厦门大学高数试卷2010-2011
厦门大学09-10学年第一学期《高等代数》半期考试卷
3) 记 e1, e2 , e3 为 3 维列向量，则与 3 阶行列式 e1,e 2 , e3 等值的行列式是____. D
A) e1, 2e1 + e 2 , e1 + 3e 2 - e3 ；
B) e 3,e 2 ,e1 ；
C) e1 + e 2 ,e 2 + e3, e3 + e1 ；
D) e 3 - e 2 ,e1 - e3, e3 .
4
参考答案——0910 学年第一学期厦门大学《高等代数》期中试卷
同理由 B¢B = I ，知| B |= ±1。又因为| A |= - | B | ，所以| A || B |= -1 。而
| A + B |=| A + AA¢B |=| A || I + A¢B |=| A || B¢B + A¢B |=| A || B¢ + A¢ || B |= - | B¢ + A¢ |= - | A + B |
A
=
n( n -1)
( -1) 2
æçè1 -
n i=2
1ö i ÷ø
n!。
常见错误： (1) 漏掉符号或者弄错符号。 (2) 用归纳法时，递推式错误。注：此题用归纳较为复杂。
四、 (15 分) 设 A = I - xx ¢ ，其中x 为 n 维非零列向量，x ¢ 是x 的转置，证明：
1） A2 = A 的充要条件是x ¢x = 1 ； 2） 当x ¢x = 1 时， A 是奇异的，即 A 是不可逆的。 证明：1） A2 = (I -xx ¢)(I - xx ¢) = I - 2xx ¢ + x (x ¢x )x ¢ ，记x ¢x = a ，则 A2 = I - (2 - a)xx ¢ 。 充分性：若x ¢x = 1 ，即 a = 1 ，则 A2 = I - xx ¢ = A 。 必要性：若 A2 = A ，则 (2 - a)xx ¢ = xx ¢ 。又x 为 n 维非零列向量，于是xx ¢ ¹ 0 ，因此 2 - a = 1，即 a = xx ¢ = 1。 2)（方法一）（09 级 马晴 等）由 1）知，当x ¢x = 1 时 A2 = A 。若 A 可逆，则 A = I ，从而xx ¢ = 0 ， 与x 为 n 维非零列向量矛盾。因此 A 是奇异的。 （方法二）（08 级转专业 郑光辉）当x ¢x = 1 时，Ax = (I - xx ¢)x = x - x (x ¢x ) = x - x = 0 ，由于x 为 n 维非零列向量，因此| A |= 0 ，即 A 是奇异的. （方法三）（09 级 尹浩宇 等）由于| A |=| I - xx ¢ |=|1- x ¢x |= 0 ，因此 A 是奇异的。 常见错误：对长方阵x 求行列式或逆等。
2010-2011学年第二学期高数IIA期中试卷_答案
2、求无穷限积分 ∫
+∞
dx x x2 −1
1
.
