第四章 方差分析

方差分析法的内容丰富，本章仅讨论单因素试 验、双因素试验的方差分析．
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第一节 单因素试验的 方差分析
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在统计学中我们把要考察的试验结果称为指标， 把影响指标取值的可以控制的试验条件称为因素，
因素常用大写的英文字母 A ， B ， C 等来表示．
每个因素在试验中所处的不同状态称为水平．如
因素 A 有 r 个水平，则用
考察的指标为 X ，影响指标的因素 A 有 r 个水平： A1, A2, , Ar ．
Ai 水 平 所 对 应 的 总 体 X i ~ N i , 2 ，
i 1, 2, , r ．其中 i 与 2 都未知，但这 r 个总体
X1, X2, , Xr 的方差相等，这是方差分析的前提假
设．
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从总体 X i 中抽取容量为 ni 的样本：
SE nr
n r．
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SA
于是 F
r 1 SE
可作为假设 H0 的检验统计量．对于给定的
nr
显著性水平 ，由
PF F1 r 1, n r ，
得到检验的拒绝域为
W F F1 r 1, n r．
如果 F F1 r 1, n r ，则拒绝原假设 H0 ，即认为
因素 A 的 r 个水平的效应有显著差异；如果
r 1 SE
将
nr
SA
接近于1．反之，如果假设 H0 不成立，比值
r 1 SE
将有变大
nr
的趋势．这就启发我们，通过比较 S A 与 SE 的大小来比较假
设 H0 ．
31
我们记
SA F r 1 SA ，
SE SE
nr
这里 SA
SA r 1
，
S
E
SE nr
．下面我们将导出当假设
SA
H0 成立时，统计量 F
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例 1 某商店要进一批一号电池，由甲乙丙三个电池厂提供货
源．为评价其质量，商店进货员从三个电池厂生产的电池中各随机
抽取 4 只，经试验测试寿命（单位： h ）数据如下表：
表 1 电池寿命数据
试验序号
厂家 A
A1
A2
A3
1
74
79
82
2
69
81
85
3
73
75
80
4
67
78
79
试问在显著性水平 0.05下，各厂生产的电池的寿命有无显著性
Xi1, Xi2, , Xini ， i 1, 2, , r ．
并设这 r 个样本相互独立．于是
Xij ~ N i, 2 ， j 1, 2, , ni ．
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Xij 与 i 的差值可以看作是一个随机误差： 的一些因素所引起的，这样 X ij 就有如下的数据结构：
和．它反映了全部观测数据之间的差异，即 X ij 之间的波
动程度． 21
若令
ni
Xi Xij j 1
则有
1 ni
Xi ni
X ij
j 1
r
ST
ni
Xij X 2
i1 j 1
r ni
X ij X i Xi X 2
i1 j1
r
ni
Xij Xi 2 2 r
r
ST
ni
r
X ij X i 2
ni
Xi X 2
i1 j1
i1 j1
r
ni
r
X ij X i 2 ni X i X 2
i1 j1
i 1
23
若记
r
SA ni X i X 2 ，
i 1
r
SE
ni
Xij Xi 2 ，
i1 j 1
则有
ST SA SE ，
差异？
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在这个例子中，厂家是影响寿命指标 X 的因 素，记作 A ，三个不同的工厂就是该因素 A 的
三个不同的水平，分别记作 A1, A2, A3 ．可
以认为一个水平的电池水平的电池寿命就是一
总体，记为 X i ，
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假设
Xi ~ N i, 2 ， i 1, 2, 3．
其中 i 与 2 都未知，但方差相等．由题意知，要检验假设
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例 2 某试验室对钢锭模进行选材试验时， 将 4 种成分的生铁做成试样作热疲劳测定．其 方法是将试样加热到 700℃后投入到 20℃的 水中急冷，这样反复进行直至试样断裂，最后 看试样经手的次数．显然经受的次数越多，质 量就越好．
试验结果列于下表，试检验 4 种生铁的试样 的抗疲劳性能是否有显著差异？
ni
Xij Xi Xi X
r
ni
Xi X 2 ，
i1 j 1
i1 j 1
i1 j 1
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对于固定的 i ，有
ni
ni
ni
X ij X i X ij X i
j 1
j 1
j 1
，
ni
X ij ni X i ni X i ni X i 0
j 1
因此上式中的第二项为 0 ，所以有
