高中数学--正态分布
高中数学正态分布
高中数学正态分布正态分布是高中数学中一个重要的概率分布，也被称为高斯分布。
它在自然界和社会科学中具有广泛的应用，可以描述许多随机变量的分布情况。
正态分布具有许多独特的特性，包括对称性、钟形曲线、均值和标准差等。
本文将介绍正态分布的基本概念、性质以及它在实际问题中的应用。
一、基本概念正态分布是一种连续型的概率分布，它的概率密度函数可以用一个钟形曲线来表示。
钟形曲线关于均值对称，左右两边的面积相等。
正态分布的概率密度函数可以用数学公式表示，但在本文中我们不涉及具体公式。
二、性质1. 对称性：正态分布的钟形曲线关于均值轴对称，即曲线左右两侧的面积相等。
2. 峰度：正态分布的峰度较高，表示数据相对集中，没有明显的长尾巴。
3. 均值和标准差：正态分布的均值和标准差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。
三、应用举例正态分布广泛应用于各个领域，下面举几个例子说明其具体应用：1. 身高分布：人类的身高大致符合正态分布，均值是一定范围内的平均身高，标准差则决定了身高的变化范围。
2. 考试成绩：在一次考试中，学生的成绩往往呈现出正态分布的特点。
均值代表了班级的平均水平，标准差则反映了学生成绩的离散程度。
3. 生产质量控制：正态分布在生产过程中的质量控制中发挥重要作用。
通过对产品尺寸、重量等特征的测量，可以判断产品是否符合正态分布，从而进行质量控制和改进。
四、正态分布的应用思考正态分布的应用思考是高中数学中常见的问题类型之一。
通过理解正态分布的基本概念和性质，我们可以解决一些实际问题，例如：1. 求解概率：已知某一正态分布的均值和标准差，我们可以求解某个范围内的概率，从而回答一些关于随机事件的概率问题。
2. 参数估计：通过样本数据对总体的均值和标准差进行估计，从而推断总体的特征。
3. 假设检验：通过正态分布的性质，可以进行关于总体均值的假设检验，从而判断总体是否满足某种条件。
高中数学中的正态分布是一种重要的概率分布，具有广泛的应用。
高中数学 正态分布
是反映随机变量取值的平均水平的特征数， 可以用样本均值去估计；
是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可 以用样本标准差去估计.
现实生活中的正态分布
• 长度测量误差 • 某一地区同年人的身高、体重、肺活量 • 一定条件一生长的小麦的株高、穗长、单位
面积产量 • 正常生产条件下各种产品的质量指标 • 某地每年七月份的平均气温、平均温度、降
互平行但相互错开的圆柱 形小
木块,小木块之间留有适当的 空
隙作为通道, 前面挡有一块玻璃.
让一个小球从高尔顿板 上方的
通道口落下,小球在下落过 程中
图2.4 1
与层层小木块碰撞, 最后掉入高尔顿板下方 的某一球槽内.
频率分布直方图
y
曲线图
曲线就是(或近似是)
下列函数的图像
O
x
, x
1
2
e
e
2 2
, x , 的图象
正 态
正态分布 密度曲线
① ②
分
正态曲线特点 ③
布
④
3原则
⑤
⑥
作业
课本习题2.4A组1,2题
复习
随机变量的方差
性质
意义
D(aX+b)=a2D(X)
若X服从两点分布,则DX=p(1-p)
若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)
高尔顿板 英国生物统计学家高尔顿设计的用 来研究随机现象的模型，称为高尔顿钉板。
你见过高尔顿板吗 ? 图2. 4 1
所示的就是一块高尔顿 板示意
图.在一块木板上钉上若干 排相
3原则
通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变 量X只取(-3,+3)之间的值.
例1 商场经营的某种包装的大米质量（单位：kg） X~N(10,0.12), 任选一袋这种大米，质量在9.7~10.3 kg的概率是多少？
高中数学必修三正态分布知识点
高中数学必修三正态分布知识点正态分布为高中数学必修三课本的新增内容之一，有哪些知识点需要我们学习呢?下面是店铺给大家带来的高中数学正态分布知识点，希望对你有帮助。
高中数学必修三正态分布知识点正态分布的定义：如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用来表示。
当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。
叫标准正态曲线。
正态曲线x∈R的有关性质：(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;(2)曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x轴;(3)曲线在x=μ处达到最高点;(4)当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。
在标准正态总体N(0，1)中：高中数学必修三二项分布知识点二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。
高中数学---正态分布
练习：
一台机床生产一种尺寸为10mm的零件，现从中抽 测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm）：10.2, 10.1, 10, 9.8, 9.9, 10.3, 9.7, 10, 9.9, 10.1.如果机床生产零
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
5、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
( 3由当 ,于a这 33些概)时之率正内值态,很其总小他体（区的间一取取般值值不几几超乎乎过总不5取％可值能）于.，区 在通实间常 际称运这用些中情就况只发考生虑为这小个概区率间事,件称。为 3 原则.
