空间向量及其加减法
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1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，C首尾连
a
b
b
A
a
B
Ba
b
a
b
C 特点:共起点
b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
B
a
b
O
BA a b
aA
b 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
（三）平面向量的加法运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c)
（4）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?
（5） 什么是平行六面体？它与平行四边形有何联 系？它的特征有哪些？
（1）空间向量与平面向量有何共同 之处是：
1、定义：在空间，我们把既有大小又有 方向的量叫做空间向量。
2、空间向量的表示法（几何、字母） 与平面向量相同；
3、空间中零向量、单位向量、相等向 量、相反向量等概念与平面向量中相同；
O
aLeabharlann Baidu
A
b B
O
a
C
c
b+c
C
A
b
c
B
(空间向量)
（5）平行六面体
定义1：底面是平行四边形的四棱柱。
定义2：平行四边形ABCD按向量 a 平移到
A1B1C1D1的轨迹形成的几何体叫做平行六面体.
D1
C1
A1
B1
a
D
C
A
B
平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是平行四边形。
典例剖析：
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列
加法:平行四边形法则 加、 或三角形法则
加法:平行四边形法则 或三角形法则
减法
减法:三角形法则
运算 减法:三角形法则
不共面的三个向量的和：
平行六面体法则
运
加法交换律 a b b a
算
律
加法结合律 (a b) c a (b c)
类比方法 数形结合思想
结论2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于 以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始
点的对角线所示向量。——平行六面体法则
思考1：在例1中 CA1 CB CD CC1 D1
C1
思考2：
F1=10N F2
F2=15N
F3=30N
A1
B1
D
C
F3
A
B
F1
小结
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 零向量 相等向量 相反向量
……
探究:
空间中，任意两个向量是否可能异面？
D’ A’
C’
a
B’
M
D A
C B
（2） 空间任意两个向量都可以转化为平面向量。
r 已u知uur空间r 两个任意向量 a
r 、b, 作
uuur r OA a,
OB b. 由O、A、B、三点确定一个平面
或共线可知，空间任意两个向量都 可用同
一平面内的有向线段表示。
rC
br
O
a
B A
空间向量加法的推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
A1
An
An
A1
A2
（2）首尾相A3 接的若干向量若构A2成一个A封3 闭图
形，则它们的和为零向量.
A1A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
r a
r b
rB
br
O
aA
结论1：凡涉及空间两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
（3）与平面向量运算一样，我们定义 空间向量的加法、减法运算如下：
uuur uuur uuur r r OuBuur OuuAur AuuBur ar br, CA OA OC a b,
r b
r a
同样，空间向量的加法运算满足如下 运算律：
加法交换律： a b b a
加法结合律： (a b) c a (b c)
（4）平面向量加法结合律：
(ab)c a(bc)
O
a
A
b B
O
a
b+c
CA
C
c
b
c
B
(平面向量)
（4）空间向量加法结合律：
(a b) c a (b c)
向量表达式 (如图)
D1
C1
(1)AB BC AC
(2)ABCC1 A1B
A1
B1
(3)AA1 C1B1 DC AC1
(4)AB AD AA1 AC1
D
C
(5)DA DC DD1 DB1 A
B
(6)BA BC BB1 BD1
问题（7）：一般地，三个不共面的向量的和与这三
个向量有什么关系？
凡涉及空间两个向量的问题，平 面向量中有关结论是否仍适用？
新课讲授
阅读教材P84-P85 ，研究空间向量与平面向量 的关系。回答下面的问题： （1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？
（2） 空间任意两个向量是否可能异面？为什么？
（3）把平面向量的运算推广到空间向量，怎样定义 空间向量的加法，减法运算？满足什么运算律？
1.定义 向量：既有大小又有方向的量
2.表示方法
uuur 向量A B
B
a
A
3.模（大小） AB
a
4.其它向量 零向量：
长度为0的向量，记为
r 0
；
单位向量： 长度为1的向量. 相等向量：相反向量： 平行向量：（共线向量）：
a 表示与a同向 | a | 的单位向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量.
（二）平面向量的加法、减法法则及其几何意义
通过这个实验，我们发现三角形
F
钢板受到的三个力的特点是：
（1）三个力不共面，
（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平
面上。
所以解决这类问题，需要空间知识，而
这种不在同一平面上的既有大小，又有方向
的量，我们称之为“空间向量”。这就是我
们今天所研究的内容：“空间向量及其加减
运算”
二．温故知新
(一）平面向量的有关概念
特点:首尾相接，C首尾连
a
b
b
A
a
B
Ba
b
a
b
C 特点:共起点
b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
B
a
b
O
BA a b
aA
b 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
（三）平面向量的加法运算律
加法交换律： a b b a 加法结合律： (a b) c a (b c)
（4）从平面和空间两个角度验证向量加法结合律?
