证明向量积的分配律
两向量相乘的计算公式
两向量相乘的计算公式向量的乘法有两种方式：数量积和向量积。
数量积又称点积或内积，是指两个向量相乘得到一个标量。
向量积又称叉积或外积，是指两个向量相乘得到一个新的向量。
下面将详细介绍这两种向量的乘法公式及其计算方法。
数量积的计算公式可以通过内积的定义来得到。
假设有两个向量A和B，它们的数量积定义为它们对应分量的乘积之和，即：A·B=A1B1+A2B2+A3B3+...其中，A1、A2、A3等表示A向量的各个分量，B1、B2、B3等表示B 向量的各个分量。
这个公式也可以写成矩阵的形式：A ·B = ，A，，B，cosθ其中，A，和，B，分别表示向量A和向量B的模长，θ表示A和B 之间的夹角。
通过这个公式，可以得到数量积的计算方法。
1.将向量A和向量B的对应分量相乘，得到一个新的序列。
2.将这个序列中的乘积相加，得到最终结果。
例如，假设有两个向量A=(1,2,3)和B=(4,5,6)，它们的数量积可以通过以下步骤进行计算：A·B=(1*4)+(2*5)+(3*6)=4+10+18=32所以，向量A和向量B的数量积为32数量积有以下几个重要的性质和应用：1.A·B=B·A，即数量积满足交换律。
2.A·A=，A，^2，即一个向量和自己的数量积等于向量的模长的平方。
3.如果A·B=0，则称向量A和向量B垂直或正交。
4.A·B=0，当且仅当夹角θ=90°或π/25.数量积可以用于计算两个向量之间的夹角。
向量积的计算公式可以通过外积的定义来得到。
假设有两个向量A和B，它们的向量积定义为一个新的向量C，它的模长等于A和B向量所围成的平行四边形的面积，方向垂直于A和B所在的平面。
向量积的计算公式如下：C=A×B其中，×表示向量积运算。
C=(A2B3-A3B2,A3B1-A1B3,A1B2-A2B1)向量积的计算方法如下：1.将向量A和向量B的坐标分别表示为A=(A1,A2,A3)和B=(B1,B2,B3)。
向量的向量积运算法则
向量的向量积运算法则向量的向量积，又称叉乘，是向量运算中的一种重要运算。
它不同于向量的数量积，而是产生一个新的向量。
在三维空间中，向量的向量积运算法则可以用来求解平行四边形的面积、计算力矩等问题。
在本文中，我们将介绍向量的向量积的定义、性质和运算法则。
首先，我们来定义向量的向量积。
设有两个向量a和b，它们的向量积记作a×b，它的模长为|a×b|，方向垂直于a和b所在的平面，并且满足右手定则。
向量的向量积可以表示为：a×b = |a| |b| sinθ n。
其中，|a|和|b|分别为向量a和b的模长，θ为a和b之间的夹角，n为垂直于a和b所在平面的单位向量。
这个公式告诉我们，向量的向量积的模长等于a和b的模长的乘积再乘以它们夹角的正弦值，方向垂直于a和b所在的平面，且满足右手定则。
接下来，我们来介绍向量的向量积的性质。
首先，向量的向量积不满足交换律，即a×b不等于b×a。
其次，向量的向量积满足分配律，即a×(b+c)等于a×b加上a×c。
此外，向量的向量积还满足结合律，即a×(b×c)等于(b·a)c-(c·a)b，其中a·b表示a 和b的数量积。
这些性质对于计算向量的向量积非常重要，可以帮助我们简化计算过程。
最后，我们来介绍向量的向量积的运算法则。
假设有两个向量a和b，它们的坐标分别为(a1, a2, a3)和(b1, b2, b3)，则它们的向量积可以表示为：a×b = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。
这个公式告诉我们，向量的向量积的每个分量分别等于a和b 的对应分量按照特定顺序相乘再相减。
这个公式可以帮助我们快速计算向量的向量积，特别是在涉及到坐标的问题中。
综上所述，向量的向量积是向量运算中的一种重要运算，它可以用来求解平行四边形的面积、计算力矩等问题。
向量积分配律的几种证明
向量积分配律的几种证明
向量积分配律是指在向量积运算中，向量的乘法和加法可以交换顺序，并且满足结合律。
常见的几种证明方法如下：
1.几何证明法：通过图形的转换，证明向量的乘法和加法可以交换
顺序。
2.代数证明法：通过推导和比较向量的表达式，证明向量的乘法和
加法可以交换顺序。
3.物理意义证明法：通过向量在物理运动中的应用，证明向量的乘
法和加法可以交换顺序。
4.函数变换证明法：通过对函数的变换，证明向量的乘法和加法可
以交换顺序。
这几种证明方法都可以帮助我们理解向量积分配律的含义，并在实际应用中正确使用向量积的运算规则。
向量的数量积和向量积
向量的数量积和向量积向量是数学中一个重要的概念，它具有大小和方向两个属性。
在向量运算中，有两种主要的运算：数量积和向量积。
一、向量的数量积数量积，也称为点积或内积，是两个向量之间的一种二元运算。
它的结果是一个标量，表示两个向量之间的夹角以及它们的长度之积。