解：令x = sec t , 当x → +∞, t → ∴∫
+∞
π
2
, 当x → 1, t → 0, 且dx = sec t tan tdt ⋯⋯⋯ (2分)
dx x x2 −1
1
= ∫2
0
π
sec t tan tdt ⋯⋯⋯ (4分) sec t tan t
4、求函数 u = x 2 + y 2 + z 2 在约束条件 z = x 2 + y 2 和 x + y + z = 4 下的最大值和最小值。 专业
解：作辅助函数 F ( x, y , z , λ1 , λ2 ) = x 2 + y 2 + z 2 + λ1 ( x 2 + y 2 − z ) + λ2 ( x + y + z − 4) ⋯⋯⋯ (2分) F ′ = 2 x + 2λ1 x + λ2 = 0 x Fy′ = 2 y + 2λ1 y + λ2 = 0 则令 Fz′ = 2 z − λ1 + λ2 = 0 ′ 2 2 Fλ1 = x + y − z = 0 F ′ = x + y + z − 4 = 0 λ2 x = 1 x = −2 解得 y = 1 和 y = −2 z = 2 z = 8
C、 −1
D、不存在 （ A ）
∫∫
x + y ≤1
2
栏
3
x 2 + y 2 dxdy 的值等于
厦门大学《高等数学(AC)》课程试卷07年
一、填空：（每小题4分，共20分） 1、22(21)t t ∆-+= 。
2、微分方程25cos2x y y y e x '''-+=待定特解的形式为 。
3、已知12t t y C C a =+是差分方程21320t t t y y y ++-+=的通解，则a = 。
4、级数21(2)(1)9nnnn x n ∞=--⋅∑的收敛域为 。
5、微分方程20ydx xdy y xdx -+=的通解为 。
二、判断下列级数的敛散（每小题5分，共10分）：1、1!n n n n ∞=∑2、nn ∞=三、求下列方程的通解或特解：（每小题7分，共28分）1、求微分方程()0ydx y x dy +-= 满足(0)1y = 的特解。
2、求差分方程1363tt t y y +-=通解。
3、设()f x 二阶可导，并且()20()()(1)x t f x f u du dt x =+-⎰⎰，求()f x 。
4、求微分方程28cos y a y bx ''+= 的通解，其中,a b 为正常数。
四、计算下列各题：（每小题7分，共28分）1、求曲面积分()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰其中∑为錐面(02)z z =≤≤的下侧。
2、将函数21()32f x x x =++展开成4x -（）的幂级数。
3、求幂级数11(1)2n nn n x -∞=+∑的和函数，并求数项级数1(1)2n n n ∞=+∑的和。
4、设二阶连续导函数()f x 使曲线积分[2()3()5]()x LI f x f x e ydx f x dy ''=-+++⎰与路径无关，且有1(0)0,(0)4f f '==，试求曲线积分 (1,2)(0,0)[2()3()5]()x f x f x e ydx f x dy ''-+++⎰的值。
2010-2011年度高数I试题A答案(经院内招生用)(同济版)
2010-2011年度高数I试题A答案(经院内招生用)(同济版)暨 南 大 学 考 试 试 卷一、填空题（将题目的正确答案填写在相应题目划线空白处。
共8小题，每小题2分，共16分）1．2cos limx x tdt x→=⎰2．x →∞-= 03. 极限lim 2sin2n nn x→+∞=x(0x 为不为的常数）4. 函数20 1()2 1 121 2x f x x x x x <⎧⎪=+≤<⎨⎪+≤⎩的间断点是1x =5．设x y a =，则函数的n 阶导数()n y =(ln )n x a a ；6．若21()11x x f x ax x ⎧≤=⎨->⎩ 当a = 2 时，函数)f x （ 在1x =处可导. 7．已知某工厂生产某种商品，该产品的边际成本函数()3C x '=+，其固定成本为2000（元）则总成本为()20003C x x =++（元）， 8. 1sin dx x =⎰ln csc cot x x c -+二、单选题（在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。
共8小题，每小题2分，共16分）1.下列数列中收敛的是（ C ）(A) {}(1)n n - (B) 1n n ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭(C)212n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭ (D) {}(1)n -2.若1lim(21)1x x →-=，则对于任意给定的0ε>，存在（B ）当01x δ<-<时总有(21)1x ε--<成立(A) δε= (B) 2εδ=(C) 3δε= (D) 4δε=3.()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的 （A ）条件(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分必要 (D)什么都不是4. 设()x f x e -=，则(ln )f x dx x'=⎰（C ）(A) 1C x-+ (B) ln x C -+(C) 1C x+ (D) ln x C +5. 当0x →时，下列无穷小量中与x 等价的无穷小量是（ C ）(A) ln(12)x + (B) 1cos x - (C) 1x e - (D)1- 6. 下列反常积分收敛的是（ C ）。
厦门大学10-11学年第二学期《高等代数》半期考试卷参考答案
a ¹ 0 。必
2
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
3) 设 f ( x ) = x + 4 x + 5 x + 3 ， 则____是以 f ( x ) 的根的倒数为根的四次多项式。 3 x + 5 x + 4 x + 1 （不唯一，可相差非零常数倍）
