数学建模1
数学建模活动(1)-练习题
课后练习
请同学们仿照上述过程开展一次建立模型解决实际问题的活动，可以继续研究不同室温下泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，也可以从下列选题中选择一个：
1、应在炒菜之前多长时间将冰箱里的肉拿出来解冻？
2、根据某一同学的身高和体重，判断该同学是否超重.
3、用微波炉或电磁炉烧一壶开水，找到最省电的功率设定方法.
4估计阅读一本书所需要的时间.
也可以根据自己的兴趣成3—5人的研究小组，每位同学参加其中一个小组。在小组内，要确定一个课题负责人，使每位成员都有明确的分工.拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手册，然后在班里进行一次开题报告。
数学建模的主要建模方法
数学建模的主要建模方法数学建模是指运用数学方法和技巧对复杂的实际问题进行抽象、建模、分析和求解的过程。
它是解决实际问题的一个重要工具，在科学研究、工程技术和决策管理等领域都有广泛的应用。
数学建模的主要建模方法包括数理统计法、最优化方法、方程模型法、概率论方法、图论方法等。
下面将分别介绍这些主要建模方法。
1.数理统计法：数理统计法是基于现有的数据进行概率分布的估计和参数的推断，以及对未知数据的预测。
它适用于对大量数据进行分析和归纳，提取有用的信息。
数理统计法可以通过描述统计和推断统计两种方式实现。
描述统计主要是对数据进行可视化和总结，如通过绘制直方图、散点图等图形来展示数据的分布特征；推断统计则采用统计模型对数据进行拟合，进行参数估计和假设检验等。
2.最优化方法：最优化方法是研究如何在给定的约束条件下找到一个最优解或近似最优解的方法。
它可以用来寻找最大值、最小值、使一些目标函数最优等问题。
最优化方法包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等方法。
这些方法可以通过建立数学模型来描述问题，并通过优化算法进行求解。
3.方程模型法：方程模型法是通过建立数学方程或函数来描述问题，并利用方程求解的方法进行求解。
这种方法适用于可以用一些基本的方程来描述的问题。
方程模型法可以采用微分方程、代数方程、差分方程等不同类型的方程进行建模。
通过求解这些方程，可以得到问题的解析解或数值解。
4.概率论方法：概率论方法是通过概率模型来描述和分析不确定性问题。
它可以用来处理随机变量、随机过程和随机事件等问题。
概率论方法主要包括概率分布、随机变量、概率计算、条件概率和贝叶斯推理等内容。
利用概率论的方法，可以对问题进行建模和分析，从而得到相应的结论和决策。
5.图论方法：图论方法是研究图结构的数学理论和应用方法。
它通过把问题抽象成图，利用图的性质和算法来分析和求解问题。
图论方法主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流等内容。
数学建模介绍
数学建模介绍1.1 数学模型及其分类数学建模作为用数学方法解决问题的第一步，它与数学本身有着同样悠久的历史。
一个羊倌看着他的羊群进入羊圈，为了确信他的羊没有丢失，他在每只羊进入羊圈时，则在旁边放一颗小石子，如果每天羊全部入圈而他那堆小石子刚好全部放完，则表示他的羊和以前一样多。
究竟羊倌数的是石子还是羊，那是毫无区别的，因为羊的数目同石子的数目彼此相等。
这实际上就使石子与羊“联系”起来，建立了一个使石子与羊一一对应的数学模型。
（1）什么是数学模型人们在认识研究现实世界里的客观对象时，常常不是直接面对那个对象的原形，有些是不方便，有些甚至是不可能直接面对原形，因此，常常设计、构造它的各种各样的模型。
如各式各样的玩具模型、展览厅里的三峡大坝模型、化学上的分子结构模型等。
这些模型都是人们为了一定目的，对客观事物的某一部分进行简化、抽象、提炼出来的原形替代物，集中反映了原形中人们需要的那一部分特征，因而有利于人们对客观对象的认识。
数学模型也是反映客观对象特征的，只不过它刻画的是事物在数量方面的特征或数学结构及其变化规律。
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个数学表述。
建立数学模型的过程称为数学建模。
(2) 数学模型的重要作用进入20世纪以来，数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，作为数学的应用，数学建模也越来越受到人们的重视。