例1、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个 正态分布，即 ~N(90,100). （1）试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
P(2 X 2) = 0.9544 .
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则
高中数学正态分布
指数分布与正态分布关系
指数分布是一种连续型概率分布 ，用于描述两个连续事件之间的 时间间隔。
在某些情况下，指数分布可以近 似为正态分布。具体来说，当指 数分布的参数 $lambda$ 足够大 时，指数分布 $Exp(lambda)$ 可以用正态分布 $N(frac{1}{lambda}, frac{1}{lambdasqrt{2}})$ 来近似 。然而，这种近似通常不如二项 分布和泊松分布逼近正态分布那 样准确。
多元正态分布的定义
多元正态分布是指多个随机变 量组成的向量服从正态分布的 情况。
多元正态分布的性质
多元正态分布具有一些重要的 性质，如联合分布、边缘分布 、条件分布和独立性等。
多元正态分布在统计学中 的应用
多元正态分布广泛应用于多元 统计分析中，如多元线性回归 、主成分分析、因子分析等。
多元正态分布的参数估计 和假设检验
对于多元正态分布的参数估计 和假设检验，可以使用最大似 然估计、协方差矩阵的估计和 多元t检验等方法进行。
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THANKS
对两个正态总体均值或方差进行 比较的假设检验，如t检验和F检 验的两样本版本。
置信区间构建
利用样本数据构造总体均值的置 信区间，以估计总体均值可能落 入的范围。
01
02
单样本假设检验
对单个正态总体均值或方差进行 假设检验，如t检验和F检验。
03
04
配对样本假设检验
对配对观测值之差的均值进行假 设检验，如配对t检验。
智商分布
智商测试的结果也符合正态分布，大 部分人的智商处于中等水平，极高和 极低的智商相对较少。
生产过程中质量控制
产品质量分布
在生产线上，产品质量往往呈现 正态分布，大部分产品符合质量 标准，极少数产品存在严重缺陷
高三数学正态分布知识点
高三数学正态分布知识点正文：正态分布是概率论和统计学中经常应用的一种重要分布。
其特点是在均值附近的概率较高，而在离均值较远处的概率较低。
在高中数学的学习中，正态分布也是一个重要的知识点。
本文将介绍高三数学正态分布的相关知识。
一、正态分布的定义正态分布，又称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
对于一个服从正态分布的随机变量X，其概率密度函数可以表示为：f(x) = (1 / sqrt(2 * π * σ^2)) * exp(-(x - μ)^2 / (2 * σ^2))其中，μ是均值，σ是标准差。
二、正态分布的性质1. 对称性：正态分布是以均值为对称轴，两侧面积相等的曲线。
2. 峰度：正态分布的峰度是指曲线的陡峭程度，峰度值为3。
3. 切点：正态分布曲线与均值之间会有两个切点，也即均值加减标准差的位置。
三、标准正态分布标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
它是对正态分布进行标准化后的结果。
对于一个服从正态分布的随机变量X，可以通过以下公式将其转化为标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - μ) / σ四、正态分布的应用正态分布在实际生活和科学研究中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 质量控制：正态分布可以帮助企业在生产过程中进行质量控制，通过控制产品的均值和标准差，来确保产品的质量稳定。
2. 统计分析：正态分布在统计学中扮演了重要角色，可以用于分析和描述大量数据的分布情况，从而得出结论或进行预测。
3. 考试评分：在考试评分过程中，教师常常采用正态分布来确定分数段及相应的等级，从而更公平地进行评价。
4. 实验设计：科学实验中常常会涉及到测量误差和数据分布的问题，正态分布可以作为参考，帮助科研人员进行实验设计和数据分析。
五、常用的正态分布应用题1. 求解概率：给定正态分布的均值和标准差，可以求解指定区间的概率。
2. 求解分位数：给定正态分布的均值和标准差，可以求解给定概率下的分位数，即求解落在该概率下的随机变量取值。
高中正态分布知识点
高中正态分布知识点正态分布（Normal distribution）在高中数学中起着重要的作用，它具有许多特点和应用。
正态分布是一种连续概率分布，其特征是以均值为中心对称，并且呈钟型分布。
它在统计学、概率论、自然科学等领域都有广泛的应用。
一、正态分布的特点正态分布的特点主要有三个方面：对称性、均值、标准差。
1. 对称性：正态分布的曲线以均值为中心对称，即曲线两侧的面积相等。
这意味着在正态分布中，均值附近的数值出现的概率较大，而离均值较远的数值出现的概率较小。
2. 均值：正态分布的均值是曲线的中心位置，也是分布的期望值。
在正态分布中，均值的取值是有用的参考，可以帮助我们了解数据集的中心倾向。
3. 标准差：正态分布的标准差决定了曲线的宽度，标准差较小意味着数据集的值相对集中，标准差较大意味着数据集的值相对分散。
标准差还可以用来衡量数据的离散程度。
