数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第2章 数列极限
《数学分析》第二章 数列极限
xn的 限 或 称数 xn 收 于 ,记 极 , 者 列 敛 a 为
lim xn = a, 或xn → a (n → ∞).
n→∞
如果数列没有极限,就说数列是发散的 如果数列没有极限 就说数列是发散的. 就说数列是发散的 注意: 注意:.不等式 x n a < ε刻划了 x n与a的无限接近 ; 1
则当n > N时有 a b = ( x n b ) ( x n a )
ε ≤ x n b + x n a < ε + ε = 2ε.
故收敛数列极限唯一. 上式仅当a = b时才能成立 . 故收敛数列极限唯一
例5 证明数列 x n = ( 1) n + 1 是发散的. 1 由定义, 证 设 lim x n = a , 由定义 对于ε = , n→ ∞ 2 1 则N , 使得当 n > N时, 有 x n a < 成立, 2 1 1 即当n > N时, x n ∈ (a , a + ), 区间长度为1. 2 2 而x n 无休止地反复取1, 1两个数 , 不可能同时位于长度为 的 不可能同时位于长度为1的区间内. 长度为
注意: 数列对应着数轴上一个点列.可看作一 注意: 数列对应着数轴上一个点列 可看作一 1.数列对应着数轴上一个点列 动点在数轴上依次取 x1 , x 2 , , x n , .
x3
x1
x2 x4
xn
2.数列是整标函数 x n = f (n). 数列是整标函数
三,数列的极限
( 1)n1 } 当 n → ∞ 时的变化趋势 . 观察数列 {1 + n
2,唯一性 ,
定理2 定理2 每个收敛的数列只有一个极限. 每个收敛的数列只有一个极限.
数学分析 第二章 数列极限1-2
1 1 这时 lim a lim lim n 1. n n b n b
2015-2-11
23
证法二
( a b )n
0 n 0 1 n 1 2 n 2 2 n n n n Cn a b Cn a b Cn a b Cn a b
an
1. 0
2. N
3. 满足： an a
N f ( )
2015-2-11
16
例 4 对 x n= ( 1 ) ， 证明 lim x n 0。 n ( n 1 ) 2 称为: 放大法 1 证 因为 | x - 0| = 1 1. N 不唯一；
n
n
例如
2,4,8,,2 ,
1 1 1 1 , , , , n , 2 4 8 2
n
{2 } 1 { n} 2
n
2015-2-11
1,1,1,,1
{1}
4
例1（1） a, aq, aq2, aq3, … , aqn-1,…. 其中a,q为常数且q 0。一般项公式为 xn = aq n-1。此数列简记为 {aqn-1} 。 （2） {( 1)
n n 例如, 数列 x n ，有界； 数列 xn 2 ， 无界。 n1
2015-2-11
30
二、有界性
定理3 收敛的数列必定有界.
2015-2-11
31
我们经常能把一个定理啃下来，但是还是觉得 对这个定理依然云里雾里的。 数学学习真正悲哀的就是，记住了某个神奇 而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但却 始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要 的，直观理解往往是不准确的，但如果能悟出一个 让定理一瞬间变得很显然的解释，这不但是一件很 酷的事，而且对定理更透彻的理解和更熟练的运用 也很有帮助。 这就是我们称为的——直观思维
数学分析 第二章21-2数列极限的准则、运算法则
2021/3/22
1
极限存在准则
1.定理３（夹逼准则）
若数列( xn )n1, ( yn )n1,(zn ) 满足下列条件：
(1) yn xn zn (n N),
(2)
lim
n
yn
lim
n
zn
a,
则数列
(
xn
)n1的极限存在,
且
lim
n
xna.Leabharlann 2021/3/222
证 yn a, zn a,(n )
xn
yn
a b.
3.lim xn a , (b 0).
y n n
b
2021/3/22
11
证1 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a ,
当 n N2时恒有 yn b ,
取 N max{ N1, N2 }, 当 n N时, 恒有 上两式同时成立,
M | b | (M | b |)
即lim n
xn
yn
ab
lim
n
xn
lim n
yn
特别地,两个无穷小量的积仍是无穷小量.
更一般,一个有界量与一个无穷小量的积仍
是无穷小量.
2021/3/22
15
证3 xn a, yn b,(n )
0, N1 0, N2 0, 使得
当 n N1时恒有 xn a , 当 n N2时恒有 yn b ,
| (xn yn ) (a b) | | xn a | | yn b | 2
即lim( n
xn
yn )
a
b
2.1数列的极限华师大版数学分析第二章ppt
=3.
3、证明：当 |q|<1时，
=0.
证：当q=0时，结论成立. 当0<|q|<1时, ∀ε>0，
方法1： 要使|qn|<ε=|q|log ，
只要取N=[log|q|ε] +1，则当n>N时，便有
|qn-0|<|qN|<ε，∴
=0.
方法2：记h= -1>0，则|qn-0|=|qn|=
；
由(1+h)n≥1+nh可得：|qn|≤
由a=(1-h)n≤
=
，得1- ≤ ，
要使| -1|=1- ≤
<ε=
, 只要取
N≥
，则当n>N时，有| -1|<ε. ∴
=3.
注： 1、正数ε具有任意性，ε愈小表示an与定数a愈接近， ε可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度。 所以可以“不妨设ε小于某正数”， 不能“不妨设ε大于某正数”。
， ，…， ，…或 .
1：(数列极限的ε-N定义)
设{an}为数列，a为定数. 若对任给的正数ε，总存在正整数N，
使n>N(或n≥N)时，有|an -a|<ε(或|an-a|≤ε)，
则称数列{an}收敛于a，定数a称为数列{an}的极限，
记作：
=a，或an→a(n→∞)，
读作“当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a”.
(3)∀ε>0，当n为偶数时，要使|
-1|= <ε,
当n为奇数时，要使|
-1|=
< <ε,
只要取N=[ ]+1，当n>N时，有|an-1|<ε， ∴
{an -a}为无穷小数列.
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
数学分析课件2.1数列的极限和无穷大量2.51MB
已知n b 1,由（ ）得证。 x 1 lim
n
c.
lim （3）当a 1时, 对n, n a 1, 故 n n a 1（a 1 . ）
一般地，xn c有
【数学分析课件】 15
例 4.
lim
n
n
n 1.
证明: 令n n 1 hn , 则n n 1 hn , 即
1 1 由不等式有 ，故只须 n 即可。 n
即对 0, 自然数 [ ] ，当 n [ ]时，便有
( 1) n 1 1 1 . n
1
1
定义：
若对 0, 总N [ ]， 当n N时， 有
1
( 1) n 1 1 1 . n
1 ( 1) n 1 1 . 1 , 只须 n 1000000 对 , 要 使1 n 1000000 1000000
……
【数学分析课件】 5
以上还不能说明 竟它们都还是确定的数。
对
( 1) n 1 1 1 n
任意小，并保持任意小，毕
( 1) n 1 1 才 行. 0, 要 使 1 n
2
一、数列极限的定义
1.数列: 是按次序排列的一列无穷多个数
x 1 , x 2 ,L , x n ,L
数列是定义在自然数集N上的函数。即以N为定义域由小 到大取值所对应的一列函数值。 对
n N
，设
f (n) xn
，则
自变量： 1,2, L,2006 L, n, L ,
x 函数值： 1 ,
x2 , L, x2006 , L, xn , L
1 n
or
a 1 ,
1 n
第二章数列极限2-3 数列极限存在的条件
任何有界数列必有收敛子列.
证 设数列an 有界, 由例5可得有一个单调子列 ank .
显然 ank 是有界的, 再由单调有界定理推得 ank 收敛.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
柯西收敛准则
定理2.11
§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
数列 {an } 收敛的充要条件是: 对于任意正数 ，存在 N 0 ，当 n , m N 时, 有 an am .
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
(
a n0
Hale Waihona Puke an ( n n0 )
)
x
后退 前进 目录 退出
§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
an 0 an ,
这就证明了 lim an .
n
例1 设 a1 2, , an 2 2 2 , , n 求 lim an .
柯西准则的充要条件可用另一 种形式表达为： 0, N 0, 当 n N 时， 对任意 p N+ , 都有
| a n an p | .
满足上述条件的数列称为柯西列.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
柯西( Cauchy,A.L. 1789－1857 ,法国 )
m
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§3 数列极限存在的条件
单调有界定理
柯西收敛准则
从而 1 1 1 1 e lim sn lim(1 ). n n 1! 2! 3! n! 1 1 1 1 由公式 e lim(1 ), 可以较快地 n 1! 2! 3! n! 算出 e 的近似值. 1 1 1 由于 0 snm sn , ( n 1)! ( n 2)! ( n m )! 1 令 m , 得到 0 e sn , n 1,2, . n!n 取 n 10, e s10 2.7182818, 其误差 1 7 0 e s10 10 . 10 10!