设有两个向量a和b，它们的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，a·b表示向量a和b的数量积，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角。
数量积有以下几个重要的性质：1. 交换律：a·b = b·a2. 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c3. 数乘结合律：(λa)·b = λ(a·b)数量积有许多应用，例如用来计算向量的投影、判断两个向量是否垂直、计算力的功等。
二、向量的向量积向量积，也称为叉积或外积，是两个向量之间的一种二元运算。
它的结果是一个向量，其方向垂直于参与运算的两个向量所构成的平面，并遵循右手定则。
设有两个向量a和b，它们的向量积可以通过以下公式计算：a×b = |a| |b| sinθ n其中，a×b表示向量a和b的向量积，|a|和|b|表示向量a和b的长度，θ表示向量a和b之间的夹角，n为单位向量，其方向垂直于向量a和b所构成的平面，并符合右手定则。
向量积有以下几个重要的性质：1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 数乘结合律：(λa)×b = λ(a×b)向量积也有许多应用，例如用来计算向量的面积、判断两个向量是否平行、计算力矩等。
综上所述，向量的数量积和向量积是两种不同的运算。
数量积的结果是一个标量，表示了夹角及长度之间的关系，而向量积的结果是一个向量，表示了向量所在平面的法向量。
向量积的定义、计算及其性质
向量积的定义、计算及其性质向量积，又称为叉乘，是向量运算中的一种形式。
它是两个向量的向量积，不同于两向量的点积或数量积，代表着两个向量在空间中的叉形平行四边形的面积。
本文将详细介绍向量积的定义、计算及其性质，帮助读者更好地理解它在向量运算中的应用。
一、向量积的定义对于具有三维坐标的向量a、b，它们的向量积表示为a×b，满足以下条件：1. a×b垂直于a和b所在的平面。
2. a×b的模长等于a和b所在平面上以a和b为两边的平行四边形面积。
3. a、b、a×b构成右手系，即由a伸出右手的大拇指，b伸出食指，a×b即伸出中指的方向。
二、向量积的计算向量积可通过行列式进行计算，公式为：$$ a\times b=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} &\mathbf{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{vmatrix} $$其中，$\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$分别是三维直角坐标系的单位向量，$a_{1}$、$a_{2}$、$a_{3}$和$b_{1}$、$b_{2}$、$b_{3}$分别是向量$a$和$b$的坐标。
三、向量积的性质向量积具有以下性质：1. 反交换律：$b\times a=-a\times b$2. 结合律：$(a\times b)\times c=a\times(b\times c)$3. 分配律：$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$4. 数量积与向量积的关系：$a\times b$与$a\cdot b$垂直，模长为$a\cdot b$所代表的平行四边形的高，方向由右手定则确定。
四、向量积的应用1. 求平面法向量：设平面上有两个向量$a$和$b$，则平面的法向量为$n=a\times b$。
2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与 的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
向量积分配律的证明(完整版)
向量积分配律的证明向量积分配律的证明·sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。
有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。
我们假定已经知道了：1)外积的反对称性：a×b=-b×a.这由外积的定义是显然的。
2)内积的分配律：a·=a·b+a·,·=a·+b·.这由内积的定义a·b=s|osθ，并揭示这个物理模型的实质，即：力与位移的数量积。
其次，具体分析平面向量的夹角，向量的数量积、重要性质等概念，并巩固练习。
再者，基本概念均简明有效的给出，为之后学生深入学习、探究提供了时间上的保证，从定义出发推导运算律也变得简单易行。
随后，从特殊到一般，得出数量积的几何表示。
在教师为主导、学生为主体的教学模式中，学习活动进展顺利，学生们都显得游刃有余。
在教学过程中，学生对平面向量数量积的定义及运算律的理解有些难度，总的感觉是：在核心问题上的处理不太容易把握，学生需要较多的时间去探究和体验。
