锐角三角函数应用题
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)应用题综合训练(含解析)
初中三角函数应用题综合一．解直角三角形的应用（共10小题）1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM ＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；（2）计算公园D与小明家A的距离．3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．（1）求点E离地面AC的距离BE的长；（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．二．解直角三角形的应用−坡度坡角问题（共7小题）8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（ ）A．30°B．60°C．1：D．：19．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（ ）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）A．8m B．4m C．8m D．m11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．A．20B．20C．10D．2012．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE ＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是 米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）求DB的长度（结果保留根号）．14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ （如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）三．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共8小题）15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（ ）A．31°B．42°C．48°D．59°16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（ ）A．B．C．D．17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）A．米B．米C．56米D．66米18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为 米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为 m．20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．参考答案与试题解析一．解直角三角形的应用（共10小题）1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM ＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）【解答】解：由题意知，四边形CDBM、CDEF、EFMB是矩形，∴BM＝CD＝1.5米，CE＝DF＝10米．在Rt△ADM中，∵tan∠ADM＝，∴DM＝＝AM．在Rt△AFM中，∵tan∠AFM＝，∴FM＝＝AM．∵DF＝DM﹣FM，∴AM﹣AM＝10．∴AM＝10．AM＝5．∴AB＝AM+MB＝5+1.5≈5×1.73+1.5＝8.65+1.5＝10.15＝10.2（米）．答：这棵树AB的高度为10.2米．2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；（2）计算公园D与小明家A的距离．【解答】解：（1）由题意得：BD＝5km，CD＝5km，∠BAC＝90°，AB＝3km，CA＝4km，∴BC＝＝＝5（km），∴BC＝BD，∵BC2+BD2＝52+52＝50，CD2＝（5）2＝50，∴BC2+BD2＝CD2，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠ADC＝∠BDC﹣∠BDA＝45°﹣10°＝35°；（2）过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，如图所示：则∠DEB＝90°，∴∠BDE+∠DBE＝90°，由（1）得：∠CBD＝90°，∴∠DBE+∠CBA＝90°，∴∠BDE＝∠CBA，在△BDE和△CBA中，，∴△BDE≌△CBA（AAS），∴DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，∴AE＝BE+AB＝7（km），∴AD＝＝＝（km）．∴公园D与小明家A的距离为km．3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，AC＝80千米，∴CD＝AC•sin30°＝80×＝40（千米），BC＝＝＝40（千米），∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．（2）∵cos30°＝，AC＝80千米，∴AD＝AC•cos30°＝80×＝40（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴BD＝＝＝40（千米），∴AB＝BD+AD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．【解答】解：方法一：在Rt△EDF中，DE＝1m，EF＝0.6m，∴tan∠EDF＝＝＝，在Rt△BCD中，CD＝6m，∵tan∠BDC＝tan∠EDF，∴＝，∴BC＝3.6m，∵AC＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），答：树高AB为4.4m；方法二：由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，∴△DCB∽△DEF，∴，∵DE＝1m，EF＝0.6m，CD＝6m，∴＝，解得：BC＝3.6，∵AC＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），答：树高AB为4.4m．5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．（1）求点E离地面AC的距离BE的长；（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）【解答】解：过E作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．（1）在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，OE＝25cm，∠AOE＝53°，∴HO＝OE×cos53°＝15cm，EH＝20cm，EB＝HA＝25﹣15＝10（cm），所以铁环钩离地面的高度为10cm；（2）∵铁环钩与铁环相切，∴∠EOH+∠OEH＝∠OEH+∠DEN＝90°，∠DEN＝∠EOH，∴DE＝＝，在Rt△DEN中，∠DNE＝90°，EN＝BC＝AC﹣AB＝53﹣20＝33（cm），DE＝＝＝55（cm），∴铁环钩的长度DE为55cm．6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．【解答】解：（1）由题意得：在Rt△ADC中，AD＝＝≈51.9（米），在Rt△BDC中，BD＝＝＝30（米），∴AB＝AD﹣BD≈51.9﹣30＝21.9（米），答：AB的长为21.9米；（2）不超速，理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为21.9÷2＝10.95（米/秒），∵10.95×3600＝39420（米/时），∴该车速度为39.42千米/小时，∵39.42千米/小时＜40千米/小时，∴这辆校车在AB路段不超速．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．【解答】解：（1）由题意得：∠ABC＝∠DCE＝∠FEG＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2m，∵∠DEC＝∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，∵∠FGE＝∠AGB，∴△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝（8+12）m，∴＝，∴AB＝8+4≈14.92m，答：旗杆AB的高度为14.92米；（2）由（1）得：△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，由（1）得：△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝，∴＝，∴AB＝，答：旗杆AB的高度为m．二．解直角三角形的应用−坡度坡角问题（共7小题）8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（ ）A．30°B．60°C．1：D．：1【解答】解：∵斜坡的坡比i＝h：l＝1：，∴斜坡的坡度为1：，故选：C．9．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（ ）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为矩形，∴DE＝BF，在Rt△BAF中，∠BAF＝30°，AB＝600m，则BF＝AB＝300（m），∴DE＝300m，在Rt△CBE中，∠CBE＝45°，BC＝800m，∴CE＝BC＝400（m），∴CD＝CE+DE＝（300+400）m，故选：C．10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（ ）A．8m B．4m C．8m D．m【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：＝，BC＝4m，∴AC＝BC＝4（m），故选：B．11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（ ）米．A．20B．20C．10D．20【解答】解：由题意得：四边形AEFD是矩形，∴DF＝AE，∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，∴DF＝AE＝10×sin45°＝10（米），∵背水坡CD的坡度i＝1：，∴tan C＝i＝＝＝，∴∠C＝30°，∴CD＝2DF＝2AE＝20（米），故选：A．12．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE ＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是 20.62 米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）【解答】解：∵DE的坡度为i1＝1：，∴tan∠DEC＝＝，∴∠DEC＝30°，∴DC＝DE＝5（m），∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5m，∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，AB＝5m，∴BF＝4AB＝20（m），在Rt△ABF中，AF＝＝≈20.62（m），∴斜坡AF的长度约为20.62米，故答案为：20.62．