14达朗贝尔原理

(1)
MA 0 ,
FIR h Gb FNB (b c) 0
(2)
FIR C
由式(1)和(2)解得
FNA FNB
m( gc ah) bc m( gb ah) bc
a
h
F sB
B
c
G
b FNA
A
FNB
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 3 动静法应用举例
例题 14-2 复摆是一个在重力作用下可绕水平轴 O 摆动 的刚体。它的质量是 m，质心 C 到转轴O的距离 OC = b，对 通过质心并与图面垂直的轴的回转半径是ρC 。设摆动开始时 OC 对铅直线的偏角是 0，然后无初速释放，试求摆动中轴 承 O 对复摆的约束力的水平和铅垂分力。
O φ0 b C
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 3 动静法应用举例
解： 复摆的受力分析和运动分析如图所示。应用动静法 可列写复摆的动态平衡方程。
Fx 0,
即
t n FOx FIR cos FIR sin 0
cos mb 2 sin 0 FOx mb
F F
i
Ni
FIi 0
MO (Fi ) MO (FNi ) MO (FIi ) 0
第14章 达朗贝尔原理和动静法
（14-3）
14. 1 达朗贝尔原理
F F
i
Ni
FIi 0
M
O
(Fi ) MO (FNi ) MO (FIi ) 0
第14章 达朗贝尔原理和动静法
n FIR
z
MIz
a Ct
O
y
a Cn C
t FIR
14. 2 惯性力系的简化
● 主矢 FIR＝－mR aC＝－mR (aCt aCn ) ● 对转轴的主矩
M Iz J z
O
α
C
具有质量对称平面的刚体绕垂直于 质量对称平面的固定轴转动时，惯性力 系向固定轴简化的结果，得到一个合力 和一个合力偶。
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 3 动静法应用举例
代入式(3)得复摆的角加速度 考虑到

bg sin 2 2 C b
(4)

d d d dt d d
，对式（4）进行定积分，有

得

0
bg d 2 C b 2
面内。
● 主矢 合力的矢量即为惯性力系的 主矢，其大小等于刚体质量与质 心加速度大小的乘积，方向与质 心加速度方向相反。 FIR
α
C
aC
MIC
FIR mR aC
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 2 惯性力系的简化
● 主矩 合力偶的力偶矩即为惯性力
系的主矩，其大小等于刚体对通
过质心的转动轴的转动惯量与角
平衡力系。 这就是质点系的达朗贝尔原理。
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 1 达朗贝尔原理
Fi FNi FIi 0
（14-2）
对于所讨论的质点系，有n个形式如（14-2）的平衡方
程，即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系
合在一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力
学中空间任意力系的平衡条件，有
● 主矩
M IC＝0
刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 2 惯性力系的简化
2、刚体做定轴转动
具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。 z 设刚体绕固定轴Oz转动，在任意 瞬时的角速度为ω，角加速度为α。
● 主矢
FIR mR aC
t 设质心C的转动半径为rC，则 FIR
2.惯性力系的主矩
对任意固定点
dLO 由对任意固定点O的动量矩定理有 M O ， dt 代入 M O M IO 0 得 M IO dLO dt
对固定轴
d Lz 现将上式两端投影到任一固定轴Oz上，得 M Iz dt
上式表明：质点系的惯性力对于任一固定点（或固定轴）的 主矩，等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对时间的导数， 并冠以负号。
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 2 惯性力系的简化
14.2.2 刚体在各种常见运动情况下惯性力主矢和主矩的表达式
1、刚体作平动
m2 FI1 m1
刚体平移时，惯性力系向质心简化 ● 主矢
a1
FI2
a2 mR aC FIR an m FIn n
FIR＝ (－ma ) ＝ (－m aC ) ＝－mR aC
力
学
14. 1 达朗贝尔原理 14.2 惯性力系的简化 14.3 动静法应用举例
14.4 定轴转动刚体对轴承的动压力
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14.1 达朗贝尔原理
质点达朗贝尔原理 质点系达朗贝尔原理
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 1 达朗贝尔原理
14.1.1 质点达朗贝尔原理
心加速度方向相反。
第14章 达朗贝尔原理和动静法
Hale Waihona Puke Baidu
14. 2 惯性力系的简化
● 对转轴的主矩
将刚体对转轴Oz的动量矩 Lz J z dL 代入 M Iz z 可得刚体惯性力对轴 dt Oz的主矩
z
MIz
n FIR
a Ct
O
dLz d d M Iz ( J z ) J z dt dt dt
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 2 惯性力系的简化
对质心点
利用相对于质心的动量矩定理，可以得到质点系的惯性力 对质心C的主矩表达式
M IC
对质心轴
dLrC dt
（2-9）
式（2-9）在通过质心C的某一平动轴Cz´上的投影表达式为
d Lrz LIz dt
上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平动轴） 的主矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对时间的导数， 并冠以负号。
2