在一般工程技术领域，数学模型仍是工程技术人员定量研究有关工程技术问题的重要工具；而随着数学与其他学科领域诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生；计算机的发展给数学及作为数学应用的数学建模带来了前所未有的机遇和挑战。
计算机改变了人类的生活方式、思考方式和研究方式，极大地提高了人们的计算能力、搜索和分析海量数据和信息的能力。
数学建模基础练习一及参考答案
数学建模基础练习一及参考答案数学建模基础练习一及参考答案练习1matlab练习一、矩阵及数组操作：1．利用基本矩阵产生3×3和15×8的单位矩阵、全1矩阵、全0矩阵、均匀分布随机矩阵（[-1，1]之间）、正态分布矩阵（均值为1，方差为4）,然后将正态分布矩阵中大于1的元素变为1，将小于1的元素变为0。
2．利用fix及rand函数生成[0，10]上的均匀分布的10×10的整数随机矩阵a，然后统计a中大于等于5的元素个数。
3．在给定的矩阵中删除含有整行内容全为0的行，删除整列内容全为0的列。
4．随机生成10阶的矩阵，要求元素值介于0~1000之间，并统计元素中奇数的个数、素数的个数。
二、绘图：5．在同一图形窗口画出下列两条曲线图像，要求改变线型和标记：y1=2x+5；y2=x^2-3x+1，并且用legend标注。
6．画出下列函数的曲面及等高线：z=sinxcosyexp(-sqrt(x^2+y^2))．7．在同一个图形中绘制一行三列的子图，分别画出向量x=[158101253]的三维饼图、柱状图、条形图。
三、程序设计：8．编写程序计算（x在[-8，8]，间隔0.5）先新建的，在那上输好，保存，在命令窗口代数；9．用两种方法求数列：前15项的和。
10．编写程序产生20个两位随机整数，输出其中小于平均数的偶数。
11．试找出100以内的所有素数。
12．当时，四、数据处理与拟合初步：13.随机产生由10个两位随机数的行向量A,将A中元素按降序排列为B,再将B重排为A。
14．通过测量得到一组数据：t12345678910y4.8424.3623.7543.3683.1693.0383.0343.0163.0123.005分别采用y=c1+c2e^(-t)和y=d1+d2te^(-t)进行拟合，并画出散点及两条拟合曲线对比拟合效果。
15．计算下列定积分：16．（1）微分方程组当t=0时，x1(0)=1，x2(0)=-0.5，求微分方程t在[0，25]上的解，并画出相空间轨道图像。
1 数学建模的概念和方法
0 (0, /2), 使 h(0)=0，
即存在0, 使 f(0) = g(0)=0.
C
A
D
思考题
长方形的椅子结果还成立吗？
思考题
某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午 5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路径下
山，下午5时回到旅店. 某乙说，甲必在两天中的
同一时刻经过路径中的同一地点. 为什么？
(3, 0)循 (0,1) (3, 1) (0, 2) S5 (3,1) d5 (1, 0) S6 (2,1) (1,1) (2, 0) (2, 0) (1,1) (0,1) (1,2) (0,2) (1,3) S 6 (1,1) d 6 (1,0) S 7 (2,1) (1,1) (2,2) (2,0) (3， 1)
数学建模竞赛宗旨
通过数学建模竞赛活动，提高学生运用数学 理论和方法、利用文献、计算机等工具分析 和解决实际问题的能力，鼓励学生踊跃参加 课外科技活动，开拓知识面，丰富校园学术 氛围，培养学生的创新思维，合作精神. 促 进学科交叉.
数学建模竞赛内容与形式 内容 • 赛题：工程、管理中经过简化的实际问题
1.1
数学建模的概念
• 数学建模，简单地讲就是用数学的知识和方法去 解决实际问题. • 一个简单的例：甲乙两地相距750公里，船从甲到 乙顺水航行要30 小时，从乙到甲逆水航行要50 小 时，问船速、水速是多少？
解：设 x 为船速，y 为水速，有
(x + y) 30 = 750 (x - y) 50 = 750 解之 x = 20 ，y = 5.
模型构成:
•
首先 用变量表示“椅子的位置”.
