一道定积分题目的几种解法

一道定积分题目的几种解法

定积分是中学数学中新引进的一个数学概念，在物理中它可以用来求物体运动的位

移、力作的功，在数学中我们常用它来求解一些曲边图形的面积.

在数学中，定积分()(()0b

a f x d x f x ³ò的几何意义是表示由直线

x=a,x=b ()a b ¹,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，根据定积分的几何意义，如果所求解图形的面积仅由一条曲线y=f(x)与直线x=a,x=b 和x 轴围成，那么图形的面积可表示为()b

a S f x dx =ò；如果所求解图形的面积是由两条曲线12(),()y f x y f x ==与

直线x=a,x=b 围成，则图形的面积可表示为12()()b

a S f x f x dx =-ò.下面通过一道例

题来谈谈用定积分求曲边图形面积的常用解题思路..

题目: 求抛物线2y x =与直线230x y --=所围成的图形的面积.

思路一:根据定积分的几何意义，本题可以x 轴为界线，将所求面积分成上下两部分

12S 和S ，而每部分图形都是由一条曲线与x 轴和两条直线围成,其中1S

是曲边三角形()0,9,y x x x =

==曲线轴围成的面积减去一个三角形的面积，2S

是曲边梯形()0,1,y x x x =-==曲线轴围成与一个三角形面积的和.

解：如图，先求出直线与曲线的交点，

由方程组2230

y x x y ìï=ïíï--=ïî解得1,9,x x == 故交点坐标为()()1,1,9,3-.由上图可以看出,所求图形的面积 由1S 和2S 两部分(即图中阴影部分)组成.过交点A 做x 轴的

垂线,则

3210929990

3S x =-=-=ò,3122012511033S x =-+=-+=ò 12532933S S S \=+=+

= 评注:此种方法是严格按照定积分的几何意义来处理的，符合上边分析的第一种情况。

思路二:根据定积分的几何意义，我们也可以将图形进行另一种划分，那就是以直线 x=1为分界线将图形分成两部分,而每一部分都是由两条曲线与两条直线围成.其中左边1S 是由曲

线y =

与直线x=0,x=1围成,右边2S 是由曲

线,1,9y x x ===x-3y=2

围成. 解：我们还可以把图形分为如图1S 和2S 两部分, 故所求面积为:

912013428322)2333

x S S S dx -=+=+=+= 评注: 此种方法完全符合上边分析的第二种情况，把复杂的图形简单化，从而很容易求解。

思路三:在定积分()b

a f x dx ò的定义中，我们是将x 所属的区间[],a

b 进行了分割，

然后求和取极限，也就是说x 被定义为了积分变量。据此，我们可以改变一下思维方式，将y 看做是函数的自变量，对y 所在的区间进行分割，那么y 就变成了积分变量，然后求和取极限,因此，本题就变成了关于y 的积分。

解：将y 看作是积分变量,则面积为

33

211532(23)933S y dy y dy --骣÷ç=+-=--=÷ç÷ç桫蝌 评注:本种方法将y 进行了分割，将y 当做是积分变量,这也是我们常用的一种思维方法,,变换思维角度有助于学生对定积分的定义有着进一步的理解.

比较上面三种解法可以发现,利用定积分求图形面积时,适当地分割图形或适当地选择积分变量可以简化解题过程.