电磁场第11章

将1和3在O点展开成泰勒级数，有
2h
1
;
0
h
x
0
1 2
h2
2
x 2
0
1
3
01 y
3
;
0
h
x
0
1 2
h2
2
x 2
0
2
4 x
1
2
x
0
;
1 3
2h
一阶中心差商
1
2
2
x2
0
;
1 20 3
h2
二阶中心差商
同理：
2
y2
0
;
2 20 4
h2
至此，已用差商代替了偏导数。
11.1.3 用格林函数求边值问题
求解某电荷和边界条件给定的区域的电位分布时，需先求出 该区域的格林函数及其法向导数，再利用①式求解。
电子科技大学 例1 在无限大的导体平面上有一半径为a的圆，圆内 与圆外之间用极狭窄的绝缘环绝缘。设圆内的电位为
常数V0，导体其余部分电位为零，求上半空间电位分布。 解：由于上半空间中没有电荷分布，所以此问题是拉普拉斯方
1
4
r
1 r
r
1 r
其中，r和r′分别为原电荷和像电荷的位置矢量。
球内、球外空间的格林函数
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球内和球外空间的格林函数可以用接地导体球外或球内放置 点电荷时，用镜像法求解电位分布的方法求得，即
G
r,r
1
4
1 R1
a rR2
其中，a为球形区域的半径，R1和R2分别为原电荷和像电荷到场 点的距离。
无界空间的格林函数
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在无界空间中，以无穷远点为参考点时，位于r′处的单位正 点电荷在r处所产生的电位，即为无界空间的格林函数，有
Gr,r 1 1
4 R 4 r r
半空间的格林函数
考虑到无限大接地理想导体平板上方有一个点电荷时的电位 分布情况，可用镜像法求出上半空间的格林函数，有
G r, r
ij
4
i1, j
i , j1
i , j1
i1, j
一般为了收敛更快，可采用超松驰法，即
n1 ; n (n＋1) (n＋1) (n) (n) －4 n
ij
ij
4
i1, j
i , j1
i , j1
i1, j
ij
其中：为加速收敛因子，且1 2
问题：相邻4个点的电位也是未知。怎么办？
求解差分方程组
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采用迭代法求解。基本思想是逐次逼近。步骤为：
（1）给所有的ij赋初值；
（2）利用差分方程求新的ij，顺序为从左至右，从下至上；
（3）以得到的新的ij为基础，再利用差分方程求更新的ij；
（4）比较前后两次得出的ij ，如果相差小，停止计算，否
类或第二类边值问题的格林函数，也可以简称为第一类格林函
数或第二类格林函数。
同理可得区域V内的第三类格林函数。
格林函数满足对称性，即互易性。
Gr,r Gr,r
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11.1.2 用格林函数表示边值问题的解
设区域V内的电荷分布为(r)，则电位分布(r)满足泊松方程
2 r 1 r
利用格林函数所满足的泊松方程、格林函数的对称性和函数的
则继续前3步。
写成数学式，有 n1 ; 1 (n) (n) (n) (n)
ij
4
i1, j
i , j1
i , j1
i1, j
当
n1 (n)
ij
ij
或
n1 (n)
ij
ij
(n)
时，停止。
ij
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或者写成 n1 ; 1 (n＋1) (n＋1) (n) (n)
程的第一类边值问题。利用①式，并考虑上半空间第一类格林
函数在导体平面上为零，得上半空间的电位为
r
Ñ S
r
G
r ,
n
r
dS
将上半空间的格林函数代入，再利用题目给定的边界条件， 可以通过积分求出上半空间的电位分布。（略）
z
a
11.3 有限差分法
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当边界为任意形状时，分离变量法和镜像法等解析法都无法 使用，通常使用数值法求解。
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第11章 静态场边值问题（二）
11.1 格林函数法求解静电场
格林函数法是求解线性电磁场问题的一种重要方法。 格林函数法的意义在于，当点源的解已知时，任意分布源 的解即可以得到。 格林函数法可以用于求解静态场问题的拉普拉斯方程和泊 松方程，也可以用于求解时变场的波动方程。 本节以静电场的边值问题为例，说明格林函数法的应用。
挑选性，可以得到
r V rG r, r dV
Ñ S
G
r
,
r
r
n
r
G
r ,
n
r
dS
①
此式即为用格林函数表示的有限区域内任意点的电位表达式。
如果知道了区域V中的电荷分布和边界条件，区域V中任意点的
电位即可由此式求出。
对格林函数法的进一步说明
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可以用于第一类、第二类和第三类边值问题的求解
只要求出了待求区域V内的格林函数，即可用上式求出区域 V内的电位分布
某区域的格林函数的求解本身就是一个求解边值问题的过程， 但通常其边界条件相对待解边值问题的边界条件简单
某区域的格林函数只与区域形状有关，与待解边值问题的边 界条件无关
给定区域的格林函数可以用多种方法求解，如镜像法、分离 变量法等
只有当待求区域的边界为几种特殊形状时，才能得到其格林 函数
11.1.1 格林函数
静电场中的格林函数G(r, r′)为位于r′处的单位正点电荷在一 定边界条件下，在空间r处所产生的电位，它满足泊松方程：
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2G r, r 1 r r
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
设包含点r′的某空间区域V的边界S上满足边界条件
G r, r 0 或 G r, r 0
S
n
S
则分别称此边值问题的解G(r, r′)为泊松方程在区域V内的第一
有限差分法即为最简单的一种数值法。
基本原理
以离散点上的电位值替代连续分布的电 位函数，或者说，把求解连续电位分布的 问题化成求解离散点电位值的问题。
求解方法
将连续区域分割成分离点
原则上可以任意划分，但为方便，采用 有规律的网格划分。
用差商代替电位的偏导数
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选节点0，1，2，3，4，各点电位分别为0，1，2，3， 4，等步长划分。
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化拉普拉斯方程为差分方程
在O点利用以差商表示的偏导数，可将拉方程表示成差分方程
这是一个 代数方程
2
2 2
x2
0
y2
0
;
1 2 3 4 40
h2
0
0 ;
1 4
1 2 3 4
ij ;
1 4
i1, j
i , j1
i, j1
i 1, j
这是在任意点上电位的表达式，它由相邻4个点的电位决定。 即如果知道了这4个点的电位，这个点的电位也就知道了。