑符号
介绍常用的建筑符号和含义， 有助于读懂建筑图和实施装 修。
机械符号
介绍常用的机械符号和含义， 有助于读懂机械图和实施机 械加以及常见的机械 符号和含义。
电气施工图
介绍电气施工图的基本概念和分类以及常用的电气 符号和含义。
通信施工图
介绍通信施工图的基本概念和分类以及通信符号和 含义。
施工图的绘制
1
施工图绘制的基本流程
介绍施工图绘制的步骤和注意事项，以及规范化要求。
2
施工图绘制的规范化要求
施工图培训
本PPT课件介绍施工图的基本概念、绘制方法、常用符号及其含义，以及施工 图审核的内容和方法，帮助学员提高施工图的准确性和规范性。
课程简介
《扇形统计图》PPT课件
插入扇形图
在软件中选择插入图表 功能，并选择扇形图类
型。
填充数据
将整理好的数据输入到 扇形图的对应位置，软 件会自动根据数据生成
扇形图。
调整图表元素
根据需要调整扇形图的 标题、坐标轴、图例等 图表元素，使图表更加
清晰易读。
注意事项及技巧
科技领域应用案例
技术构成分析
通过扇形统计图展示某一技术领域内不同技术方向的占比情况，揭 示技术发展趋势。
研发投入分布
利用扇形统计图展示企业、研究机构等不同主体在研发投入上的分 布情况，反映科技创新能力。
专利申请情况分析
扇形统计图可用于展示不同领域或地区的专利申请数量及占比情况， 为科技创新政策提供参考。
谢谢
THANKS
05 实例分析：扇形统计图在各领域应用案例
CHAPTER
经济领域应用案例
市场份额分析
通过扇形统计图展示不同企业在市场中的占比， 直观反映市场竞争格局。
产业结构分析
利用扇形统计图展示国民经济中各产业的占比， 揭示产业结构特点。
消费者行为分析
扇形统计图可用于展示消费者对不同商品或服务 的偏好程度，为企业营销策略提供参考。
色彩丰富
可以使用不同的颜色来表 示不同的数据组，增加图 表的美观性和可读性。
适用场景分析
成分占比展示
适用于展示某一总体中各 个组成部分的占比情况， 如市场份额、人口构成等 。
数据对比
适用于需要对多个数据进 行比较的场景，通过扇形 统计图可以清晰地看出各 个数据的相对大小。
趋势分析
通过对比不同时间点的扇 形统计图，可以分析出各 组数据的变化趋势。
《离散数学》第七章图的基本概念讲稿
《离散数学》第七章图的基本概念讲稿7.1 ⽆向图及有向图⼀、本节主要内容⽆向图与有向图顶点的度数握⼿定理简单图完全图⼦图补图⼆、教学内容⽆序对: 两个元素组成的⼆元组（没有顺序），即⽆论a,b是否相同，（a,b ）＝（b, a ）⽆序积: A与B 为两个集合，A&B={(x,y) |x∈A∧y∈B}例A={a1, a2}, B={b1, b2}A&B={(a1 , b1 ), (a1 , b2 ) ,(a2 , b1 ) ,(a2 , b2 )}A&A={(a1 , a1 ), (a1 , a2 ) ,(a2 , a2 )}多重集合: 元素可以重复出现的集合⽆向图与有向图定义⽆向图G=, 其中(1) V?≠为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重⼦集，其元素称为⽆向边，简称边.例如, G=如图所⽰,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}定义⽆向图G=, 其中(1) V≠?为顶点集，元素称为顶点(2) E为V&V的多重⼦集，其元素称为⽆向边，简称边.例如, G=如图所⽰,其中V={v1, v2, …,v5},E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} ⽆向图与有向图(续)定义有向图D=, 其中(1) V同⽆向图的顶点集, 元素也称为顶点(2) E为V?V的多重⼦集，其元素称为有向边，简称边.⽤⽆向边代替D的所有有向边所得到的⽆向图称作D的基图右图是有向图，试写出它的V和E⽆向图与有向图(续)通常⽤G表⽰⽆向图, D表⽰有向图,也常⽤G泛指⽆向图和有向图,⽤ek表⽰⽆向边或有向边.V(G), E(G), V(D), E(D): G和D的顶点集, 边集.n 阶图: n个顶点的图有限图: V, E都是有穷集合的图零图: E=?平凡图: 1 阶零图顶点和边的关联与相邻定义设ek=(vi, vj)是⽆向图G=的⼀条边, 称vi, vj为ek的端点, ek与vi ( vj)关联.若vi ≠ vj, 则称ek与vi ( vj)的关联次数为1;若vi = vj, 则称ek为环, 此时称ek与vi 的关联次数为2;若vi不是ek端点, 则称ek与vi 的关联次数为0.