数学建模简介1
数学建模的方法和步骤
模型假设
在明确建模目的，掌握必要资料的基础上， 通过对资料的分析，根据对象的特征和建 模目的，找出起主要作用的因素，对问题 进行必要的、合理的简化，用精确的语言 提出若干符合客观实际的合理假设。
数学建模的方法和步骤
模型假设
作出合理假设，是建模至关重要的一步。 如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是 一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超 的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判 断力 ，善于辨别主次，而且为了使处理方 法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
看谁答得快
1、某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山，下 午5时到达山顶并留宿。次日早8时沿同一路径下 山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天中 的同一时刻经过路径中的同一地点，为什么？
2、两兄妹分别在离家2千米和1千米且方向相反 的两所学校上学，每天同时放学后分别以4千米/ 小时和2千米/小时的速度步行回家，一小狗以6千 米/小时的速度从哥哥处奔向妹妹，又从妹妹处奔 向哥哥，如此往返直至回家中，问小狗奔波了多 少路程？
四、模型的特点：
逼真性和可行性 渐进性 强健性 可移植性 非预测性 条理性 技艺性 局限性
五、建模能力的培养：
具有广博的知识（包括数学和各种实际知 识）、丰富的经验、各方面的能力、注意 掌握分寸。
具有丰富的想象力和敏锐的洞察力
类比法和理想化方法
直觉和灵感
实例研究法
学 习 、 分 析 别 人 的 模 型 亲 手 去 做
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
什么是数学建模
什么是数学模型？
简单地说：数学模型就是对实际问题的一种 数学表述。
具体一点说：数学模型是以部分现实世界为某 种研究目的的一个抽象的、简化的数学结构。 这种数学结构可以是数学公式、算法、表格、 图示等。
1_数学建模是什么
数学建模专题材料1 数学建模是什么简而言之，数学建模就是用数学的方法解决实际问题。
当我们遇到一个实际问题时，首先对其进行分析，把其中的各种关系用数学的语言描述出来。
这种用数学的语言表达出来的问题形式就是数学模型。
一旦得到了数学模型，我们就将解决实际问题转化成了解决数学问题。
然后，就是选择合适的数学方法解决各个问题，最后将数学问题的结果作为实际问题的答案。
当然，这一结果与实际情况可能会有一些差距，所以我们就要根据实际情况对模型进行修改完善，重新求解，直至得到满意的结果。
实际上，数学建模对于同学们来讲并不是全新的事物，在中小学阶段做的数学应用题就是数学建模的简单形式。
现在，同学们学习了许多高等数学知识，所面临就是要用高等数学的知识和方法，并借助计算机来解决更接近实际的规模较大的问题。
所以参加数学建模活动是一个很有意义的科研实践机会，同时会让你认识到高等数学在实际生活中的巨大作用，提高学习数学的积极性。
2 数学建模的应用今天，在国民经济和社会活动的以下诸多方面，数学建模都有着非常具体的应用。
分析与设计例如描述药物浓度在人体内的变化规律以分析药物的疗效；建立跨音速空气流和激波的数学模型，用数值模拟设计新的飞机翼型。
预报与决策生产过程中产品质量指标的预报、气象预报、人口预报、经济增长预报等等，都要有预报模型。
使经济效益最大的价格策略、使费用最少的设备维修方案，是决策模型的例子。
控制与优化电力、化工生产过程的最优控制、零件设计中的参数优化，要以数学模型为前提。
建立大系统控制与优化的数学模型，是迫切需要和十分棘手的课题。
规划与管理生产计划、资源配置、运输网络规划、水库优化调度，以及排队策略、物资管理等，都可以用运筹学模型解决。
3 数学建模的意义数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关的。
作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。
数学建模问题1
在习题1-8中，情景是模糊地陈述的。
从这些模糊的情景中，识别要研究的问题。
哪些变量影响到问题识别中你已经识别的行为？哪些变量最重要？记住，实际上没有正确的答案．1．单种群的总量增长．2．一家零售店要建造一个新的停车场，停车场应该怎样照明？3．一位农民期望他的地里种植的粮食农作物的产量达到最大，他正确地识别了问题吗？试讨论另一种目标．4．怎样设计一个供大班级用的演讲厅？5．一个物体从很高的地方掉下来．何时它撞击到地面？撞击到地面的力度有多大？6．某种产品的制造商应该怎样决定每年应该生产多少件产品，以及每件产品应该标价多少？7．美国食品及药物管理局(FDA)想要了解一种新药对控制人口中的某种疾病是否有效．8．滑雪者滑下山坡有多快？对于习题9～17中提出的情景，识别值得研究的问题并列出会影响你已经识别的行为的变量．哪些变量可以完全忽略？哪些变量在开始时可以认为它们是常数？你能识别出你想仔细研究的子模型吗？识别任何你想收集的数据．9．一位植物学家有兴趣研究叶子的形状以及影响叶子长成这种形状的各种支配力量，她从一棵白橡树的底部剪下几片叶子，发现叶子相当宽，没有很明显的锯齿形．当她到树的顶部去看时，她发现有很明显的锯齿形而几乎没有展得很宽的叶子．10. 不同大小的动物其他特性也不同．小动物比之于较大的动物，叫声尖细、心跳较快以及呼吸次数更多．另一方面，较大的动物的骨骼比小动物的骨骼更为强健，较大的动物的直径和体长之比大于小动物．