运筹学大作业单纯性法与对偶单纯性法比较

单纯形法是求解线性规划的主要方法 , 单纯形表则是单纯形法和对偶单纯形法的运算
工具。设线性规划问题为
Max Z
n
cj xj
j1
n
a x b ij j
s.t. j 1
(i 1, . .m. ,)
i
⑴
xj 0( j 1, . . .n.) ,
将其化为标准形式，得 Max Z= CX
s.t. AX X s b
Min w YB
s.t. YA Y S C
⑷
Y,Y S 0
C C Y Y 由 C
(
,
B
)
N
，
A
( B, N ) ， Ys 为松弛变量，
Ys 相应分解为
、 ，其中
sB
sN
Y y y y Y y y y sB
( , ,.... , )
m1 m1
2m
0，
sN
(
,
2m 1
,....,
2m 2
)
2n
0 。得：
C C C B Y B B YB
B
1
B
B
sB
1
B
0
(13)
1
1
CN YN CN CB B N Y sB B N 0
(14)
将（ 13）、（ 14）合并得
(C B ,CN )
Y( B, N )
(C B ,CN)
C B Y B (
1
B
sB 1)( B, N )
0
(15)
整理得
C B Y B C
1
B
A
sB
对 偶单纯形法与单 纯形 法对比分析
1．教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解
2．教学内容：
1）对偶单纯形法的思想来源
2）对偶单纯形法原理
3．教学进程：
1）讲述对偶单纯形法解法的来源：
所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家
C. 莱姆基于 1954 年提出的， 它并不是求解对偶问题解的方法， 而是利用对偶理论求解原问
z=w。据此可知，用单纯
形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问
题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。
我们知道， 单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解 （这时一般其对偶问题为非
可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到
1
1
1
X N 0 ， X S 0 。显然，若 B b 0，且 (CN CB B N ) 0 ， C B B X S 0 ，则
基解 X
1
B b 为该线性规划的最优解 , 此时检验数均大于零 , 见表 1。
0
通过上面的分析 , 我们知道单纯形表的检验数实际上是目标函数中基变量、非基变量 的价值系数 , 又由对偶理论知道它们是相应对偶问题的一个 ( 加一个负号 ) 基解。那么表
进一步添加松弛变量有等式（ 5）、（ 6），对等式（ 5）两端同时左乘 B 1 有
1
1
Y Y sB B CB B
(9)
Y B 将 sB 1 移至等式右端得
1
1
Y Y sB B CB B
(10)
由不等式（ 8）得
CB YB 0
(11)
CN YN 0
(12)
将式（ 10）代入不等式（ 11）、（ 12）得
Y C YB
sB
B
⑸
Y C YN
sN
N
⑹
由式⑸得到
1
1
Y CB B Y sB B
⑺
Y C B Y C B C 通过令
0 ，由式(5) 得对偶问题的基解 Y
sB
1
B , 代入式 (6) 得 sN
1
B
N
,
N
1
1
将式 (7) 对偶问题的目标函数得 w C B B b Y sB B b 。显然若目标函数达到最小 , 非基
了目标函数的最优值。 那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解 （这
时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代，减小目标函数，当原问题也达到可行解
时，即达到了目标函数的最优值。其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法
, 只不过在运用
时需要将单纯形表旋转一下而已。
一 . 单纯形法和对偶单纯性法
1
A
0
(16)
C B 其中 C
C B B 1 A 是单纯形表中 X变量的检验数 , 记 C
B
1
A
(
j) ，
(j=1,2,....,n),
B a B 1
'
A ( ij )mxn 矩阵，显然，若 Y为基可行解，而若
1
b
0 ，则对偶问题
C B Y B B B B 的目标函数 w
1b
B
sB
1 b 未取得最小值，取 min (
题的解的方法。
2）为什么要引入对偶单纯形法：
单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，
因为它具有以下优点：
（1）初始基解可以是非可行解 , 当检验数都为负值时 , 就可以进行基的变换 , 不需加入
人工变量 , 从而简化计算；
（2）对于变量多于约束条件的线性规划问题 , 用对偶单纯形法可以减少计算量 , 在灵敏度
1
中 b 列的数字仅仅表示的是 X B 的取值吗 ? 我们可以猜想 B b 很可能是对偶问题的检验
数。这里首先给出问题 (1) 的对偶问题的一般形式
m
Min w
bi yi
i1
m
a y c s.t. i 1 ij i
j ( j 1,..., n)
⑶
yi 0(i 1,....,m)
将问题（ 3）化为标准形式，得
分析及求解整数规划的割平面法中 , 有时适宜用对偶规划单纯形法。
由对偶问题的基本性质可以知道， 线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的
基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变
量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变
量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有
⑵
X,X s 0
C C C 其中 C (
,
B
N) ，
N 0 (0,0,...,0) ， A ( B, N ) ， X
X B ，则其对应的线性约束转 XN
换为 X B
1
B XN
1
B Xs
0， X B
1
Bb
1
B XN
1
B X s ，代入目标函数得
1
1
1
1
Z CB B b (C N C B B ) X N CB B X S ，相应的一个基解为 X B B b ，
1
b)i | (
1来自百度文库
b)i 0 (
1
b)l ，
x 确定单纯形表的换出基变量
，即（在单纯形表中的）对偶问题相应的换入基变量
l
y， ml
Y 变量 sB 的价值系数要求大于等于零
题的非基变量检验数。 二．对偶单纯形法的算法步骤
(1) 确定换出基的变量
,
单纯形表
b列
B
1
b
0,
即
B
1
b
0 实际上是对偶问
设原问题为（ 1），对偶问题为（ 3）。由 A
( B, N ), C
(C B
,C
)
N
，不等式
YA
C 则可分
解为
YB C B, YN CN
(8)