⽆边关联的顶点称作孤⽴点.定义设⽆向图G=, vi,vj∈V,ek,el∈E,若(vi,vj) ∈E, 则称vi,vj相邻;若ek,el⾄少有⼀个公共端点, 则称ek,el相邻.对有向图有类似定义. 设ek=?vi,vj?是有向图的⼀条边, vi,vj是ek端点,⼜称vi 是ek的始点, vj是ek的终点,vi邻接到vj, vj邻接于vi.邻域和关联集设⽆向图G , v ∈V(G)v 的邻域 N(v)={u|u ∈V(G)∧(u,v)∈E(G)∧u ≠v} v 的闭邻域 = N(v)∪{v} v 的关联集 I(v)={e|e ∈E(G)∧e 与v 关联} 设有向图D, v ∈V(D)v 的后继元集 ={u|u ∈V(D)∧∈E(G)∧u ≠v}v 的先驱元集 ={u|u ∈V(D)∧∈E(G)∧u ≠v}v 的邻域v 的闭邻域顶点的度数设G=为⽆向图, v ∈V,v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点的次数之和悬挂顶点: 度数为1的顶点悬挂边: 与悬挂顶点关联的边 G 的最⼤度?(G)=max{d(v)| v ∈V} G 的最⼩度δ(G)=min{d(v)| v ∈V} 例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4, ?(G)=4, δ(G)=1,v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环顶点的度数(续)设D=为有向图, v ∈V,v 的出度d+(v): v 作为边的始点的次数之和 v 的⼊度d -(v): v 作为边的终点的次数之和 v 的度数(度) d(v): v 作为边的端点次数之和 d(v)= d+(v)+ d-(v)D 的最⼤出度?+(D), 最⼩出度δ+(D) 最⼤⼊度?-(D), 最⼩⼊度δ-(D) 最⼤度?(D), 最⼩度δ(D) 例如 d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5, d+(b)=0, d-(b)=3, d(b)=3,+(D)=4, δ+(D)=0, ?-(D)=3, δ-(D)=1, ?(D)=5, δ(D)=3. 图论基本定理——握⼿定理定理任意⽆向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍, 并且有向图的所有顶点⼊度之和等于出度之和等于边数.)(v N )(v D +Γ)(v D -Γ)()()(v v v N D D D -+ΓΓ= }{)()(v v N v N D D =证 G 中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G 中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m 条边共提供2m 度.有向图的每条边提供⼀个⼊度和⼀个出度, 故所有顶点⼊度之和等于出度之和等于边数. 握⼿定理(续)推论在任何⽆向图和有向图中，度为奇数的顶点个数必为偶数. 证设G=为任意图，令 V1={v | v ∈V ∧d(v)为奇数} V2={v | v ∈V ∧d(v)为偶数}则V1∪V2=V, V1∩V2=?，由握⼿定理可知∑∑∑∈∈∈+==21)()()(2V v V v Vv v d v d v d m由于2m,∑∈2)(V v v d 均为偶数，所以 ∑∈1)(V v v d 也为偶数, 但因为V1中顶点度数都为奇数，所以|V1|必为偶数.图的度数列设⽆向图G 的顶点集V={v1, v2, …, vn} G 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) 如右图度数序列:4,4,2,1,3设有向图D 的顶点集V={v1, v2, …, vn} D 的度数序列: d(v1), d(v2), …, d(vn) D 的出度序列: d+(v1), d+(v2), …, d+(vn) D 的⼊度序列: d -(v1), d -(v2), …, d -(vn) 如右图度数序列:5,3,3,3出度序列:4,0,2,1 ⼊度序列:1,3,1,2 握⼿定理的应⽤例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数序列吗? 解不可能. 它们都有奇数个奇数.