所以，当体格从小到大增加时，存在着以和动物尺寸的比例相应的规则的变形．11．一位物理学家想要研究光的性质．他想了解当光线从空气进入平滑的湖中，特别是在两种不同介质的交界处，光线的路径．12. 拥有一队卡车的一家公司面临着因卡车使用年限和油耗而增加的维修费用．13. 人们偏爱于计算机的速度．哪些计算机系统提供了最快的速度？14. 怎样提高我们的能力，使得每学期都能报名上最好的班级？15．怎样才能节约我们的一部分收入？16. 考虑在竞争市场情况下一家刚开始运转的生产单一产品的新公司．讨论该公司营业初期的短期和长期目标，这些目标会怎样影响到雇员工作的指派？该公司有必要决定短期运行的最大利润吗？17. 讨论利用模型来预测实际系统和利用模型来解释实际系统之间的差别．想象某些你要利用模型来解释实际系统的情景；类似地，想象你要利用模型来预测实际系统的其他情景．研究课题1．考虑冲泡咖啡的味道问题. 什么是影响味道的变量？哪些变量一开始可以忽略？假定除了水温外，已经固定了所有的变量，多数咖啡壶都用沸水以某种方式从底部的咖啡中蒸馏出滋味. 你认为用沸水是产生最佳滋味的最优方式吗？你将怎样检验这个子模型？你将收集什么样的数据以及怎样去收集这些数据？2．一家运输公司正在考虑用直升飞机在纽约市摩天楼之间运送人员，你被聘为顾问确定所需直升飞机的数量．精确地识别适当的问题，运用模型构建的过程来确定你所选定的变量之间的关系所需要的数据．当你着手进行时，可能需要重新定义你的问题．3．考虑酿酒问题. 提出若干商业制造商可能会有的目标．把考虑品位作为一个子模型，什么是影响品位的变量？哪些变量一开始就可以忽略？怎样把余下的变量关联起来？为确定这些关系，什么样的数据将是有用的？4．一对夫妇应该买房子还是租房子？因为抵押的费用上涨，直观上看，似乎存在一个抵押费用的价位，高于这个价格决不要去抵押贷款买房．什么变量决定了总的抵押费用？5．考虑一家诊所的运作问题．病人个人的病历档案必须保存，而会计程序是一项日常工作，该诊所应该购买或者租用一个小型的计算机系统吗？提出可能要考虑的目标．什么变量你会加以考虑？你怎样建立变量之间的关系？为决定你所选择的变量之间的关系，需要什么样的数据？为什么不同诊所对这个问题会有不同的解决办法？6．什么时候车主应该更新汽车？什么因素会影响到做出决定？哪些变量一开始可以忽略？识别你要的数据以决定所选择的变量之间的关系．7．一个人能跳多远？在1968年墨西哥城举行的奥运会上，美国的鲍勃·比蒙把世界纪录提高了10%，该记录一直保持到1996年的奥运会，列出影响跳远距离的变量．你认为墨西哥城的低空气密度可以解释这个10%的差别吗？8．上大学是一项可靠的金融投资吗？四年里没有收入，而且大学的费用极高，什么因素决定大学教育的总费用？怎么确定为使这项投资有利可图的必要条件？。
数学建模[1]
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三、 模型求解
第一步：先考虑 N=10 的分配方案， p1=235,p2=333,p3=432 3 i=1 pi=1000. 方法一（按比例分配） 3 q1=p1*N/( 3 q3=p3*N/( 3 i=1 pi)=2.35, q2=p2*N/( i=1 pi)=3.33, i=1 pi)=4.32 分配结果为:n1=3,n2=3,n3=4 方法二： （Q 值方法） 9 个席位的分配结果（用按比例分配）为：n1=2,n2=3,n3=4 第 10 个席位：计算 Q 值为 Q1=235^2/(2*3)=9204.17 Q2=333^2/(3*4)=9240.75, Q3=432^2/(4*5)=9331.2 比较 Q1，Q2，Q3 发现 Q3 最大，第 10 个席位应给 C,分配结果为 n1=2,n2=3,n3=5 方法三： （d’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：n1=2,n2=3,n3=5 此方法的道理是： 记 pi 和 ni 为各宿舍的人数和席位 （i=1,2,3 代表 A、 B、 C 宿舍） 。 pi/ni 是每席位代表人数， 取 ni=1,2,……从而得到的 pi/ni 中选较大者，可使对所 有的 i，pi/ni 尽量接近。 第二步：考虑 N=15 的分配方案 方法一:（按比例分配） 3 3 q1=p1*N/( 3 i=1 pi)=3.525 q2=p2*N/( i=1 pi)=4.995 q3=p3*N/( i=1 pi)=6.48 按比例分配的结果为：n1=4,n2=5,n3=6 方法二： （Q 值方法） 14 个席位的分配结果：n1=3,n2=5,n3=6 Q1=235^2/(3*4)=4602.08,Q2=333^2/(4*5)=3696.3,Q3=432^2/(5*6)=4443.428 比较 Q 值，发现 Q1 最大,第 15 个席位应给 A， 分配结果为：n1=4,n2=5,n3=6 方法三： （d’Hondt 方法） 结果如下表： 1 235 333 432 2 117.5 166.5 216 3 78.3 111 144 4 58.75 83.25 108 5 47 66.6 86.4 6 39.17 55.5 72 7
数学建模1
利用线性规划求解草坪安装问题模型摘要：本文主要利用线性规划的方式，在不同的喷头中选出最优的组合并将其安装到矩形草坪中。
前提是要做到无缝喷灌，使得草坪各处都可以浇灌到水。
在本文的几个模型中，我们都做了喷头喷管的范围是一个稳定的圆面这一假设，并且是在草坪足够大的前提下，以至于边界上的误差可以忽略不计。
主要利用几何学的知识，并根据需求做了相关的定义。
利用LINGO求出最优解。
