一轮复习简单逻辑连接词全称命题特称命题(含答案)

第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词最新考纲 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

知识梳理

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

p q p且q p或q非p

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

2.

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示；含有全称量词的命题叫做全称命题．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示；含有存在量词的命题叫做特称命题．

3．含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

∀x∈M，p(x)∃x0∈M，¬p(x0)

∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示

(1)命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(×)

(2)若命题p ，q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．(√)

(3)已知命题p ：∃n 0∈N,2n 0＞1 000，则¬p ：∃n 0∈N ，2n 0≤1 000.(×) (4)命题“∀x ∈R ，x 2≥0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＜0”．(×) 2．(2014·重庆卷)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0；

q ：x ＝1是方程x ＋2＝0的根．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧¬q B ．¬p ∧q C ．¬p ∧¬q

D ．p ∧q

解析 由题意知，命题p 为真命题，命题q 为假命题，故¬q 为真命题，所以p ∧¬q 为真命题．

答案 A

3．(2014·湖南卷)设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则¬p 为( ) A ．∃x 0∈R ，x 20＋1＞0 B ．∃x 0∈R ，x 20＋

1≤0

C ．∃x 0∈R ，x 20＋1＜0

D ．∀x ∈R ，x 2＋1≤0

解析 “∀x ∈R ，x 2＋1＞0”的否定为“∃x 0∈ R ，x 20＋1≤0”，故选B. 答案 B

4．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．

解析 当a ＝0时，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎨⎧

a ＜0，Δ＝a 2

＋8a ≤0，

得－8≤a ＜0.综上，－8≤a ≤0.

答案 [－8,0]

5．(人教A 选修1－1P26A3改编)给出下列命题： ①∀x ∈N ，x 3＞x 2；

②所有可以被5整除的整数，末位数字都是0； ③∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0；

④存在一个四边形，它的对角线互相垂直．

则以上命题的否定中，真命题的序号为________．

答案①②③

考点一含有逻辑联结词的命题及其真假判断

【例1】(1)(2014·辽宁卷)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b ＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是( )

A．p∨q B．p∧q

C．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)

(2)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )

A．(¬p)∨(¬q) B．p∨(¬q)

C．(¬p)∧(¬q) D．p∨q

解析(1)由于a，b，c都是非零向量，

∵a·b＝0，∴a⊥b.∵b·c＝0，∴b⊥c.如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴¬p是真命题．命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反．故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q 是真命题，则¬q是假命题，故p∨q是真命题，p∧q，(¬p)∧(¬q)，p∨(¬q)都是假命题．

(2)命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”包含以下三种情况：“甲、乙均没有降落在指定范围”“甲降落在指定范围，乙没有降落在指定范围”“乙降落在指定范围，甲没有降落在指定范围”．选A.或者，命题“至少有一位学

员没有降落在指定范围”等价于命题“甲、乙均降落在指定范围”的否命题，即“p ∧q ”的否定．选A.

答案 (1)A (2)A

规律方法 若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”——一真即真，“且”——一假即假，“非”——真假相反，做出判断即可．

【训练1】 (1)若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1

x

的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )

A ．p ∧q 是真命题

B ．p ∨q 是假命题

C ．¬p 是真命题

D ．¬q 是真命题

(2)“p ∨q ”为真命题是“p ∧q ”为真命题的________条件． 解析 (1)因为函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，所以p 是真命题；

因为函数y ＝x －1

x

的单调递增区间(－∞，0)和(0，＋∞)，所以q 是假命题．

所以p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，¬p 为假命题，¬q 为真命题，故选D.

(2)若命题“p ∨q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题．

若命题“p ∧q ”为真命题，则p ，q 都为真命题，因此“p ∨q ”为真命题是“p ∧q ”为真命题的必要不充分条件．

答案 (1)D (2)必要不充分

考点二 全(特)称命题的否定及其真假判定

【例2】 (1)(2014·安徽卷)命题“∀x ∈R ，|x |＋x 2≥0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，|x |＋x 2＜0 B ．∀x ∈R ，|x |

＋x 2≤0

C ．∃x 0∈R ，|x 0|＋x 20＜0

D ．∃x 0∈R ，|x 0

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