华东师版数学分析2-3课件
=
a n − a n −1 2 + a n + 2 + a n −1
> 0,
17:28
所以 { a n }递增 . 下面再来证明此数列有上界 下面再来证明此数列有上界.
显然 , a1 = 2 < 2 , 设 an < 2 , 则
a n +1 = 2 + an < 2 + 2 = 2.
由此得到 {an }有上界 2 , 故极限 lim an = A 存在 . n→∞ 于是由 lim an+1 = lim
∃ N > 0, 当 n, m > N ( 或 n, m ≥ N )
时, 有
| an − A | <
由此推得
ε
2
, | am − A | <
ε
2
.
柯西( 柯西 Cauchy,A.L. 1789－1857 ,法国 ) －
a n − am ≤ a n − A + a m − A <
17:28
ε
2
+
ε
2
=ε .
xn−1
1 1 1 ⋅1 ≤ (n −1)1 + +1 = 1 + n n n −1
1 = n 1 + = n xn , n ⇒ xn −1 ≤ xn , 即 xn ↗.
17:28
令
a1 = a2 = L = an−1 = 1 −
1 , an = 1, n −1
17:28
例2 设 a1 = 2, L , an = 2 + 2 + L + 2 , L , 144 2444 4 3
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第2章 数列极限
多只有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表
示当
n
>N
时, an U(a; ) ,
即
lim
n
an
a.
前页 后页 返回
以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是:
定义1' 任给 0 , 若在 U(a; ) 之外至多只有
{ an } 的有限多项, 则称数列 { an } 收敛于a . 这样,
前页 后页 返回
例1
证明
lim
n
1 n n!
0.
证 对任意正数 , 因为 lim (1 )n 0 ,
n n!
所以由
定理 2.4, N 0, 当 n N 时,
1 n
1, n!
即
1 n n!
.
这就证明了
lim
n
1 n n!
0.
前页 后页 返回
四、保不等式性
定理 2.5 设 { an }, { bn } 均为收敛数列, 如果存在正
前页 后页 返回
一、惟一性
定理 2.2 若 {an } 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 a 是 {an} 的一个极限. 下面证明对于任何 定数 b a, b 不能是 {an} 的极限 .
若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 >0,
N1, 当 n N1 时，有
| an a | ;
lim
n
an
.
若 an G,改为 an G 或 an G,则称 {an } 是正无
穷大数列或负无穷大数列, 分别记作
lim
n
an
或
lim
n
an
.
前页 后页 返回
数学分析(华东师大)第二章数列与极限
第二章 数列 极 限§1 数列极限概念若函数 f 的定义域为全体正整数集合 N + , 则称f : N + → R 或 f (n), n ∈N +为数列 .因正整数集N + 的元素可按由小到大的顺序排列, 故数列 f ( n ) 也可写 作a 1 ,a 2,,a n ,,或简单地记为{ a n } , 其中 a n 称为该数列的通项 .关于数列极限, 先举一个我国古代有关数列的例子 .例1古代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话“:一尺之棰, 日取其半,万世不竭”,其含义是:一根长为一尺的木棒,每天截下一半,这样的过程 可以无限制地进行下去.把每天截下部分的长度列出如下( 单位为尺) :第一天截下1,第二天截下1, , 第 n 天截 下1, 这样就得到一个2222n数列1 1112 ,22, , 2n , 或 2n .不难看出 , 数列 1 2n的通项 1随着 n 的无限增大而无限地接近于 0 .一般地 2 n说,对于数列{a n },若当n 无限增大时a n 能无限地接近某一个常数a,则称此数列 为收敛数列,常数a 称为它的极限.不具有这种特性的数列就不是收敛数列.收敛数列的特性是“随着n 的无限增大, a n 无限地接近某一常数a ”.这就 是说,当n 充分大时,数列的通项a n 与常数a 之差的绝对值可以任意小.下面 我们给出收敛数列及其极限的精确定义.定义1设{ a n } 为数列, a 为定数 .若对任给的正数ε, 总存在正整数 N , 使 得当 n >N 时有a n - a <ε,则称数列{ a n } 收敛于 a , 定数 a 称为数列{ a n } 的极限, 并记作α α 24第二章 数 列 极限lim n →∞a n = a , 或 a n → a( n → ∞) ,读作“当n 趋于无穷大时, a n 的极限等于a 或a n 趋于a ”.若数列{ a n } 没有极限, 则称{ a n } 不收敛, 或称{ a n } 为发散数列 .定义1 常称为数列极限的ε-Ν定义 .下面举例说明如何根据ε- Ν定义 来验证数列极限 .例 2 证明lim 1= 0 , 这里α为正数 .n → ∞n 证 由于1 1n α- 0 = nα, 1 故对任给的ε>0 , 只要取 N = 1 εα+ 1 , 则当 n >N 时, 便有 1 1α< α<ε即 n N 1 α- 0<ε. n 这就证明了 lim 1= 0 .n → ∞ n 例 3 证明分析 由于3 n2lim n →∞3 n 2n 2 - 39= 3 .9n 2- 3- 3 = n 2- 3 ≤ ( n ≥3). (1)n因此, 对任给的ε>0 , 只要9<ε, 便有n 3 n 2n 2 - 3- 3 <ε, (2)即当 n >9时, ( 2) 式成立 .又由于( 1) 式是在 n ≥3 的条件下成立的, 故应取εN = max 3 ,9 ε. (3)证 任给 ε>0 , 取 N = max 3 , 9ε.据分析, 当 n >N 时有(2 ) 式成立 .于是本题得证 .注本例在求N 的过程中,(1)式中运用了适当放大的方法,这样求N 就 比较方便.但应注意这种放大必须“适当”,以根据给定的ε能确定出N .又(3)式①记号lim 是拉丁文limes(极限)一词的前三个字母.由于n 限于取正整数,所以在表示数列极限的记号中把n →+∞简单地写作n →∞.①nn§1 数列极限概念 25给出的 N 不一定是正整数 .一般地, 在定义1 中 N 不一定限于正整数, 而只要 它是正数即可 .例 4 证明lim n →∞q = 0 , 这里 | q | < 1 .证 若 q = 0 , 则结果是显 然的 .现设 0 < | q | < 1 .记 h = 1| q |- 1 , 则 h > 0 .我们有q n - 0 = q n = 1 ,(1 + h ) n并由 (1 + h) n≥1 + nh 得到q n≤ 1 1 + nh <1 nh. (4)对任给的ε>0 , 只要取 N = 1, 则当 n >N 时, 由( 4) 式得|q n- 0 |<ε.这εh就证明了lim q n →∞= 0.当 q = 1时, 就是前面例1 的结果 .2注 本例还可利用对数函数 y = lg x 的严格增性来证明( 见第一章§4 例6 的注及(2 ) 式) , 简述如下:对任给的ε>0 ( 不妨设ε<1 ) , 为使| q n -0 | =| q | n<ε, 只要n lg q <lg ε 即 n >lg εlg q( 这里也假定 0 < | q | <1) .于是, 只要取 N = lg ε即可 .lg | q | n例 5 证明lim n →∞a = 1 , 其中 a > 0 .1 证 当 a = 1 时 , 结论显然成立 .现设 a > 1 .记 α= a n- 1 , 则 α> 0 .由1a = ( 1 + α) n≥ 1 + n α = 1 + n( a n - 1 )得1 a n - 1 ≤ a - 1 n .(5) 1 1任给ε>0 , 由( 5) 式可见, 当 n >a - 1= N 时, 就有 a n - 1 <ε, 即|a n -1 |ε n<ε.所以lim n →∞a = 1 .对于 0 <a < 1 的情形 , 其证明留给读者.关于数列极限的ε- N 定义, 通过以上几个例子, 读者已有了初步的认识 . 对此还应着重注意下面几点:1.ε的任意性 定义1 中正数ε的作用在于衡量数列通项a n 与定数 a 的 接近程度, ε愈小, 表示接近得愈好; 而正数ε可以任意地小, 说明 a n 与 a 可以20 26第二章 数 列 极限接近到任何程度 .然而, 尽管ε有其任意性, 但一经给出, 就暂时地被确定下来,以便依靠它来求出N .又ε既是任意小的正数,那么ε,3ε或ε2等等同样也是2ε 2 任意小的正数, 因此定义1 中不等式|a n - a | <ε中的ε可用2, 3ε或ε等来代 替 .同时, 正由于ε是任意小正数, 我们可限定ε小于一个确定的正数( 如在例4 的注给出的证明方法中限定ε< 1 ).另外, 定义1 中的|a n - a |<ε也可改写成 | a n - a | ≤ε.2. N 的相应性 一般说 , N 随ε的变小而变大 , 由此常把 N 写作N(ε) , 来 强调 N 是依赖于ε的; 但这并不意味着 N 是由ε所唯一确定的, 因为对给定的 ε, 比如当 N = 100 时能使得当 n >N 时有 | a n - a | <ε, 则 N = 101 或更大时 此 不等式自然也成立 .