且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ，证明： p( x) | f ( x ) 且 p( x) | g ( x ) 。 证明：因 p( x ) 是数域 K 上的不可约多项式且 p( x) | f ( x ) g ( x ) ，所以 p( x) | f ( x ) 或者 p( x) | g ( x ) 。若
① x 2 + p （其中 p 是素数） ； A) 3，1； C) 2，1； 3)
设 f ( x ) 是数域 K 上的非零多项式， p( x ) 是 K 上不可约多项式。如果存在复数 c ，使得
f (c ) = p (c) = 0 ，则____。B
A) f ( x) | p ( x ) ； C) f ( x) = p( x) ； 4) B) p( x) | f ( x ) ； D) f ( x) = ap( x )( a ¹ 0) 。
厦门大学《高等代数》课程试卷
数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业
1011 学年第二学期厦门大学《高等代数》期中试卷参考答案
主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型： （A 卷）
2011.3.31
一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）
1) 设 ( f ( x ), g ( x )) = 1 ， ( f ( x ), h( x )) = 1 ，则____未必互素。D B) f ( x ) 与 f ( x ) + g 2 ( x ) ； D) f ( x ) 与 g ( x ) + h( x) 。
厦门大学参考答案--08-09学年第一学期《高等代数》期末考试卷
厦门⼤学参考答案--08-09学年第⼀学期《⾼等代数》期末考试卷特别说明：答案写在答题纸上⼀、单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.下列说法错误的是A) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则其中任意两个向量线性⽆关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性⽆关，则123,,ααα线性⽆关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；D) 若向量组123,,ααα线性⽆关，则112123,,αααααα+++线性⽆关.2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性⽆关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性⽆关的充要条件是A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表⽰； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表⽰； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵.3.设线性⽅程组0Ax =的解都是线性⽅程组0Bx =的解，则A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥；D) ()()r A r B ≤.4.设n 阶⽅阵A 的伴随矩阵*0A ≠，⾮齐次线性⽅程组Ax b =有⽆穷多组解，则对应的齐次线性⽅程组0Ax =的基础解系 A) 不存在；B) 仅含⼀个⾮零解向量；C) 含有两个线性⽆关的解向量； D) 含有三个线性⽆关的解向量.5.下列⼦集能构成22R的⼦空间的是A) 221{|||0,}V A A A R ?==∈；B) 222{|()0,}V A tr A A R==∈；C) 2223{|,}V A A A A R ?==∈；D) 224{|,}V A A A A A R ?'==-∈或.6.设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换?在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若?在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =A) 2n； B) 2； C)12； D) 不能确定.7.设V 是n 维向量空间，?和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ?ψ=的充分必要条件是A) ?和ψ都是可逆变换；B) Ker ?=Ker ψ；C) Im Im ?ψ=； D) ?和ψ在任⼀组基下的表⽰矩阵的秩相同. 8.设?是线性空间V 到U 的同构映射, 则下列命题中正确的有个. (Ⅰ) ?为可逆线性映射；(Ⅱ) 若W 是V 的s 维⼦空间, 则()?W 是U 的s 维⼦空间； (Ⅲ) ?在给定基下的表⽰矩阵为可逆阵；(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))⊕=⊕(V V (V (V . A) 1B) 2C) 3D) 4⼆、填空题（32分. 共8题,每题4分）1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过⾏初等变换化为1003002401050000-??-, 那么向量组1234,,,αααα的⼀个极⼤⽆关组是其余向量由此极⼤⽆关组线性表⽰的表⽰式为.2. 设3维向量空间的⼀组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基.3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的⼦空间，则12()L V V ?4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是的⼀组基. 5. 