结合多年教学发现学生对数量积的结果是数量重视不够，解题中往往忽略，?学生容易忽略；书写中符号“?”学生容易省略不写，教学和作业中发现问题教师应时常提醒学生及时纠正，避免重复错误；运算律中消去律和结合律不能乱用，要给学生讲清楚一定不能与实数的运算律混淆，这些地方应反复给学生强调。
最后，在有效落实教学目标的同时，如何让学生的“学”更轻松些，让教师的“教”更顺畅些，使“数量积”的概念形成更具一般性，更能揭示“数量积”的本质内含就显得尤为重要。
四、教法及教学反思教学过程中采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。
这一切主要是通过课堂教学来实现的，因此，要精于课堂教学设计，并在实践中进行反思和再设计，形成一系列适合学生认知、发展的教学方案。
向量积分配律的证明
向量积分配律的证明向量积分配律的证明三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。
下面把向量外积定义为：a ×b = |a|·|b|·Sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。
有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。
下面给出代数方法。
我们假定已经知道了：1)外积的反对称性：a ×b = - b × a.这由外积的定义是显然的。
2)内积(即数积、点积)的分配律：a·(b + c) = a·b + a·c,(a + b)·c = a·c + b·c.这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。
3)混合积的性质：定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明：i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。
从而就推出：ii) (a×b)·c = a·(b×c)所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c).由i)还可以推出：iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b)我们还有下面的一条显然的结论：iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零矢量。
下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。
设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有r·(a×(b + c))= (r×a)·(b + c)= (r×a)·b + (r×a)·c= r·(a×b) + r·(a×c)= r·(a×b + a×c)移项，再利用数积分配律，得r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。
向量积的运算法则
向量积的运算法则向量积，又称叉乘，是向量的一种运算，用来描述两个向量之间的关系。
在数学和物理学中，向量积有着广泛的应用，可以用来求解平面和空间中的几何问题，以及描述力和力矩的关系。
本文将介绍向量积的运算法则，以及如何利用向量积来解决实际问题。
首先，我们来看一下向量积的定义。
给定两个三维向量a和b，它们的向量积记作a×b，其结果是一个新的向量，它垂直于a和b所在的平面，并且符合右手定则。
具体来说，如果a和b的起点相同，那么a×b的方向由右手法则确定，将右手的四指从a转向b，那么大拇指所指的方向就是a×b的方向。
向量积的大小等于a和b构成的平行四边形的面积。
如果a和b平行或者共线，那么它们的向量积等于零。
接下来，我们来看一下向量积的运算法则。
设a=(a1, a2, a3)和b=(b1, b2, b3)是两个三维向量，它们的向量积a×b的计算公式如下：a×b=(a2b3 a3b2, a3b1 a1b3, a1b2 a2b1)。
这个公式告诉我们，向量积的计算分为两步：首先计算新向量的三个分量，分别是a2b3 a3b2、a3b1 a1b3和a1b2 a2b1；然后将这三个分量组合成一个新的向量。
这个公式也可以用行列式的形式表示：a×b = |i j k|。
|a1 a2 a3|。
|b1 b2 b3|。
其中i、j和k分别是单位向量，|...|表示行列式。
这个形式更加直观，可以清晰地看出向量积的计算过程。
除了计算公式之外，向量积还有一些重要的性质。
首先，向量积不满足交换律，即a×b不等于b×a。
其次，向量积满足分配律，即a×(b+c)等于a×b加上a×c。
最后，向量积的大小等于a和b构成的平行四边形的面积，这个性质在计算中很有用。
