数学建模1

g (r, h) r h V 0
2
h V ( r )
2
• 使原问题化为:求d : h 使 S 最小,即,求r 使下 式最小.
2V 2 S (r , h(r )) b[ (1 ) r ] r
求临界点:令其导数为零 得
V r (1 ) 3 2(1 ) h V V (1 )d (1 )r 2
2 2
饮料罐侧面所用材料的 体积
(2 rb b )(h (1 )b)
2
所用材料的体积
2 rbh 2r (1 )b h b (1 )b
2 2
顶盖和底部所用材 料 3
2
SV (r , h) 2 rhb (1 ) r b 2 r (1 )b h b (1 )b
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时， 从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
( x y ) 30 750 ( x y ) 50 750
求解
x =20 y =5
答：船速每小时20千米/小时.
你在雨中行走的最大速 度v 6米/每秒，则计算得 你在雨中行走了 167秒，即2分47秒。
描述药物浓度 在人体内的变 化,跨音速空气 流和激波的数 学模型,用数值 模拟设计新的 飞机翼型
数学建模的具体应用
生产过程中产品 质量指标的预报, 气象预报,人口预
报,经济增长预报
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
电力,化工生产 过程的最优控 制,零件设计中 的参数优化
如虎添翼
计算机技术
生产计划,资源 配置,运输网络 规划,水库优化 调度,以及排队 策略,物资管理
知识经济
1.3 数学建模步骤和示例
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要 实体信 建模 求解 应用 假设 验证 的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 息(数据) 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即建 立数学模型。 在难以得出解析解时，也
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型 地图、电路图、分子结构图… … ~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征

4.模型求解。
应当借助 计算机 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
数学建模流程图解
问题分析
模型评价 模型应用
模型假设 符号设定
建立模型
N
Y
模型检验
模型求解
1.4 数学模型的分类
应用领域 数学方法 人口,生态,交通,环境,经济等 初等数学,网络,微分方程, 运筹,随机模型等
表现特性
确定和随机
1 建模准备 建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略， 由于人身体的表面非常复 使得你被雨水淋湿的程度最小。 杂,为了使问题简化,假设 主要因素： 将人视为长方体. 淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行 走的速度
2 模型假设及符号说明
1）把人体视为长方体，身高 h 米，宽度 w米，厚度 d米。 淋雨总量用 C 升来记。 2）降雨大小用降雨强度 I 厘米/时来描述，降雨强度指单位 时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。
3）风速保持不变。4）你一定常的速度 v米/秒跑完全程 D米。
3 模型建立与计算
1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。 淋雨的面积 S 2wh 2dh wd
(米2 )
D 雨中行走的时间 t (秒) v
) I (m / s ) 降雨强度 I (厘米/时) 0.01I (米/时) (0.01/ 3600
r
3
V 2
V V h 2 r
3
4 2 2 V
3
4 2V 3 3 8V 2r d 3 2 V 2
问题分析和模型假设
• 饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理 性的.要求饮料罐内体积一定时,求能使易拉 罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从 顶盖到底部的高之比. • 实际上,饮料罐的形状是如下平面图形绕其 中轴线旋转而成的立体.
S
S (r, h) 2 rh 2 r 2 (r rh)
2 2
表面积用S表示, 体积用V表示, 则
即圆柱的直径和高 2 r h 之比为 h V 1:1 ( r )
2
2
V
,
2 V 3 0 S (r ) 2 (2r V ( r )) 2 (2r ) r
C t ( I / 3600 ) 0.01 S (米3 ) 10( D / v) I / 3600 S（升）
v为变量。 模型中 D, I , S为参数，而
结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能 减少淋雨量。
若取参数D 1000 米, I 2厘米/小时, h 1.50米, w 0.50米, d 0.20米,即S 2.2米2。
分别为 31.2立方厘米和349立 方厘米总共为380.2立方厘米.
数学建模的一般步骤
1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握 必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过 对资料的分析计算， 找出起主要作用的因素，经必要 的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻 划各变量之间的关系，建立相应的数学结构建模—— 即建立数学模型。 在难以得出解析解时，也
2 2 3
V (r, h) r h
2
罐内体积
其中是S目标函数, 是 2 (即罐内体积 3 约束条件 , V 是已知的 b b • 因 b r ,所以带 , 的项可以忽略,所以 一定), 即要在体积一定的条件下,求 2 罐的体积最小的 r,h 和 使得 r,h 和测量 SV (r , h) S (r , h) 2 rhb (1 ) r b
,
这是极其重要的合理假设或简化 ! g (Biblioteka Baidur , h) 0
g (r, h) r h V
结果吻合. 这是一个求条件极值的问题 . 2