13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）求DB的长度（结果保留根号）．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝2m，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝（m），答：舞台的高AC为m；（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，则CD＝＝＝，∴BD＝CD﹣BC＝（﹣）m，答：DB的长度为（﹣）m．14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ （如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【解答】解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，则QG⊥BA，∴设QG＝x米，∵山坡的坡度为i＝1：2.4，∴AG＝2.4x米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝5.22，解得：x＝2，则QG＝2米，AG＝2.4x＝4.8米，∴EF＝NG＝4.8+1.2＝6（m），在Rt△PEF中，∠PEF＝53°，EF＝6m，则PF＝EF•tan∠PEF＝6×tan53°≈6×＝8（m），∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣2＝1（m），∴PQ＝8+1＝9（m）．答：信号塔PQ的高约为9m．三．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共8小题）15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（ ）A．31°B．42°C．48°D．59°【解答】解：由题意得：∠ADB＝42°，∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝90°﹣42°＝48°，故选：C．16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（ ）A．B．C．D．【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝10米，∴BF＝AB＝5（米），AF＝BF＝5（米）．∴BG＝AF+AE＝（5+15）（米），在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴△BGC是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（5+15）（米），在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15米，∴DE＝AE＝15（米），∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝（20﹣10）（米），即宣传牌CD的高度是（20﹣10）米，故选：A．17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）（参考数据：，，）A．米B．米C．56米D．66米【解答】如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝26米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝262，解得k＝2，∴DM＝10（米），CM＝24（米），∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝CM+MF＝（24+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝24+12a﹣10＝（14+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（14+12a）米，∵tan∠ADE＝＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝42（米），AE＝14+12a＝56（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝56﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．故选：B．18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为 14.7 米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）【解答】解：根据题意，得∠ADB＝64°，∠ACB＝48°在Rt△ADB中，tan64°＝，则BD＝≈AB，在Rt△ACB中，tan48°＝，则CB＝≈AB，∴CD＝BC﹣BD，即6＝AB﹣AB，解得：AB＝≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米，故答案为：14.7．19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为 （15+15） m．【解答】解：设BC的长为x米．在Rt△CBD中，∠D＝90°，∠CBD＝45°，∴CD＝BC＝x米，在Rt△CAD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，∴tan∠CAD＝＝＝，解得：x＝15+15，答：楼房DC的高度为（15+15）米，故答案为：（15+15）．20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．【解答】解：延长DC交BF于F，过A作AH⊥DC于H，则HF＝AB＝1.6m，AH＝BF，在Rt△ACF中，∵∠CBF＝20°，BC＝10m，∴CF＝BC•sin20°≈10×0.34＝3.4（m），BF＝BC•cos20°≈10×0.94＝9.4（m），∴AH＝BF＝9.4m，在Rt△ADH中，∵∠DAH＝55°，∴DH＝AH•tan55°≈9.4×1.43≈13.4（m），∴DC＝DH+HF﹣CF＝13.4+1.6﹣3.4＝11.6（m），答：树木CD的高度约为11.6m．21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：则四边形DHCE是矩形，DH＝EC，DE＝HC＝5，设建筑物BC的高度为xm，则BH＝（x﹣5）m，在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，∴DH＝（x﹣5），AC＝EC﹣EA＝（x﹣5）﹣30，在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，tan∠BAC＝，∴＝解得：x＝，答：建筑物BC的高为m．四．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共1小题）22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【解答】解：设山高BC＝x，则AB＝x，由tan37°＝＝0.75，得：＝0.75，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的根．答：山的高度是120米．。
锐角三角函数应用题
锐角三角函数应用1.（2015青岛）小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°和35°，已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100m 。
请求出热气球离地面的高度。
（结果保留整数，参考数据：12735sin ≈︒， 6535cos ≈︒，10735tan ≈︒2.3.(2014东营)热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球A处与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（≈1.732，结果保留小数点后一位）4.（2014•枣庄）如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向想内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为30cm．（1）求B点到OP的距离；（2）求滑动支架的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）5.（2015济宁）在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即sin sin sin a b c A B C==.利用上述结论可以求解如下题目.如： 在ABC ∆中，若45A ∠= ，30B ∠= ，6a =，求b .解：在ABC ∆中，sin sin a b A B =16sin 6sin 30sin sin 452a Bb A ⨯∴==== 问题解决：如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105 方向的1B 处，且乙船从1B 处按北偏东15 方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120 方向的2B处，此时两船相距.（1） 判断122A A B ∆的形状，并给出证明.（2） 乙船每小时航行多少海里？。
锐角的三角函数随堂练习3
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼，瑞脑消金兽。佳节又重阳，玉枕纱厨，半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后，有暗香盈袖。莫道不消魂，帘卷西风，人比黄花瘦。
锐角的三角函数练习
1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则cosA等于()．
A． B． C． D．
2．如图，一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5m，此时钢球距地面的高度是(单位：m)()．
A．5cos31°B．5sin31°
C． D．5tan31°
3．AE，CF是锐角△ABC的两条高，如果AE∶CF＝3∶2，则sinA∶sinC等于()．
参考答案
1解析：AB＝ ＝13，
所以cosA＝ .
答案：D
2答案：B
3解析：如图，sinA= ，sinC= ，
∴sinA∶sinC= ∶ =CF∶AE=2∶3.
答案：B
4答案：D
5解析：AB＝ ＝10，AD＝DB＝5，△AED∽△ABC．
∴ .∴ .
∴AE＝ .∴CE＝ .
∴tan∠CBE＝ .
5答案：C
A． B． C． D．
6． 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝ ，BC＝10，则AB的值是()．
A．9B．8C．6D．3
7．在平面直角坐标系中，有一点P(2,5)，连接OP，且OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.
