2019年全国高中数学联赛四川省预赛-附答案解析

2019年全国高中数学联赛四川省预赛

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．设正六边形ABCDEF 的边长为1，则()()AB DC AD BE +⋅+=______ .

2．双曲线22

221x y a b

-=的右焦点为F ，离心率为e ，过点F 且倾斜角为3π的直线与该双

曲线交于点A 、B ，若AB 的中点为M ，且|FM |等于半焦距，则e =_____ . 3．满足(a +bi )6=a －bi (其中a ，b ∈R ，i 2=－1)的有序数组(a ，b )的组数是_____ . 4．已知正四棱锥Γ的高为3，侧面与底面所成角为3

π

，先在Γ内放入一个内切球O 1，然后依次放入球234,,,

O O O ，使得后放入的各球均与前一个球及Γ的四个侧面均相

切，则放入所有球的体积之和为_____ .

5．设一个袋子里有红、黄、蓝色小球各一个现每次从袋子里取出一个球(取出某色球的概率均相同)，确定颜色后放回，直到连续两次均取出红色球时为止，记此时取出球的次数为ξ，则ξ的数学期望为_____ .

6．已知a 为实数，且对任意k ∈[－1，1]当x ∈(0，6]时，6lnx +x 2－8x +a ≤kx 恒成立，则a 的最大值是_____ .

7．已知数列{a n }

满足：()

*

1(22n n n a n ⎡⎤

=+∈⎢⎥⎣

⎦N ，其中[x ]表示不超过实数x 的

最大整数.设C 为实数，且对任意的正整数n ，都有

12

1

n

k k k a a =+∑C ，

则C 的最小值是_____ . 8．若正整数n 使得方程33n x y z +=有正整数解(x ，y ，z )，称n 为“好数”.则不超过2019的“好数”个数是_____ .

9．设点A 的坐标为(0，3)，点B 、C 为圆22:25O x y +=上的两动点，满足∠BAC =90°，求△ABC 面积的最大值.

10．设a ，b ，c ∈(0，1]，λ

1λ+()()()111a b c ---恒成

立，求λ的最大值.

11．已知函数f (x )=xlnx －ax 2，a ∈R .

（1）证明：当1

22()21

(3)e e

x f x ax x x +-+>-；

（2）设函数F(x)=|f(x)|(x∈[1，e])有极小值，求a的取值范围.

参考答案

1．－3 【解析】 【分析】 【详解】

如图所示，建立平面直角坐标 系设C (1，0)

，则1

1,22B A ⎛⎛-

⎝⎭⎝⎭

，11,,,22D E ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭.

于是1(1,0),22AB DC ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝

⎭3,22⎛= ⎝⎭

，

(1,(1,(0,AD BE +=+-=-，

于是3()()(0,32AB DC AD BE ⎛+⋅+=⋅-=- ⎝⎭

.

故答案为：3-． 2

【解析】 【分析】 【详解】

设点()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则2222

1122

22221,1x y x y a b a b

-=-=.

两式相减，得

()()()()121212122

2

0x x x x y y y y a b +-+--=，

所以AB

的斜率为20

122120

b x y y k x x a y -=

==-

又||,3FM c xFM π

=∠=，所以M

点的坐标为3,22c c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

. 所以2

2b a

=

001x =

，所以c e a ===

． 3．8 【解析】 【分析】 【详解】

令z =a +bi ，则6z z =，从而6

||||||z z z ==. 于是||0z =或者||1z =.

当||0z =时，z =0，即a =b =0，显然(0，0)符合条件； 当||1z =时，由6z z =知7

2

||1z z z z =⋅==，

注意到z 7=1有7个复数解.即有7个有序实数对(a ，b )符合条件. 综上可知，符合条件的有序实数对(a ，b )的对数是8. 故答案为：8． 4．

1813

π 【解析】 【分析】 【详解】

设侧面与底面所成角为θ.记球O i 的半径为r i ，体积为V i ，i =1，2，3，…. 因为1cos 2θ=

，故1113cos r h r r θ=+=，即11

13

r h ==. 定义12n n s r r r =++

+，由于132(2)n n r h s n -=-，所以()132n n n r r r +-=，

即113n n r r +=，所以1

13n n r -⎛⎫= ⎪⎝⎭

.

故33

31114313

43i n n

n

i i i i i V r ππ-===⎛⎫==⋅ ⎪

⎝⎭∑∑∑，

所以1

18lim

13

n

i n i V π→∞

==

∑. 故答案为：18

13

π． 5．12 【解析】 【分析】 【详解】

设所求数学期望为E ，第一次取出的球的颜色分别为红、黄、蓝的取法的次数ξ的数学期望为E (a )、E (b )、E (c ).则E (b )=E (c ).

因为第一次取出的球的颜色为红、黄、蓝的概率是相同的，所以()2()

3

E a E b E +=

，①

先考虑第一次取出的球是红色的，若第二次取出的球是红色的，则操作结束；若不然，第一个为红球，第二个球的颜色为黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法(即第一个球的颜色是黄或蓝)，则12

()2(1())33

E a E b =

⨯++② 再考虑第一次取出的球的颜色是黄或蓝，忽略第一个球，剩下的取球方式可以视为一种新的取法，则()1E b E =+③ 由①、②、③，解得E =12. 故答案为：12． 6．6－6ln 6 【解析】 【分析】 【详解】

由题意，对k ∈[－1，1]，6ln 8x a

k

x x x

++-在x ∈(0，6]时恒成立，