例2 已知图G 有10条边, 4个3度顶点, 其余顶点的度数均⼩于等于2, 问G ⾄少有多少个顶点? 解设G 有n 个顶点. 由握⼿定理, 4?3+2?(n-4)≥2?10 解得 n ≥8握⼿定理的应⽤(续)例3 给定下列各序列,哪组可以构成⽆向图的度数序列 (2,2,2,2,2) (1,1,2,2,3) (1,1,2,2,2) (1,3,4,4,5)多重图与简单图定义(1) 在⽆向图中,如果有2条或2条以上的边关联同⼀对顶点, 则称这些边为平⾏边, 平⾏边的条数称为重数.(2)在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点, 则称这些边为有向平⾏边, 简称平⾏边, 平⾏边的条数称为重数.(3) 含平⾏边的图称为多重图.(4) 既⽆平⾏边也⽆环的图称为简单图.注意:简单图是极其重要的概念多重图与简单图(续)例如e5和e6 是平⾏边重数为2不是简单图e2和e3 是平⾏边,重数为2 e6和e7不是平⾏边不是简单图图的同构定义设G1=, G2=为两个⽆向图(有向图), 若存在双射函数f: V1→V2, 使得对于任意的vi,vj∈V1,(vi,vj)∈E1（∈E1）当且仅当(f(vi),f(vj))∈E2（∈E2），并且,(vi,vj)（）与(f(vi),f(vj))（）的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1?G2.图的同构(续)⼏点说明：图之间的同构关系具有⾃反性、对称性和传递性.能找到多条同构的必要条件, 但它们都不是充分条件:①边数相同，顶点数相同②度数列相同(不计度数的顺序)③对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等若破坏必要条件，则两图不同构图的同构(续)例1 试画出4阶3条边的所有⾮同构的⽆向简单图例2 判断下述每⼀对图是否同构:(1)度数列不同不同构例2 (续)(2)不同构⼊(出)度列不同度数列相同但不同构为什么?完全图与正则图n阶⽆向完全图Kn: 每个顶点都与其余顶点相邻的n阶⽆向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1)/2, ?=δ=n-1n阶有向完全图: 每对顶点之间均有两条⽅向相反的有向边的n阶有向简单图.简单性质: 边数m=n(n-1), ?=δ=2(n-1),+=δ+=?-=δ-=n-1n阶k正则图: ?=δ=k 的n阶⽆向简单图简单性质: 边数m=nk/2完全图与正则图(续)(1) 为5阶⽆向完全图K5(2) 为3阶有向完全图(3) 为彼得森图, 它是3 正则图⼦图定义设G=, G '=是2个图(1) 若V '?V且E '?E, 则称G '为G的⼦图, G为G '的母图, 记作G '?G(2)若G '?G且G '≠ G（即V '?V 或E '?E），称G '为G的真⼦图(3) 若G '?G 且V '=V，则称G '为G的⽣成⼦图(4) 设V '?V 且V '≠?, 以V '为顶点集, 以两端点都在V '中的所有边为边集的G的⼦图称作V '的导出⼦图，记作G[V '](5) 设E '?E且E '≠?, 以E '为边集, 以E '中边关联的所有顶点为顶点集的G的⼦图称作E '的导出⼦图, 记作G[E ']⼦图(续)例画出K4的所有⾮同构的⽣成⼦图补图定义设G=为n阶⽆向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作G?G.若G ? G , 则称G 是⾃补图.例画出5阶7条边的所有⾮同构的⽆向简单图⾸先，画出5阶3条边的所有⾮同构的⽆向简单图然后，画出各⾃的补图7.2 通路、回路与图的连通性⼀、本节主要内容简单通(回)路, 初级通(回)路, 复杂通(回)路⽆向连通图, 连通分⽀弱连通图, 单向连通图, 强连通图点割集与割点边割集与割边(桥) ⼆、教学内容通路与回路定义给定图G=（⽆向或有向的），设G 中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…elvl ，(1) 若?i(1≤i ≤l), vi -1 和 vi 是ei 的端点(对于有向图, 要求vi -1是始点, vi 是终点), 则称Γ为通路, v0是通路的起点, vl 是通路的终点, l 为通路的长度. ⼜若v0=vl ，则称Γ为回路. (2) 若通路(回路)中所有顶点(对于回路, 除v0=vl)各异，则称为初级通路(初级回路).