这里重要的是 N 的存在性, 而不在于它的值的大小 .另外, 定义 1 中的 n >N 也可改写成 n ≥N .3.从几何意义上看“, 当n >N 时有|a n - a |<ε”意味着:所有下标大于N的项 a n 都落在邻域 U( a;ε) 内; 而在 U ( a;ε) 之外, 数列{ a n } 中的项至多只有 N 个( 有限个).反之, 任给ε>0 , 若在 U ( a;ε) 之外数列{ a n } 中的项只有有限 个, 设这有限个项的最大下标为 N , 则当 n >N 时有 a n ∈U ( a;ε) , 即当 n >N 时有| a n - a |<ε.由此, 我们可写出数列极限的一种等价定义如下:定义1′ 任给ε> 0 , 若在 U( a;ε) 之外数列{ a n } 中的项至多只有有限个, 则称数列{ a n } 收敛于极限 a .由定义1′可知,若存在某ε0 >0,使得数列{a n }中有无穷多个项落在U (a; ε0 )之外,则{a n }一定不以a 为极限.例6 证明{ n 2} 和{ (-1) n} 都是发散数列 .证对任何a ∈R ,取ε0 =1,则数列{n }中所有满足n >a +1的项(有无穷多个) 显然都落在 U ( a;ε) 之外, 故{ n 2 散数列 .} 不以任何数 a 为极限, 即{ n 2} 为发 至于数列{ ( - 1) n } , 当 a = 1 时取ε= 1 , 则在 U( a;ε) 之外有{ (-1 ) n} 中1n的所有奇数项;当a ≠1 时取ε0 =2 |a -1|,则在U (a;ε0 )之外有{( - 1) }中 的所有偶数项 .所以{ (- 1 ) n } 不以任何数 a 为极限, 即{ (- 1 ) n} 为发散数列 .例 7 设lim n →∞x n = lim n →∞y n =a , 作数列{ z n } 如下:证明limn →∞z n = a.{ z n } : x 1 , y 1 , x 2 ,y 2 , , x n ,y n , .证 因 lim n →∞x n = lim n →∞y n = a , 故对任给的 ε>0 , 数列{x n } 和{ y n } 中落在U( a;ε) 之外的项都至多只有有限个 .所以数列{ z n } 中落在 U ( a;ε) 之外的项2 §1 数列极限概念 27也至多只有有限个.故由定义1′,证得lim n →∞z n = a .例8设{a n }为给定的数列,{b n }为对{a n }增加、减少或改变有限项之后得 到的数列.证明:数列{b n }与{a n }同时为收敛或发散,且在收敛时两者的极限相 等.证 设{ a n } 为收敛数列, 且lim n →∞a n = a .按定义1′,对任给的ε>0,数列{a n }中落在 U( a;ε) 之外的项至多只有有限个 .而数列{ b n } 是对{ a n } 增加、减少或改 变有限项之后得到的, 故从某一项开始, { b n } 中的每一项都是{ a n } 中确定的一 项, 所以{ b n } 中落在 U( a;ε) 之外的项也至多只有有限个 .这就证得lim n →∞b n = a .现设{a n }发散.倘若{b n }收敛,则因{a n }可看成是对{b n }增加、减少或改变 有限项之后得到的数列,故由刚才所证,{a n }收敛,矛盾.所以当{a n }发散时 { b n } 也发散.在所有收敛数列中, 有一类重要的数列, 称为无穷小数列, 其定义如下: 定义 2 若lim n →∞a n = 0 , 则称{ a n } 为无穷小数列 .前面例1、2、4 中的数列都是无穷小数列 .由无穷小数列的定义, 读者不难证 明如下命题:定理2.1 数列{ a n } 收敛于 a 的充要条件是: { a n - a} 为无穷小数列 .习 题1. 设 a n =1 + ( - 1)nn, n = 1 ,2, , a = 0.( 1) 对下列 ε分别求出极限定义中相应的N :ε1 = 0 .1,ε2 = 0.01, ε3 = 0.001;( 2) 对ε1 ,ε2 ,ε3 可找到相应的 N , 这是否证明了 a n 趋于 0 ? 应该怎样做才对; ( 3)对给定的 ε是否只能找到一个N ?2. 按ε- N 定义证明:( 1) lim n = 1 ; ( 2) lim 3 n + n = 3;n →∞n +1 n → ∞ 2 n 2 -1 2( 3) lim n ! =0; (4)limsin π=0;n → ∞n nn →∞ n ( 5) lim nn →∞a n= 0 ( a > 1) .3. 根据例 2 , 例 4 和例 5 的结果求出下列极限, 并指出哪些是无穷小数列:( 1) lim 1 ; (2 ) lim n 3 ; (3 ) lim 1;n →∞ n n →∞ n → ∞ n 3 ( 4) lim 1 ; ( 5) lim 1; ( 6) lim n 10 ;n →∞3n n →∞ 2nn → ∞n n28第二章 数 列 极限( 7) lim 1.n → ∞24. 证明: 若 lim a n = a , 则对任一正整数 k , 有 lim a n + k = a .n →∞5.试用定义1′证明:n →∞( 1)数列{ 1} 不以1 为极限; ( 2) 数列{ n ( - 1 ) n } 发散 . n6. 证明定理 2.1 , 并应用它证明数列 1 + ( - 1 ) n的极限是 1 .7. 证明: 若 lim a n = a , 则 lim | a n | = | a | .当且仅当 a 为何值时反之也成立 ?n →∞n →∞8. 按ε- N 定义证明: ( 1) lim (n +1-n ) = 0 ; (2) lim1 +2 +3++ n=0;n → ∞ ( 3) lim a n = 1 ,其中 n → ∞n →∞ n 3n - 1a n =n , n 为偶数, n 2+ nn, n 为奇数.§2 收敛数列的性质收敛数列有如下一些重要性质:定理2.2 ( 唯一性) 若数列{ a n } 收敛, 则它只有一个极限 .证 设 a 是{ a n } 的一个极限 .我们证明: 对任何数 b ≠a , b 不是{ a n } 的极1限.事实上,若取ε0 = 2|b - a |,则按定义1′,在U(a;ε0)之外至多只有{a n }中有限个项,从而在U(b;ε0 )内至多只有{a n }中有限个项,所以b 不是{a n }的极 限 .这就证明了收敛数列只能有一个极限.一个收敛数列一般含有无穷多个数,而它的极限只是一个数.我们单凭这一 个数就能精确地估计出几乎全体项的大小 .以下收敛数列的一些性质, 大都基于 这一事实.定理2.3 ( 有界性) 若数列{ a n } 收敛, 则{ a n } 为有界数列, 即存在正数 M , 使得对一切正整数 n 有证 设lim n →∞a n ≤ M .a n = a .取 ε= 1 , 存在正数 N , 对一切 n >N 有a n - a <1 即 a - 1 <a n < a + 1.记M = max {a 1 , a 2 ,, a N , a - 1, a+1},§2 收敛数列的性质 29则对一切正整数 n 都有 | a n | ≤ M .注 有界性只是数列收敛的必要条件, 而非充分条件 .例如数列{ ( - 1) n} 有 界, 但它并不收敛( 见§1 例6).定理2 .4 ( 保号性) 若lim n →∞a n = a >0(或<0),则对任何a ′∈(0, a)(或a ′∈(a,0)),存在正数N,使得当n >N 时有a n >a ′(或a n <a ′) .证设a >0 .取ε= a - a ′(>0),则存在正数N,使得当n >N 时有a n >a-ε= a ′,这就证得结果.对于a <0的情形,也可类似地证明.注 在应用保号性时 , 经常取 a ′= a.2定理2.5 ( 保不等式性) 设{ a n } 与{ b n } 均为收敛数列 .若存在正数 N 0 , 使 得当 N >N 0 时有 a n ≤b n , 则lim n → ∞a n ≤lim n →∞b n .证 设 lim n →∞a n = a , limb n = b .任给 ε>0 , 分别存在正数 N 1 与 N 2 , 使得当nn →∞>N 1 时有当 n >N 2 时有a - ε <a n ,(1)b n < b +ε.(2)取 N = max { N 0 ,N 1 ,N 2 } , 则当 n >N 时, 按假设及不等式( 1) 和(2 ) 有a - ε < a n ≤b n < b + ε,由此得到 a <b + 2ε.由ε的任意性推得a ≤b( 参见第一章§1 例2) , 即lim n →∞a n ≤lim n →∞b n .请读者自行思考: 如果把定理2.5 中的条件 a n ≤b n 换成严格不等式 a n <b n , 那么能否把结论换成lim n →∞a n < limb n ?n →∞例 1 设 a n ≥0( n = 1 ,2,).证明:若lim n →∞a n = a , 则limn →∞证 由定理 2.5 可得 a ≥0 .a n = a. (3)若 a = 0 , 则由lim n →∞a n = 0 , 任给ε> 0 , 存在正数 N , 使得当 n >N 时有 a n <ε2,从而a n <ε即| a n - 0|<ε,故有limn →∞a n = 0 .