锐角三角函数的实际应用
解：(1)在Rt△BCD中，∠DBC＝15°，sin∠DBC＝ CD，
∴CD＝BDsin∠DBC≈20×0.26＝5.2 m，
BD
∴CD的值为5.2 m；
(2)如解图，作DH⊥AB，垂足为H. 则FH＝ED＝1.6 m， 在Rt△BCD中， ∵∴解∠c得oCsB1＝5C°9≈01＝°9.，4BBDCm∠＝，CBB2DC0 ＝≈01.59°7，，BD＝20 m， ∴EF＝BC≈19.4 m， 在Rt△AEF中， ∵∠AEF＝45°，∠AFE＝90∴AF＝EF＝BC≈19.4 m， ∴AB＝AF＋FH＋BH≈19.4＋1.6＋5.2＝26.2 m， 即楼房AB约为26.2 m．
满分技法 锐角三角函数的实际应用常见模型
抱 子 型
满分技法
锐角三角函数的实际应用常见模型
背靠背型
注：在“抱子型”及“背靠背型”中，若只知两个直角 三角形两条直角边之和或之差，则需要列方程求解.
m，
∴∠DCF＝∠EDC＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝90°，
∴在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，
∴( 2 3 x＋ 4 3 解得x31＝4＋34
)2＋42＝( 2x)2， 3，x2＝4－4 3 (舍去)，
∴AB＝4＋4 3≈10.8 m.
∴电线杆的高AB约10.8 m．
练习1、如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，
练习3、如图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图．已 知BC＝4米，AB＝6米，中间平台宽度DE＝1米，EN、DM、 CB为三根垂直于AB的支柱，垂足分别为N、M、B，∠EAB＝ 31°，DF⊥BC于F，∠CDF＝45°.求DM和BC的水平距离 BM的长度．(结果精确到0.1米，参考数据：sin 31°≈0.52， cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60)
九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习(含答案)
九年级数学第二十八章《锐角三角函数——应用举例》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=15米，则树的高AB(单位：米)为A．15tan37︒B．15sin37︒C．15tan 37°D．15sin 37°【答案】C【解析】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=37°，BC=15，∴tan C=ABBC，则AB=BC•tan C=15tan37°．故选C．【名师点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．2．如图，在海拔200米的小山顶A处，观察M，N两地，俯角分别为30°，45°，则M，N两地的距离为A．200米B．2003米C．400米D．200（3+1）米【答案】D【解析】过A作AB⊥MN于B,在Rt △ABM 中, 90,200,30ABM AB M ∠==∠=，tan AB M BM∴∠=， 2003BM ∴=，在Rt △ABN 中, 90,45ABN N BAN ∠=∠=∠=，∴BN =AB =200，()200320020031MN ∴=+=+米.故选D.3．如图是一张简易活动餐桌，测得30cm OA OB ==，50cm OC OD ==，B 点和O 点是固定的．为了调节餐桌高矮，A 点有3处固定点，分别使OAB ∠为30，45，60，问这张餐桌调节到最低时桌面离地面的高度是（不考虑桌面厚度）A ．402cmB ．40cmC ．403cmD ．30cm【答案】B【解析】过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵∠OAB =30时，桌面离地面最低， ∴DE 的长即为最低长度， ∵OA =OB =30cm ，OC =OD =50cm ， ∴AD =OA +OD =80cm ， 在Rt △ADE 中，∵∠OAB =30，AD =80cm ， ∴140cm.2DE AD ==故选:B.4．如图，某水库堤坝横截面迎水坡AB的坡度是1:3，堤坝高为40m，则迎水坡面AB的长度是A．80m B．803mC．40m D．403m【答案】A5．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为A．409秒B．16秒C．403秒D．24秒【答案】B【解析】如图，以点A为圆心，取AB＝AD＝200米为半径，过点A作AC⊥MN,∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时开始对A处产生噪音影响，到点D时结束影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得: BC＝160米∴BD＝2BC＝320米,∵72千米/小时＝20米/秒,∴影响时间应是320÷20＝16 (秒)，故选B.6．如图，在A、B两地之间要修一条笔直的公路，从A地测得公路走向是北偏东48°，A，B两地同时开工，若干天后公路准确接通，若公路AB长8千米，另一条公路BC长是6千米，且BC的走向是北偏西42°，则A地到公路BC的距离是A．6千米B．8千米C．10千米D．14千米【答案】B【解析】∵∠ABG＝48°，∠CBE＝42°，∴∠ABC＝180°－48°－42°＝90°，∴A到BC的距离就是线段AB的长度，∴AB＝8千米.BE=，她7．如图，小颖利用有一锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离6mAB=，那么这棵树高的眼睛距地面的距离 1.5m23 1.5mA．23m B．()32 1.5m D．4.5mC．()【答案】B【解析】在直角三角形ACD中，∠CAD=30°，AD=6m，∴CD=AD tan30°=6×33=23，∴CE=CD+DE=23+1.5（m）．故选B．8．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，B 两点间的距离为多少米．A．7502B．3752C．3756D．7506【答案】A二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后楼梯AC长为_____m．【答案】26【解析】在Rt△ABD中，∵sin∠ABD=AD AB，∴AD=4sin60°=23（m），在Rt△ACD中，∵sin∠ACD=AD AC，∴AC=23sin45=26（m）．故答案是：26．10．我国海域辽阔，渔业资源丰富．如图，现有渔船B在海岛A，C附近捕鱼作业，已知海岛C位于海岛A 的北偏东45°方向上．在渔船B上测得海岛A位于渔船B的北偏西30°的方向上，此时海岛C恰好位于渔船B的正北方向18（1+3）nmile处，则海岛A，C之间的距离为______nmile．【答案】2【解析】作AD⊥BC于D，设AC=x海里，在Rt△ACD中，AD=AC×sin∠ACD=22x，则CD=22x，在Rt△ABD中，BD=6 tan2ADABD=∠x，则22x+62x=18（1+3），解得，x=182，答：A，C之间的距离为182海里．故答案为：182.11．如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________（填“有”或“没有”）触暗礁的危险．（可使用科学记算器）【答案】没有【解析】已知OA=40，∠O=33°，则AB=40•sin33°≈21.79＞20．所以轮船没有触暗礁的危险．故答案为: 没有．12．数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从B点测得塔顶A的仰角为60，测得塔基D的仰角为45，已知塔基高出测量仪20m，（即20mDC=），则塔身AD的高为________米．【答案】()2031-【解析】在Rt △ABC 中，AC =3BC ．在Rt △BDC 中有DC =BC =20，∴AD =AC−DC =3BC−BC =20（3−1）米． 故答案为：20（3−1）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB 的高度.他们在C 处仰望建筑物顶端A 处，测得仰角为45，再往建筑物的方向前进6米到达D 处，测得仰角为60，求建筑物的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，3 1.732≈，2 1.414)≈【解析】设AB x =米， ∵∠C =45°，∴在Rt ABC △中，BC AB x ==米，60ADB ∠=， 6CD =米，∴在Rt ADB △中tan ∠ADB =ABBD， tan60°=6xx -， 解得)333114.2x =≈米答，建筑物的高度为14.2米．14．如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的P点测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时P点距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin34°=0.56，cos34°=0.83，tan34°=0.67）15．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少．（结果保留根号）【解析】如图所示，延长BA交FD延长线于点G，过点A作AH⊥DG于点H．由题意知，AB=300cm，BE=AC=50cm，AH=50cm，∠AGH=30°．在Rt△AGH中，∵AG=2AH=100cm，∴CG=AC+AG=150cm，则CD=12CG=75cm．∵EG=AB﹣BE+AG=300﹣50+100=350（cm）．在Rt△EFG中，EF=EG tan∠EGF=350tan30°=350×33503（cm）．答：支撑角钢CD的长为75cm，EF 3503．。