初级通路⼜称作路径, 初级回路⼜称作圈.(3) 若通路(回路)中所有边各异, 则称为简单通路(简单回路), 否则称为复杂通路(复杂回路). 通路与回路(续) 说明:在⽆向图中，环是长度为1的圈, 两条平⾏边构成长度为2的圈. 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条⽅向相反边构成长度为2的圈. 在⽆向简单图中, 所有圈的长度≥3; 在有向简单图中, 所有圈的长度≥2. 通路与回路(续)定理在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通路，则从vi 到vj 存在长度⼩于等于n -1的通路.推论在n 阶图G 中，若从顶点vi 到vj （vi ≠vj ）存在通121212G G G G G G ??例设与均为⽆向简单图，当且仅当路，则从vi到vj存在长度⼩于等于n-1的初级通路.定理在⼀个n阶图G中，若存在vi到⾃⾝的回路，则⼀定存在vi到⾃⾝长度⼩于等于n的回路.推论在⼀个n阶图G中，若存在vi到⾃⾝的简单回路，则⼀定存在长度⼩于等于n的初级回路.⽆向图的连通性设⽆向图G=,u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与⾃⾝总连通.连通关系R={| u,v ∈V且u~v}是V上的等价关系连通图: 平凡图, 或者任意两点都连通的图连通分⽀: V关于R的等价类的导出⼦图设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的连通分⽀, 其个数记作p(G)=k.G是连通图? p(G)=1u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路(u与v连通)u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.性质：d(u,v)≥0, 且d(u,v)=0 ? u=vd(u,v)=d(v,u)（对称性）d(u,v)+d(v,w)≥d(u,w) （三⾓不等式)点割集记G-v: 从G中删除v及关联的边G-V': 从G中删除V'中所有的顶点及关联的边G-e : 从G中删除eG-E': 从G中删除E'中所有边定义设⽆向图G=, 如果存在顶点⼦集V'?V, 使p(G-V')>p(G)，⽽且删除V'的任何真⼦集V''后（? V''?V'），p(G-V'')=p(G), 则称V'为G的点割集. 若{v}为点割集, 则称v为割点.点割集(续)例{v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点.{v2,v5}是点割集吗？边割集定义设⽆向图G=, E'?E, 若p(G-E')>p(G)且?E''?E',p(G-E'')=p(G), 则称E'为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.在上⼀页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？⼏点说明：Kn⽆点割集n阶零图既⽆点割集，也⽆边割集.若G连通，E'为边割集，则p(G-E')=2若G连通，V'为点割集，则p(G-V')≥2有向图的连通性设有向图D=u可达v: u到v有通路. 规定u到⾃⾝总是可达的.可达具有⾃反性和传递性D弱连通(连通): 基图为⽆向连通图D单向连通: ?u,v∈V，u可达v 或v可达uD强连通: ?u,v∈V，u与v相互可达强连通?单向连通?弱连通有向图的连通性(续)例下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通有向图的短程线与距离u到v的短程线: u到v长度最短的通路(u可达v)u与v之间的距离d: u到v的短程线的长度若u不可达v, 规定d=∞.性质：d+d ≥d注意: 没有对称性7.3 图的矩阵表⽰⼀、本节主要内容⽆向图的关联矩阵有向图的关联矩阵有向图的邻接矩阵有向图的可达矩阵⼆、教学内容⽆向图的关联矩阵定义设⽆向图G=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n?m为G的关联矩阵，记为M(G).定义设⽆向图G=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)n?m为G的关联矩阵，记为M(G).