现在，我们来看一些实际问题，如何利用向量积来求解。
首先，我们可以利用向量积来求解平面上的几何问题。
向量积的运算公式
向量积公式如下：
向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin<a，b>。
向量相乘分内积和外积。
内积ab=丨a丨丨b丨cosα（内积无方向，叫点乘）。
外积a×b=丨a丨丨b丨sinα（外积有方向，叫×乘）那个读差，即差乘，方便表达所以用差。
另外，外积可以表示以a、b为边的平行四边形的面积。
＝两向量的模的乘积×cos夹角。
＝横坐标乘积+纵坐标乘积。
代数规则
1、反交换律：a×b=-b×a。
2、加法的分配律：a×（b+c）=a×b+a×c。
3、与标量乘法兼容：（ra）×b=a×（rb）=r（a×b）。
4、不满足结合律，但满足雅可比恒等式：a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0。
5、分配律，线性性和雅可比恒等式别表明：具有向量加法和叉积的R3构成了一个李代数。
6、两个非零向量a和b平行，当且仅当a×b=0。
利用向量投影证明空间向量数量积分配律的方法
文章标题：利用向量投影证明空间向量数量积分配律的方法正文：一、引言在线性代数中，向量数量积是一个重要的概念，它不仅在数学上有着重要的意义，还在物理学等其他领域中有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨利用向量投影来证明空间向量数量积分配律的方法，并深入探讨这一方法背后的数学原理。
二、向量投影的概念在欧几里得空间中，向量的投影是一个重要的概念。
给定两个非零向量a和b，我们可以将b在a方向上的投影表示为proj_a(b) = (a · b) / |a| * a。
这个投影的长度正是b在a方向上的投影长度，方向与向量a相同。
利用向量投影，我们可以更好地理解空间向量的运算和关系。
三、空间向量数量积的定义空间中的向量数量积是向量的一种运算，它将两个向量映射为一个标量。
给定两个向量a和b，它们的数量积可以表示为a·b = |a| * |b| * cos(theta)，其中theta为a和b之间的夹角。
四、空间向量数量积分配律的表述空间向量数量积具有分配律的性质，即对于任意三个向量a、b和c，都有(a+b)·c = a·c + b·c。
这个性质在向量运算中非常重要，并且在许多数学推导和物理问题中都有着广泛的应用。
五、利用向量投影证明空间向量数量积分配律的方法我们将利用向量投影来证明空间向量数量积分配律。
给定三个向量a、b和c，我们将b投影到a上得到proj_a(b)，将c投影到a上得到proj_a(c)。
则有：(a+b)·c = (proj_a(b) + a)·c= proj_a(b)·c + a·c= (b·c) / |a| * a + a·c= (b·c) / |a| * a·c+ a·c= b·c + a·c= a·c + b·c六、总结通过以上的证明，我们证明了空间向量数量积具有分配律的性质。
条据书信 向量积的分配律证明
向量积的分配律证明（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：1）结合律：(a)()a。
2）分配律：()a a，(a b)a b。
（2）向量的数量积运算法则：1）a b b a。
2）(a)b(a b)a b a(b)。
3）(a b)c a c b c。
（3）平面向量的基本定理。
e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一对实数1,2，满足a1e12e2。
（4）a与b的数量积的计算公式及几何意义：a b|a||b|cos，数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。
（5）平面向量的运算法则。
1）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a+b＝(x1x2,y1y2)。
2）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a-b＝(x1x2,y1y2)。
3）设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB OB OA(x2x1,y2y1)。
4）设a＝(x,y),R，则a＝(x,y)。
5）设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，则a b＝(x1x2y1y2)。
（6）两向量的夹角公式：cos（a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)）。
（7）平面两点间的距离公式：。
