人教版八年级下数学菱形(基础)知识讲解

菱形（基础）
撰稿：康红梅责编：吴婷婷
【学习目标】
1. 理解菱形的概念.
2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．
【要点梳理】
【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】
要点一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.
要点二、菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称
中心.
要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.
（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；
另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.
实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘
积的一半.
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.
要点三、菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3.四条边相等的四边形是菱形.
要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.
【典型例题】
类型一、菱形的性质
1、如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．
求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．
【答案与解析】
解：(1)∵四边形ABCD是菱形．
∴ AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，OB ＝12
BD ． 又∵ AC ＝8，BD ＝10．
∴ AO ＝12×8＝4，OB ＝12
×10＝5． 在Rt △ABO 中，222AB OA OB =+
∴ 2224541AB =+=，∴ 41AB =
． (2)由菱形的性质可知：
118104022
S AC BD ==⨯⨯=菱形ABCD ． 【总结升华】(1)由菱形的性质及勾股定理求出AB 的长．(2)根据“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”来计算．
举一反三：
【变式1】菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________．
【答案】5；
解：设该菱形为ABCD ，对角线相交于O ，AC ＝8，BD ＝6，
由菱形性质知：AC 与BD 互相垂直平分，
∴ 142AO AC =
=，132BO BD ==， ∴ 225AB AO OB =+=．
【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】
【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．
A.21
B.4
C.1
D.2
【答案】C ；
提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于
12×2＝1. 类型二、菱形的判定
2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．
【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．
【答案与解析】
解：四边形DECF是菱形，理由如下：
∵ DE∥AC，DF∥BC
∴四边形DECF是平行四边形．
∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2
∵ DF∥BC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3．
∴ CF＝DF，
∴四边形DECF是菱形．
【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．
举一反三：
【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．
【答案】
解：四边形AEDF是菱形，理由如下：
∵ EF垂直平分AD，
∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．
∴∠ODF＝∠OAF，
又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，
∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，
同理可得：DE∥AF．
∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF
又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．
∴AEDF是菱形．
3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．
【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．
【答案与解析】
证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∵∠1＝∠2，
∴∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．
∴ AE＝AG．∴ EF AG．
∴四边形AEFG是平行四边形．
又∵ AE＝AG，
∴四边形AEFG是菱形．
方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，
∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．
∴∠3＝∠4．
∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．
∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．
∴ AE＝AG．
在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，
∴△AEG≌△FEG．
∴ AG＝FG．
∴ AE＝EF＝FG＝AG．
∴四边形AEFG是菱形．
【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：
【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．
(1)求证：DE∥BF；
(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．
【答案】
证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD
∵ E、F分别为AB、CD的中点
∴ DF＝1
2
DC，BE＝
1
2
AB
∴ DF∥BE．DF＝BE
∴四边形DEBF为平行四边形
∴ DE∥BF
(2)证明：∵ AG∥BD
∴∠G＝∠DBC＝90°
∴△DBC为直角三角形
又∵ F为边CD的中点．
∴ BF＝1
2
DC＝DF
又∵四边形DEBF为平行四边形
∴四边形DEBF是菱形
类型三、菱形的应用
4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：
(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?
(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?
【答案与解析】
解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．
(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．
(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．
【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．。