高中数学--正态分布

f(x)的图象称为正态曲线.
产品尺寸、学生的学习成绩气象中的平均温度、平均 湿度等等，都服从或者近似服从正态分布。
3当μ＝0，σ＝1时，正态总体称为标准 正态总体，其相应的函数表达式是
f (x)
1
x2
e 2 , x (,)
2
，其相应的曲线称为标准正态曲线。
标准正态总体N（0，1）在正态总体的
研究中占有重要地位。任何正态分布
N (, 2 )的归纳问题均可转化成标准
总体分布的概率问题。
4.标准正态分布
对于标准正态总体N（ 0 ，1 ），如图：ｙ
P(x x0 ) 1 P(x x0 )
O
ｘ0
ｘ
练习：正态总体N（0，1）在区间（-2，-1）
和（1，2）内的概率分别为P1、P2，则（ C ） （A）P1＜P2 （B）P1＞P2 （C） P1=P2 （D）不能确定
例1:给出下列三个正态密度曲线的函数表
达式，请找出其均值μ和标准差σ。
（１）f (x)
1
x2
e 2 , x (,)
0，1
2
（２） f (x)
2
1
2
( x1)2
e 8 x (,)
1，2
（ 3 ） f (x)
2 e2(x1)2 , x (,)
-1，0.5
Leabharlann Baidu
例2:已知正态总体的函数是
f (x)
样本标准差公式是
(1)σ=
1 n [( x1
x)2
(x2
x)2
(xn
x)2]
(2) σ=[(x1 Eξ)2 P1 (x2 Eξ)2 P2 (xn Eξ)2 Pn]
总体平均值：
（1）x x1 x2 xn n
（2）Eξ=x1p1+x2p2+……+xnpn
1
( x )2
e 2 2 , x (,)
2
( 式中的实数 、 〉0）是参数,分别表示总
体的平均数与标准差。函数f(x)称为正态函数。
函数f(x)的图象称为正态曲线
2.正态曲线及性质
若总体密度曲线就是或近似的是函数
f (x)
1
(x)2
e 2 2 , x (,)
2
的图象,则其分布叫正态分布, 常记 作 N (, 2 )
1一投资者在两个投资方案中选择一个，这两 个投资方案的利润x万元分别服从正态分布N （8，32）和N（6，22），投资者要求利润超 过5万元的概率尽量的大，那么他应该选择哪 一个方案?
2某厂生产的圆柱形零件的外径服从正态分布 N(4,0.25)，质检人员从该厂生产的1000件零 件中随机抽查一件，测得它的外直径为 5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合格？
曲线的对称轴为 x 0
• 例3.设一次数学考试中满分为150 分，某班学生的分数服从正态分布 N（110，202），如果这个班有54 人，估计这个班的及格人数（不小 于90分）和130分以上的人数
• 例4.有一种精密零件，其尺寸X（单位 mm)服从N（20，4）。若这批零件共有 5000个，试求：
• (1)尺寸在18mm~22mm间的零件的百分 比；
• (2)若尺寸在24mm~26mm间的零件
• 为不合格，则不合格的零件大约有多少 个？
四、小结
本节课我们主要学习了正态曲线的若干 性质，要求大家知道正态曲线大致形状 及从图象上直观得到正态分布的性质， 并能利用3σ原理及相关公式进行计算。
五、作业
5：正态总体N(μ，σ2) 在区间三个特殊区间的 概率
P（μ-σ，μ+σ）=0.6826，
P（μ-2σ，μ+2σ）=0.9544，
P（μ-3σ，μ+3σ）=0,9974
实际应用中,通常认为服从正态分 布N(μ，σ2) 的随机变量只取区间
（μ-3σ，μ+3σ）上的概率，否则就 不正常，这就是3σ原则
正 态分布
一、直方图:
频率 组距
频率分布直方图
产品尺寸 (mm）
25.235 25.295 25.355 25.415 25.475 25.535
总体密度曲线
频率 组距
产品 尺寸
ab
（图中阴影部分的面积，表示总体在 某个区间 (a, b) 内的取值概率）。
二、基本知识点:
1.正态函数的定义
f (x)
1
x2
e 2 , x (,)
2
（１）求 f (x)的最大值；
（２）利用指数函数的性质说明 其单调区间，以及曲线的对称 轴。
解：（1） x2 0,x2 0
ex2 e0 1
f (x)max
，
2 2
（2）当 x 0 时，f (。 x) 为增函数；
当 x 0 时， f (x)为减函数；