正弦交流电中的电压电流关系

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• （2）有功功率P=0 • （式3）中无，功Q功L—率—电Q路L 的I无LU功L 功I率L2 X，L 单UX位LL2为乏
（var）或千乏（kvar）； UL——线圈两端电压的有效值（V）； IL——流过线圈电流的有效值（A）； XL——线圈的感抗（）。
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例2 一线圈的电感量L=0.1H，将其分别接于（1）直流；（2）交流50Hz；（3）交流1000Hz交流电路中，试分别求该电感线圈的感抗XL。
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L为电感量，单位为亨利（H）, f为流过电感的电流频率，单位为赫兹（Hz）；XL是电感元件两端的电压与流过电流的比值，单位显然是
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(a) 瞬时值表示
(b) 相量表示
图4 纯电感电路
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（2）由式（1）还可看到电感两端电压超前电流相位90（或/2弧度）
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(a) 瞬时值表示
(b) 相量表示
图7 纯电容电路
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（2）式（4）还告诉我们通过电容的电流与它的端电压是同频率的正弦量，电流超前于电压90（或 /2弧度）。
（a）波形图（b）相量图（c）瞬时功率图图8 纯电容电路的波形图与相量图
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的公式，即
P UI I 2R U 2 R
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例题：
例1 在纯电阻电路中，已知 i=22 2 sin(1000t+30)A，R=10，
求：（1）电阻两端电压的瞬时值表达式；（2）用相量表示电流和电压，并作出相量图；（3）求有功功率。
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解：（1）已知Im=22 2 A，R=10，所以 Um=ImR=220 2 V
dt
dt
u
L di dt
L d(Im sin t) dt
LIm
cos t
Um
sin(t 90)
由上式可知：（1）Um=LIm，即
Um U =L
Im I
（1）
• 线圈电感L越大，交流电频率越高，则L的值
越大，也就是对交流电流的阻碍作用越大，我
们把这种“阻力”称作感抗，用XL代表。
•
XL=L=2fL
• 通常所说的功率是指一个周期内电路所消耗（吸取）功率的平均值，称为平均功率或有功
功率，简称功率，用P表示。
P 1
T
UI(1
cos 2t)dt
UI
I2R
U2
T0
R
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• 综上所述，电阻电路中的电压与电流的
关系可用相量形式的欧姆定律
●
U
●
I
R
来表
示，电阻消耗的功率与直流电路有相似
正弦交流电路中电压与电流的关系
• 一、纯电阻电路 • 1.电压与电流的关系
i Im sin t 线性电阻
u iR ImR sin t Um sin t
或 Um ImR
Um U R
Im I
• 相量关系式为：U IR
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i
+
u
R
_
(a) 瞬时值表示 (b) 有效值表示图1 纯电阻电路
（2）
此式也可以写成
u
1 C
idt
（3）
i
C
du dt
C
d (Um sin t)
dt
源自文库
CU mt
Im
sin(t
90)
（4）
如图7所示的电容器两端加上正弦电压u=Umsint，则在回路中就有电流
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由上式可知：
（1）Im=CUm 即 Um U 1
Im I C
（5）
实验和理论均可证明，电容器的电容C越大，交流电
解：（1）f=0 XL=2fL=0 （2）f=50Hz XL=2fL=2×3.14×50×0.1=31.4 （3）f=1000Hz XL=2fL=2×3.14×1000×0.1=328 由此例可见电感量一定时，频率越高，则
电感对电流的阻碍作用越大，即感抗XL越大。
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例3 在纯电感电路中，已知i=22 2 sin(1000t+30)A，
相量图见图6。
P=0 Q=UI=220×22=4840var
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图6 例3的相量图
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三、纯电容电路
加在电容元件两个极板上的电压变化时，极板上贮
存的电荷Q=CU就随之而变，电荷量随时间的变化率，就是流过联接于电容导线中的电流，即
i dq C du dt dt
（a）波形图 (b) 相量图 (c) 瞬时功率图
图5 纯电感电路的波形图与相量图
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• 用相量表示电感元件的电压与电流的关
系，则
UI jX L
或 U jIX L jIL
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2.电感电路中的功率
• （1）瞬时功率
p=iLUL=ILMsint·ULMsin(t+90)=ULILsint
频率越高，则1/C越小，也就是对电流的阻碍作用越小，
我们把电容对电流的“阻力”称作容抗，用XC代表。
XC
1
C
1
2fC
（6）
式（5）中，频率f的单位为Hz，电容C的单位为法拉
（F），容抗XC的单位仍是欧姆（），XC与电容C和频率f成反比。当C一定时，电容器具有隔直通交的特性，
当f=0时，XC=∞，此时电路可视作开路，即“隔直”作用。
因为纯电阻电路电压与电流同相位，所以 u=220 2sin(1000t+30)V
（2） I =2230A U =22030V 相量图如图3所示。（3）P=UI=220×22=4840W
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图3 例1的相量图
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二、纯电感电路
• 电压与电流的关系 e L di u e L di
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（a）波形图 (b) 相量图 (c) 瞬时功率图
图2 纯电阻电路的波形图与相量图
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2.电路中的功率
• 电路任一瞬时所吸收的功率称为瞬时功率，以 p表示。
p=ui=Umsint·Imsint = 2 U· 2 Isin2t
=UI(1-cos2t)=UI-UIcos2t
电容器两端电压与电流的关系用相量式表示有
L=0.01H，求（1）电压的瞬时值表达式；（2）用相量表示电流和电压，并作出相量图；（3）求有功功率和无功功率。
解：（1）XL=L=1000×0.01=10，Im=22 2 A， Um=ImXL=220 2 V
因为纯电感电路电压超前电流90，故 u=220 2 sin(1000t+120)V。
（2） I =2230A U=220120V