在问题一中，首先考虑了一种半径的喷头最优的结果，利用效率最大（82.7％）的时候，基本单元为正三角形；然后考虑两种喷头，其组合的最优利用率接近1，此时为等腰三角型，比给出了安装两种喷头的半径和安装图，最后考虑用尽可能多的喷头时，喷灌效率也接近1.在问题二中，类比于问题一中的相关思想，由于一般三角形也具有良好的延展性，因而可以将单元格细化到一般三角形当中，定义出成本密度的概念。
利用物理学中微扰理论的相关思想，先求出成本的主要来源，即喷头的安装，成本密度可以近似为喷头的成本密度。
再考虑水管的安装，类比于电路的相关知识，水管网类比于电网，水流类比于电流，则考虑到实际情况要将水管分级安装，利用几何学的知识，找出各级水管的最优解。
在问题三中，关键字：模型背景：我国是个农业大国，然而农业生产所需的水资源却呈现出，分布不均匀，人均量较少，总体短缺较为严重的特点。
因而改良灌溉技术迫在眉睫。
近几年，随着农业科技的发展，各种灌溉的方案措施相继出现。
喷灌的方法相对于其他浇灌方案有着水的利用率较高，成本较低，且操作简单，适宜大规模的浇灌的优势。
本文将在之前的灌溉方案的基础上，建立数学模型，通过合理安排喷头和管道的位置，从而增大喷灌效率，较少喷灌成本，以改量现有的喷灌方案。
问题重复：在目前干旱问题日趋严重的情况下，喷灌法已然成为一种上佳的灌溉方式，但是，为此要涉及到一个安装喷头的问题，根据喷头的流量、射程、价格等参数选择几种组合使用，安装时主要考虑位置和成本。
1数学建模简介
数学建模与能力的培养 仅最近几年里， 仅最近几年里，我
校学生都在只参加 锻炼， ①数学建模实践的 了半年左右的学习 每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼， 在调查研究阶段， 和实践后，就在全 要用到观察能力 分析能力和 观察能力、 在调查研究阶段，需 要用到观察能力、分析能力和数据 和实践后， 处理能力等 处理能力等。在提出假设 时，又需要用到 想象力和归纳 国大学生数学建模 开设数学建模课的主要目的为了提高学 简化能力。 生的综合素质 简化能力。 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 综合素质， 竞赛中交出了非常 题的本领。 题的本领。 在真正开始自己的研究之前， ，夺得 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 出色的论文， 出色的论文 前人或别人的工作， 前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继 了国家奖2 了国家奖2项、省 续而不是别人工作的重复， 续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果 一等奖五项的好成 用作你的假设，去探索新的奥秘。 用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在 查到并学会我想应用的知识的本领 我想应用的知识的本领。 尽可能短的时间 内绩。 查到并学会我想应用的知识的本领。
数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同之处在于它来 自实际问题或有明确的实际背景， 自实际问题或有明确的实际背景，它的宗旨是培养 大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力， 大学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，培 养创新意识、团队精神，鼓励参与、提倡公平竞争， 养创新意识、团队精神，鼓励参与、提倡公平竞争， 提高学生综合素质。 提高学生综合素质。 整个比赛要完成一篇包括问题的阐述分析， 整个比赛要完成一篇包括问题的阐述分析，模型的 假设和建立，计算结果及讨论的论文。 假设和建立，计算结果及讨论的论文。通过训练和 比赛，同学们不仅用数学方法解决实际问题的意识 比赛， 和能力有很大提高， 和能力有很大提高，而且在团结合作发挥集体力量 攻关， 攻关，以及撰写科技论文等方面将都会得到十分有 益的锻炼。 益的锻炼。
第1讲_什么是数学建模
合理化假设
显然该问题与瓶子和石子的形状及 其排列方式有关，为简单起见我们假设： • 瓶子是正方体的且不考虑瓶口的体积。 • 乌鸦投进的石子是大小相同的球体。 • 瓶子中摆放的方法如图1所示
图1
合理化假设
• 瓶子的边长是石子直径的整数倍，不妨 设为n倍（显然，如果不是整数倍的话， 那石子间的空隙会更大，不利于乌鸦喝 到水） • 石头内部渗进的水忽略不计。
与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性
数学建模的全过程
现 实 世 界
现实对象的信息
验证 现实对象的解答
表述
(归纳)
解释
数学模型
求解 (演绎) 数学模型的解答
数 学 世 界
表述 求解 解释
根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问 题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象
原比(l/h)
０．６０７１ ０．６０７１ ０．６０７１ ０．６０７１
身高(cm) 鞋跟高度(cm) 新比值
１６８ １６８ １６８ １６８ ２．５ ３．５５ ４．５ ４．７７４８ ０．６１２９ ０．６１５１ ０．６１７３ ０．６１８
问题的检验
• 又如，按照上述模型，身高153CM，下肢 长为92CM的女士，应穿鞋跟高为6.6CM的 高跟鞋显得比较美。
明确建模目的 掌握对象特征
形成一个 比较清晰 的‘问题’
数学建模的一般步骤
模 型 假 设 建 立 模 型 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