二、正态分布的应用正态分布在实际生活中有广泛的应用，以下是几个常见的场景：1. 身高和体重：人类的身高和体重通常服从正态分布。
这使得我们可以通过计算均值和标准差来了解人群的平均身高和体重，也能够判断某个个体身高和体重是否在正常范围之内。
2. 考试成绩：考试成绩常常呈正态分布。
通过对成绩分布的分析，教师可以了解学生的表现情况，设计适合学生的教学方案。
3. 生物学实验数据：生物学实验中的许多测量结果，如细胞数量、药物浓度等，往往服从正态分布。
通过对实验结果的分析，科研人员可以评估实验的准确性和稳定性。
4. 财经领域：股市收益率、商品价格等经济指标常常符合正态分布。
金融机构和投资者可以利用正态分布来进行风险评估和预测。
三、正态分布的性质正态分布具有许多重要的性质，以下是其中几个常见的性质：1. 中心极限定理：中心极限定理是正态分布的一个重要应用。
它表明，当样本容量足够大时，样本均值的分布会接近于正态分布。
2. 正态分布的标准化：对于给定的正态分布，我们可以通过标准化处理将其转化为标准正态分布。
高中数学-正态分布
m 的意义
产品 尺寸 (mm)
x1
x2
总体平均数反映总体随机变量的
平均水平
பைடு நூலகம்
x3
x4
平均数
x= μ
产品 尺寸 (mm)
总体平均数反映总体随机变量的
平均水平
总体标准差反映总体随机变量的
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
3、正态曲线的性质
（4）曲线与x轴之间的面积为1
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ=0.5
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
X=μ
σ=1
σ=2
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
产品 尺寸 (mm)
总体密度曲线
高尔顿板
11
总体密度曲线
0
Y
X
导入
产品尺寸的总体密度曲线 就是或近似地是以下函数的图象：
1 、正态曲线的定义：
函数
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示 总体的平均数与标准差，称f( x)的图象称为正态曲线
c
d
a
b
平均数
X
Y
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:
集中与分散的程度
平均数
s的意义
正态总体的函数表示式
当μ= 0，σ=1时
标准正态总体的函数表示式
0
1
2
-1
-2
x
高中正态分布三个公式
高中正态分布三个公式第一，正态分布的概念。
正态分布又称为高斯分布或钟形曲线，是一种对称的连续概率分布。
在数学上，正态分布的概率密度函数可以表达为：f(x)=1/(σ√(2π))*e^(-(x-μ)²/(2σ²))第二，正态分布的性质。
正态分布具有以下几个重要的性质：1.对称性：正态分布是一种对称的分布，即曲线以均值μ为中心点对称。
2.均值与中位数和众数相等：正态分布的均值、中位数和众数都相等，即μ。
3.标准差刻画曲线的宽度：标准差σ越大，曲线越宽；标准差σ越小，曲线越窄。
4.68-95-99.7法则：在正态分布中，约有68%观测值落在均值正负一个标准差范围内，约有95%观测值落在均值正负两个标准差范围内，约有99.7%观测值落在均值正负三个标准差范围内。
第三，正态分布的三个公式。
正态分布有很多重要的公式，这里介绍其中三个常用的公式。
1. Z-Score公式。
Z-Score用于将一些数值转化为标准正态分布下的相对位置，可以计算一些取值离均值的距离，即z=(x-μ)/σ。
其中，z是标准正态分布下的相对位置，x是原始分布中的取值。
2.区域计算公式。
正态分布曲线下的一些区域面积可以通过累积分布函数计算。
对于给定的区间[a,b]，可以计算出该区间内的概率P(a≤X≤b)。
这个概率可以通过计算标准化变量的累积分布函数来求得。
3.逆变换公式。
逆变换公式用于计算一些百分位数对应的数值，即给定概率P，求解X，使得P(X≤X)=P。
逆变换公式可以通过标准正态分布的反函数来计算。
以上是关于高中正态分布的概念、性质和三个公式的介绍。
正态分布在诸多领域中都有广泛应用，例如自然科学、社会科学和工程领域等。
了解正态分布的概念和性质，掌握相关的计算公式，可以帮助我们更好地理解和应用正态分布。
高中数学正态分布知识点总结
高中数学正态分布知识点总结
正态分布，又称高斯分布，是统计学中最为重要的分布之一。
高中数学研究中，正态分布也是重点内容之一，本文将对高中数学正态分布知识点进行总结。
定义
正态分布是一种连续型的概率分布，是一种钟形曲线，分布函数呈钟形。
它的参数由均值μ 和标准差σ 。
正态分布的概率密度函数为：
$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-
\mu)^2}{2\sigma^2}} $$
性质
1. 正态分布的随机变量总体分布是完全由两个参数：平均数和标准差决定的。
2. 标准正态分布是平均数为0，标准差为1的正态分布。
3. 正态分布曲线呈钟形，左右对称，中心峰值在平均数处，随着标准差增大曲线变扁平。
根据“68-95-99.7”规则，在平均数左右1个标准差范围内的数据占比约为68%，在左右2个标准差范围内的数据占比约为95%，在左右3个标准差范围内的数据占比约为99.7%。
应用
正态分布广泛应用于科学、工程、金融管理等领域。
在高中数学研究中，正态分布常用于以下几个方面：