若 a > 0 ,则有a n -a =a n -a ≤a n + a.a 任给ε>0 , 由lim n →∞a n = a , 存在正数 N , 使得当 n >N 时有a n - a < a ε,30 第二章数列极限从而| a n - a|<ε.(3)式得证.定理2 .6 ( 迫敛性) 设收敛数列{ a n } , { b n } 都以 a 为极限, 数列{ c n } 满足: 存在正数N0 , 当n >N0 时有则数列{ c n } 收敛, 且lim c n = a .n →∞a n ≤ c n ≤b n, (4)证任给ε>0 , 由limn →∞an= limn →∞bn= a , 分别存在正数N1 与N2 , 使得当n >N1 时有当n >N 2 时有a - ε<a n, (5)b n < a +ε. (6) 取N = max{ N0 ,N1 ,N2 } , 则当n >N 时, 不等式( 4) 、(5) 、(6) 同时成立, 即有a - ε< a n ≤ c n ≤b n < a + ε.从而有| c n - a | <ε, 这就证得所要的结果.定理2.6 不仅给出了判定数列收敛的一种方法, 而且也提供了一个求极限的工具.n例2 求数列{ n} 的极限.n解记a n = n = 1 + h n , 这里h n > 0 ( n >1) ,则有n n( n - 1) 2n = ( 1 + h n) >2h n .由上式得0 <h n < 2n - 1( n > 1) , 从而有1 ≤ a n = 1 + h n ≤1+2n - 1. (7)数列1+ 2 是收敛于1 的, 因对任给的ε> 0 , 取N = 1 +2ε2, 则当n >N时有1+ 2n - 1-1 <ε.于是,不等式(7)的左右两边的极限皆为1,故由迫敛性证得limn →∞nn = 1 .在求数列极限时, 常需要使用极限的四则运算法则.定理2 .7 ( 四则运算法则) 若{ a n } 与{ b n } 为收敛数列, 则{ a n +b n } , { a n - b n } , { a n·b n } 也都是收敛数列, 且有lim ( a n ± b n ) = lim a n ± lim b n ,n →∞n →∞n →∞lim ( a n · b n ) = lim a n · lim b n .n →∞特别当b n 为常数c 时有n →∞n →∞n n n n·b + b n §2 收敛数列的性质 31lim ( a n + c) = lim a n + c, lim ca n = c lim a n .n →∞n →∞a n n →∞n →∞若再假设 b n ≠0 及lim n →∞b n ≠0 , 则na n 也是收敛数列, 且有limn → ∞b n= lim n →∞ a n lim n →∞b n .证 由于 a - b = a + ( - 1) b 及 a nb n=a n 1 n, 因此我们只须证明关于和、 积与倒数运算的结论即可 .设lim n →∞a n = a , lim n →∞b n = b , 则对任给的 ε> 0 , 分别存在正数 N 1 与 N 2 , 使得a n - a<ε, 当n> N 1,b n - b<ε, 当n>N 2 .取 N = max { N 1 , N 2 } , 则当 n >N 时上述两不等式同时成立 , 从而有1. | ( a n + b n ) - ( a + b) | ≤ | a n - a | + | b n - b | < 2εª lim ( a n + b n ) = a + b .n →∞2. | a n b n - ab | = | ( a n - a) b n + a( b n - b) | ≤ | a n - a | | b n | + | a | | b n - b | .( 8)由收敛数列的有界性定理, 存在正数 M , 对一切 n 有| b n | <M .于是, 当 n >N 时由(8 ) 式可得a nb n - ab < (M+a )ε.由ε的任意性, 这就证得lim n →∞a nb n =ab .3. 由于lim n →∞b n =b ≠0 , 根据收敛数列的保号性, 存在正数 N 3 , 使得当 n >N 3 时有 | b n | >12|b |.取N ′=max { N 2 , N 3},则当n >N ′时有1 - 1 n= b n b < b b 2 < 2ε b2 .由ε的任意性, 这就证得lim 1 = 1.例 3 求 n → ∞b nm b m - 1lim n →∞ a m n b k n + a m - 1 nk - 1 k - 1 + + a 1 n + a 0 , + + b 1 n + b 0其中 m ≤ k , a m ≠0, b k ≠0.解 以 n - k同乘分子分母后 ,所求极限式化为a m n m - k + a m - 1 n m - 1 - k ++ a 1 n 1 - k + a 0 n- klimn →∞b k + b k - 1 n- α+ + b 1 n 1 - k+ b 0 n- k.由§1 例2 知, 当α> 0 时有lim nn → ∞= 0.于是, 当 m =k 时, 上式除了分子分母b k- 1m - kn 1 32第二章 数 列 极限的第一项分别为 a m 与 b k 外, 其余各项的极限皆为 0 , 故此时所求的极限等于 a m b m;当 m <k 时 ,由于 n →0(n →∞),故此时所求的极限等于0.综上所述,得到m m -1a m a m n+ a m -1 n + + a 1 n + a 0 , k= m, limn →∞b k n + b k - 1 nnk - 1++ b 1 n + b n=b m 0,k> m.例 4 求lima, 其中 a ≠ -1. n → ∞ a n+ 1解 若 a = 1 , 则显然有lim a = 1;若| a |< 1 , 则由lim n →∞n → ∞ a n+1 2a n = 0 得n若| a | > 1 , 则lim n →∞ a a n + 1n = lim n →∞ n na (lim a+ 1 ) = 0;n →∞lima= lim 1= 1 = 1 .n → ∞ a n + 1 n →∞ 1 + a 1 +0 例 5 求lim n →∞n(n +1- n ).解 n( n +1-n)=n =1,由 1 + 1→1 ( n →∞ ) 及例1 得nn +1+n 1 + 1 + 1nlim n → ∞n( n +1 -n ) = lim n →∞11n+ 1 1 2. 最后, 我们给出数列的子列概念和关于子列的一个重要定理. 定义1 设{a n }为数列,{n k }为正整数集N + 的无限子集,且n 1 <n 2 <<n k <,则数列a n ,a n 12,, a n ,k称为数列{ a n } 的一个子列, 简记为{ a n k } .注1 由定义1可见, { a n } 的子列{ a n k } 的各项都选自{ a n } , 且保持这些项在 { a n } 中的先后次序 .{ a n k } 中的第 k 项是{ a n } 中的第 n k 项, 故总有 n k ≥k .实际 上{ n k } 本身也是正整数列{ n}的子列 .例如, 子列{ a 2 k } 由数列{ a n } 的所有偶数项所组成, 而子列{ a 2 k - 1 } 则由{ a n }n 1 +k=π n → ∞ 4 n 3 + 2 n + 3 , ( 2)lim n →∞ §2 收敛数列的性质 33的所有奇数项所组成 .又{ a n } 本身也是{ a n } 的一个子列, 此时 n k =k ,k = 1 , 2 , .注2 数列{ a n } 本身以及{ a n } 去掉有限项后得到的子列, 称为{ a n } 的平凡 子列; 不是平凡子列的子列, 称为{ a n } 的非平凡子列 .例如{ a 2 k } 和{ a 2 k - 1 } 都是{a n }的非平凡子列.由上节例8可知:数列{a n }与它的任一平凡子列同为收敛 或发散,且在收敛时有相同的极限.定理2.8 数列{ a n } 收敛的充要条件是: { a n } 的任何非平凡子列都收敛 . 证 必要性 设 lim n →∞a n = a , { a n k} 是{ a n } 的任一子列 .任给ε>0 , 存在正数N , 使得当 k >N 时有| a k - a | <ε.由于 n k ≥ k, 故当 k >N 时更有 n k >N , 从 而也有|a n - a |<ε,这就证明了{a n }收敛(且与{a n }有相同的极限).kk充分性 考虑{ a n } 的非平凡子列{ a 2 k } , { a 2 k - 1 } 与{ a 3 k }.按假设, 它们都收 敛 .由于{ a 6 k } 既是{ a 2 k } , 又是{ a 3 k } 的子列, 故由刚才证明的必要性,lim a 2 k = lim a 6 k = lim a 3k .(9) k → ∞k → ∞k → ∞又{ a 6 k - 3 } 既是{ a 2 k - 1 } 又是{ a 3 k } 的子列, 同样可得(9)式与(10)式给出lim k →∞a 2 k - 1 = lim k → ∞a 3k .(10)lim k → ∞a 2 k = lim k → ∞a 2 k - 1 .所以由上节例7 可知{ a n } 收敛 .由定理2.8的证明可见,若数列{a n }的任何非平凡子列都收敛,则所有这些 子列与{ a n }必收敛于同一个极限.于是,若数列{a n }有一个子列发散,或有两个 子列收敛而极限不相等,则数列{a n }一定发散.