锐角三角函数的实际应用
2012年聊城20题． 校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超 速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的 汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C,再在笔直的车道l上 确定点D，使CD与l垂直，测得CD长等于21米，在l上点D的同 侧取点A、B， 使∠CAD=30 ，∠CBD=60 . (1) 求AB的长（精确到0.1米，参考数据 3 =1.73 2 =1.41 ）； （2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A 到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由。
（1）解决实际问题的关键是构造几何模型，大多数问题都 需要添加适当的辅助线，将问题转化为直角三角形中的 边角计算问题。 （2）在利用勾股定理时，通常采用设未知数，将已知量与 未知量组成一元二次方程求解或者根据相似列方程求解。 （3）构造直角三角形的几种常见类型； 不同地点看同一点，如图① 同一地点看不同点，如图② 利用反射构造相似直角三角形，如图③
课堂小结
本节课你学到了些什么？
课下作业： 见讲义
PC ． BC
∴AB＝AC－BC≈779.4－259.8≈520(m)．
即A，B两个村庄间的距离约为520 m．
例题2：如图，在建筑平台CD 的顶部C处，测得大树 AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯 角为30°，已知平台CD 的高度为5m，则大树的高度 为多少？（结果保留根号）
练习2.一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光， 航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救 信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得 事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速 度前往救援，求海警船到大事故船C处所需的大约时 间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
锐角三角函数解直角三角形例题
主题：锐角三角函数解直角三角形例题【序言】直角三角形是我们初中数学学习中的一个重要内容，而锐角三角函数作为直角三角形中的一个重要概念，在解题中也扮演着重要的角色。
下面我们将通过一些例题来详细讲解锐角三角函数在直角三角形中的应用。
【例一】已知直角三角形中的一角为30°，对边长为3cm，求斜边长。
求sin30°、cos30°、tan30°的值。
1. 根据三角函数的定义，sin30°=对边/斜边=3/斜边，而cos30°=邻边/斜边，tan30°=对边/邻边2. 根据30-60-90三角形的性质，可知对边为3cm，邻边为3*sqrt(3)cm，斜边为2*3cm=6cm3. 所以sin30°=1/2，cos30°=sqrt(3)/2，tan30°=1/sqrt(3)【例二】已知直角三角形中的一角为45°，斜边长为5cm，求对边和邻边的长度。
求sin45°、cos45°、tan45°的值。
1. 根据三角函数的定义，sin45°=对边/斜边，cos45°=邻边/斜边，tan45°=对边/邻边2. 根据45-45-90三角形的性质，可知对边和邻边的长度相等，且均为斜边的1/sqrt(2)倍3. 所以对边和邻边的长度均为5/sqrt(2)cm，sin45°=1/sqrt(2)，cos45°=1/sqrt(2)，tan45°=1【例三】已知直角三角形中的一角为60°，对边长为4cm，求斜边和邻边的长度。
求sin60°、cos60°、tan60°的值。
1. 根据三角函数的定义，sin60°=对边/斜边，cos60°=邻边/斜边，tan60°=对边/邻边2. 根据30-60-90三角形的性质，可知对边为4cm，邻边为2*4cm=8cm，斜边为4*sqrt(3)cm3. 所以sin60°=sqrt(3)/2，cos60°=1/2，tan60°=sqrt(3)【总结】通过以上三个例题的讲解，我们可以得出在直角三角形中，根据已知角度和已知边长来求解斜边长、对边长、邻边长以及三角函数值的具体方法。
锐角三角函数的应用
锐角三角函数1．一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形．现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB 的坡度由1：0.75改为1坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花． （1）求整修后背水坡面的面积；（2）如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？2．如图，某居民小区内A 、B 两楼之间的距离30MN =米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B 楼窗户朝南．B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离2DN =米，窗户高 1.8CD =米．当正午时刻太阳光线与地面成30°角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由． 1.414≈ 1.732 2.236）3．图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是小明锻炼时上半身由EM 位置运动到与地面垂直的EN 位置时的示意图．已知0.64BC =米，0.24AD =米， 1.30AB =米． （1）求AB 的倾斜角α的度数（精确到x ）；（2）若测得0.85EN =米，试计算小明头顶由M 点运动到N 点的路径MN ⋂的长度．（精确到0.01米）4．某商场门前的台阶截面如图所示．已知每级台阶的宽度（如CD）均为30cm，高度（如BE）均为20cm．为了方便残疾人行走，商场决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角为9度．请计算从斜坡起点A到台阶前的点B的水平距离．（参考数据：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16）5．去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠=︒．改造后斜坡BE与地面成45°角，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）ABC606．某学校体育场看台的侧面如图阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶．已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为l米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的底端分别为D，C），且66.5∠=︒．DAB（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度l．（即AD AB BC++，结果精确到0.1米）（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）7．如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？（可能用到的参考数值：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.51）8．如图，在一个坡角为15°的斜坡上有一棵树，高为AB．当太阳光与水平线成50°时，测得该树在斜坡上的树影BC的长为7m，求树高．（精确到0.1m）9．某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠=︒，为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超68BAD过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长（精确到0.1m）；（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF至少是多少米？