r
方和 ni X i X 2 正是这种差异大小的度量．而式中
i 1
每一项前面的系数 ni ，则反映了第 i 个总体样本容量的
大小在平方和 S A 中的作用．通常称 S A 为因素 A 的效应
平方和或者组间离差平方和． 26
上述表明，平方和分解公式将总离差平方和
ST 按其来源分解成两部分：一部分是 SE ，即
A1, A2, , Ar
表示．
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如果在一项试验中只有一个因素在变化，其他 可以控制的试验条件不变，则称这种试验为单因 素试验．
在单因素试验中，如果只有两个水平，就是上 章讲过的两总体均值的比较问题；超过两个水平 时，就是多个总体均值的比较问题，这可用本节 将要讨论的单因素试验的方差分析来解决．
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1、数学模型
H1 : 1, 2, , r 不全相等
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为便于讨论，我们记
r
n ni ， i 1
1 n
n i 1
ni i
，
称 n 为样本总容量，称 为总平均．又记
i i ， i 1, 2, , r ．
称 i 为因素 A 的第 i 个水平 Ai 对指标 X 的效应．易见，这 r 个效应
1, 2, , r 应满足
F F1 r 1, n r ，则接受原假设 H0 ，即认为因素 A
的 r 个水平的效应没有显著差异．
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上述分析结果场总结成下表的形式，称为方差分析表． 方差分析表
方差来源 平方和
因素 A
SA
误差
SE
总和
ST
自由度
r 1 nr n 1
均方
SA
SA r 1
SE
SE nr
F值 F SA
SE
临界值
H0 : 1 2 3 ，
H1 : 1, 2, 3 不全相等
是否成立，如果否定 H0 ，则认为三家工厂的电池寿命有显著差异；如
果接受 H0 ，则认为三家工厂的电池寿命没有显著性差异，其差异只是
随机因素引起的．以下我们将会看到，方差分析法是处理假设上述检验 问题的有效方法．
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单因素试验方差问题的一般提法是：设在单因素试验中所
r
r
r
r
nii ni i nii ni n n 0 ，
i 1
i 1
i 1
i 1
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则（8.1.3）式等价于
H0 : 1 2 r 0 ，
H1 : 1, 2, , r 不全为零
这样模型（8.1.2）式就可表示为
Xijij~N
i ij 0, 2 ,
j 1,
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方差分析是我们在第六章已提到过的 英国大统计学家 Fisher 在 20 世纪 20 年 代创立的．方差分析法首先被应用于农 业试验，其后被应用于工业，生物学， 医学等许多方面，在这诸多领域的数据 分析工作中，取得了很大的成功．
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方差分析本质上是关于多个具有方差齐性的 正态总体，对其均值作检验与估计的统计方 法．因其统计分析的依据是通过分析离差平方和 给出的，故习惯上称之为方差分析．
我们称上式为平方和分解式．
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这里，SE 表示了随机误差（因素）的影响．因为对于
固定的 i ，所有的观测值
Xi1, X i 2, , Xi ni 都是来自同一正态总体 N i , 2 的样本，因此它们之
间的差异完全由随机误差（ ij X ij i ）所至．而
ni Xij Xi 2 是这 ni 个数据的变动平方和，正是它们
ni
X
2 ij
2
；
j1
SE ST SA ．
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当 n1 n2 nr s 时，称为等重复试验，并有
ST
r i 1
s j 1
X
2 ij
1 n
i
r 1
s j 1
2 Xij ；
2
2
SA
1 s
r i 1
s j 1
X ij
1 n
r i 1
s j 1
X
2 ij
．
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3、应用举例
r 1 SE
SA SE
的分布．
nr
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定理 在单因素试验的方差分析模型中， SE
2 服从自由度为 n r 的 2 分布，即
SE
2
~
2n r ．
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进一步我们还可以证明，当假设 H0 为真
时，有
SA
2
~
2r
1，
并且 S A 与 SE 相互独立．因此，当假设 H0 成
立时，有