1. 描述一个随机变量服从正态分布的特征；
2. 判断一组数据是否服从正态分布；
3. 根据正态分布性质计算一组数据的概率或置信区间等。
常见问题
1. 什么情况下数据可以视为近似正态分布？
答：当数据分布对称、峰型接近于钟形且数据量较大时，可以近似视为正态分布。
2. 怎样验证一组数据是否服从正态分布？
答：可用正态概率图和Shapiro-Wilk检验等方法进行验证。
正态分布高考知识点归纳总结
正态分布高考知识点归纳总结正态分布是高中数学中一个重要的概率分布，也是高考中经常涉及到的知识点之一。
本文将对正态分布相关的知识进行归纳总结，以帮助大家对这一概念有更深入的理解和应用。
1. 正态分布的定义与性质正态分布，又称高斯分布，是一种连续型概率分布。
它的概率密度函数具有以下特点：- 对称性：正态分布的概率密度函数呈现对称分布，关于均值的左右两侧呈镜像关系。
- 峰度：正态分布的峰度较高，峰值较为陡峭，符合钟形曲线的特点。
- 累积分布函数：正态分布的累积分布函数具有一定的难度，通常需要借助查表或计算器进行计算。
2. 正态分布的参数正态分布由两个参数决定：均值μ和标准差σ。
均值μ决定了正态分布的位置，标准差σ决定了正态分布的形态。
常见的正态分布符号表示为N(μ, σ^2)，其中N表示正态分布。
3. 正态分布的标准化为了便于计算和研究，人们引入了标准正态分布。
标准正态分布是具有均值为0、标准差为1的正态分布。
对于任意一个正态分布变量X，可以通过标准化将其转化为标准正态分布变量Z。
4. 正态分布的应用正态分布广泛应用于各个领域，特别是在统计分析和概率论中。
在高考中，正态分布常用于以下问题：- 概率计算：通过正态分布的概率密度函数和累积分布函数，计算给定区间内的概率值。
- 参数估计：通过样本数据拟合正态分布，并估计未知参数。
- 假设检验：根据正态分布的特点进行假设检验，判断样本数据是否能代表总体。
5. 正态分布的特殊情形除了一般的正态分布之外，还存在一些特殊的情形，包括：- 标准正态分布：均值为0，标准差为1，通常用Z表示。
- 标准化：通过减去均值并除以标准差，将一般的正态分布转化为标准正态分布。
- 单侧正态分布：仅在正数或负数那一侧有概率，通常在假设检验中应用。
- 中心极限定理：通过多次独立实验得到的样本均值服从近似正态分布，是统计学中重要的理论基础。
6. 正态分布与高考在高考中，正态分布通常以应用题的形式出现。
高中数学：正态分布
因 此 ， 在 这 种 情 况 下 应走 第 一 条 路 线.
8.假设检验的基本思想与生产过程 中质量控制图
(1).假 设 检 验 是 就 正 态 总 体而 言 的 ， 进 行 假 设 检 验 可 归 结 为如 下 三 步 ：
1).提出统计假设. 统计假设里的变量服从正态分布N（，）.
1 （1） （1） 0.8413
3 选第
对第二种方案有X ~ N（6，22），于是种方案.
P（X 5） 1 P（X 5） 1 （5 6） 3
1 （ 0.5） （0.5） 0.6915
例 题9.某 人 从 城 市 南 郊 某 地 乘公 共 汽 车 前 往 北 郊 火 车 站 有 两 条 路 线可 走 ， 第 一 条 路 线 穿 过 市 区 ， 路 线 较 短 ，但 交 通 拥 挤 ， 所 需 时 间 （ 单 位 ： 分 ） 服 从 正态 分 布N（50，102） ； 第 二 条 路 线 沿 环 城 公 路走 ， 但 交 通 阻 塞 少 ， 所 需 时 间 服 从 正 态 分 布N（60，42） （1） 若 只 有70分 钟 可 用 ， 问 应 走 哪 条路 ？ （2） 若 只 有65分 钟 可 用 ， 又 应 走 哪 条路 ？
解 ： 设为 行 车 时 间 （1） 走 第 一 条 路 线 ， 及 时赶 到 的 概 率 为 ：
P（0 70） （70 50） （0 50）
10
10
（70 50） （2） 0.9722 10
走 第 二 条 路 线 ， 及 时 赶到 的 概 率 为 ：
P（0 70） （70 60） （0 50）
解：(1). ~ N(0,2.5), 0, 2 2.5
又 f(x)
新人教版高中数学必修第三册-7-5 正态分布【课件】
(7)当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示随机变 量 X 的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示随机变量 X 的分布越分散，如 图 2 所示．
4．3σ 原则 (1)正态分布在三个特殊区间内取值的概率： P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈____0_._6_8_2_7________， P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈___0_._9_5_4_5_________， P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈____0_._9_9_7_3________. (2)通常认为服从于正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X 只取[μ－3σ，μ＋3σ]之间的 值，这在统计学中称为 3σ 原则．
__μ_＝__0___，标准差为 σ＝ 2π.
4.如图是当 σ 取三个不同值 σ1，σ2，σ3 时的三种正态曲线，那么 σ1，σ2，σ3 的 大小关系是什么？
提示：0<σ1<σ2＝1<σ3.