已知12K上的线性变换?定义如下：((,))(0,)ab a ?=-，则Ker ?=Im ?6. 设?是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则?为满射的充分必要条件是（请写出两个）7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n ααα到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若?是V 上的线性变换且,()i i ?αβ=1,2,...,i n =，则?在基12,,...,n βββ下的表⽰矩阵是8. 设?是线性空间V 上的线性变换，?在基12,,...,n ααα下的表⽰矩阵为0A B C ??，其中A 为r r ?矩阵，则存在V 的⼀个⾮平凡?-,,)r α.三、(8分) 设线性空间V 的向量组12,,...,m ααα线性⽆关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.求证：或者该向量组线性⽆关，或者β可由12,,...,m ααα线性表⽰. ,,m α线性相关，则存在不全为,,k m 使得+k m m α+=．事实上，若k +k m m α+=12,,...,ααα线性⽆关知1m k ==k =0．m ==k =0．,,k m 不全为０相⽭盾．mm k k α--从⽽，或者该向量组线性⽆关，或者β可由α四、(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性⽅程组12n x x x == =与120n x x x +++=的解空间. 证明112n KV V ?=⊕.1n V V a ?∈n n a a ==++=，则0n a ===1n n K a ??∈，11i V a n∈∑, 21n i i V a n =??∈?∑n a ＝1n i i a n =?∑＋n a1n V V a ∈n n a a ==++=，则0n a ===(1)000011n n-?，1,1,,1)n ?，所以1．故1dim V (1)000011n n-? ?，1,1,,1)n ?，1dim 1,dim V =1n n K a ??∈，11i n V a n ?∈∑, 21n i i n V a n =??∈?∑n a ＝1n i i n a n =?∑＋n n a五、(10分) 设m n A K ?∈. 证明：()r A r =的充分必要条件是存在m r B K ?∈，r n C K ?∈，使得()()r B r C r ==且A BC =.证明：充分性：由于m rB K∈，r nC K∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =，所以()()()()()r r B r C r r A r BC r B r =+-≤=≤=故()r A r =．必要性：由于()r A r =，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得000rI A P Q ??=．令,(,0)0r r I B P C I Q ??==，则m r B K ?∈，r n C K ?∈满⾜()()r B r C r ==且A BC =．六、(8分) 设V , U, W 是有限维线性空间，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 求证：存在线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ?.证明：充分性：法⼀：取V 的⼀组基12,,,n ααα，由于Im Im ?ψ?，所以()Im i ?αψ∈，1i n ?≤≤，即存在i W β∈使得()()i i ?αψβ=．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σαβ=?≤≤，则()()(),1i i i i n ψσαψβ?α==?≤≤．因此，ψσ?=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,m ηηη，W 的⼀组基12,,,s γγγ．设1212(,,,)(,,,)n m m n A ?ξξξηηη?= 1212(,,,)(,,,)s m m s B ψγγγηηη?=其中1212(,,,),(,,,)n s A B αααβββ==．由于I m I m ?ψ?，所以1212(,,,)(,,,)n s L L αααβββ?，即11,sj ij i i j n c αβ=?≤≤=∑．取()ij s n C c ?=，则A B C =．定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n s C σξξξγγγ=，则?ψσ=.必要性：对任意Im β?∈，存在V α∈使得()β?α=．由于?ψσ=，所以()β?α=(())Im ψ?αψ=∈从⽽，Im Im ?ψ?．附加题: (本部分不计⼊总分)设V , U, W 是有限维线性空间且dim dim V W =，:V U ?→，:W U ψ→是线性映射. 证明：存在可逆线性映射:V W σ→使得?ψσ=的充分必要条件是Im Im ?ψ=.证明：充分性：法⼀：由于d i m d i m V W =且Im Im ?ψ=，所以由维数公式知：d i m d i m Ke r K e r ?ψ=．取Ker ψ的⼀组基12,,,r ηηη；Ker ?的⼀组基12,,,r ξξξ，将其扩充为V的⼀组基121,,,,,r r n ξξξξξ+，则1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ?的⼀组基．由于Im Im ?ψ=，所以1(),()r n ?ξ?ξ+是Im ψ的⼀组基．