性质关联次数为可能取值为0，1，2有向图的关联矩阵定义设⽆环有向图D=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令则称(mij)n ?m 为D 的关联矩阵，记为M(D). 性质:有向图的邻接矩阵定义设有向图D=, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令 )1(ij a 为顶点vi 邻接到顶点vj 边的条数，称()1(ij a )n ?n 为D 的邻接矩阵, 记作A(D), 简记为A. 1110001110()1001200000M G=1100010111()0000101110M D ---?=-??-??平⾏边的列相同)4(2)3(),...,2,1()()2(),...,2,1(2)1(,11mm n i v d m m j m ji ijimj ijni ij =====∑∑∑==(1)1(1)1(1)(),1,2,...,(2)(),1,2,...,nij i j n ij ji a d vi n a d v j n+=-=====∑∑性质D 中的通路及回路数定理设A 为n 阶有向图D 的邻接矩阵, 则Al(l ≥1)中元素)(l ij a 为D 中vi 到vj 长度为 l 的通路数， )(l ii a 为vi 到⾃⾝长度为 l 的回路数，∑∑==n i nj l ija11)( 为D 中长度为 l 的通路总数，∑=ni l iia1)( 为D 中长度为 l 的回路总数.D 中的通路及回路数(续)推论设Bl=A+A2+…+Al(l ≥1), 则Bl 中元素为D 中长度⼩于或等于l 的通路数，为D 中长度⼩于或等于l 的回路数. 例有向图D 如图所⽰, 求A, A2, A3, A4, 并回答问题：(1) D 中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多少条？其中回路分别为多少条？ (2) D 中长度⼩于或等于4的通路为多少条？其中有多少条回路？12100010()00010010A D=有向图的可达矩阵定义设D=为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令称(pij)n ?n 为D 的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P. 性质:P(D)主对⾓线上的元素全为1.D 强连通当且仅当P(D)的元素全为1. 有向图的可达矩阵(续)例右图所⽰的有向图D 的可达矩阵为7.4 最短路径及关键路径⼀、本节主要内容最短路关键路线⼆、教学内容对于有向图或⽆向图G 的每条边，附加⼀个实数w(e)，则称w(e)为边e 上的权. G 连同附加在各边上的实数，称为带权图.设带权图G=,G 中每条边的权都⼤于等于0.u,v 为G 中任意两个顶点，从u 到v 的所有通=1101110111110001P路中带权最⼩的通路称为u 到v 的最短路径.求给定两个顶点之间的最短路径，称为最短路径问题. 算法：Dijkstra(标号法){}()*()*1()*()()1()*1.2./5.i r r i i i i ir i r r j j j j j r i r v l v v v l v r p l l v v v l v r l v v p r T V r ∞==-j ij r r 如果顶点与v 不相邻，则w =为顶点到顶点最短路径的权，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了标号（永久性标号）3.为顶点到顶点最短路径的权的上界，如果顶点获得了标号，则称顶点在第步获得了t 标号（临时性标号）4.P 已经获得标号为第步通过集P 为第步未通过集例：求图中v0与v5的最短路径(0)*000(0)0(1)*(0)(1)*1010100,{},T {},1,2,3,4,5{},min {},T T {}(2)T j jj i j i v T l P l w j l l l P P t ∈=======?=-0012345j i i i i 第步(r=0)：v 获得p 标号v v ，v ，v ，v ，v ，v 获得t 标号第1步(r=1)：(1)求下⼀个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标1(1)(0)(1)*(2)*(1)(2)*2121(2)(1)(2)*2min{,}{},min {},T T {}(2)T min{,}j jj iij i j iv T j j iij ll lw l l l P P t l l l w ∈=+==?