（精确到0.1m）（参考数据：sin68°=0.9272，cos68°=0.3746，tan68°=2.4751，sin50°=0.766O，cos50°=0.6428，tan50°=1.1918）10．如图，矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位示意图，请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF．（结果精确到0.1m，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）11．如图，我市某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且5DB=m，则BC的长度是多少？现在在C点上方2m处加固另一条钢缆ED，那么钢缆ED的长度为多少？（结果保留三个有效数字）12．某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．（1）求出树高AB；（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．（计算结果精确到0.1米， 1.414≈ 1.732）13．同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园新增设的一台滑梯，该滑梯高度2AC=m，滑梯着地点B 与梯架之间的距离4BC=m．（1）求滑梯AB的长（精确到0.1m）；（2）若规定滑梯的倾斜角（ABC∠）不超过45°属于安全范围．请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合要求？14．如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长20BC=米，斜坡坡面上的影长8CD=米，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面BC成30°的角，求旗杆AB的高度（精确到1米）．15．如图，甲楼在乙楼的南面，它们的设计高度是若干层，每层高均为3米，冬天太阳光与水平面的夹角为30°．（1）若要求甲楼和乙楼的设计高度为6层，且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，则建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米？（保留根号）（2）由于受空间的限制，两楼距离21BD=米，仍按上述要求使冬天甲楼的影子不能落在乙楼上，则设计甲楼时，最高应建几层？16．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建≈ 1.732≈．）1.41417．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）18．如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子，第一次是当阳光与地面成45°时，第二次是阳光与地面成30°时，第二次观察到的影子比第一次长多少米？19．要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作Rt △ABC ，使90C ∠=︒，斜边2AB =，直角边1AC =，那么BC 30ABC ∠=︒，tan 30AC BC ︒===，在此图的基础上通过添加适当的辅助线，可求出tan15°的值．请你写出添加辅助线的方法，并求出tan15°的值．20．如图，河流的两岸PQ 、MN 互相平行，河岸MN 上有一排间隔为50米的电线杆C 、D 、E …，某人在河岸PQ 的A 处测得30CAQ ∠=︒，然后沿河岸走了110米到达B 处，测得45DBQ ∠=︒，求河流的宽度．21．如图，铁路路基横断面为等腰梯形ABCD ，斜坡BC 的坡度3:4i =（BFi CF=），路基高3BF =米，底CD 宽为18米，求路基顶AB 的宽．22．如图，某广场一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且5CB =米． （1）求钢缆CD 的长度；（精确到0.1米）（2）若2AD =米，灯的顶端E 距离A 处1.6米，且120EAB ∠=︒，则灯的顶端E 距离地面多少米？ （参考数据：tan400.84︒≈，sin400.64︒≈，3cos 404︒≈）23．如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45°降为30°，已知5AC =米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）求改善后滑滑板AD 的长；（2）若滑滑板的正前方有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有7米长的空地，象这样改善是否可行？说明理由．24．某厂家新开发的一种摩托车如图所示，它的大灯A 射出的光线AB 、AC 与地面MN 的夹角分别为8°和10°，大灯A 离地面距离1m ．（1）该车大灯照亮地面的宽度BC 约是多少（不考虑其它因素）？（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s ，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60km/h 的速度驾驶该车，从60km/h 到摩托车停止的刹车距离是143m ，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求，请说明理由．（参考数据：4sin825︒≈，1tan87︒≈，9sin1050︒≈，5tan1028︒≈）25．下图是某建筑物横断面示意图中的一部分，A是OD与⊙O的交点，已知：7AD=，4CE=，DE=，5 OH⊥DE，垂足为H，交⊙O于点C，坡面CE的坡度1:0.75i=，求⊙O半径r的值．26．如图1所示，一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面所成的角α为60度．（1）求AO与BO的长；（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图2所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2：3，试计算梯子顶端NO下滑了多少米？②如图3所示，当A点下滑到'A点，B点向右滑行到'B点时，梯子AB的中点P也随之运动到'P点，若'15∠=︒，试求'POPAA的长．27．如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C点≈）1.414≈ 1.732 2.236。
锐角三角函数及应用经典例题
锐角三角函数及应用经典例题锐角三角函数是指在单位圆上，从原点出发，与 x 轴正半轴之间的夹角小于90° 的角的三角函数。
其中包括正弦函数sinα、余弦函数cosα、正切函数tanα，以及它们的倒数函数cscα、secα、cotα。
锐角三角函数在数学中有广泛的应用，尤其在几何、物理以及工程学中涉及到角度测量、距离计算等方面经常用到。
下面我们来看一些经典的例题，以加深对锐角三角函数的理解：例题1：已知在锐角 ABC 中，边长 BC = 5, AC = 13、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答：由于边长BC=5,AC=13，我们可以根据勾股定理求得边长AB=√(AC^2-BC^2)=12角 A 的正弦值 sinA = BC / AC = 5 / 13，余弦值 cosA = AB / AC = 12 / 13，正切值 tanA = BC / AB = 5 / 12例题2：已知在锐角 ABC 中，角B = 35°，边长 BC = 8、求角 A 的正弦值 sinA、余弦值 cosA 和正切值 tanA。
解答：由于已知角B = 35°，边长 BC = 8，我们可以根据正弦函数的定义求得角 A 的正弦值为 sinA = BC / AC。
由于 sinA = BC / AC，我们可以得到 AC = BC / sinA = 8 /sin(180° - A - B)。
根据余弦定理，可以计算出边长AC = √(AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cosB)。
代入已知的B = 55° 和 BC = 8，我们可以求得AC = √(AB^2 +8^2 - 2 * AB * 8 * cos35°)。
我们可以进一步根据余弦函数的定义计算 AB 的值，即 cosA = AB / AC，所以 AB = AC * cosA。
锐角三角函数及应用
锐角三角函数1. 锐角三角函数的定义：如图所示：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边。
（1）∠A 的正弦：sinA ＝a cA ∠的对边＝斜边； （2）∠A 的余弦：b cA ∠的邻边＝斜边； （3）∠A 的正切：a bA A ∠∠的对边＝的邻边； （4）∠A 的余切：A b A a ∠∠的邻边＝的对边 （是正切的倒数）。