用数学的语言、符号描述问题
发挥想像力
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤
模型 求解 模型 分析 模型 检验 模型应用 各种数学方法、软件和计算机技术 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析
数学建模简介课件
数据质量的可靠性
在数据驱动的数学建模中，如何保证 数据的质量和可靠性是一个重要的问 题，需要采取一系列的数据清洗和预 处理技术。
多学科交叉的数学建模
数学与其他学科的结合
数学建模已经不再局限于传统的数学领域，而是与其他学 科如物理、化学、生物、工程等相结合，形成多学科交叉 的数学建模。
跨学科知识的整合
它涉及到对问题的深入理解、相关数 据的收集和分析、选择合适的数学方 法和工具、建立数学模型、求解模型 并解释结果等步骤。
数学建模的应用领域
01
02
03
04
自然科学
物理、化学、生物等学科中的 问题可以通过数学建模进行定
量分析和模拟。
工程和技术
在机械、电子、航空航天、计 算机等领域，数学建模被广泛 应用于设计、优化和预测。
详细描述
传染病传播是一个动态的过程，受到个体行 为、环境因素和疾病特性等多种因素的影响 。通过建立数学模型，我们可以模拟疾病的 传播过程，预测疫情的发展趋势，并提供有 效的防控措施。常见的模型包括SIR模型和
SEIR模型。
物流优化模型
要点一
总结词
描述了如何使用数学模型来优化物流网络，提高运输效率 并降低成本。
总结词
微分方程建模是利用微分方程来描述和解决实际问题的数学 建模方法。
详细描述
微分方程建模通过建立数学模型来描述现实世界中变量之间 的关系，特别是那些随时间变化的变量之间的关系。例如， 人口增长模型、传染病传播模型等都是通过微分方程来建立 的。
微分方程建模
总结词
微分方程建模是利用微分方程来描述和解决实际问题的数学 建模方法。
跨学科知识的整合
在多学科交叉的数学建模中，如何有效地整合不同学科的 知识是一个重要的问题，需要具备跨学科的知识和视野。
§1数学建模
第一章矩阵1.2 矩阵和运算 1.2.1 连加号1.n i i a =∑其中 称为连加号. Σ为了简便起见，我们经常将若干个数连加的式子 记为 12n a a a +++ i a 1i = 指出了i 所取的最小值， 表示一般项.i 称为求和指标.n指i 所取的最大值.注 只要不与连加号中出现的其它指标混淆，用什么字母作为求和指标是任意的, 例如11.n i j ni j a a ===∑∑在数域F 中，连加号具有以下性质：111().n n ni i i ii i i ab a b ===+=+∑∑∑11().n n i i i i c c a a ===∑∑考虑下列阵列所有项的和.11121 2122212,,,,,,,,,,,nnm m mn a a aa a aa a a12111+n n nj j mj j j j a a a ====++∑∑∑ 111212122212()()()n n m m mn a a a a a a a a a ++++++++++++ 若先按行相加，再将每行的元素加起来，则这mn 个数的和等于 11()m n ij i j a ===∑∑12111m m mi i in i i i a a a ====++∑∑∑ 若先按列相加，再将每列的元素加起来，则这mn 个数的和等于 11()n m ij j i a ===∑∑111212122212nnm m mna a a a a a a a a ++++++++++++11.m n ij i j a ==∑∑11()mn ij i j a ==∑∑11().n mij j i a ===∑∑可见 则以下性质成立：,,1111.m n n mi j i j i j j i a a =====∑∑∑∑若采用双重连加号，记 为 11()m nij i j a ==∑∑•例1 用连加号表示下列式子1211n n n a b a b a b −+++ 121321233132a b a b a b a b a b a b +++++•例2用双重连加号表示下列式子,1i j j i n a ≤≤≤∑•问题如何用双重连加号表示 ？,1i j i j n a ≤<≤∑。
初中数学建模(第一课) PPT课件 图文
二、解答数学模型问题的一般步骤
（1）明确实际问题，并熟悉问题的背景； （2）构建数学模型（例如：方程模型、不等式模型、函数模
型、几何模型、概率模型、统计模型等）; （3）求解数学问题，获得数学模型的解答； （4）回到实际问题，检验模型，解释结果。
三、初中数学建模的几种题型
1、建立“方程(组)”模型 2、建立“不等式(组)”模型 3、建立“函数”模型 4、建立“几何”模型 5、建立“概率”与“统计”模型
数学建模（第一课）
一、数学模型思想在初中数学中的意义
所谓数学模型，是指通过抽象和模拟，利用数学语言和方 法对所要解决的实际问题进行的一种刻画 。一般地，通过建立 数学模型来解决实际问题的过程称为数学建模。
数学教学要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并 进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时， 在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
现实生活中同样也广泛存在着数量之间的 不等关系。如市场营销、生产决策、统筹 安排、核定价格范围等问题,可以通过给出 的一些数据进行分析，将实际问题转化成 相应的不等式问题，利用不等式的有关性 质加以解决。
