人教版八年级下数学菱形(基础)知识讲解

菱形（基础）

撰稿：康红梅责编：吴婷婷

【学习目标】

1. 理解菱形的概念.

2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．

【要点梳理】

【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

要点二、菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称

中心.

要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；

另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.

实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘

积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.

【典型例题】

类型一、菱形的性质

1、如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．

求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积．

【答案与解析】

解：(1)∵四边形ABCD是菱形．

∴ AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，OB ＝12

BD ． 又∵ AC ＝8，BD ＝10．

∴ AO ＝12×8＝4，OB ＝12

×10＝5． 在Rt △ABO 中，222AB OA OB =+

∴ 2224541AB =+=，∴ 41AB =

． (2)由菱形的性质可知：

118104022

S AC BD ==⨯⨯=菱形ABCD ． 【总结升华】(1)由菱形的性质及勾股定理求出AB 的长．(2)根据“菱形的面积等于两条对角线乘积的一半”来计算．

举一反三：

【变式1】菱形的两条对角线长为6和8，则菱形的边长为________．

【答案】5；

解：设该菱形为ABCD ，对角线相交于O ，AC ＝8，BD ＝6，

由菱形性质知：AC 与BD 互相垂直平分，

∴ 142AO AC =

=，132BO BD ==， ∴ 225AB AO OB =+=．

【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】

【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．

A.21

B.4

C.1

D.2

【答案】C ；

提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于

12×2＝1. 类型二、菱形的判定

2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．

【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．

【答案与解析】

解：四边形DECF是菱形，理由如下：

∵ DE∥AC，DF∥BC

∴四边形DECF是平行四边形．

∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2

∵ DF∥BC，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3．

∴ CF＝DF，

∴四边形DECF是菱形．

【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．

举一反三：

【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．

【答案】

解：四边形AEDF是菱形，理由如下：

∵ EF垂直平分AD，

∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．

∴∠ODF＝∠OAF，

又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，

∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，

同理可得：DE∥AF．

∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF

又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．

∴AEDF是菱形．

3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．

【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．

【答案与解析】

证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，

∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．

∵∠1＝∠2，

∴∠3＝∠4．

∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．

∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．

∴ AE＝AG．∴ EF AG．

∴四边形AEFG是平行四边形．

又∵ AE＝AG，

∴四边形AEFG是菱形．

方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，

∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．

∴∠3＝∠4．

∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．

∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．

∴ AE＝AG．

在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，

∴△AEG≌△FEG．

∴ AG＝FG．

∴ AE＝EF＝FG＝AG．

∴四边形AEFG是菱形．

【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：

【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．

(1)求证：DE∥BF；

(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．

【答案】

证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD

∵ E、F分别为AB、CD的中点