min S (r , h) s.t. r 0, h 0, g (r.h) 0
模型的求解
• 从约束中解出一个变量,化条件极值问题为 求一元函数的无条件极值问题
题的本领。撰写论文的初步方法.
1.6 初等方法建模
1 雨中行走
２ 公平的席位分配
1 雨中行走
一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离
家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间
去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设
刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，
你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在 雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑 到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定 是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行 走才能减少淋雨的程度。
3
dS V 2b 3 2b[(1 ) r 2 ] 2 [(1 ) r V ] 0 dr r r h 2
测量数据为 d ,
3 即 1 4 即 2 顶盖厚度是其他材料厚度 3 倍 V 2(1 )3
(1 )
离散和连续
静态和动态
线性和非线性
建模目的
了解程度
描述,分析,预报,决策,控制等
白箱 灰箱 黑箱
1.5 数学建模与能力的培养
①数学建模实践的每一步中都 蕴含着能力上的 锻炼，在 调查研究阶段，需要用到观察能力、分析能力和数据处理 能力等。在提出假设时，又需要用到 想象力和归纳 简化 开设数学建模课的主要目的为了提高学 能力。 生的综合素质，增强 应用数学知识 解决实际问 ②在真正开始自己的研究之前，还应当尽可能先了解一下 前人或别人的工作，使自己的工作成为别人研究工作的继 续而不是别人工作的重复，你可以把某些已知的研究结果 用作你的假设，去探索新的奥秘。因此我们还应当学会在 尽可能短的时间内查到并学会想应用的知识的本领。 ③还需要你多少要有点创新的能力。这种能力不是生来就 有的，建模实践就为你提供了一个培养创新能力的机会。
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学 建模
建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步， 越来越受到人们的重视。 • 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地； • 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； • 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。

本题还可Lagrange乘子法来解 (增加一个变量化条 件极值问题为多元函数无条件极值问题)
模型验证及进一步的分析
• 有人测量过顶盖的厚度确实为其他材料厚度的3倍. 如果易拉罐的半径为3厘米,则其体积为
V 3 12 339.3 355
2
装不下那么多饮料，为什么？
模型到底对不对 ？
航行问题建立数学模型的基本步骤
• 作出简化假设（船速、水速为常数）；
• 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； • 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；
• 求解得到数学解答（x=20, y=5）；
• 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling)
测量结果为:未打开罐时饮料罐 的重量为 克,倒出来的可乐 • 370 实际上 ,饮料罐的形状是左平面 确实重355图形绕其中轴线旋转而成的立 克,空的饮料罐重量 体. 为15克,装满水的饮料罐重量为 • 可以把饮料罐的体积看成两部 380克.这和我们的近似计算 分,一是上底半径为3厘米,下底 380.2立方厘米十分接近！饮料 半径为3.3 厘米,高为1厘米的锥 罐不能装满饮料(365克),而是留 台,二是半径为3.3厘米,高为 有10立方厘米的空间余量 10.2厘米的圆柱体..它们的体积
模型的建立
饮料罐的半径为 r (因此,直径为2r), 罐的高为. h 罐内体积为. V 除顶盖外的材料的厚度.b 顶盖的厚度为 b (顶盖就能感觉到更硬) 其中,r,h是自变量, 所用材料的体积SV是因变量, 而b 和V是固定参数, 是待定参数
( (r b) r )(h (1 )b)
4.模型求解。
应当借助 计算机 求出数值 解。
5.模型的分析与检验。
示例: 可口可乐饮料罐的形状
可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的饮料罐(易拉罐)顶盖的 直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 为什么? 它们的形状为 什么是这样的?
示例: 可口可乐饮料罐的形状
找一个雪碧饮料罐具体测量一下:它 顶盖的直径和从顶盖到底部的高:约 为6厘米和12厘米.中间胖的部分的直 径约为6.6厘米,胖的部分高约为10.2 厘米.可口可乐饮料罐上标明净含量 为355毫升(即355立方厘米).根据有关 的数据,要求通过数学建模的方法来 回答相关的问题.
我们先看这样的数学题:
• “用铁皮做成一个容积一定的圆柱形的无 盖(或有盖)容器，问应当如何设计，才能使 用料最省，这时圆柱的直径和高之比为多 少?”(一般高等数学教材中导数的应用(极值 问题)部分的一道例题). • 实际上,用几何语言来表述就是:体积给定的 圆柱体,其表面积最小的尺寸(半径和高)为 多少?