第三章连续时间信号的变换域分析

正弦分量的幅度：
bn
2 T1
t0 T1 t0
f%(t) sin n1tdt
以上各式中的积分限一般取： 0 ~ T1
或 T1 ~ T1 22
4
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f%(t) c0 cn cos(n1t n )
其中
cn2 an2 bn2
n 1
cn
n
arctan(
bn an
)
Fn 为 n1 的偶函数，n为 n1 的奇函数
6
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
1. 周期信号的频谱
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
f (t) c0 cn cos(n1t n )
（1） （2）
n1
f (t)
3
3.1.1 三角形式的傅里叶级数
设周期信号为
f%(t) ,
其重复周期是T1,角频率
1
2
f1
2
T1
f%(t) a0 (an cos n1t bn sin n1t)
（1）
n1
直流分量：
a0
1 T1
t0 T1 f%(t )dt
t0
余弦分量的幅度：
an
2 T1
t0 T1 t0
f%(t) cos n1tdt
0
2E
bn
2 T1
T1 0
f%(t) sin n1tdt
n
0
n 1,3,5L n 2, 4, 6L
8
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
2E
cn
bn
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
n
arctan(
bn an
)
2
(n 1,3,5 )
因此
f%(t)
2E
n1,3,5L
1 n
sin
n1t
频谱。
7
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
例3-1 求题图所示的周期矩形信号的三角形式与指数形式的傅 里叶级数，并画出各自的频谱图。
解：一个周期内 f%(t)的表达式为：
E
f%(t)
2
E 2
0 t T1 2
T1 2
t
T1
a0
1 T1
T1 f%(t)dt 0
0
an
2 T1
T1 0
f%(t) cos n1tdt
T1
2 T1
2
f (t) cos n1tdt
4 T1
T1
2 0
f (t) cos n1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中只含有（直流）和余弦分量。
2
3.1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数
任何周期函数在满足狄里赫利的条件下，可以展开成 正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函 数集或复指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是 “傅里叶级数”。前者称为三角形式的傅里叶级数，后者 称为指数形式的傅里叶级数，它们是傅里叶级数两种不同 的表示形式。
3
3
Fn
E
n
(n 1, 3, 5L )
n
2
(n 1,3,5L ) (n 1, 3, 5L
)
2
10
2E
cn
n
n 1,3,5
Fn
E
n
(n 1,3,5 )
0
n
2
n 2,4,6
(n 1,3,5 )
cn 2E
2E
3 2E
n 2
2
(n 1,3,5 )
(n 1,3,5 )
Fn E
EE
2E
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51
L
)
或
f%(t)
2E
n 1,3,5L
1 n
cos(n1t
)
2
9
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
Fn
1 2 (an
jbn
)
j
bn 2
jE
n
0
n 1,3,5 n 2,4,6
f%(t) jE e j 1t jE e j3 1t L jE e j 1t jE e j3 1t L
第3章 连续时间信号的变换域分析
3.1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数 3.2 典型周期信号的频谱 3.3 非周期信号的频谱分析——傅里叶变换 3.4 典型非周期信号的频谱 3.5 傅里叶变换的基本性质 3.6 周期信号的傅里叶变换 3.7 拉普拉斯变换 3.8 拉普拉斯变换的基本性质 3.9 拉普拉斯逆变换 3.10 连续信号的频域与复频域的MATLAB分析
现，留下的各项系数的表示式也将变得比较简单。波形的对称 性有两类，一类是对整周期对称；另一类是对半周期对称。
（1）偶函数
f%(t) f%(t)
bn
2 T1
T1
2 T1
f%(t) sin n1tdt
0
2
1 T1
2 T1
a0 T1
2 T1
2
f (t)dt
T1
2 0
f (t)dt
an
2 T1
3 5
0 n
Ω1
Ω1
5
3Ω1 5Ω1
3Ω1 5Ω1
5Ω1 3Ω1 Ω1 Ω1
Ω
n
3Ω1 5Ω1
2
Ω1
3Ω1
5Ω1
0
Ω 5Ω1 3Ω1 Ω1
Ω
2
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2
11
3.1.3 周期信号的频谱及其特点
2. 周期信号频谱的特点 （1）离散性 -------- 频谱是离散的而不是连续的，这种频谱
称为离散频谱。
Fne jn1t
n
（3）
为了能既方便又明确地表示一个信号中含有哪些频率分量，
各频率分量所占的比重怎样，就可以画出频谱图来直观地表示。
如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，绘出 cn 及 n
等的变化关系，便可直观地看出各频率分量的相对大小和相位
情况，这样的图就称为三角形式表示的信号的幅度频谱和相位
n
arctan(
bn an
)
（2）
c0 a0
5
3.1.2 指数形式的傅里叶级数
f%(t)
Fne jn1t
n
其中
1
Fn T1
t0 T1 f%(t )e jn1t dt
t0
F0 a0 c0
Fn
Fn
e
j n 1 (a 2
n
jb n)
（3） ------ 复振幅
Fn
1 2
an2
bn2
1 2
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（3）收敛性 -------- 幅度谱的谱线幅度随着 n 而逐渐
衰减到零。
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3.1.4 波形的对称性与谐波特性的关系
已知信号 f%(t)展为傅里叶级数的时候，如果 f%(t)是实函数而
且它的波形满足某种对称性，则在傅里叶级数中有些项将不出
1
第3章 傅里叶变换分析
从本章起，我们由时域分析进入变换域分析，即傅里 叶变换（频域）分析和拉普拉斯变换（复频域）分析。在 频域分析中，首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论 非周期信号的傅里叶变换及其性质，还要介绍周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。在复频域分析 中，首先介绍从傅里叶变换推广到拉普拉斯变换的概念， 进而引出拉普拉斯变换的定义，然后介绍拉普拉斯变换的 性质及拉普拉斯逆变换。