2.30°，45°，60°角的三角函数值：1sin 302︒=，2sin 452︒=，3sin 602︒=； 3cos302︒=，2cos 452︒=，1cos 602︒=； 3tan 303︒=，tan 451︒=，tan 603︒=。
例题1：求下列各式的值：（1）22cos 60sin 60︒+︒ （2）cos 45tan 45sin 45︒-︒︒3.锐角三角函数之间的关系：（1）平方的关系：22sin cos 1A A +=；（2）商的关系： sin tan cos A A A=; （3）互余两角的三角函数关系：sin(90)cos A A ︒-=，cos(90)sin A A ︒-=。
注意：锐角的正弦和正切值随着角度的增大而增大；锐角的余弦值随着角度的增大而减小；对于锐角A 有0sin 1,0cos 1,tan 0,A A A <<<<>且他们都没有单位。
4.直角三角形的有关性质及判定：（1）直角三角形的性质：①直角三角形两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③在直角三角形中，如果有一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半；④在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么它所对的锐角等于30︒；⑤在直角三角形中，两条直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222a b c +=；⑥1122Rt S ch ab ==（h 为斜边上的高），外接圆半径R ＝2c ＝斜边上的中线，内切圆半径r ＝2a b c +-。
7.6锐角三角函数的简单应用(2)
O
仰角 俯角 视线
水平线
1、当从低处观测高处的目标时,视线与水平线 所成的锐角称为仰角. 2、当从高处观测低处的目标时,视线与水平线 所成的锐角称为俯角.
问题1:如图，AB和CD是同一地面上的两座相距 36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼 顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼 CD的高。 C
练习：为改善楼梯的安全性能,准备将楼梯的 倾斜角由60°调整为45 °.已知调整后的楼 梯比原来多占地4米,求楼梯的高度. D
Aபைடு நூலகம்
B
C
请你试一试： 升国旗时,某同学站在离旗杆底部24m处行 注目礼,当国旗升至旗杆顶端时,该同学视线的 仰角恰为30°,若双眼离地面1.5m,求旗杆的高 度.
B
A
C
A
45° 30°
36
B D
问题2:如图,飞机在距地面9km高空上飞行,先 在A处测得正前方某小岛C的俯角为30°,飞行 一段距离后，在B处测得该小岛的俯角为 60°.求飞机的飞行距离。
变一变:如图,飞机在一定高度上飞行,先在A 处测得正前方某小岛C的俯角为30°,航行 10km后,在B处测得该小岛的俯角为60°.求飞 机的高度。 D A B
C
数学活动室
怎样测量停留在空中的气球高度呢？
仪器：卷尺，测角仪
明明设计了这样一个方案： 先站在地面上某点处观测气球,测得仰角为27°, 然后他向气球方向前进了50m,此时观测气球,测 得仰角为40°.若明明的眼睛离地面1.6m, 如何 计算气球的高度呢？
C
A
B
D
sin 27°≈ 0.45,cos 27° 0.89, tan 27° 0.51 ≈ ≈ sin 40°≈ 0.64,cos 40° 0.77, tan 40° 0.84 ≈ ≈
锐角三角函数应用举例
如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E 在AB上，将△CBE沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是_____如图所示△ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值、正切值。
如图，在平面直角坐标系中，Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，tan∠BPD=．延长BD交x轴于点C，过点D作DA⊥x轴，垂足为A，OA=4，OB=3．（1）求点C的坐标；（2）若点D在反比例函数y=（k＞0）的图象上，求反比例函数的解析式．13一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD 的长。
4．盐城电视塔是我市标志性建筑之一．如图，在一次数学课外实践活动中，老师要求测电视塔的高度AB．小明在D处用高1.5m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，然后向电视塔前进224m 到达E处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°．求电视塔的高度AB．（取1.73，结果精确到0.1m）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A和海岛B，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C处时测得正前方一海岛顶端A的俯角是450，然后：沿平行于AB的方向水平飞行1.99×104米到达点D处，在D处测得正前方另一海岛顶端B的俯角是600，求两海岛间的距离AB．如图，海中有一灯塔P，它的周围8海里内有暗礁．海伦以18海里/时的速度由西向东航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上；航行40分钟到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向上；如果海轮不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我两艘专业救助船A、B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处。
2020中考数学 九年级下册锐角三角函数在实际问题中的应用(含答案)
2020中考数学 锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）1.如图，小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A 处用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB 的高为多少米？参考答案:解：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E 则AE=CD=60米，则∠AEB=90°，EC=AD=1.5 在Rt △ABE 中， 即tan 3060BE=∴60tan 3060BE === 所以，古塔高度为： 1.5CB BE EC =+=米2.如图，小强在家里的楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶点B 处的仰角为60°，看楼底点C 的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC 为多少米？参考答案:解：过A 作AD ∥地面，交BC 于D 则在Rt △ABD 中，tan 60BD AD ∠=，即tan 6030BD∠=，∴BD =在Rt △ACD 中，tan 45DC AD ∠=，即tan 6030DC ∠=，∴30DC = ∴楼高BC 为：30BD DC +=+AD BC3.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°。
已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。
（结果保留整数，参考数据：7sin 3512≈，5cos356≈，7tan 3510≈）参考答案:解：过A 作AD ⊥BC 于点D则AD 即为热气球的高度，且∠1=∠2=45∴可设AD=BD=x 则CD=x+100 在Rt △ADC 中tan AD C DC =，即tan 35100xx =+得：7003x =即热气球的高度为7003AD =米 4.如图，某建筑物BC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一直线上．小红在D 处观测旗杆顶部A 的仰角为47°，观测旗杆底部B 的仰角为42°．已知点D 到地面的距离DE 为1.56m ，EC=21m ，求旗杆AB 的高度和建筑物BC 的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90）．参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°．过点D 作DF ⊥AC,垂足为F ．则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BFD=42°．1.41≈ 1.73≈）参考答案:解：过C 作CD ⊥AB 于点D ， 则∠DBC=45°=∠BCD ∴可设BD=CD=x在Rt △ACD 中可得：tan DCDAC AD∠=即：tan 302x x =+得1 2.73x =≈即，点C 与探测面的 距离大约为2.73米。