二、练一练 1．设 X～N(μ，σ2)，则众数，中位数，平均数满足( D ) A．众数＝σ2，中位数＝平均数＝μ B．平均数＝μ，众数＝中位数＝σ2 C．中位数＝μ，众数＝平均数＝σ2 D．众数＝中位数＝平均数＝μ 解析：利用众数、中位数、平均数的定义同频率分布直方图的关系．
第七章 随机变量及其分布
7．5 正态分布
[课标解读]1.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.2.通过具体实例、 借助频率分布直方图的几何直观，了解正态分布的特征.3.了解正态分布的均值、方 差及其含义．
[素养目标] 水平一：利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲 线所表示的意义．(逻辑推理)
，x∈R，则称随机变
高中数学正态分布知识点+练习
正态分布高考正态分布要求层次重难点正态分布A利用实际问题的直方图，了解正态分布 曲线的特点及曲线所表示的意义．例题一) 知识内容1．概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，直 方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随 机变量 X ，则这条曲线称为 X 的概率密度曲线．曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是 1，而随机变量 X 落在指定的两个数 a ，b之 间的概率就是对应的曲边梯形的面积．2．正态分布⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的 准差为 的正态分布通常记作 N( , 2) ． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．⑵标准正态分布：我们把数学期望为 0 ，标准差为 1的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论： ①正态变量在区间 ( ,) ，( 2 , 2 ) ，( 3 , 3 )内，取值的概率分别是 68.3% ，95.4%， 99.7% ．②正态变量在 ( ， ) 内的取值的概率为 1，在区间 ( 3故正态变量的取值几乎都在距 x 三倍标准差之内，这就是正态分布的 3 原则．变化中都只是起着均匀、 微小的作用， 则表示这样的随机现象的随机变量的 概率分布近似服从正态分布．服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．正态变量概率密度曲线的函数表达式为 f(x)2π(x)2e 2，x 中 ， 是参数，且0 ，式中的参数 和 分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为 、标3 ) 之外的取值的概率是 0.3% ，R ，其二）典例分析：例1】 已知随机变量 X 服从正态分布 N （3 ，a 2） ，则 P （X 3） （ ）值的概率为 0.4，则 X 在 0，2 内取值的概率为【例4】 已知随机变量 X 服从正态分布 N （2， 2），P （X ≤ 4） 0.84，则P （X ≤0） （ ） A ． 0.16B ．0.32C ． 0.68D．0.84N （0 ，4） ，则不属于区间 （ 4，4） 这个尺寸范围的零件约占总数的【例 6】已知 X N （ 1，2)，若 P( 3≤X ≤-1) 0.4，则 P( 3≤X ≤1) (）A ． 0.4B ． 0.8C ． 0.6 D．无法计算【例 7】设随机变量 服从正态分布N (2 ，9) ，若 P(c 2) P( c2） ，则c ________【例 8】 设 ~ N(0 ，1)，且 P(| | b)a(0 a 1，b 0) ，则 P( ≥ b) 的值是_________________________________________（用a 表示）．例 9 】 设随机变量 服从正态分布 N （0 ，1） ， a0 ，则下列结论正确的个数是 ___ ．⑴ P(| | a) P(| | a) P(| | a)⑵ P(| | a) 2P( a) 1⑶ P(| | a) 1 2P( a)A ．15B ．C ．D ．例2】 在某项测量中，测量结果 X 服从正态分布 N 10 ，若 X 在 0 ，1 内取例 3】 对于标准正态分布 N 0 ，1 的概率密度函数1 xe 2πx 22列说法不正确的是（ ）A ． f x 为偶函数 BC ． f x 在 x 0时是单调减函数，在 x ≤0时是单调增函数 D最大值为x 关于 x 1 对称1 2π例5】 某种零件的尺寸服从正态分布⑷ P(| | a) 1 P(| | a)如果随机变量 ~ N( ， 2)，E D 1 ，求 P( 1 1)的值．A ．有最大值，也有最小值B ．有最大值，但没最小值C ．有最大值，但没最大值D ．无最大值和最小值A ．该市这次考试的数学平均成绩为 80 分B ．分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同C ．分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同D ．该市这次考试的数学标准差为 10【例16】 灯泡厂生产的白炽灯寿命 (单位： h )，已知 ~ N (1000，302) ，要使灯泡的平均寿命为 1000h 的概率为 99.7%，则灯泡的最低使用寿命应控制在 _____ 小时以上．