例9、小明准备用50元钱买甲、乙两种饮料 共10瓶。已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶 4元，则小明最多能买多少瓶甲饮料？
所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升 高3cm；
（2）设应放入大球m个，小球n个．由题意，
得：
解得： m 4
n
6
答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6
个．
方法归纳：本题考查了列一元一次方程和列二元 一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组
数学建模第1章线性规划
数学
建模
例 1.6
min{max
xi
yi
|
ei
|}，其中e i
=
xi -
yi 。
取v
=
max yi
|
e
i
|，这样，上面的问题就变换成
min v，
s.t.
ìïïíïïî
x1 y1
-
y1 ? x1 ?
v,L , xn v,L , yn
yn ? v, n ? v.
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基础部数学教研室
数学 建模
2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.
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数学 建模
解 （1）化成 Matlab 标准型
min w = - 2x1 - 3x2 + 5x3，
s.t.
轾 犏- 2 犏 臌1
5 3
-1 1
轾 犏x1 犏 犏x2 犏 臌x3
a=1 -1 -1 1 1 -1 1 -3 1 -1 -2 3;
enddata
min=@sum(col:c*@abs(x));
@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@for(col:@free(x)); !x的分量可正可负;
end
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@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)*x(j))<b(i));
@sum(col:x)=7;
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end
基础部数学教研室
数学 建模
例 1.2 求解下列线性规划问题 max z = 2x1 + 3x2 - 5x3， s.t. x1 + x2 + x3 = 7， 2x1 - 5x2 + x3 ? 10， x1 + 3x2 + x3 ? 12， x1, x2 , x3 ³ 0.
数学建模作业(一)1
第一题: 某班共45人，要去离校7.7千米的风景区旅游。
学校派了一辆可坐12人的校车接送。
为了尽快又同时到达目的地，校车分段分批接送学生。
已知校车速度为每小时70千米，学生步行的速度为每小时5千米。
如果上午七点出发，问最快什么时候全班同时到达目的地？（班长作为联系人要始终跟车）
第二题：某人为了锻炼身体,每天早晨坚持晨跑30分钟, 其中从A到B为800米上坡路，从B到C为1000米平路。
问在30分钟内跑完1800米，怎样安排跑步计划，才能使锻炼效果最佳？（即总疲劳程度伟为最低）
第三题：一辆小汽车与一辆大卡车在一段狭路上相遇，只有倒车才能继续通行。
如果小汽车的速度为大卡车的3倍，两车倒车的速度是各自正常速度的1/5，在这段狭路上，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车路程的4倍。
那么，为了使后通过狭路的那辆车尽早地通过这段狭路，问怎样倒车较为合理？
第四题：某人在一家公司工作，目前年薪为1万元。
老板说，现在有两种方案可供选择：第一种，每一年加1000元；第二种，每半年加300元。
试问：
（1）如果你在该公司工作5年，用哪一种方案收入高？
（2）如果你在该公司工作5年，将第二种方案中的每半年加300元改为a元时，那一种方案收入高？
（3）如果你在该公司工作n年，用哪一种方案收入高？
第五题：一个直角走廊宽为1.5米，有一辆转动灵活的平板水平推车，宽为1米，长为2.2米，问能否将其推过直角走廊？说明理由。
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航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）；
• 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
测量结果为:未打开罐时饮料罐 的重量为 克,倒出来的可乐 • 370 实际上 ,饮料罐的形状是左平面 确实重355图形绕其中轴线旋转而成的立 克,空的饮料罐重量 体. 为15克,装满水的饮料罐重量为 • 可以把饮料罐的体积看成两部 380克.这和我们的近似计算 分,一是上底半径为3厘米,下底 380.2立方厘米十分接近！饮料 半径为3.3 厘米,高为1厘米的锥 罐不能装满饮料(365克),而是留 台,二是半径为3.3厘米,高为 有10立方厘米的空间余量 10.2厘米的圆柱体..它们的体积
模型的建立
饮料罐的半径为 r (因此,直径为2r), 罐的高为. h 罐内体积为. V 除顶盖外的材料的厚度.b 顶盖的厚度为 b (顶盖就能感觉到更硬) 其中,r,h是自变量, 所用材料的体积SV是因变量, 而b 和V是固定参数, 是待定参数
( (r b) r )(h (1 )b)
题的本领。撰写论文的初步方法.