锐角三角函数帮你解决生活中的问题
锐角三角函数帮你解决生活中的问题锐角三角函数是学好三角学及本章内容的关键和基础. 锐角三角函数, 既是本章的重点，也是难点. 此内容又是数形结合的典范. 这涉及数学各个分支，又在工程，测量，军事，工业，农业，航海，航空等诸领域都有应用. 因而，对本单元的学习必须引起足够的重视，特别是在日常生活中的应用更加广泛，下面举几例与同学们共赏一、车厢离地面多少米？问题1：如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD ，AB ＝3米，BC ＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度060=θ，问此时车厢的最高点A 离地面多少米？（精确到1米）【思路解析：】此题只需求出点A 到CE 的距离，于是过A 、D 分别作AG ⊥CE ，DF ⊥CE ，构造直角三角形，解Rt △AHD 和Rt △CDF 即可求解．过点A 、D 分别作CE 的垂线AG 、DF ，垂足分别为G 、F ，过D 作DH ⊥AG 于H ，则有：23323360sin 0=⨯=⋅=CD DF 41215.060cos 0=⨯=⋅=AD AH 于是A 点离地面的高度为42.141233≈++（米）． 所以，车厢的最高点A 离地面约为4米．点评：本题只要将实际问题转化为解直角三角形的问题，然后，运用三角函数的有关知识即可解决．二、如何将角橱搬进房间？问题2：如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家问题一图HG FDCB A具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）．问题二图1问题二图2【思路解析：】如说理图所示，作直线AB ，延长DC 交AB 于E ，由题意可知，△ACE 是等腰直角三角形，所以CE ＝0.5，DE ＝DC ＋CE ＝2，作DH ⊥AB 于H ，则245sin 2sin 0==∠⋅=HED DE DH ，∵5.12<，∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间． 答案：设计方案草图如图所示．设计方案图设计方案说理图．点评：本题是一道比较贴近生活的实际问题，学生看到题目感到比较亲切、自然，但本题重点考查学生综合运用所学知识解决实际问题的探究和创新能力．本题还反映了生活中常见的实际情况，很有创意，并充分体现了学数学用数学的价值，角书橱过长廊进入房间，必须要放倒倾斜搬进，不能正面直入，方案的设计也多种多样．三、是否有进入危险区域的可能？问题3：一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？【思路解析】此题是一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题．此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论．解：过C 作AB 的垂线CD 交AB 的延长线于点D ∵CD AD =30cot ，CDBC =060cot ， ∴030cot ⋅=CD AD ，60cot ⋅=CD BD ，∴20)60cot 30(cot 0=-=-CD BD AD ∴31033320=-=CD ， ∵310＞10．∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域．点评：正确解答这类问题，第一步，根据材料提供的生活背景，画出几何图形，并把实际问题数学化，分析出作为一个数学问题的已知条件和问题。
锐角三角函数的应用举例
B
D
α A β
C
练一练
1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处 观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰 角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）
解直角三角形：直角三角形中， 由已知元素求未知元素的过程
∠A＋ ∠ B＝90° 斜边c
复习巩固
B
∠A的对边a
a2+b2=c2
解直角 三角形
三角函数 关系式
┌ A ∠A的邻边b C a b sin A ,sin B c c b a cos A , cos A c c a b tan A , tan B b a
由计算器求得 sin75°≈0.97 所以 BC≈6×0.97≈5.8
A
α C
因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
A
B 140°
C
E
DE cos BDE BD
50° D
DE cos BDEBD
cos50 520 0.64 520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
这样的问题怎么解决
问题： 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所 成的角a一般要满足50°≤a≤75°.现有一个长6m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到0.1m）？ （2）当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精 确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
锐角三角函数应用举例练习题
锐角三角函数应用举例练习题1、如图所示，小华同学在距离某建筑物6米的点A 处测得广告牌B 点、C 点的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC 为_____________米(精确到米)．(sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈；sin52°≈，cos52°≈，tan52°≈2、如图，小明从A 地沿北偏东 30方向走1003m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．3、如图，小明要测量河内小岛B 到河边公路l 的距离，在A 点测得30BAD ∠=°，在C 点测得60BCD ∠=°，又测得50AC =米，则小岛B 到公路l 的距离为（ ）米． A ．25B ．253C ．1003D ．25253+4、九年级三班小亮同学学习了“测量物体高度”一节课后，他为了测得右图所放风筝的高度，进行了如下操作： （1）在放风筝的点A 处安置测倾器，测得风筝C 的仰角60CBD =︒∠；（2）根据手中剩余线的长度出风筝线BC 的长度为70米； （3）量出测倾器的高度 1.5AB =米．根据测量数据，计算出风筝的高度CE 约为 米．（精确到米，3 1.73≈）5、如图，斜坡AC 的坡度（坡比）为1:3，AC ＝10米．坡顶有一旗杆BC ，旗杆顶端B 点与A 点有一条彩带AB 相连，AB ＝14米．试求旗杆BC 的高度．A BC D6米52° 35°(第1题图)AD B EC60（第4题第2题图BC AD l第3题图ABCD第5题图6、某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距182海里．求：（1）军舰N在雷达站P的什么方向（2）两军舰M N、的距离．（结果保留根号）7、某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．8、在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图8所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一长为30米的宣传条幅AE，张明同学站在离办公楼的地面C处测得条幅顶端A的仰角为50°，测得条幅底端E的仰角为30°. 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测量（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈，cos50°≈， tan50°≈，sin30°=，cos30°≈，tan30°≈）9、在离水面高度为5米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子与水面的夹角为30°，此人以每秒米收绳．问：（1）未开始收绳子的时候，图中绳子BC的长度是多少米（2）收绳8秒后船向岸边移动了多少米（结果保留根号）10、A、B两城市相距100km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上. 已知森林保护区的范围在以P点为圆第6题图MP第7题第9题图心，50km 为半径的圆形区域内. 请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区. 为什么（参考数据：732.13≈，414.12≈）11、山顶建有一座铁塔，塔高CD=30m ，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20°，塔顶D 的仰角为23°，求此人距CD 的水平距离AB 。