【例 17】 一批电池(一节)用于手电筒的寿命服从均值为 35.6小时、标准差为 4.4小时的正态分布， 随机从这批电池中任意取一节， 问这节电池可持续使用不少于 40 小时的概率 是多少例 10 】 例 11 】 正 态 变 量 X~ N(1， 2)P(c X 2c)P(2c X 3c) 0.4，求 P(X ≤ 0.5)的值．【例 12】 A ． f(x)列函数是正态分布密度函数的是( )(x r)2 2B ． f(x)2πex222πC ． f(x)1 (x2 2π e1)2例 13 】 若正态分布密度函数 (x 1)2(x R) ，下列判断正确的是(【例 14】 设 的概率密度函数为 f(x) 1(x 1)2 12 e 22π，则下列结论错误的是()B ． P( 1≤ ≤ 1) P( 1 1)D ． 1~ N(0 ，1)【例 15】某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密 度函数为 f(x) 1(x 80)21e 200 ，则下列命题中不正确的是( )10 22πf (x)x 2f(x)2A ． P( 1) P( 1)C ． f (x) 的渐近线是 x 0例 18】 某班有 48 名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为 80，标准差为 10，理论上说在 80 分到 90分的人数是 ___0 x ≤1【例 19】已知连续型随机变量 的概率密度函数 f (x)x a 1≤ x 2 ，x ≥ 2⑴求常数a 的值；⑵求 P(1 3) ． 2P(132)．ke x ≥ 0ke x ≥0，求 k 的值及 P(X 0.1)． 0 x 0【例 22】 美军轰炸机向巴格达某铁路控制枢纽投弹，炸弹落弹点与铁路控制枢纽的100 |x |距离 X 的密度函数为f (x) 10000| x |≤ 100，若炸弹落在目标 40 米以内时，将导致该铁0 |x| 100路枢纽破坏，已知投弹 3颗，求巴格达铁路控制枢纽被破坏的概率．例 20 】 已知连续型随机变量x ≤1的概率密度函数 f(x) ax 21≤ x 2 ， 求 a 的值及 0x ≥2例 21 】 设随机变量 X 具有概率密度 f (x)1x R ．⑴求 ， ；⑵求 P(|x 1| 2) 及P(1 2 x 1 2 2) 的值．例 24】 某校高中二年级期末考试的物理成绩 服从正态分布 N （70 ，102） ．⑴若参加考试的学生有 100人，学生甲得分为 80 分，求学生甲的物理成绩排名； ⑵若及格（ 60分及其以上）的学生有 101人，求第 20 名的物理成绩． 已知标准正态分布表 （0.97） 0.833 ．【例 25】 在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布 N （70 ，100） ．已知成绩在 90分以上（含 90分）的学生有 12名．⑴试问此次参赛学生总数约为多少人⑵若该校计划奖励竞赛成绩排在前 50 名的学生，试问设奖的分数线约为多少分 附：标准正态分布表 （1.30） 0.9032 ， （1.31） 0.9049 ， （1.32） 0.9066 ．x 2 2x 1例 23】 设 X ~ N （ ， 2） ，且总体密度曲线的函数表达式为：f(x)2πe。
高中数学—— 正态分布
指数部分是一个负数． A 错在正确的函数的系数分母部分的二次根式不包含 σ，而且指数部分的符号应当是负的． B 是正态分布 N(0,1)的概率分布密度函数．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
(x－μ)2 1 1 C 对照 f(x)＝ e－ 2σ2 (x∈R)，从系数 看 σ＝ 2πσ 2πσ
(选修2-3)
1．当样本容量无限增大时，它的频率分布直方图
无限接近于 一条总体密度曲线，在总体所在系统相对稳 定的情况下，总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图 象：
人 教 A 版 数 学
其中μ和σ(σ>0)为参数．我们称φμ，σ(x)的图象为 正态分布密度曲线 ，简称 正态曲线 ．
第二章 随机变量及其分布
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据三个特殊区间上的概率值及正态曲线的特点 (如对称性，
与x轴围成的面积是1等)进行求解．
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
[例5]
某年级的一次信息技术测验成绩近似服从正态
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分布N(70,102)，如果规定低于60分为不及格，求： (1)成绩不及格的人数占多少？
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越“ 矮胖
第二章 随机变量及其分布
(选修2-3)
4．若X～N(μ，σ2)，则对任何实数a>0，概率P(μ－
a<X≤μ＋a)＝ ； 0.6862 ；
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特别地有：P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝ P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝ P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝ ； 0.9544 0.9974 .