例如数列{(-1)n },其偶数项组 成的子列{( -1)2n}收敛于1,而奇数项组成的子列{(-1)2k - 1}收敛于-1,从而{(-1)n}发散.再如数列sin n π 2 ,它的奇数项组成的子列 sin 2 k -1 即为2{ ( - 1) k - 1} , 由于这个子列发散 , 故数列 sin n π 2发散 .由此可见, 定理2.8 是判断数列发散的有力工具 .习 题1. 求下列极限:32(1) lim n + 3 n +1n →∞ 1 + 2 nn 2 ; nn (3) lim (-2) +3 2n → ∞ ( - 2 ) n + 1 + 3 n +1 ; ( 4)lim ( n + n - n) ;n (5) lim ( 1+ n → ∞n2+ + n 10) ;a 2 mb 1 34第二章 数 列 极限111(6) lim 2 +22++ 2n. n →∞1 11 3 +32 + + 3n2. 设 lim a n = a , lim b n = b , 且 a <b .证明 :存在正数 N , 使得当 n >N 时有 a n <b n .n →∞n →∞3. 设{ a n } 为无穷小数列, { b n } 为有界数列, 证明: { a n b n }为无穷小数列 .4. 求下列极限:(1) lim 1 + 1 ++1 ;n →∞ 1·2 42·3 8n n( n + 1 )(2) lim ( 2 n → ∞2 222 ) ;(3) lim 1 + 3 + +2 n - 1 n →∞ 2 22 n2n; (4) lim n → ∞(5) lim 1 - 1;n1 + 1 + + 1 ; n →∞ n2( n + 1) 2 ( 2 n) 2 (6) lim n → ∞ 1 n 2 + 1 + 1 n 2 + 2 + + 1 .n 2+ n 5.设{ a n }与{ b n } 中一个是收敛数列, 另一个是发散数列 .证明{ a n ± b n } 是发散数列 .又a n问{ a n b n }和 ( b n ≠0 )是否必为发散数列?n6. 证明以下数列发散:(1) ( - 1 ) n nn + 1 ; ( 2) { n ( - 1 ) } ; (3)cos n π . 47.判断以下结论是否成立(若成立,说明理由;若不成立,举出反例) : (1)若{a 2k - 1}和{a 2k }都收敛,则{a n }收敛;(2) 若{ a 3 k - 2 } , { a 3 k - 1 } 和{ a 3 k } 都收敛, 且有相同极限, 则{ a n } 收敛 . 8. 求下列极限: (1) lim 1 32 n - 1n → ∞ 2 4n 2n ;∑ p !(2) lim p =1;n →∞ n!(3) lim [ ( n + 1)α - n α ] , 0 <α< 1;n → ∞(4) lim (1+α)(1+α2)(1+α2n → ∞n ) , |α| < 1.9. 设 a 1 ,a 2 , ,a m 为m 个正数,证明: nlimnn → ∞10. 设 lim a n = a .证明:n →∞+ a n+ + a n= max {a 1 , a 2 ,, a m }.(1) lim n → ∞[ na n ]n= a;n(2) 若 a > 0 , a n > 0 , 则 lim n → ∞a n = 1 .nα α α §3 数列极限存在的条件 35§3 数列极限存在的条件在研究比较复杂的数列极限问题时,通常先考察该数列是否有极限(极限的 存在性问题);若有极限,再考虑如何计算此极限(极限值的计算问题).这是极限 理论的两个基本问题.在实际应用中,解决了数列{a n }极限的存在性问题之后, 即使极限值的计算较为困难,但由于当n 充分大时,a n 能充分接近其极限a,故 可用 a n 作为 a 的近似值 .本节将重点讨论极限的存在性问题.为了确定某个数列是否存在极限, 当然不可能将每个实数依定义一一验证, 根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断 .首先讨论单调数列, 其定义与单调函数相仿 .若数列{ a n } 的各项满足关系 式a n ≤ a n+1( a n ≥ a n + 1 ),1则称{a n }为递增(递减)数列.递增数列和递减数列统称为单调数列.如n 为n递减数列, n n + 1 与{n 2}为递增数列,而 ( -1)n则不是单调数列 .定理2.9 ( 单调有界定理) 在实数系中, 有界的单调数列必有极限 .证 不妨设{a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{a n }有上确界,记 a =sup {a n }.下面证明a 就是{a n }的极限.事实上,任给ε>0,按上确界的定 义,存在数列{a n }中某一项a N ,使得a -ε<a N .又由{a n }的递增性,当n ≥N 时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面, 由于 a 是{ a n } 的一个上界, 故对一切 a n 都有 a n ≤a <a + ε.所以当 n ≥N 时有这就证得lim n →∞下确界 .例 1 设a - ε < a n < a + ε,a n = a .同理可证有下界的递减数列必有极限, 且其极限即为它的 a n = 1 + 12 + 1 3++ 1, n = 1 ,2, ,n其中实数α≥2 .证明数列{ a n } 收敛 .证 显然{ a n } 是递增的, 下证{ a n } 有上界 .事实上,a n ≤ 1 + 1 + 1 + + 1 ≤ 1 + 1+ 1+ +122 32 n 21·2 2·3 ( n - 1) n36第二章 数 列 极限=1+1 - 12+ 1 2 - 13 ++1 n - 1 - 1 n= 2 - 1 n<2 , n = 1 , 2,.于是由单调有界定理, { a n } 收敛 .例 2 证明数列收敛,并求其极限.2, 2+ 2, , 2+ 2++ 2,n 个根号证 记a n = 2+ 2+ + 2,易见数列{a n }是递增的.现用数学归纳法 来证明{a n }有上界.显然 a 1 = 2 < 2 .假设 a n < 2 , 则 有 a n +1 = 2 + a n <2 + 2 = 2 , 从而对一切n 有a n <2,即{a n }有上界.由单调有界定理, 数列{ a n } 有极限, 记为 a .由于2a n + 1 = 2 + a n ,对上式两边取极限得 a 2= 2 + a ,即有( a + 1) ( a - 2) = 0 , 解得 a = - 1 或 a = 2 . 由数列极限的保不等式性 , a = - 1 是不可能的, 故有limn →∞2+ 2+ + 2 = 2 .例3 设S 为有界数集.证明:若sup S = a ú S,则存在严格递增数列{x n }ÌS , 使得lim n →∞x n = a .证因 a 是 S 的上确界 , 故对任给的 ε>0 , 存在 x ∈ S , 使得 x >a - ε .又 因a ú S , 故 x <a ,从而有a -ε<x < a.现取ε1 =1,则存在x 1∈S,使得a - ε1 <x 1 <a . 再取ε2 =min 1 2, a - x 1> 0 , 则存在 x 2 ∈S , 使得a - ε2 <x 2 <a,且有x 2 >a -ε2 ≥a - (a - x 1 )= x 1 .一般地,按上述步骤得到x n - 1 ∈S 之后,取εn =min x n ∈S , 使得1 n, a - x n -1 ,则存在a - εn <x n <a,n§3 数列极限存在的条件 37且有x n >a -εn ≥a - (a - x n - 1 )= x n - 1 .上述过程无限地进行下去, 得到数列{ x n } Ì S , 它是严格递增数列, 且满足a - εn < x n <a <a+εn ª x n - a <εn ≤ 1n, n = 1 , 2, .这就证明了lim n →∞x n = a .n例 4 证明lim n →∞ 1 + 1 n存在 .证① 先建立一个不等式 .设 b >a > 0 , 对任一正整数 n 有bn +1- an + 1< ( n + 1) b n( b-a),整理后得不等式 an + 1>b n[ ( n + 1 )a -nb].(1)以 a = 1+1, b = 1 + 1代入(1 ) 式 .由于 n +1 n( n + 1 )a - nb = ( n +1) 1+ 1n +1故有- n 1 + 1n= 1 ,这就证明了 1 + 1 n1+ 1 n为递增数列 .n +1> 1+1.n再以 a = 1 , b = 1 + 1代入(1 ) 式, 得2 n( n + 1 )a - nb = ( n + 1) - n 1 + 12 n 故有12, 1>1 + 11 ª 1 + 12 n<4 .2n2 2nn上式对一切正整数 n 都成立 , 即对一切偶数 n 有 1 +1n n< 4 .联系到该数列的n 单调性,可知对一切正整数n 都有 1 + 1 n < 4 ,即数列 1 + 1n 有上界 .于是由单调有界定理推知数列 1 + 1 nn是收敛的 .通常用拉丁字母e 代表该数列的极限, 即nlimn →∞1 + 1 n= e ,它是一个无理数( 待证) , 其前十三位数字是e ≈ 2 .718 281 828 459 .①这里的证法引自Amer.Math.Monthly,1974,Vol.81,No.9,1011～1012.= n38第二章 数 列 极限以e 为底的对数称为自然对数, 通常记ln x = log e x .