锐角三角函数应用题专项习题一
锐角三角函数应用题专项习题一1、数学活动小组来到校园内一盏路灯下测量路灯高度，测角仪AB高度为1.5米，测得仰角α为30°，点B到电灯杆底端N距离BN为10米，求路灯高度MN是多少米？（=1.414，=1.732，结果保留两位小数）2、某中学九年级学生开展测量物体高度活动，他们要测量学校教学楼高度．如图他们先在点C测得教学楼AB顶点A仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D，又测得点A仰角为45度．求出这幢教学楼高度．3、东方山主峰海拔约为600米，主峰AB上建有一座电信信号发射架BC，现在山脚P处测得峰顶仰角为α，发射架顶端仰角为β，其中tanα=tanβ=求发射架高BC．4、如图，小芸在自家楼房窗户A处，测量楼前一棵树CD的高．现测得树顶C处俯角为45°，树底D处俯角为60°，楼底到大树距离BD为20米．请计算树高度（精确到0.1米）．5、数学活动小组去测量太子灵踪塔高度，小华先在塔前平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶（M）仰角α=35°，在A点和塔之间选择一点B，测出看塔顶（M）仰角β=45°，然后用皮尺量出A、B两点距离为18.6m，自身高度为1.6m．请计算出塔高度？（tan35°≈0.7，结果保留整数）6、同学们去测量一座古塔CD高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C仰角∠CFE=21°，然后往塔方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD高度．（参考数据：sin37°≈ ，tan37°≈ ，sin21°≈ ，tan21°≈ ）7、某旅游区有一个望天洞，D点是洞入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶出口凉亭A处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB返回山脚下B处．在同一平面内，若测得斜坡BD长为100米，坡角∠DBC=10°，在B处测得A仰角∠ABC=40°，在D处测得A仰角∠ADF=85°，过D点作地面BE垂线，垂足为C．（1）求∠ADB度数；（2）求索道AB长．（结果保留根号）8、如图斜坡AC坡度（坡比）为1：3，AC=10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB=14米．试求旗杆BC高度．9、如图∠MON=25°，矩形ABCD对角线AC⊥ON，边BC在OM上，当AC=3时，AD长是多少？（结果精确到0.01）10、同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离．现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，请计算A，B两个凉亭之间的距离．。
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1、国南水北调中线工程的起点是丹江口水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位. 如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE ，背水坡坡角∠BAE =68°，新坝体的高为DE ，背水坡坡角∠DCE =60°. 求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC （结果精确到0.1米. 参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，3≈1.73）.
2、如图所示，中原福塔(河南广播电视塔)是世界第—高钢塔．小明所在的课外活动小组在距地面268米高的室外观光层的点D 处，测得地面上点B 的俯角α为45°，点D 到AO 的距离DG 为10米；从地面上的点B 沿BO 方向走50米到达点C 处，测得塔尖A 的仰角β为60°。
请你根据以上数据计算塔高AO ，并求出计算结果与实际塔高388米之间的误差．(参考数据：
3≈1.732，2≈1.414.结果精
确到0.1米)
3、庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅。
如图所示，一条幅从楼顶A 出放下，在楼前点C 处拉直固定。
小明为了D
B 6860
测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角为45°。
已知点C到大厦的距离BC=7米，∠ABD=90°。
请根据以上数据求条幅的长度（结果保留整数，参考数据：tan31°≈0.6，sin31°≈0.52,cos31°≈0.86）。
A
D E C B
4、如图，在上海世博会场馆通道建设中，建设工人将坡长
为10米（AB=10米），坡角为20030，，（∠BAC=20030，），的斜坡通道改造成坡角为12030，，（∠BDC=12030，）的斜坡通道，使坡的起点从点A处向左平移至点D处，求改造后的斜坡通道BD的长。
（结果精确到0.1米，参考数据：sin12030，≈0.21，sin20030，≈0.35，sin69030，≈0.94）5、如图，某超市（大型商场）在一楼至二楼之间安装有电
梯，天花板（一楼的楼顶墙壁）与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危险吗？（sin280≈0.47，tan280≈0.53）
6、建楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图①，虚
线为楼梯的斜度线，斜度线与地面的夹角为倾角θ,一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图②，设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角
θ减至
1
θ，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d1=4 2
米，
θ=40度，2θ=36度，楼梯占用地板的长度增加了多
1
少米？（计算结果精确到0.01米，参考数据：tan400≈
0.839，tan360≈0.727）
7如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m 的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为520，底部B 的仰角为450，小明的观测点与地面的距离EF为1.6米，（1）求建筑物BC的高度。
（2）求旗杆AB的高度。
(结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，sin520≈0.79，tan520≈1.28)
8、一次暑假旅游中，小亮在仙湖岛的游船上(A处)，测得湖
西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是450，游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的仰角分别为300,600，试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？（3≈1.732，结果精确到米）
9、已知斜坡AB长60米，坡角（∠BAC）为30度，BC⊥AC，
现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影部分表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE，（精确到0.1米），参考数据：3≈1.732）
（1）若修建的斜坡BE的坡角（∠BEF）不大于45度，则平台DE的长最多为米。
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（∠HDM）为30度，点B,C,A,G,H在同一平面上，点C,A,G在同一条直线上，且HG ⊥CG,问建筑物GH高为多少米？
10小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与湖岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A处测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东65度方向，然后，他从凉亭A处沿湖岸向正东方向走了100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐C处位于北偏东45度方向，请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C处与湖岸上的凉亭A处之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：sin250≈0.4226，cos250≈0.9063，tan250≈0.4663，sin650≈0.9063，cos650≈0.4226，tan650≈2.1445）。