(完整版)高等数学常用公式汇总————

高数常用公式

平方立方：

22222222

332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++=

21221)(9)()(),(2)

n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥L

倒数关系：sinx·cscx=1 tanx·cotx=1 cosx·secx=1

商的关系：tanx=sinx/cosx cotx=cosx/sinx

平方关系：sin^2(x)+cos^2(x)=1 tan^2(x)+1=sec^2(x) cot^2(x)+1=csc^2(x)

倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα

cos(2α)=cos^2(α)-s in^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

降幂公式：

sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

两角和差：

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

积化和差：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

特殊角的三角函数值：

等价代换：

(1) x sinx ～ (2) x tanx ～ (3) x arcsinx ～ (4) x arctanx

～ (5) 2x 2

1cosx 1～- (6) x )x 1(ln ～+ (7) x 1e x

～- (8) ax 1)x 1(a ～-+

基本求导公式：

(1) 0)(='C ，C 是常数 (2) 1)(-='αααx x (3) a a a x x ln )(=' (4) a

x x a ln 1

)(log =

' (5) x x cos )(sin =' (6) x x sin )(cos -=' (7) x x x 2

2sec cos 1)(tan ==

' (8) x x

x 22

csc sin 1)(cot -=-=' (9) x x x tan )(sec )(sec =' (10) x x x cot )(csc )(csc -=' (11) =

')(arcsin x 2

11x

- (12) 2

11)(arccos x

x --

='

(13) 2

11)(arctan x x +=

' (14) 21

(arccot )1x x '=-+

(15)

x

21x ='）（ (16)

2

x 1x

1

-=）（

基本积分公式：

(1) 0dx C =⎰ (2) ()为常数k C

kx kdx +=⎰

(3) ()11

1

-≠++=

+⎰μμμμC x dx x (4) C x dx x +=⎰||ln 1

(5) C a

a dx a x

x

+=⎰ln (6) C e dx e x x +=⎰ (7) C x xdx +=⎰sin cos (8) C x xdx +-=⎰cos sin (9) ⎰⎰+==C x xdx x dx tan sec cos 2

2

(10)

⎰⎰+-==C x xdx x dx cot csc sin 2

2 (11) C x xdx x +=⎰sec tan sec

(12) C x xdx x +-=⎰csc cot csc (13) C x x dx +=+⎰arctan 12 或（C x arc x dx

+-=+⎰cot 12）

(14) C x x

dx +=-⎰

arcsin 12

或（C x x

dx +-=-⎰

arccos 12

）

(15)

C x xdx +-=⎰|cos |ln tan ， (16) C x xdx +=⎰|sin |ln cot ，

(17) C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec ， (18) C x x dx x c +-=⎰|cot csc |ln sc ，

一些初等函数： 两个重要极限：

·正弦定理：R C

c

B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：

C ab b a c cos 2222-+=

·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=

-=

2

arccos 2

arcsin π

π

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

x

x

arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x

x x

x x

x -+=-+±=++=+-=

=+=

-=----11ln

21)1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim

0==+=∞→→e x

x

x

x

x x