（5） 什么是平行六面体？它与平行四边形有何联 系？它的特征有哪些？
（1）空间向量与平面向量有何共同 之处是：
1、定义：在空间，我们把既有大小又有 方向的量叫做空间向量。
2、空间向量的表示法（几何、字母） 与平面向量相同；
3、空间中零向量、单位向量、相等向 量、相反向量等概念与平面向量中相同；
O
aLeabharlann Baidu
A
b B
O
a
C
c
b+c
C
A
b
c
B
(空间向量)
（5）平行六面体
定义1：底面是平行四边形的四棱柱。
定义2：平行四边形ABCD按向量 a 平移到
A1B1C1D1的轨迹形成的几何体叫做平行六面体.
D1
C1
A1
B1
a
D
C
A
B
平行六面体ABCD-A1B1C1D1的六个面都是平行四边形。
典例剖析：
例1：已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列
加法:平行四边形法则 加、 或三角形法则
加法:平行四边形法则 或三角形法则
减法
减法:三角形法则
运算 减法:三角形法则
不共面的三个向量的和：
平行六面体法则
运
加法交换律 a b b a
算
律
加法结合律 (a b) c a (b c)
类比方法 数形结合思想
结论2：始点相同的三个不共面的向量之和，等于 以这三个向量为棱的平行六面体的公共始点为始
点的对角线所示向量。——平行六面体法则
思考1：在例1中 CA1 CB CD CC1 D1
C1
思考2：
F1=10N F2
F2=15N
F3=30N
A1
B1
D
C
F3
A
B
F1
小结
平面向量
空间向量
概念 定义 表示法 零向量 相等向量 相反向量
……
探究:
空间中，任意两个向量是否可能异面？
D’ A’
C’
a
B’
M
D A
C B
（2） 空间任意两个向量都可以转化为平面向量。
r 已u知uur空间r 两个任意向量 a
r 、b, 作
uuur r OA a,
OB b. 由O、A、B、三点确定一个平面
或共线可知，空间任意两个向量都 可用同
一平面内的有向线段表示。
rC
br
O
a
B A
空间向量加法的推广:
（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量；
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
A1
An
An
A1
A2
（2）首尾相A3 接的若干向量若构A2成一个A封3 闭图
形，则它们的和为零向量.
A1A2 A2 A3 A3 A4 An A1 0
r a
r b
rB
br
O
aA
结论1：凡涉及空间两个向量的问题，平 面向量中有关结论仍适用于它们。
（3）与平面向量运算一样，我们定义 空间向量的加法、减法运算如下：
uuur uuur uuur r r OuBuur OuuAur AuuBur ar br, CA OA OC a b,
r b
r a
同样，空间向量的加法运算满足如下 运算律：
加法交换律： a b b a
加法结合律： (a b) c a (b c)
（4）平面向量加法结合律：
(ab)c a(bc)
O
a
A
b B
O
a
b+c
CA
C
c
b
c
B
(平面向量)
（4）空间向量加法结合律：
(a b) c a (b c)
向量表达式 (如图)
D1
C1
(1)AB BC AC
(2)ABCC1 A1B
A1
B1
(3)AA1 C1B1 DC AC1
(4)AB AD AA1 AC1
D
C
(5)DA DC DD1 DB1 A
B
(6)BA BC BB1 BD1
问题（7）：一般地，三个不共面的向量的和与这三
个向量有什么关系？
凡涉及空间两个向量的问题，平 面向量中有关结论是否仍适用？
新课讲授
阅读教材P84-P85 ，研究空间向量与平面向量 的关系。回答下面的问题： （1） 试说出：空间向量与平面向量有何共同之处？
（2） 空间任意两个向量是否可能异面？为什么？
（3）把平面向量的运算推广到空间向量，怎样定义 空间向量的加法，减法运算？满足什么运算律？
1.定义 向量：既有大小又有方向的量
2.表示方法
uuur 向量A B
B
a
A
3.模（大小） AB
a
4.其它向量 零向量：
长度为0的向量，记为
r 0
；
单位向量： 长度为1的向量. 相等向量：相反向量： 平行向量：（共线向量）：
a 表示与a同向 | a | 的单位向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量.
（二）平面向量的加法、减法法则及其几何意义
通过这个实验，我们发现三角形
F
钢板受到的三个力的特点是：
（1）三个力不共面，
（2）三力既有大小又有方向，但不在同一平
面上。
所以解决这类问题，需要空间知识，而
这种不在同一平面上的既有大小，又有方向
的量，我们称之为“空间向量”。这就是我
们今天所研究的内容：“空间向量及其加减
运算”
二．温故知新
(一）平面向量的有关概念