单调有界定理只是数列收敛的充分条件 .下面给出在实数系中数列收敛的 充分必要条件 .定理2.10 ( 柯西( Cauchy) 收敛准则)数列{ a n } 收敛的充要条件是: 对任给 的 ε>0 , 存在正整数 N, 使得当 n , m >N 时有a n - a m<ε.这个定理从理论上完全解决了数列极限的存在性问题, 它的证明将在第七 章给出 .柯西收敛准则的条件称为柯西条件,它反映这样的事实:收敛数列各项的值 愈到后面,彼此愈是接近,以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给 定的任意小正数.或者形象地说,收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起.另 外,柯西收敛准则把ε-N 定义中a n 与a 的关系换成了a n 与a m 的关系,其好 处在于无需借助数列以外的数a,只要根据数列本身的特征就可以鉴别其(收) 敛(发)散性. 例5 证明:任一无限十进小数α=0.b 1 b 2b n的n 位不足近似(n =1, 2, )所组成的数列b 1 b 1 b 2 b 1 b 2b n10 , 10 +102, , 10 + 102 ++ 10n , (2) 满足柯西条件(从而必收敛),其中 b k 为0,1,2,, 9 中的一个数, k = 1 , 2,.b 1 b 2 b n证 记 a n = 10 + 102 + + 10n .不妨设 n >m ,则有 a n - a m= b m + 1 10m + 1b m + 2 + 10 m +2 + + b n 10 n 9 10m +11+ 1 10+ + 110 n - m - 1 1 10m1 - 1 10 n- m < 1 1 10m < m .对任给的 ε> 0 , 取 N = 1, 则对一切 n >m >N 有εa n - a m <ε. 这就证明了数列(2 ) 满足柯西条件 .习题1. 利用limn → ∞1 + 1 nn= e 求下列极限:≤ =§3 数列极限存在的条件39(1) limn → ∞1 - 1nn; (2 )lim n →∞n1 + 1 nn + 1;n(3) lim n → ∞(5) lim n → ∞ 1 + 1 n + 1 1 n2. ; (4 )lim n →∞ 1+ 1;2 n2. 试问下面的解题方法是否正确:求lim 2 n.n → ∞解 设 a n = 2 及lim n →∞a n = a .由于 a n = 2 a n - 1 , 两边取极限 ( n →∞) 得 a = 2 a , 所以 a = 0 .3. 证明下列数列极限存在并求其值:(1) 设 a 1 = 2 , a n +1 = 2 a n , n = 1 ,2, ;(2) 设a 1 =c ( c >0) , a n +1 = c + a n , n = 1 ,2,;cn(3) a n =n ! ( c >0) , n = 1 ,2, .nn4.利用 1 + 1 n 为递增数列的结论,证明 1 + 1n + 1为递增数列 .5. 应用柯西收敛准则, 证明以下数列{ a n } 收敛:(1) a n =sin12+ sin2 22 + + sin n 2 n ;(2) a n = 1 + 1 + 1+ + 1 .22 32 n 26. 证明: 若单调数列{ a n }含有一个收敛子列, 则{ a n } 收敛 .a n7. 证明: 若 a n > 0 , 且lim n →∞ a n + 1= l > 1 , 则 lim a n = 0 .n →∞ 8. 证明: 若{ a n } 为递增(递减)有界数列, 则lim a n = sup { a n } ( inf { a n } ).n → ∞又问逆命题成立否?9. 利用不等式 n + 1b n+ 1 - a n+ 1 > ( n + 1 ) a n ( b - a) , b > a >0 n证明:1 + 1n为递减数列,并由此推出 1 + 1nn为有界数列 .10.证明:e- 1 + 1n<3 nn + 1n +1n提示:利用上题可知e<1+1 ;又易证 1+1<3 + 1+ 1 . nnn n a 1 + b 111. 给定两正数 a 1 与 b 1 ( a 1 >b 1 ) , 作出其等差中项 a 2 = a 1 b 1 , 一般地令2与等比中项b 2 =a n+ 1 =a n +b n2, b n+1 = a n b n , n = 1 ,2, .证明: lim a n 与 lim b n 皆存在且相等 .n →∞n →∞n1 + nα nn n40第二章 数 列 极限12. 设{ a n } 为有界数列, 记珔a n = s up {a n ,a n +1 ,}, a n = inf {a n ,a n +1 ,} .证明: (1) 对任何正整数n,珔a n ≥a n ;(2){珔a n }为递减有界数列,{a n }为递增有界数列,且对任何正整数 n, m 有珔a n ≥a m ; (3) 设珔a 和a 分别是{珔a n }和{a n }的极限,则珔a ≥a; (4) {a n }收敛的充要条件是珔a = a.总 练 习题1. 求下列数列的极限:nn 5(1) limn → ∞n 3+ 3 n; (2) lim ; n →∞ e n(3) lim ( n + 2 -2 n +1+ n). n → ∞2. 证明:(1) lim n 2 q n = 0 ( | q | < 1) ; (2 ) lim lg n= 0 (α≥1) ;n →∞ n →∞n(3) lim 1= 0. n →∞ n!3. 设 lim a n = a , 证明:n →∞(1) limn → ∞a 1 +a 2 ++a nn = a ( 又问由此等式能否反过来推出 lim a n = a) ;n →∞n(2) 若 a n > 0 ( n = 1 ,2, ) , 则limn →∞4. 应用上题的结论证明下列各题:1 + 1 +1++ 1a 1 a 2 a n = a.(1) lim2 3 n= 0 ; (2 ) lim a = 1 ( a > 0 ) ;n →∞nnn → ∞1(3) limn → ∞n =1; (4 )lim n →∞ n = 0; n !(5) limn=e ;(6 ) lim1 +2 + 3++ n=1;n → ∞(7) 若lim n → ∞ n! b n +1 b n= a ( b n > 0 ) , 则lim n →∞a nn →∞ nb n = a;(8) 若 lim ( a n - a n - 1 ) = d ,则lim = d.n → ∞ n →∞ n5. 证明: 若{ a n } 为递增数列, { b n }为递减数列, 且lim ( a n - b n ) = 0 ,n → ∞则 lim a n 与 lim b n 都存在且相等.n →∞n →∞6. 设数列{ a n }满足: 存在正数 M , 对一切 n 有A n =a 2 - a 1+a 3 - a 2++a n - a n-1≤ M .证明:数列{ a n } 与{ A n }都收敛 .nn总 练习题417. 设 a > 0 , σ>0 , a 1 =12 a +σa, a n + 1=1 σ2a n +a, n = 1 ,2,.证明:数列{ a n } 收敛, 且其极限为 σ.8. 设 a 1 >b 1 > 0 , 记a n - 1 +b n-1 2 a n - 1 b n -1a n = 2, b n = a n - 1 + b n -1, n = 2 ,3,.证明:数列{a n }与{ b n }的极限都存在且等于 a 1 b 1 .9. 按柯西收敛准则叙述数列{ a n } 发散的充要条件, 并用它证明下列数列{ a n } 是发散的:(1) a n = ( - 1) nn ; (2 ) a n = sin 10.设 lim a n = a , lim b n = b.记n π 1 2 ; (3 ) a n = 1 +2 1 + + n. n →∞n →∞S n = max { a n , b n } , T n = min { a n , b n } , n = 1 ,2,.证明: (1 ) lim n →∞S n = max { a , b} ; ( 2) lim n → ∞T n = min { a , b} .提示 : 参考第一章总练习题1 . ●。
第二章 数列极限
几何解释:
a
x2 x1 x N 1
2
a
x N 2 x3
a
x
当n N时, 所有的点 x n都落在 (a , a )内, 只有有限个 (至多只有N个) 落在其外.
an a 只须证明 注意3： 证明极限 lim n
n
a 1 n 取N , 则当 n N 时 , 有 a 1 .
故
n
lim
n
a 1
(其中a 1).
1 1 n (3) 设 0 < a < 1, 则 1, 由(2)知 lim 1. n a a
即 >0, N, 当n>N时, 有
3n 2 3 由定义 lim 2 n n 4
适当予先限定n＞n0是允许的！但最后取N时要保证n＞n0
例5 证明 lim q n 0, 其中 q 1.
n
n 则 lim q lim 0 0; 若 q 0 , 任给 0 , 证 n n
若0 q 1,
n
例如
nn 1 n 1 n 1 1 1 n n ( ( 1 ) 1 ) lim lim lim 1 lim n n 00 lim lim 1 1 n n 1 n n 1 n n 22 n n nn
小结 (1), 数列极限的定义; (2), 数列极限的几何意义; (3), 应用数列极限的定义证明数列极限的方法.