1.6 初等方法建模
1 雨中行走
２ 公平的席位分配
1 雨中行走
一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离
家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间
去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设
刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，
你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在 雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑 到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定 是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行 走才能减少淋雨的程度。
4.模型求解。
应当借助 计算机 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
数学建模流程图解
问题分析
模型评价 模型应用
模型假设 符号设定
建立模型
N
Y
模型检验
模型求解
1.4 数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口,生态,交通,环境,经济等 初等数学,网络,微分方程, 运筹,随机模型等
表现特性
确定和随机
,
这是极其重要的合理假设或简化 ! g ( r , h) 0
g (r, h) r h V
结果吻合. 这是一个求条件极值的问题 . 2
min S (r , h) s.t. r 0, h 0, g (r.h) 0
模型的求解
• 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为 求一元函数的无条件极值问题
2 2
饮料罐侧面所用材料的 体积
(2 rb b )(h (1 )b)
2
所用材料的体积
2 rbh 2r (1 )b h b (1 )b
2 2
顶盖和底部所用材 料 3
2
SV (r , h) 2 rhb (1 ) r b 2 r (1 )b h b (1 )b
本题还可Lagrange乘子法来解 (增加一个变量化条 件极值问题为多元函数无条件极值问题)
模型验证及进一步的分析
• 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍. 如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为
V 3 12 339.3 355
2
装不下那么多饮料，为什么？
模型到底对不对 ？
3）风速保持不变。4）你一定常的速度 v米/秒跑完全程 D米。
3 模型建立与计算
1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨的面积 S 2wh 2dh wd
(米2 )
D 雨中行走的时间 t (秒) v
) I (m / s ) 降雨强度 I (厘米/时) 0.01I (米/时) (0.01/ 3600
S
S (r, h) 2 rh 2 r 2 (r rh)
2 2
表面积用S表示, 体积用V表示, 则
即圆柱的直径和高 2 r h 之比为 h V 1 3 0 S (r ) 2 (2r V ( r )) 2 (2r ) r
描述药物浓度 在人体内的变 化,跨音速空气 流和激波的数 学模型,用数值 模拟设计新的 飞机翼型
数学建模的具体应用
生产过程中产品 质量指标的预报, 气象预报,人口预
报,经济增长预报
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
电力,化工生产 过程的最优控 制,零件设计中 的参数优化
4.模型求解。
应当借助 计算机 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
示例: 可口可乐饮料罐的形状
可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的 直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为 什么是这样的?
示例: 可口可乐饮料罐的形状
找一个雪碧饮料罐具体测量一下:它 顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约 为6厘米和12厘米.中间胖的部分的直 径约为6.6厘米,胖的部分高约为10.2 厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量 为355毫升(即355立方厘米).根据有关 的数据,要求通过数学建模的方法来 回答相关的问题.
分别为 31.2立方厘米和349立 方厘米总共为380.2立方厘米.
数学建模的一般步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要 的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构建模—— 即建立数学模型。 在难以得出解析解时，也
r
3
V 2
V V h 2 r
3
4 2 2 V
3
4 2V 3 3 8V 2r d 3 2 V 2
问题分析和模型假设
• 饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理 性的.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉 罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从 顶盖到底部的高之比. • 实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其 中轴线旋转而成的立体.
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
3
dS V 2b 3 2b[(1 ) r 2 ] 2 [(1 ) r V ] 0 dr r r h 2
测量数据为 d ,
3 即 1 4 即 2 顶盖厚度是其他材料厚度 3 倍 V 2(1 )3
(1 )
如虎添翼
计算机技术
生产计划,资源 配置,运输网络 规划,水库优化 调度,以及排队 策略,物资管理
知识经济
1.3 数学建模步骤和示例
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要 实体信 建模 求解 应用 假设 验证 的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 息(数据) 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即建 立数学模型。 在难以得出解析解时，也
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x =20 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
我们先看这样的数学题:
• “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无 盖(或有盖)容器，问应当如何设计，才能使 用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多 少?”(一般高等数学教材中导数的应用(极值 问题)部分的一道例题). • 实际上,用几何语言来表述就是:体积给定的 圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径和高)为 多少?
离散和连续
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述,分析,预报,决策,控制等
白箱 灰箱 黑箱
1.5 数学建模与能力的培养
①数学建模实践的每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理 能力等。在提出假设时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 能力。 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继 续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果 用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在 尽可能短的时间内查到并学会想应用的知识的本领。 ③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。