dA,B＝|AB|（A(x1,y1)，B(x2,y2)）（8）向量的平行与垂直：设a＝(x1,y1)，b＝(x2,y2)，且b0，则有：1）a||b b＝a x1y2x2y10。
2）a b（a0）a·b＝0x1x2y1y20。
（9）线段的定比分公式：P(x,y)(x,y)P(x,y)PP设P，，是线段的分点，是实数，且PP PP2，则111222121x yx1x2OPOP211）。
(1t)OP OP1OP tOP12（t1y1y211（10）三角形的重心公式：△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，则△ABC 的重心的坐标为G(x1x2x3y1y2y3,)。
数量积分配律证明
数量积分配律证明摘要：一、引言二、数量积分配律的概念三、数量积分配律的证明1.准备公式2.证明过程3.结论四、总结正文：一、引言在向量分析中，数量积分配律是一个重要的性质，它涉及到向量的加法、减法和数量积的运算。
本文将详细介绍数量积分配律的概念，并通过证明来阐明这一性质。
二、数量积分配律的概念设向量a，b，c ∈ R^n，其中n ≥ 2，那么数量积分配律可以表述为：(a + b)·c = a·c + b·c换句话说，两个向量的和与一个向量的数量积等于这两个向量分别与该向量的数量积之和。
三、数量积分配律的证明1.准备公式为了证明数量积分配律，我们需要利用向量的线性运算和数量积的定义。
首先，回顾一下向量的线性运算：(a + b)·c = a·c + b·c (1)a·(b + c) = a·b + a·c (2)2.证明过程我们将利用公式(1) 和(2) 来证明数量积分配律。
将公式(2) 中的b 替换为-b，得到：a·(c - b) = a·c - a·b然后将公式(1) 中的c 替换为c - b，得到：(a + b)·(c - b) = a·(c - b) + b·(c - b)展开左边的式子，得到：(a + b)·c - (a + b)·b = a·c - a·b + b·c - b·b由于(a + b)·b = a·b + b·b，所以：(a + b)·c = a·c + b·c这就证明了数量积分配律。
3.结论通过以上证明过程，我们可以得出结论：数量积分配律成立，即(a + b)·c = a·c + b·c。
向量的点乘分配律证明
向量的点乘分配律证明1. 引言向量是数学中常见的概念，它在几何、物理、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
向量的点乘是一种重要的运算，它能够描述向量之间的关系和性质。
本文将详细介绍向量的点乘以及其满足的分配律。
2. 向量的定义在数学中，向量可用于表示空间中的一点或物体在空间中移动时所经过的路径。
一个向量通常由多个有序数值组成，并且具有方向和大小。
我们可以将一个向量表示为 n 维列矩阵：a=[a1 a2⋮a n]其中a1,a2,...,a n是向量a的各个分量。
3. 向量的点乘向量的点乘（也称为内积或数量积）是一种二元运算，用于计算两个向量之间的相似度或夹角。
设有两个 n 维列向量a和b：a=[a1a2⋮a n], b=[b1b2⋮b n]向量的点乘定义为：a⋅b=a1b1+a2b2+...+a n b n点乘的结果是一个标量，表示两个向量在方向上的相似度。
4. 向量的点乘分配律向量的点乘满足分配律，即对于任意三个向量a、b和c，有以下等式成立：(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c现在我们来证明这个等式。
根据向量的定义和点乘的定义，左边的表达式可以展开为：(a+b)⋅c=(a1+b1)c1+(a2+b2)c2+...+(a n c n)右边的表达式可以展开为：a⋅c=a1c1+a2c2+...+a n c nb⋅c=b1c1+b2c2+...+b n c n将右边的两个表达式相加，得到：a⋅c+b⋅c=(a1c1+a2c2+...+a n c n)+(b1c1+b2c2+...+b n c n)=(a1+c1)b1+(a2+c2)b+2+...+(a n+c n)b n=(a1+b+1)c+1+(a+2+b+2)c+2+...+(a n+b n)c n通过上述展开和合并的步骤，我们可以看出右边的表达式与左边的表达式相等。
因此，我们证明了向量的点乘满足分配律。
5. 总结本文介绍了向量的定义、向量的点乘以及向量的点乘满足的分配律。
向量积运算法则
向量积运算法则向量积是向量运算中的一种重要运算，常用于解决几何和物理问题。
在进行向量积运算时，我们需要遵循一些法则和规则，以确保计算的准确性和一致性。
本文将介绍向量积运算的法则，并解释每个法则的含义和应用。
一、向量积的定义向量积，又称为叉乘或矢量积，是指两个向量之间的一种运算，其结果是一个新的向量。
向量积的结果是垂直于原来两个向量的平面，并且大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正弦值。