=-=+i i i i 号：第2步(r=2)：(1)求下⼀个p 标号的顶点，将标在顶点v 处，表明顶点v 获得p 标号.修改通过集和未通过集：v v 修改中各顶点的标号：2.关键路径问题,(){/,}(){/,}D D D V E v V v x x V v x E v v x x V x v E v +=<>∈Γ=∈∧<>∈Γ=∈∧<>∈－设为⼀个有向图，，则为的后继元集为的先继元集定义：PERT 图设D=是n 阶有向带权图1. D 是简单图2. D 中⽆环路3. 有⼀个顶点出度为0，称为发点；有⼀个顶点⼊度为0，称为收点4. 记边的权为wij,它常常表⽰时间1. 最早完成时间：⾃发点v1开始，沿最长路径（权）到达vi 所需时间，称为vi 的最早完成时间，记为TE （vi ），i=1,2,…,nj 1i i j ij v ()234567TE(v )=0,v (1)TE(v )={(v )+w },1,2,,max TE(v )=max{0+1}=1;TE(v )=max{0+2,1+0}=2;TE(v )=max{0+3,2+2}=4;TE(v )=max{1+3,4+4}=8;TE(v )=max{2+4,8+1}=9;TE(v )=max{1+4,2+D i v i TE i n -∈Γ≠=显然的最早完成时间按如下公式计算：813784}=6;TE(v )=max{6+6,9+1}=12;v v v v 关键路径：从发点到收点的⼀条最长路径，2. 最晚完成时间：在保证收点vn 的最早完成时间不增加的条件下，⾃发点v1最迟到达vi 所需时间，称为vi 的最晚完成时间，记为TL （vi ）.j n n i i j ij v ()876543TL(v )=TL(v ),v ()TL(v )={(v )-w },1,2,,min TL(v )=12;TL(v )=min{12-6}=6;TL(v )=min{12-1}=11;TL(v )=min{11-1}=10;TL(v )=min{10-4}=6;TL(v )=min{6-2,11-4,6-4}=2;TL(D i v i n TL i n∈Γ≠=＋显然的最晚完成时间按如下公式计算：21v )=min{2-0,10-3,6-4}=2;TL(v )=min{2-1,2-2,6-3}=0;3. 缓冲时间：TS(vi)=TL(vi)- TE(vi) TS(v1)= TS(v3)= TS(v7)= TS(v8)=0 TS(v2)=2-1=1; TS(v4)=6-4=2; TS(v5)=10-8=2; TS(v6)=11-9=2。
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线性规划、整数规划、运输问题等等，有时也可以用图 论的方法来构造模型并求解，而且由于图的结构的直观性， 更有助于我们分析问题和描述问题，何况有些研究对象， 如交通网，它本身就是一个大网络，用图论的方法研究更 方便。
数学描述： （1）G={V,E}，V={v1,v2, ···vn},E={e1,e2, ···en}
（2）G={(eij,(vi,vj))|i,j=1···n}
根据边有没有方向，将图分为无向图和有向图，下面分别讲解：
1.1.1 无向图
一、无向图定义
v1 v2
v5 v3
1．无向图
v4
设V是一个有n个顶点的非空集合，V={v1 ,v2 ,…,vn },E是
v1
v5
v3 v2
v4
v1
v5
1.1.1 无向图
v3
v2
二、无向图术语
v4
平简行单边图（：多图重中边无）平：行两边边有一样的端点，如e15和e51 完备图：图中任意两个端点之间有且仅有一条边 链：两个端点之间的连接路径 一个链的起始端点不为同一个称为开链，否则为闭链（圈）
简单链：一个链中无重复的边。
图的可达性（有向图）：若图G中从顶点u 到v之 间存在单向路径，则称u可达v。
强连通图：若图G内任两点之间相互可达，则称 图G为强连通图。
v1 v2
v1
v5
v4
v6
e3
e1 e4
e6
v3
v3
v2 v5
e5
e7 v4
e8
1.1.3 其它术语
欧拉链：连通无向图G中，如果存在经过G中每条边一次 且仅一次的链，称为欧拉链。 欧拉图:起点和终点相同的欧拉链称为图G的欧拉环游。 如果图G中存在一条欧拉环游，称图G为欧拉图。
1.1.3 其它术语
树：无圈的无向连通图G称为树。记为T=（V，E）。 树T的六个等价定义：
