清华附中小升初数学试题解析

一、填空题Ⅰ

1.

已知

11111111111111112324232009232008A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=+⨯++⨯+⨯++

+

⨯+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

111111112342009B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=+⨯+⨯+⨯⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，

那么B 与A 的差，B A -= .

【分析】 观察到A 的最后一项和B 较相似，所以可以从后往前减：

111111111111...1111...12342009200923420081111111...1;2342008⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫++++-⨯++++ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛

⎫=++++ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

发现这差又和A 的倒数第二项较相似，所以可以继续从后往前减，一直减到A 的第一项，则结果为1.

2. 甲、乙两包糖的重量之比是21∶，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包

糖的重量之比变为75∶，那么两包糖重量的总和是 克. 【分析】 甲包取出糖放入乙包后两包糖重量和不变。比例从2:1变成7:5，和分别是3和12，所以统一为12，也就是从8:4变成7:5，所以10克是1份，12份是120克。

3. 某商品按定价出售，每个可获利润45元，如果按定价的70%出售10件，与按定价

每个减价25元出售12件所获的利润一样多，那么这种商品每件定价 元. 【分析】 每个减价25元也就是说每个获利润20元，12件获利润240元。按定价的70%出售

10件也获利润240元，所以每个获利润24元，比定价少21元。这21元是定价的30%，所以定价是70元。

4. 如图1，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、f

六个点，并且OAB △、ABC △、BCD △、CDE △、DEF △的面积都等于1，则DCF △的面积等于 .

【分析】

::2:1OCB BCD OB BD S S ∆∆==， ::4:1OED DEF OD DF S S ∆∆==

所以

1333,4444

DCF BCD DF OD BD S S ∆∆====。

5.

将正整数从1开始依次按如图2所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角

处，7在第4个拐角处，…….那么在第100个拐角处的数是 .

【分析】

观察可发现，第2n 个拐角之前有一个(1)n n ⨯+的矩形，所以第2n 个拐角处的数等于

21n n ++，第100个拐角处的数为2551。

6.

设101104107200910k A ⨯⨯⨯⨯=⨯，这里A ，k 都是正整数，那么k 的最大值

为 .

图1

图2

【分析】 只要看里面5的因子个数，因为2的因子个数一定足够多。

101到2009里面共有(2009101)31637-÷+=个数。其中，这里面的后625个一定含有125个5的倍数，25个25的倍数，5个125的倍数和1个625的倍数；前12个中，110和125共含有4个因子5。所以，含有5的因子个数为12525514160++++=。 7. 在1，2，3，4，5的所有排列1a ，2a ，3a ，4a ，5a 中，满足条件12a a >，32a a >，

34a a >，54a a >的不同排列的个数是 .

【分析】

24,a a 中一定有1，另一个只能是2或3。 如果24,a a 是1，2，另外三个数可以任意排列，有2612⨯=种； 如果24,a a 是1，3，则3的两侧只能放4和5，有224⨯=种。 所以，共有16种。

二、填空题Ⅱ

8.

某天甲、乙两人完成一件工作，计划两人都从早上700∶开始工作，他们将在上午1100∶完成；如果甲比原计划晚1小时开始工作，乙比甲再晚半小时开始，那么他们将比原计划晚1小时20分钟完成；如果乙比原计划提前半小时开始工作，甲比乙晚1小时开始，那么他们完成工作的时刻是 ∶ .

【分析】 根据题意，甲晚开始1小时，乙晚开始1个半小时，结果晚完成1小时20分钟，也就是说乙10分钟的工作量等于甲20分钟的工作量，乙的工效是甲的2倍。如果乙比原计划提前半小时，而甲相当于比原计划晚半小时，则完成工作的时刻仍然在甲乙之间靠近乙的三等分点处，也就是比原计划提前10分钟，10:50。

9. 已知正整数N 的八进制表示为812345654321N =（），那么在十进帛下，N 除以7的

余数与N 除以9的余数之和是 .

【分析】

288(12345654321)(111111)=。 根据n 进制的弃1n -法，8(111111)被7除余6，所以其平方被7除余1；

89(11)=，显然8(111111)被8(11)整除，所以其平方也被8(11)整除。

因此两个余数之和为1。

10. 如图3，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的

点，且13AE AB =，1

4

CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，

则AEG △与CGF △的面积之和为 . 【分析】

过F 做CE 的平行线交AB 于H ，则::1:3EH HB CF FB ==，

所以122AE EB EH =

=，2AG GF =，122311033942

AEG ABF ABCD

S S S ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=。

同理，过E 做AF 的平行线交BC 于I ，则::1:2FI IB AE EB ==，

图3