现代控制理论 09(第5章状态反馈控制器设计)

AT P + PA − 2kPBBT P = −I ⇒ dV ( x) dt = − xT x < 0
控制器设计问题转化为以下矩阵方程的求解问题：
AT P + PA − 2kPBBT P + I = 0 （黎卡提矩阵方程） 优点：若对给定的常数 k0 ，以上矩阵方程有解，则对 任意的 k ≥ k0 ，u = −kBT Px 都是系统的稳定化控制律。 结论：正无穷大的稳定增益裕度！ 例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律
矩阵P是对称的， xT PBu = uTBT Px
dV ( x) dt = xT ( AT P + PA) x + 2xT PBu
若选取 u = −kBT Px, k > 0
dV ( x) dt = xT ( AT P + PA) x − 2kxT PBBT Px = xT ( AT P + PA − 2kPBBT P) x
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦[0
⎡ 1]⎢
⎣
p1 p2
p2 p3
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦
=
0
展开矩阵方程，得到
−
2 p2
−
2
p
2 2
+1=
0
2 p2
−
2
p
2 3
+1= 0
p1 − p3 − 2 p2 p3 = 0
求取一个正定的解矩阵
p1 = 3 3 2, p2 = (−1 + 3) 2 ,
对任意的 k ≥ 1 ，稳定化控制律：
9 如何设计具有给定闭环极点的控制器？
解决问题的思路：首先对特殊的系统讨论； 对一般的系统，设法化成特殊系统
分析算法的可行性。
从能控系统入手，以3阶能控标准型为例：
⎡ 0 1 0 ⎤ ⎡0⎤
x
=
现代控制理论
Modern Control Theory (9)
俞立
浙江工业大学 信息与控制研究所
第5章 状态反馈控制器设计
9 建立了状态空间模型 9 提出了基于状态空间模型的运动分析 9 探讨了系统的定性分析：稳定性、能控性、能观性 认识世界 ⇒ 如何来改变世界？！ 设计控制系统！ 开环控制、闭环控制 经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的输入； 根据系统信息：状态反馈、输出反馈
反馈。
5.1.2 反馈控制的性质 在静态反馈下，闭环系统矩阵变为
A − BK 和 A − BFC
结论：反馈可以改变系统的动态特性。
定理5.1.1 状态反馈不改变系统的能控性。
例 考虑系统在状态反馈 u = −[1 0]x 下的闭环系统
x
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
x
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦u,
y = [0 1]x
¾ 利用系统的信息多，所能达到的性能好。
5.2 稳定化状态反馈控制器设计
基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化控制器 系统模型： x = Ax + Bu 控制律： u = −Kx 闭环系统： x = (A − BK )x 闭环系统渐近稳定的充分必要条件是：V (x) = xTPx 关键的问题：如何确定以上的矩阵K 和 P。 介绍两种方法。
⎡s 1]⎢⎣0
−1⎤−1 ⎡0⎤
s
⎥ ⎦
⎢⎣1⎥⎦
=
s s2
=
1 s
定理5.1.2 输出反馈不改变系统的能控能观性。
定理5.1.3 状态反馈不能改变单输入单输出系统的零点
反馈形式的讨论：
¾ 静态反馈不增加系统动态特性；
¾ 状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性；
¾ 输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不 能；
5.2.1 黎卡提方程处理方法 如何使得V (x) = xTPx 是闭环系统的李雅普诺夫方程？
dV ( x) dt = x T Px + xT Px = ( Ax + Bu)T Px + xT P( Ax + Bu) = xT AT Px + (Bu)T Px + xT PAx + xT PBu = xT ( AT P + PA) x + uT BT Px + xT PBu
u
B
_
∫
x
A K
y
y C
静态线性输出反馈控制：u = −Fy + v
x = Ax + Bu y = Cx
⇒
x = ( A − BK ) x + Bv y = Cx
v
u
B
_
∫
x
A F
y C
若v表示系统的参考输入，用 v = Fyr 代替之，可得
u = −F ( y − yr )
用输出误差来校正系统。 当 K = FC 时，状态反馈变为输出反馈。一类特殊输出
高阶系统（一对主导极点）
结论：极点影响系统的稳定性和动态性能 闭环系统：x = ( A − BK ) x 问题：根据系统性能要求确定闭环极点 λ1, λ2 , ", λn ，求 矩阵K，使得 σ ( A − BK ) = {λ1, λ2 , ", λn }
回答两个问题：
9 在什么条件下，极点配置问题可解？即存在使得闭 环系统具有给定极点的控制器。
取k=1，则
⎡ ⎢ ⎣
x1 x 2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡0 ⎢⎣− 1
1⎤ 0⎥⎦
⎡ x1
⎢ ⎣
x
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2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦u
⎡0 − 1⎤⎡ p1
⎢ ⎣
1
0⎥⎦
⎢ ⎣
p
2
p2 p3
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎣
p1 p2
p2 ⎤⎡ 0
p3
⎥ ⎦
⎢⎣−
1
1⎤ 0⎥⎦
−
⎡ 2⎢
⎣
p1 p2
p2 p3
⎤ ⎥ ⎦
能控能观性。
结论：能控，不能观。
A−
BK
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
−
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦[1
0]
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ 0⎥⎦
[B
(
A
−
BK
)B]
=
⎡0 ⎢⎣1
1⎤ 0⎥⎦
⎡C ⎢⎣C ( A −
BK
⎤ )⎥⎦
=
⎡0 ⎢⎣0
1⎤ 0⎥⎦
状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。
C[sI − ( A − BK )]−1 B = [0
p3 = 3 2
u = −kB T Px = −k[ p2 p3 ]x
[ ] = − k − 1 + 3 31 4 x 2
线性矩阵不等式处理方法。
5.3 极点配置
系统性能：稳态性能和动态性能 稳态性能：稳定性、静态误差 动态性能：调节时间、振荡、超调、上升时间... 系统稳定性的决定因素：系统极点 影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置）
5.1 线性反馈控制系统 系统模型 x = Ax + Bu
y = Cx
反馈控制系统结构。
v为外部输入；
v+ _
被控对象 控制器
控制器：动态补偿器、静态反馈控制器。
状态反馈控制器：u = −Kx + v K 称为是状态反馈增益矩阵。
闭环系统：
v
x = ( A − BK ) x + Bv y = Cx