第二章 随机变量及其分布
ห้องสมุดไป่ตู้(选修2-3)
高中数学必修三正态分布知识点
高中数学必修三正态分布知识点正态分布的定义：如果随机变量ξ的总体密度曲线是由或近似地由下面的函数给定：x∈R，则称ξ服从正态分布，这时的总体分布叫正态分布，其中μ表示总体平均数，σ叫标准差，正态分布常用来表示。
当μ=0，σ=1时，称ξ服从标准正态分布，这时的总体叫标准正态总体。
叫标准正态曲线。
正态曲线x∈R的有关性质：(1)曲线在x轴上方，与x轴永不相交;(2)曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ两旁延伸时无限接近x 轴;(3)曲线在x=μ处达到最高点;(4)当μ一定时，曲线形状由σ的大小来决定，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布比较离散，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体分布比较集中。
在标准正态总体N(0，1)中：二项分布：一般地，在n次独立重复的试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则k=0，1，2，…n，此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并记独立重复试验：(1)独立重复试验的意义：做n次试验，如果它们是完全同样的一个试验的重复，且它们相互独立，那么这类试验叫做独立重复试验.(2)一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每件试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作并称p为成功概率.(3)独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的.(4)独立重复试验概率公式的特点：是n次独立重复试验中某事件A恰好发生k次的概率.其中，n是重复试验的次数，p是一次试验中某事件A发生的概率，k是在n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数，需要弄清公式中n，p，k的意义，才能正确运用公式.二项分布的判断与应用：(1)二项分布，实际是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的阐述，判断二项分布，关键是看某一事件是否是进行n次独立重复试验，且每次试验只有两种结果，如果不满足这两个条件，随机变量就不服从二项分布.(2)当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果时，我们可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.求独立重复试验的概率：(1)在n次独立重复试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响，即2，…，n)是第i次试验的结果.(2)独立重复试验是相互独立事件的特例，只要有“恰好”“恰有”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，要弄清n，p，k的意义。
正态分布-人教版高中数学
知识图谱-正态分布正态分布的概念正态分布的性质与应用第04讲_正态分布错题回顾正态分布知识精讲一. 正态分布密度函数如果随机变量的概率密度函数，，我们称其图象为正态分布密度曲线. 其中是圆周率；是自然对数的底；是随机变量的取值；为正态分布的均值；是正态分布的标准差.正态分布一般记为．二. 正态分布如果随机变量落在区间上的概率为，则称随机变量满足正态分布.正态分布由参数唯一确定，如果随机变量，根据定义有：.三. 正态曲线的性质正态曲线具有以下性质：（1）曲线在轴的上方，与轴不相交．（2）曲线关于直线对称．（3）曲线在时位于最高点．（4）当时，曲线上升；当时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近．（5）当一定时，曲线的形状由确定．越大，曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．四. 标准正态曲线当时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，，其相应的曲线称为标准正态曲线，标准正态分布记做.记，指总体取值小于的概率，则.任何正态分布的概率问题均可利用公式转化为标准正态分布的概率问题.五. 正态分布在三个特殊区间的概率值1. 原则在实际应用中，通常认为服从正态分布的随机变量只取之间的值，并简称为原则. 在此区间以外取值的概率只有0.0026，此为小概率事件.2. 三个特殊区间的概率值三点剖析一. 注意事项1. 参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．把的正态分布叫做标准正态分布；2. 正态分布是自然界中最常见的一种分布，许多现象都近似地服从正态分布，如长度测量误差，正常生产条件下各种产品的质量指标等；3. 一般的，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似地服从正态分布．题模精讲题模一正态分布的概念例1.1、设随机变量，若，则=（）A、B、pC、D、例1.2、设随机变量X～N（μ，62），Y～N（μ，82）．记p1=p（X≤μ-6），p2=p （Y≥μ+8），则有（）A、p1=p2B、p1＞p2C、p1＜p2D、p1，p2大小关系无法判断例1.3、设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图象，且，则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A、10与8B、10与2C、8与10D、2与10例1.4、证明若服从（）则一定有：．题模二正态分布的性质与应用例2.1、正态总体为，时，概率密度函数是：，．（1）证明是偶函数；（2）求的最大值；（3）利用指数函数的性质说明的增减性．例2.2、若公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在以下设计的，如果某地成年男子的身高（单位：cm），则该地公共汽车门的高度应设计为多高？例2.3、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100）．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表Φ（x0）=P（x＜x0）例2.4、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z-N（μ，σ2）则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．