设()(),1i i r i n ?ξψη=?+≤≤，由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以1,,r n ηη+线性⽆关．我们断⾔，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．事实上，若1122110r r r r n n k k k k k ηηηηη++++++++=，则将ψ作⽤于上式得11()()0r r n n k k ψηψη++++=．由于1(),,()r n ψηψη+线性⽆关，所以10r n k k +===．于是1122r r k k k ηηη+++＝０．⼜12,,,r ηηη是Ker ψ的⼀组基，故10r k k ===从⽽，121,,,,,,r r n ηηηηη+线性⽆关．注意到dim W n =，故121,,,,,,r r n ηηηηη+是W 的⼀组基．定义线性映射:V W σ→满⾜(),1i i i n σξη=?≤≤．由于12,,,n ξξξ是V 的⼀组基，12,,,n ηηη是W的⼀组基，故σ可逆．⼜()()(),1i i i i n ψσξψη?ξ==?≤≤，从⽽?ψσ=．法⼆：取V 的⼀组基12,,,n ξξξ，U 的⼀组基12,,,s γγγ，W 的⼀组基12,,,n ηηη．设1212(,,,)(,,,)n s s n A ?ξξξγγγ?=1212(,,,)(,,,)n s s n B ψηηηγγγ?=且dimIm dimIm r ?ψ==，则()()r A r B r ==．于是，存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得1(,0),AP A =1(,0)BQ B =，其中11,s r A B K ?∈列满秩．由于Im Im ?ψ=，所以同上题证明可知存在n 阶矩阵C 使得A BC =，则11(,0)()A AP BQ Q CP -==．设111212122X X Q CP X X -??=，其中11X 是r 阶⽅阵，则1112112122(,0)(,0)X X A B X X ??=．从⽽，1111A B X =．⼜1A 列满秩，所以存在2r sA K ?∈使得21r A A I =．于是，212111()r I A A AB X ==，即11X 是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵11100n r X X Q P I --??=使得()111111111111100(,0),0(,0)00n r n r X X BX BQ P B P B X P A P A I I ------=====定义线性映射:V W σ→满⾜1212(,,,)(,,,)n n X σξξξηηη=由于X 可逆且A BX =，故σ可逆且?ψσ=．必要性：由于?ψσ=，所以同上题证明可知Im Im ?ψ?．⼜由:V W σ→可逆可知1ψ?σ-=，所以Im Im ψ??．从⽽，Im Im ?ψ=．。
2010年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学试题 (文科)(解析版)
2010年高考福建数学试题（文史类解析）第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B ⋂等于（ ）A ．{}x|2<x 3≤B ．{}x|x 1≥C ．{}x|2x<3≤D ．{}x|x>2【答案】A【解析】A B ⋂={}x|1x 3≤≤⋂{}x|x>2={}x|2<x 3≤,故选A ． 【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题．2．计算12sin 22.5-的结果等于( )A ．12B．2 C．3 D．2 【答案】B【解析】原式=2cos 45=,故选B ． 【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值．3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( )A B ．2 C ．D ．6【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为244⨯=3216⨯⨯=，选D ． 【命题意图】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力。
4．i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1 D ．-1 【答案】C【解析】41i ()1-i+=244(1i)[]=i =12+,故选C ． 【命题意图】本题考查复数的基本运算,考查同学们的计算能力．5。
若x ，y ∈R ，且⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≥,,032,1x y y x x ，则z=x+2y 的最小值等于 ( )A.2 B .3 C.5 D.96 . 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于( )A.2B.3 C .4 D.57．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
2010—2011学年度高三数学 第二学期第一次调研考试试卷 理
2010—2011学年度第二学期第一次调研考试高三年级数学试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答卷Ⅰ前，考生将自己的某某、某某号、考试科目涂写在答题卡上。
2.答卷Ⅰ时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
