量子力学第二章小结

几个力学量算符
ˆ, E i H 能量算符： t 2 2 ˆ E U H 2
哈米顿算符
动量算符：
ˆ p i p
ˆ ˆ ˆz 动量分量算符： i x p x , i y p y , i z p
动能算符：
12
， Nn n 2 n !
厄密多项式的一般形式可用一个简单公式表示：
H n ( ) (1) e
n

2
d n 2 e n d
满足两个递推公式：
dHn 2nHn1 ( ) d
H n1 ( ) 2H n ( ) 2nHn1 ( ) 0
i
因为动量可以连续变化，就可以用积分来代替 求和。
(r )dp dp dp (r , t ) C ( p, t ) p x y z

式中
i p r 1 (r ) p e 3/ 2 （ 2）
i p r (r , t )e dxdydz
ˆ i r ，t H r ，t t
2 ˆ H 2 U 2
——哈密顿算符
薛定谔方程反映了微观粒子的运动规律。
多粒子体系的薛定谔方程
N 2 2 i i U t i 1 2 i
pi i
2
2
2
i i j k xi yi zi
§2-8 势垒贯穿
方形势垒
U 0 , U ( x) 0, 0 xa ( x 0, x a )
透射系数
D D0 e
2 2 (U 0 E ) a
透射系数随势垒的加宽（增大a）或加高（增大U0） 而减小。
对于任意形状的势垒：
贯穿势垒U(x)的透射系数应等于所有这些方形 势垒的透射系数之积，即
p2 2 2 ˆ T T 2 2
§2.5
定态薛定谔方程
薛定谔方程：
2 2 i r , t r , t U r , t t 2
若U不显含时间， 则方程解的形式为
r , t r f t r e
体系的能量为
2 2n2 En 2 a 2 (n 1, 2, 3,)
2 n n a sin a x, 0 x a, x 0, x a. 0,
对应的波函数为
求解定态薛定谔方程的步骤
①根据物理问题确定出粒子的势能表达式（有的 问题是直接给出的）。 ②列出定态薛定谔方程，引入参数，简化方程，求 出方程的通解。 ③利用波函数的标准条件，求出能量本征值和本 征函数。
函数是
n (r , t ) n (r )e
i Ent
含时薛定谔方程的一般解，可以写为这些 定态波函数的线性叠加： i Ent (r , t ) Cn n (r )e
n
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
设描写粒子状态的归一化波函数是 (r , t ) ，
④利用波函数的归一化条件，将波函数归一化。
§2.7
势能分布 能量本征值
线性谐振子
1 U x 2 x 2 2
1 E n ( n ) 2
(n 0， 1, 2, 3,)
能量本征函数
其中
n ( x) N n e

2 x 2 / 2
H n ( x)
i Et
定态薛定谔方程
2 2 U r r E r 2
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可写为
ˆ r E r H
ˆ H r ,t E r ,t
能量本征方程
n 以 E n 表示体系能量算符的第n个本征值， 是与 E n 相应的波函数，则体系的第n个定态波
2
波函数有一个常数因子不定性： Φ 与CΦ 描述的是同一个状态。 归一化

2
dxdydz 1
波函数的标准条件：单值、连续、有限。
对于归一化波函数Ψ： 几率密度
w x, y, z x, y, z , t
2
t 时刻，在 x x dx，y y dy，z z dz小 区 间 内 找到粒子的几率为
dW x, y, z , t x, y, z , t dxdydz
2
在有限空间V中找到粒子的几率为：
W x, y, z, t dW x, y, z, t dxdydz
2 V V
在整个空间找到粒子的几率为：
dW x, y, z , t
体系的能量为
2 2n2 En 2 8a
(n 1, 2, 3,)
1 n sin x a , n a 2a 0,
对应的波函数为
x a, x a.
宽度为a的一维无限深方势阱
势能分布为
0, 0 x a U x ， x 0, x a
则粒子在空间出现的几率密度是
* w(r , t ) (r , t ) (r , t )
i * * 几率流密度矢量： J ( ) 2
w J 0 t
§2.6 一维无限深方势阱
势能分布为
0, x a U x ， x a
§2.1 波函数的统计解释
量子力学的第一个基本假设：
微观粒子的状态用波函数来描述。
波函数的统计解释：
波函数在某一点的强度 和在该点找 到粒子的几率成正比。
2
在x x dx，y y dy，z z dz小区 间内 的几 率为
dW x, y, z, t C x, y, z, t dxdydz
1 C ( p, t ) （ 2）3 / 2
(r ) * ( r , t )dxdydz p

在一维情况下，
1 ( x, t ) （ 2）1 / 2
1 C ( p, t ) （ 2）1 / 2




C ( p, t ) e

i p x
2
D D0 e
其中
a
b
2 (U ( x ) E )dx
U ( a ) U ( b) E
作业：2.8
答案：
k1 e k1a e k1a k 2 k1 e k1a e k1a tgk2 (b a) (1 ) ( ) k1a k1a k1a k1a k3 e e k3 k2 e e
dp


( x, t )e
i p x
dx
展开系数C(p,t)实际上就是以动量为变量的波函数。
§2.3 薛定谔方程
量子力学的第二个基本假设：
微观粒子状态的变化遵从薛定谔方程。
2 2 i r ，t r ，t U r ，t t 2
2
dxdydz 1 ——归一化条件
§2.2 态叠加原理
设1， 2， ， n， 是粒子的各种可能状态，那 么，各种可能状态的线性叠加 C11 C22 Cnn Cnn
也是粒子的可能状态。 任意波函数都可以用平面波函数（动量本征函数） 进行展开，即 C ( pi , t ) p i
其中
2 (U 0 E ) k 2
2 1
2 ( U 1 E ) k 2
2 2
2 k3 2E / 2