作业
P27: 1, 2, 3, 5.
0, N N , n N
有
an a
“ 0 ”是证题者给出的，给出 之后，要找
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 数列极限)【圣才出品】
第2章 数列极限§1 数列极限概念1．设（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N ：（2）对可找到相应的N ，这是否证明了a n 趋于0？应该怎样做才对；（3）对给定的ε是否只能找到一个N ？解：（1）对任意ε＞0，由．设，这个不等式成立的一个充分条件为，即．因此取即可．所以，当ε1＝0.1时，相应的；当ε2＝0.01时，相应的；当ε3＝0.001时，相应的（2）在（1）中对都找到了相应的N ．这不能证明a n 趋于0，应该根据数列极限ε－N 定义，对任意正数ε，都找到相应的N ．对于本题，由，求得这样才能证明．（3）对任意的正数ε，若存在N ，使得当n ＞N 时，都有则当n ＞N ＋1，n ＞N ＋2，…时，也成立．因此，对给定的ε，若能找到一个N，则可以找到无穷多个N ．2．按ε－N 定义证明：证明：（1）由于故对任意的ε＞0，只要取，则当n ＞N 时，，这就证明了（2）不妨设n ＞2，则对任意的ε＞0，只要取，则当n ＞N时，有（3）由于对任意的ε＞0，只要取，则当n ＞N 时，有（4）由于，对于任意的ε＞0，只要取，则当n ＞N 时（5）因为a ＞1，令a ＝1＋h ，h ＞0，由得对于任给ε＞0，取，则当n ＞N 时，有故3．根据例2、例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：解：根据数列极限可得到以下结果：（1）在中取得（2）在中取得（3）在中取a＝3，得（4）在中取，得（5）在中取得（6）在中取a＝10，得（7）在中取得其中（1）、（3）、（4）、（5）中的数列是无穷小数列．4．证明：若，则对任一正整数k，有证明：因为，所以，对于任给ε＞0，存在N，当n＞N时，于是当n＞N时，有n＋k＞n＞N，所以，因此5．试用定义1′证明：（1）数列不以1为极限；（2）数列发散．证明：定义1′：任给ε＞0，若在U（a；ε）之外数列{a n}中的项至多只有有限个，则称数列{a n}收敛于极限a．（1）取，则，当n＞1时，于是，数列{a n）中有无穷多个项落在U（1；ε）之外．由定义1′知，{a n}不以1为极限．（2）当n为偶数时．因此，数列是无界的．设a是任意一个实数，取ε＝1，则于是，数列{a n}中有无穷多个项落在U（a；1）之外，否则{a n}有界．故数列{a n}不收敛于任何一个数，即数列发散．6．证明定理2.1，并应用它证明数列的极限是1．证明：（1）定理2.1 数列{a n}收敛于a的充要条件是：{a n－a}为无穷小数列．充分性，设{a n－a}为无穷小数列，则，于是，对任意ε＞0，存在N，使得当n＞N时，即，按照数列收敛的定义，数列{a n}收敛于a．必要性，设数列{a n}收敛于a，那么，对任意ε＞0，存在N，使得当n＞N时，a n－a＜ε，即于是，数列{a n－a}收敛于0，即{a n－a}为无穷小数列．（2）因为是无穷小数列，所以7．在下列数列中哪些数列是有界数列，无界数列以及无穷大数列：解：（1）因为，所以是无界数列，但不是无穷大数列．（2）因为，所以{}是有界数列，但不存在．（3）因为，所以是无穷大数列，也是无界数列．（4）因为，所以是无界数列，但不是无穷大数列．8．证明：若当且仅当a为何值时反之也成立？证明：（1）若，则对任意ε＞0，存在N，使得n＞N时，因为，所以对于任意ε＞0，当n＞N时，也有＜ε．于是（2）当且仅当a＝0时，由可推出，此时，命题变为：证明如下：由知，对任意ε＞0，存在N，当n＞N时，即}是发|－0|＜ε,于是，如果a≠0，数列满足但数列{a散的．9．按ε－N定义证明：证明：（1）对任意ε＜0，由．则当n＞N时．故（2）因为，所以对任意ε＞0，由得，取，则当n＞N时，（3）当n为偶数时，当n为奇数时，对任意ε＞0，取，则当n＞N时，10．设a n≠0，证明的充要条件是证明：必要性，若则当n＞N时，有又因为a n≠0，所以．对取，当n＞N时，有即充分性，若则当n＞N时，有即，对，取，则当n＞N时，有，即．§2 收敛数列的性质1．求下列极限：。
数学分析课件之第二章数列极限
02
数列极限的运算性质
数列极限的四则运算性质
01
02
03
04
加法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n + y_n) =
a + b$。
减法性质
若$lim x_n = a$且$lim y_n = b$，则$lim (x_n - y_n) =
a - b$。
数列极限的性质
总结词
数列极限具有一些重要的性质，如唯一性、收敛性、保序性等。
详细描述
数列极限具有一些重要的性质。首先，极限具有唯一性，即一个数列只有一个极限值。其次，极限具有收敛性， 即当项数趋于无穷时，数列的项逐渐接近极限值。此外，极限还具有保序性，即如果一个数列的项小于另一个数 列的项，那么它们的极限也满足这个关系。
指数性质
若$lim x_n = a$且$0 < |a| < 1$ ，则$lim a^{x_n} = 1$。
幂运算性质
若$lim x_n = a$，则$lim x_n^k = a^k$（其中$k$为正整数）。
数列极限的运算性质在数学中的应用
解决极限问题
利用数列极限的运算性质，可以 推导和证明一系列数学定理和公 式，如泰勒级数、洛必达法则等
无穷小量是指在某个变化过程中，其 值无限趋近于0的变量。
性质
无穷小量具有可加性、可减性、可乘 性和可除性，但不可约性。
无穷大量的定义与性质
定义
无穷大量是指在某个变化过程中，其值无限增大的变量。
性质
无穷大量具有可加性、可减性、可乘性和可除性，但不可约性。
无穷小量与无穷大量的关系
1 2
无穷量是无穷大量的极限状态
华东师大第四版 数学分析上册
例如, f ( x) x 2 2x 3 ( x 3)( x 1).
在[1,3]上连续, 在(1,3)上可导, 且 f (1) f (3) 0,
f ( x) 2( x 1), 取 1, (1 (1,3)) f () 0.
演示文档来自WPS在线模板 /muban
涟漪
演示文档来自WPS在线模板 /muban
涟漪
演示文档来自WPS在线模板 /muban
涟漪
演示文档来自WPS在线模板 /muban
涟漪
演示文档来自WPS在线模板 /muban
涟漪
xa F ( x) xa F ( x)
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求 导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必
如果 f ( x) 仍属 0 型，且 f ( x), F ( x) 满足
F ( x)
0
定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) . xa F ( x) xa F ( x) xa F ( x)
1 拉格朗日中值定理和函数的单调性
一 罗尔定理与拉格朗日定理 二 单调函数
罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)(1在) 闭区间 [a, b] 上连续(,2)在开区间(a, b) 内可导,(3且 ) 在区间端点的函数 值相等，即 f (a) f (b),那末在(a, b) 内至少有一点 (a b),使得函数 f ( x) 在该点的导数等于零，
第一章 实数集与函数 第二章 数列极限 第三章 函数极限 第四章 函数的连续性 第五章 导数和微分 第六章 微分中值定理及其应用
2.2收敛数列的性质华师大版数学分析第二章数列的极限ppt
2.收敛数列的性质
2.2(唯一性)：收敛数列{ an } 只有一个极限.
证：设a=
，对任何b≠a，取ε0=
>0，
则在(a;ε0)之外有{ an }的有限个项，
从而，在(b;ε0)之内至多只有{ an }的有限个项，
即b不是{ an }的极限，∴收敛数列只有一个极限.
2.3(有界性)：收敛数列{an}有界，即
=a.
ห้องสมุดไป่ตู้原命题得证.
2、求数列{ }的极限.
解：记an= =1+hn，hn>0(n>1)，则有
n=(1+hn)n>
hn2，
∴0<hn<
，从而有1<an<1+
；
∵
=1；∴
=1.
2、设a1,a2,…,am为m个正数，证明： =max{a1,a2,…,am}.
证：记max{a1,a2,…,am}=aj, 1≤j≤m. 则
2.4(保号性)：若
=a>0(或<0)，则
对任何a’∈(0,a)(或a’∈(a,0))，存在正数N，使得
当n>N时，有an>a’(或an<a’).
