人教版数学必修四三角函数复习讲义

第一讲 任意角与三角函数诱导公式

1. 知识要点

角的概念的推广：

平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念：

在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。 终边相同的角的表示：

α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)⇔2()k k αθπ=+∈Z 。

注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.

α终边在x 轴上的角可表示为：,k k Z απ=∈； α终边在y 轴上的角可表示为：,2

k k Z π

απ=+∈；

α终边在坐标轴上的角可表示为：,2

k k Z π

α=

∈. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

α与2

α的终边关系：

任意角的三角函数的定义:

设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），

它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y

x r r

αα==，

()tan ,0y x x α=

≠，cot x y α=(0)y ≠，sec r

x

α=()0x ≠，()csc 0r y y α=≠。

三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。

三角函数线的特征：正弦线MP“站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线OM“躺在x 轴上(起点是原点)”、正切线A T“站在点(1,0)A 处(起点是A )”

同角三角函数的基本关系式：

1. 平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=

2. 倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,

3. 商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα

=

=

注意：1.角α的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形

形式。

三角函数诱导公式：“ （2

k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”

典型例题

例1．求下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 4

5π

例2．求下列各式的值： （1）sin(－3

4π

)； (2)cos(－60º)－sin(－210º)

例3．化简 )

180sin()180cos()

1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα

例4．已知cos(π+α)=－2

1

，23π<α<2π，则sin(2π－α)的值是

（ ）．

(A)

2

3

(B) 21 (C)－2

3 (D)±

2

3 例5、求证： )

2

cos()5cos()2sin()4sin()

cot()2tan()23cos()2sin(

απαπαπ

απαπαπαπαπ

+-+--=+-+---+k k k

例6 的值。求)4

(cos )4

(cos 22α+π+α-π

例7 )(sin ,17cos )(cos x f x x f 求若=

课后练习

1.在直角坐标系中，若角α与β终边互为反向延长线，α与β之间的关系是（ ） A ．

αβ

= B ．

()

2k k Z απβ=+∈

C ．απβ=+

D ．

()()

21k k Z απβ=++∈

2.圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是（ ）

A ．等于1弧度

B ．大于1弧度

C ．小于1弧度

D ．无法判断

3. 角α的终边上有一点P (a ，a )，a ∈R ，且a ≠0，则sin α的值是( ) A ．

2

2 B ．-2

2 C ．±2

2 D ．1

4. α是第二象限角，其终边上一点P （x ，5），且

cos α＝

4

2

x ，则sin α的值为（ ） A ．4

10

B ．4

6 C ．

4

2

D ．－

410

5.设角α是第二象限角，且|cos 2α|＝－cos 2α，则角2α

是（ ）

A ．第一象限角

B ．第二象限角

C ．第三象限角

D ．第四象限角

6. 已知

45

cos sin -

=-αα，则ααcos sin •等于（ ）

A ．47

B ．－169

C ．－329

D ．329

7. 函数x x x x y sin cos 1cos sin 122-+

-=的值域是（ ）

A ．｛0，2｝

B ．｛－2，0｝

C ．｛－2，0，2｝

D ．｛－2，2｝

8. 化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）

A 、4cos 4sin +

B 、4cos 4sin -

C 、4sin 4cos -

D 、4cos 4sin --

9. 若2cos sin =+αα，则ααcot tan +等于（ ）

A 、1

B 、2

C 、-1

D 、-2

10. 若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，则下列等式成立的是（ ） A 、A C B sin )sin(=+ B 、A C B cos )cos(=+ C 、A C B tan )tan(=+ D 、A C B cot )cot(=+

11. 若101)sin(=+απ，则)270cos()540csc()

90sin()sec(︒︒︒------+-αααα的值是（ ）

A 、3

1- B 、271±

C 、3

1

D 、33-

12. 若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值

为（ ）

A 、⎪⎭

⎫⎢

⎣⎡-∈0,3

4m B 、51-=m C 、51±=m D 、51+=m

13. .定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2

π］时，f （x ）=sin x ，则f （3

π5）的值

为( ) A.－2

1

B.2

1

C.－

2

3

D.

2

3

14. 函数lg(2cos 3)y x =-的单调递增区间为 ( ) ．

A ．(2,22)()k k k Z ππππ++∈

B ．11

(2,2)()6

k k k Z ππππ++

∈ C ．(2,

2)()6

k k k Z πππ-∈

D ．(2,

2)()6

k k k Z π

ππ+∈