二、向量积的运算法则1. 右手法则在进行向量积运算时，我们需要使用右手法则来确定向量积的方向。
右手法则规定，将右手的四指从一个向量转向另一个向量，拇指所指的方向就是向量积的方向。
这样可以确保向量积的方向与两个向量的顺序有关。
2. 交换律向量积满足交换律，即A×B = -B×A。
这意味着两个向量的顺序交换后，向量积的方向相反。
3. 分配律向量积满足分配律，即A×(B+C) = A×B + A×C。
这意味着向量积在进行加法运算时，可以先分别计算两个向量的向量积，然后再相加。
4. 结合律向量积不满足结合律，即(A×B)×C ≠ A×(B×C)。
这意味着向量积在进行多次运算时，必须按照特定的顺序进行。
5. 向量积的模向量积的模等于两个向量模的乘积与它们之间夹角的正弦值的乘积。
即|A×B| = |A| × |B| × sinθ，其中θ为两个向量之间的夹角。
三、向量积的应用向量积在几何和物理问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 计算平面的法向量：对于给定的平面，可以使用向量积来计算其法向量。
选择平面上的两个非平行向量，进行向量积运算，得到的结果就是平面的法向量。
法向量可以用于计算平面的方程、判断点是否在平面上等问题。
2. 计算力矩：在物理学中，力矩是描述物体受力情况的重要概念。
当一个物体受到力的作用时，可以使用向量积来计算力矩。
向量的数乘运算
■三•小结
向量与数的乘法
（注意数乘后的方向）
—,向量与数的乘法
设人是一个数，向量a与人的乘积如规
定为
⑴九＞0, 如与反同向，|如|= 2|a | (2) 九, Aa与反反向，| Aa |=| A | ・
| a|
数与向量的乘积符合下列运算规律：
(1 )结合律:
(2 )分配律：(人+ jn)a =人布+卩a
例1化简a 一 b + 5|- 1 b +心
"
做 —r - 1 r b — 3a、 ^解 a — b + 5 — b +--
1 2 5丿 r( 5 1 )r =(1 _ 3)a +1 _ 1---1—・ 5 b
\ 2 5丿
=_2a 一 - b.
二、典型例题
例2试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.
2( a + b ) = Aa + Ab
两个向量的平行关系
定理 设向量a。0,那末向量b平行于a的充 分 必要条件是：存在唯一的实数A使b = Aa.
证当充b分必与性要a显同性然向设；时b 人a取|取』正值=一-，, a
当b与a反向时人取负值，即有b = xa.
—►
此时 b 与 xa 同向.且 |xa| = |hx| |a| =||ab—|\a=
x的唯一性.设b = xa，又设b =网，
两式相减，得（x卩）a = 0,即|x久| |a| = 0, |a|丰0,故x卩=0, 即x =卩.
向量数量积的证明
向量数量积的证明向量数量积是向量计算中的一个重要概念，在数学和物理学领域都有着广泛的应用。
那么，向量数量积具体的定义是什么呢？向量的数量积，也称为点积，是指两个向量之间的一种乘法运算。
假设有两个向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
那么具体的计算方法如下：a·b = |a||b|cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
向量数量积具有一些重要的性质，例如：1. 交换律a·b = b·a2. 结合律(a+b)·c = a·c + b·c3. 数量积的分配律k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)4. 向量与自身的数量积a·a = |a|^2那么，向量数量积的证明是什么呢？下面我们来逐步展开。
1. 证明a·b = b·a根据向量的定义，向量是有大小有方向的。
因此，向量a和向量b的数量积a·b实际上是在表示a和b之间的相对方向，而不是具体的大小。
同时，向量的乘法运算是满足交换律的，即a·b = b·a，因此这个性质是成立的。
2. 证明(a+b)·c = a·c + b·c这个性质的证明和向量的分配律非常类似。
我们可以使用向量的展开式，即a = x1i + y1j + z1k，b = x2i + y2j + z2k，c = xi + yj + zk来证明它的正确性。
(a+b)·c = (x1+x2)i·(xi) + (y1+y2)j·(yj) + (z1+z2)k·(zk)= x1xi + x2xi + y1yj + y2yj + z1zk + z2zk= (x1i + y1j + z1k)·(xi + yj + zk) + (x2i + y2j + z2k)·(xi + yj + zk)= a·c + b·c因此，我们得到了分配律的证明。