随堂练习随练1.1、若正态曲线函数为，则( )A、有最大值，也有最小值B、有最大值，没有最小值C、无最大值，也无最小值D、没有最大值，但有最小值随练1.2、若随机变量，且，，则等于（）A、B、C、D、随练1.3、已知，若，则（）A、0.2B、0.3C、0.7D、0.8随练1.4、设服从，试求：（1）（2）（3）（4）随练1.5、某校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N（90，a2），（a＞0试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为（）A、200B、300C、400D、600随练1.6、某县农民平均收入服从元，元的正态分布．求：（1）此县农民年均收入在500元~520元之间的人数的百分比．（2）若要使农民的年均收入在（）内的概率不小于0．95，则的值应至少为多大？随练1.7、一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润（万元）分别服从正态分布和，投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案?自我总结课后作业作业1、设随机变量，则的值为（）A、1B、2C、D、4作业2、已知随机变量服从正态分布N（2，1），且P（1≤x≤3）=0.6826，则P（x ＜1）=（）A、0.1588B、0.1587C、0.1586D、0.1585作业3、设随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且函数f（x）=x2+4x+ξ没有零点的概率为，则μ为（）A、1B、4C、2D、不能确定作业4、以Φ（x）表示标准正态总体在区间（-∞，x）内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则概率P（|ξ-μ|＜σ）等于（）A、Φ（μ+σ）-Φ（μ-σ）B、Φ（1）-Φ（-1）D、2Φ（μ+σ）C、Φ()作业5、在下列命题中，①“”是“”的充要条件；②的展开式中的常数项为2；③设随机变量，若，则．其中所有正确命题的序号是（）A、②B、③C、②③D、①③作业6、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（1）试问此次参赛学生总数约为多少人？（2）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表作业7、某厂生产的零件外直径（mm），今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7．9 mm和7．5 mm，则可认为（）A、上、下午生产情况均为正常B、上、下午生产情况均为异常C、上午生产情况正常，下午生产情况异常D、上午生产情况异常，下午生产情况正常。
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• (2)若尺寸在24mm~26mm间的零件
• 为不合格，则不合格的零件大约有多少 个？
四、小结
本节课我们主要学习了正态曲线的若干 性质，要求大家知道正态曲线大致形状 及从图象上直观得到正态分布的性质， 并能利用3σ原理及相关公式进行计算。
五、作业
例1:给出下列三个正态密度曲线的函数表
达式，请找出其均值μ和标准差σ。
（１）f (x)
1
x2
e 2 , x (,)
0，1
2
（２） f (x)
2
1
2
( x1)2
e 8 x (,)
1，2
（ 3 ） f (x)
2 e2(x1)2 , x (,)
-1，0.5
例2:已知正态总体的函数是
f (x)
正 态分布
一、直方图:
频率 组距
频率分布直方图
产品尺寸 (mm）
25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
总体密度曲线
频率 组距
产品 尺寸
ab
（图中阴影部分的面积，表示总体在 某个区间 (a, b) 内的取值概率）。
二、基本知识点:
1.正态函数的定义
f (x)
5：正态总体N(μ，σ2) 在区间三个特殊区间的 概率
P（μ-σ，μ+σ）=0.6826，
P（μ-2σ，μ+2σ）=0.9544，
P（μ-3σ，μ+3σ）=0,9974
实际应用中,通常认为服从正态分 布N(μ，σ2) 的随机变量只取区间
（μ-3σ，μ+3σ）上的概率，否则就 不正常，这就是3σ原则
1
( x )2
e 2 2 , x (,)
2
( 式中的实数 、 〉0）是参数,分别表示总
体的平均数与标准差。函数f(x)称为正态函数。
Байду номын сангаас
函数f(x)的图象称为正态曲线
2.正态曲线及性质
若总体密度曲线就是或近似的是函数
f (x)
1
(x)2
e 2 2 , x (,)
2
的图象,则其分布叫正态分布, 常记 作 N (, 2 )
1一投资者在两个投资方案中选择一个，这两 个投资方案的利润x万元分别服从正态分布N （8，32）和N（6，22），投资者要求利润超 过5万元的概率尽量的大，那么他应该选择哪 一个方案?
2某厂生产的圆柱形零件的外径服从正态分布 N(4,0.25)，质检人员从该厂生产的1000件零 件中随机抽查一件，测得它的外直径为 5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
研究中占有重要地位。任何正态分布
N (, 2 )的归纳问题均可转化成标准
总体分布的概率问题。
4.标准正态分布
对于标准正态总体N（ 0 ，1 ），如图：ｙ
P(x x0 ) 1 P(x x0 )
O
ｘ0
ｘ
练习：正态总体N（0，1）在区间（-2，-1）
和（1，2）内的概率分别为P1、P2，则（ C ） （A）P1＜P2 （B）P1＞P2 （C） P1=P2 （D）不能确定
曲线的对称轴为 x 0
• 例3.设一次数学考试中满分为150 分，某班学生的分数服从正态分布 N（110，202），如果这个班有54 人，估计这个班的及格人数（不小 于90分）和130分以上的人数
• 例4.有一种精密零件，其尺寸X（单位 mm)服从N（20，4）。若这批零件共有 5000个，试求：
样本标准差公式是
(1)σ=
1 n [( x1
x)2
(x2
x)2
(xn
x)2]
(2) σ=[(x1 Eξ)2 P1 (x2 Eξ)2 P2 (xn Eξ)2 Pn]
总体平均值：
（1）x x1 x2 xn n
（2）Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn
1
x2
e 2 , x (,)
2
（１）求 f (x)的最大值；
（２）利用指数函数的性质说明 其单调区间，以及曲线的对称 轴。
解：（1） x2 0,x2 0
ex2 e0 1
f (x)max
，
2 2
（2）当 x 0 时，f (。 x) 为增函数；
当 x 0 时， f (x)为减函数；
f(x)的图象称为正态曲线.
产品尺寸、学生的学习成绩气象中的平均温度、平均 湿度等等，都服从或者近似服从正态分布。
3当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准 正态总体，其相应的函数表达式是
f (x)
1
x2
e 2 , x (,)
2
，其相应的曲线称为标准正态曲线。
标准正态总体N（0，1）在正态总体的