0
sin d
(5)
2bg 2 (cos cos 0 ) 2 C b
b2 FOy 2 sin (2 cos 0 3 cos )mg 2 C b
设质量为m的非自由质点D，在主动 力F和约束力FN作用下沿曲线运动，
FI
D
FN
B
ma a
该质点的动力学基本方程为
ma F FN
或
F FN (ma ) 0
A
F
引入质点的惯性力FI=－ma 这一概念，于是上式可改写成 （14-1） 上式表明， 在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、 约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。 这就是质点 的达朗贝尔原理。
n FIR
a Ct
O
和 F
n IR 的大小可分别表示为
y
FIR F F
τ IR
n IR
x
a Cn C
t FIR
t n 其中 FIR mR aCt , FIR mR aCn
mR aCt mR rC , mR aCn mR rC 2
显然，当质心C在转轴上时，刚体的惯性力主矢必为零。
理 论 力 学
第14章 达朗贝尔原理和动静法
理 论 力 学
第14章 达朗贝尔原理 和动静法
第14章 达朗贝尔原理和动静法
达朗贝尔原理
达朗贝尔原理提供了研究动力学问题的
一个新的普遍方法，即用静力学中研究平衡
问题的方法来研究动力学问题，因此又称为 动静法。
第14章 达朗贝尔原理和动静法
动
第 14 章 达 朗 贝 尔 原 理
加速度的乘积，方向与角加速度
方向相反。
FIR
α
C
aC
M IC J Cz
MIC
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14.3 动静法应用举例
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 3 动静法应用举例
例题 14-1 汽车连同货物的总质量是m ，其质心 C 离前后
轮的水平距离分别是 b 和 c ，离地面的高度是 h 。当汽车以
FIR
合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质 量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。 合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体 对转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方 向相反。
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 2 惯性力系的简化
3.刚体作平面运动
若取质心 C 为基点，则刚体的平面运 动可以分解为随质心C的平动和绕质心（通 过质心且垂直于运动平面的轴）的转动。 刚体上各质点的加速度及相应的惯 性力也可以分解为随质心的平动和绕质 心轴的转动两部分。
FIR
α
C
MIC
aC
于是，此刚体的牵连平动惯性力可 合成为作用线通过质心、且在对称面内 的一个力FIR。
因质心C在相对运动的转轴上，故刚体的相对转动的惯性力 合成为一力偶。
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 2 惯性力系的简化
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与
质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系向质心简化 的结果得到一个合力和一个合力偶，二者都位于质量对称平
第14章 达朗贝尔原理和动静法
F FN FI 0
14. 1 达朗贝尔原理
14.1.2 质点系达朗贝尔原理 上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将
达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。
Fi FNi FIi 0
（14-2）
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一
（14-3）
上式表明， 在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力 和该点的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的 主矩也等于零。
考虑到式（14-3）中的求和可以对质点系中任何一部分进行， 而不限于对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程， 而是共有 3n 个独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有 内力都将自动消去。
加速度a沿水平道路行驶时，求地面给前、后轮的铅直反力。 轮子的质量不计。
C
h
B
c
b
A
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 3 动静法应用举例
解： 取汽车连同货物为
h FIR C FsB
B
G
研究对象。汽车实际受到
的外力有：重力 G ，地面
a
对前、后轮的铅直反力
FNA 、 FNB 以及水平摩擦
c
b
FNA
(1)
t n F F sin F F 0 , Oy IR IR cos mg 0 y
即
sin mb 2 cos mg 0 FOy mb
(2) (3)
M O 0,
式中
0 mgb sin J O
2 J O J C mb2 m( C b2 )
即
y
x
a Cn C
t FIR
M Iz J z
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 2 惯性力系的简化
● 对转轴的主矩
M Iz J z
具有质量对称平面的刚体绕垂 直于质量对称平面的固定轴转动时， 惯性力系向固定轴简化的结果，得 到合力偶的力偶矩即为惯性力系的 x 主矩，其大小等于刚体对转动轴的 转动惯量与角加速度的乘积，方向 与角加速度方向相反。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系 动力学方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动 态平衡方程。
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14.2 惯性力系的简化
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 2 惯性力系的简化
14.2.1 惯性力系的简化 对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各 自向任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作FR、MO和FIR、
A
FNB
力 FsB (注意：前轮一般是
被动轮，当忽略轮子质量 时，其摩擦力可以不计)。
因汽车作平动，其惯性力系合成为作用在质心 C 上的一
个力 FIR= ma 。
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 3 动静法应用举例
于是可写出汽车的动态平衡方程
MB 0 ,
FIR h Gc FNA (b c) 0
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 2 惯性力系的简化
● 主矢
FIR＝－mR aC＝－mR (aCt aCn )
具有质量对称平面的刚体绕垂
z
直于质量对称平面的固定轴转动时，
惯性力系向固定轴简化，得到的惯 性力系主矢的大小等于刚体质量与
x
n FIR
a Ct
O
y
a Cn C
t FIR
质心加速度大小的乘积，方向与质
MIQ，于是，由力系平衡条件，可得
FR FIR 0,
M O M IO 0
1.惯性力系的主矢
由质心运动定理有 FR = mRaC ,得
FIR mR aC
即 , 质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的
乘积，而取相反方向。
第14章 达朗贝尔原理和动静法
14. 2 惯性力系的简化