1、T连通且无回路。 2、T无回路且只有n-1条边。 3、T连通且有n-1条边 4、T无回路，但不相邻的两个顶点之间联一条边，恰得
到一个回路。 5、T连通，但取掉任一条边后就不连通了。 6、T的任意两个顶点之间恰有一条初等链。
v1
v4
v1
v4
v2
v3
v5
v2
v3
1.1.3 其它术语
子图：设G1=(V1，E1)，G=(V，E)，若V1V，E1 E， 则称G1为G的子图，即G1 G。
生成子图：当V1=V，E1 E，则称G1为G的生成子图（支
撑子图）。
v1
v2 v4
v5 v3
v1
v2 v4
v5 v1
v2 v4
v5 v3
1.1 图
引例1：哥尼斯堡七桥问题
引例2：交通网络问题
北京 西安
成都
郑州
引例:若出发点x1可运送货物到接收点y1和y2，发送点x2可运送货 物到接收点y1、y2、y3，用点和线表示发送点、接收点以及它们 之间的关系，得到下图：
x1
y1
x2
y2
y3
直观描述：
对象
关系 对象
语言描述： 表示具体事物的点（顶点）集合和 表示事物之间关系的边集合组成图
合V 和V’以及边的集合E与E’之间在保持关联关系的条 件下一 一对应，则称图G和G’为同构的。（简单说，若 两个图顶点和边都能对应上称为同构图）
v1
va
v4
v2
v3
vc
vb
vd
1.1.3 其它术语
图的顶点阶数：无向图G=（V，E）中与顶点v 关联的边数称为顶点的阶数，记作δ(v)。
Δ(v)为偶数，称v为偶阶顶点；δ(v)为奇数称 为奇阶顶点。
1.1.3 其它术语
生成树：如果树满足 V (T ) V (G )E ,(T ) E (G )称T为 G的生成树（T为G的生成子图又是一棵树）。亦 即图G中能将各顶点以最少边数连接起来的树。
一个无向图可有若干个生成树。
v1
v4
v1
v4
v2
v3
v5 v2
v3
v5
1.1.3 其它术语
图的同构：若图G=（V，E）与G’=（V’，E’）的顶点集
初等链：一个链中无重复的顶点。也称为路。
回路（初等圈）一个圈中除第一和最后顶点外各点均不相同。 或者说闭合的路称为回路。
1.1.2 有向图
一、有向图定义
设顶点的非空集合V={v1 ,v2 ,…,vn },边的集合
E={e1 ,e2 ,…,em }，E中任一条边e 是V的一个有序
元素对[u,v]（这里u≠v），则V和E这两个集合组 成了一个有向图，记作有向图G=（V，E）。
图的基本概念
第一部分 图与网络
第一章 图论基本知识
数学分支，可以解决线性规划等问题
图 的
无向图 图
有向图
顶点、边（弧）、链、路、圈（回 路）、连通性、同构等 关联矩阵
基 图的矩阵表示
本
邻接矩阵 生成子图
概 *子图
念
图运算
*树 生成树、最小பைடு நூலகம்成树
第一节 图的定义
本节主要介绍关于无向图和有向图的定义等基本概念
基本图：去掉有向图方向就能得到一个无向图
初等链：顶点都不相同的链（和基本图中的初等链相 同）。
1.1.3 其它术语
网络：如果图的边上带有数量指标（或称为权 值），这样的图称为网络.
北京
1200
800
西安 500
郑州
600
成都
1400
1.1.3 其它术语
连通图：图（无向）中任意两点都连通称为连通 图，否则称为分割图。
一个有m条边的集合，E={e1 ,e2 ,…,em }，E中任一条边e
是V的一个无序元素对[u,v]（或vi,vj。i ≠ j）（这里
u≠v），则V和E这两个集合组成了一个无向图，记G=
（V，E）。
vi和vj称为边eij端点， eij称为vi,vj的关联边， vi与vj为相 邻顶点。
1.1.1 无向图
u称为起点，v称为终点,有向图中，边e(u,v)称为连接
顶点u和v的弧。
v1
v5
v3
v2 v4
1.1.2 有向图
二、有向图术语
e2 v1
e3
e1 e4
v2
平行边：两边有一样的起终点
e5
v4
简单图：图中无平行边
v5
e6
v3
e7 e8
完备图：图中任意两个端点之间恰好有两条边v4 （（u,v） 和（v，u））。
示例：无向图G=(V,E)，其中V={v1,v2,v3,v4,v5}， E={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7}
G={(e12,(v1,v2)), (e14,(v1,v4)), (e15,(v1,v5)), (e24,(v2,v4)), (e34,(v3,v4)), (e45,(v4,v5)), (e51,(v5,v1))}