证：当a>0时，取ε=a-a’>0，则存在正数N，
使得当n>N时，有an>a-ε=a’； 当a<0时，取ε=a’-a>0，则存在正数N，
使得n>N时，有an<ε+a=a’.
{anbn}和 不一定发散. 若取{an}= ，{bn}={n}，
则{an}收敛，{bn}发散，但{anbn}和 都收敛.
8、证明下列数列发散：
证：(1)令an= 则
2-2——华东师范大学数学分析课件PPT
b a an a c, 即 b an c.
注 若 a 0 (或a 0), 我们可取 b a ( 或 c a ) ,
则 an
a 2
0
( 或 an
a 2
0).
2
2
这也是称该定理为保号性定理的原因.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
唯一性
有界性
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
后退 前进 目录 退出
§2 收敛数列的性质
唯一性
有界性
保号性
保不等式性
| an b | .
(2)
令 N max{ N1, N2 }, 当 n > N 时 (1), (2)同时成立,
从而有
| a b | | an a | | an b | 2 .
是严格不等式.
例如 ,
虽然
1 n
2 n
,
但 lim 1 n n
lim
n
2 n
0.
数学分析 第二章 数列极限
高等教育出版社
§2 收敛数列的性质
迫敛性（夹逼原 理）
极限的四则 运算
迫敛性 (夹逼原理)
一些例子
定理2.6
设数列 {an }, {bn }都以 a 为极限, 数列{cn} 满足:
存在N0 ,当 n N0 时, 有 an cn bn , 则
数学分析 第二章 数列极限
§2 收敛数列的性质
本节首先考察收 敛数列这个新概念有 哪些优良性质,然后学 习怎样运用这些性质.
一、唯一性 二、有界性
三、保号性
四、保不等式性 五、迫敛性（夹逼原理）
六、极限的四则运算 七、一些例子
(完整版)数学分析全套课件(华东师大)
证明
由于x
<
y, 故存在非负整数n，使得x n
< yn.令r
1 2
(xn
yn
)
则r为有理数，且有x xn < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b e ,则a b.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b,则e为正数且a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有a b.
§3 函数概念
1.函数概念
❖定义
设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为
yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上表等的示,函此与数时自, 函这变数时量就应x对记理应作解的y为函g由(数x它)、值所.y确F定(x的)、函y数f(x.)
的集合, RR常记作R2.
3.实数集 ❖两个实数的大小关系
• 定义1
给定两个非负实数
x a0.a1a2 Lan L, y b0 .b1b2 Lbn L,其中a0 ,b0为非负整数， ak ,bk (k 1,2,L)为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L,则称x与y相等，记为x y；
称有理数xn a0.a1a2 Lan为实数x的n 位不足近似，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
前页 后页 返回
均可看作任意正数, 故定义 1 中的不等式
| an a | 可以用 | an a | K ( K 为某一正常数 ) 来代替. 再有, 我们还可以限定 小于某一个正数 ( 比如 < 1 ). 事实上, 对 0 < < 1 若能验证 { an } 满足 定义 1, 那么对 1 自然也可以验证成立.
一句话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 它的 意思是: 一根长为一尺的木棒, 每天截下一半, 这
样的过程可以无限制地进行下去.
我们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长度列出：
第一天截下 1 , 2
1
第二天截下
பைடு நூலகம்1 22 ,
2n , . 这样就得到一个数列:
, 第n天截下
前页 后页 返回
1 2
,
1 22
,
,
1 2n
,
,
或
1 2n
.
容易看出:
数列
1
2n
的通项
1 2n
随着 n 的无限增
大而无限趋于 0 .
前页 后页 返回
三、收敛数列的定义
一般地说,对于数列 { an }, 若当 n 充分变大时, an 能无限地接近某个常数 a , 则称 { an } 收敛于 a .
下面给出严格的数学定义. 定义1 设 {an} 为一个数列, a 为一个常数, 若对于
N
1
,
当
n
N
时,
1 0 n
,
所以
1 lim 0 . n n
前页 后页 返回
例2 用定义验证 lim qn 0 ( 0 | q | 1 ) . n
分析 对于任意的正数 , 要使 | q n 0 | , 只要
n log .
log | q |
证
0( 不妨设
0
1),
取
N
log
例4 用定义验证 lim n a 1, 其中 a 0. n
证 这里只验证 a 1的情形（0 a 1 时自证）.
设
n
1
an
1
.
因为
a
1 n n
1 nn ,
所以
0
n
n
a
1
a1 n
.
故对于任意正数
,
取
N
a1
,
当
n
N
时,
n a 1 .
因此证得 lim n a 1 . n
前页 后页 返回
五、再论 “ - N ”说法
从定义及上面的例题我们可以看出:
1. 的任意性: 定义中的 用来刻画数列 {an} 的通 项与定数 a 的接近程度. 显然正数 愈小,表示 a n 与 a 接近的程度愈高； 是任意的, 这就表示 an 与 a 可以任意接近.要注意， 一旦给出，在接下
来计算 N 的过程中，它暂时看作是确定不变的.
前页 后页 返回
3. 极限的几何意义
从几何上看,“n N 时有 | an a | ”,实际上就是 所有下标大于 N 的 an 全都落在邻域 U(a; )之内， 而在 U(a; ) 之外, { an } 至多只有有限项( N 项 ). 反过来, 如果对于任意正数 , 落在 U(a; )之外至
注 定义1 这种陈述方式，俗称为 “ - N ”说法.
前页 后页 返回
四、按定义验证极限
为了加深对数列收敛定义的了解, 下面结合例题加
以说明, 希望大家对 “ - N ”说法能有正确的认识.
例1
用定义验证:
lim
n
1 n
0.
分析
对于任意正 数
, 要使
1 n
0
,
只要
n
1
.
证
对于任意的正数 , 取
为数列.因为N+的所有元素可以从小到大排列出来, 所以我们也将数列写成
a1 , a2 , , an , ,
. . . . a.2
a1 an
an1
或简记为 {an}. 这里 an 称为数列 {an} 的通项. O 1
2
n1 n
前页 后页 返回
二、一个经典的例子
古代哲学家庄周所著的《庄子 ·天下篇》引用了
log | q |
,
当 n N 时,有
|qn0| .
这就证明了 lim q n 0. n
前页 后页 返回
例3
用定义验证
n2
lim
n
3n2
n
7
1. 3
分析 任给 0, 由
n2
1
n7
3n2 n 7 3 3（3n2 n 7） ,
当 n 7 时, n 7 2n, 3n2 n 7 3n2 2n 2n2,
多只有有限项, 设这些项的最大下标为 N, 这就表
示当
n
>N
时, an U(a; ) ,
即
lim
n
an
a.
前页 后页 返回
以上是定义 1 的等价说法, 写成定义就是:
定义1' 任给 0 , 若在 U(a; ) 之外至多只有
{ an } 的有限多项, 则称数列 { an } 收敛于a . 这样,
任意的正数 0 ,总存在正整数 N, 使当 n >N 时, | an a | ,
则称数列 { an } 收敛于a , 又称 a 为数列 { an }的极限,
前页 后页 返回
记作
lim
n
an
a
( 或 an a, n ) .
aN 1 an
(
)
a1 a a a a2
x
若{ an }不收敛, 则称 { an }为发散数列.
故要使
n7 （3 3n2 n 7）
2n 6n2
1 3n
成立,
只要 n 1
3
即可.
前页 后页 返回
注意 解这个不等式是在 n 7 的条件下进行的.
证 对于任意的正数 , 取
当
n
N
时,
N 有
max
7,
1
3
,
3n2
n2 n
7
1 3
,
即得
lim
n
3n2
n2 n7
1. 3
前页 后页 返回
{ an } 不以 a 为极限的定义也可陈述为:存在 0 0, 使得在 (a 0，a 0 ) 之外含有 { an } 中的无限多
§1 数列极限的概念
数列极限是整个数学分析最重要的基础
之一, 它不仅与函数极限密切相关，而且
为今后学习级数理论提供了极为丰富的准 备知识.
一、数列的定义
二、一个经典的例子
三、收敛数列的定义
四、按定义验证极限
五、再论 “ - N ”说
法六、一些例子
前页 后页 返回
一、数列的定义
若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 N+ , 则称 f : N+ R 或 f (n), n N+
2. N 的相对性:从定义1 中又可看出, 随着 的取值
不同, N 当然也会不同. 但这并不意味着 N 是由
前页 后页 返回
惟一确定. 例如, 当 n >N 时, 有 |an a| ,
则当 n > N1 = 2N 时, 对于同样的 , 更应有 |an a| .
也就是说, 在这里只是强调 N 的存在性, 而不追 求 N 的 “ 最佳性 ” .