一、选择题（每小题5分，共60分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．已知集合}0,2|{},02|{2>==>-=x y y B x x x A x，R 是实数集，则()A B C R 等于 A.[]1,0 B.），（0∞- C. ]0，（∞- D.]1,0( 2.已知集合{|}n M m m i n ==∈N ，，其中21i =-，则下面属于M 的元素是 （ ） A (1)(1)i i ++-B (1)(1)i i +--C (1)(1)i i +-D11ii+- 3.已知α、β、γ为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥，βγ⊥，则//αγ；命题:q 若α上不共线的三点到β的距离相等，则//αβ。
对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝且q ⌝”为假4.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+， 则使得nna b 为正偶数时，n 的值是 （ ） A ．1B ．2C ．5D ．3或115. 若函数f （x ）的导函数34)(2+-='x x x f ，则使得函数)1(-x f 单调递减的一个充分不必要条件是x ∈（ ） A ．（0，1）B ．[0，2] C ．（2，3）D ．（2，4）6. 6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最少坐2人，则不同的乘车方法数为( )A ．40B ．50C ．60D ．707.如图,过抛物线y x 42=焦点的直线依次交抛物线与圆1)1(22=-+y x 于点A 、B 、C 、D,则CD AB •的值是（ ）A.8B.4C.2D.18.在样本的频率分布直方图中,共有9个小长方形,若第一个长方形的面积为0.02, 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差互为相反数,若样本容量为160, 则中间一组（即第五组）的频数为 （ ） A.12 B.24 C.36 D.489. 表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 （ ） A ．13π B ．23π C ．23π D ．223π 10. 点40(2,)30x y P t x y --≤⎧⎨+-≤⎩在不等式组表示的平面区域内，则点P （2,t ）到直线34100x y ++=距离的最大值为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．811．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <时都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()32xf f x =；③(1)1()f x f x -=-，则11()()38f f +等于 （ ）A ．34B ．12C ．1D ．2312.已知数列{}n a 满足：11a =，212a =，且2121n n n n a a a a +++=+(n ∈N *)，则右图中第9行所有数的和为A 90B 9! C1022 D1024第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，共20分。
《高等代数》期末考试卷
1011学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷）2011.1.13一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。
CA) 对任意的b ，V 均是线性空间； B) 对任意的b ，V 均不是线性空间； C) 只有当 0 b = 时，V 是线性空间； D) 只有当 0 b ¹ 时，V 是线性空间。
2) 已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。
AA) 若向量组 I 线性无关，则s t £ ； B) 若向量组 I 线性相关，则s t > ； C) 若向量组 II 线性无关，则s t £ ； D) 若向量组 II 线性相关，则s t > 。
3) 设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。
DA) 当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解； C) 当r m < 时，方程组AX b = 有解； D) 当r m = 时，方程组AX b = 有解。
4)设 A 是m n ´ 阶矩阵，B 是n m ´ 阶矩阵，且AB I = ，则____。
AA) (),() r A m r B m == ； B) (),() r A m r B n == ； C) (),() r A n r B m == ；D) (),() r A n r B n == 。
5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 æöç÷ç÷ ç÷ èø，则j 在基123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。
厦门大学08-09学年第一学期《高等代数》期末考试卷
厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院 各 系 2008 年级 各 专业信息科学与技术学院 计算机科学 系 2008 年级 CST 专业特别说明：答案写在答题纸上一、 单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.下列说法错误的是___B____.A) 若向量组123,,ααα线性无关，则其中任意两个向量线性无关； B) 若向量组123,,ααα中任意两个向量线性无关，则123,,ααα线性无关； C) 向量组122331,,αααααα---线性相关；D) 若向量组123,,ααα线性无关，则112123,,αααααα+++线性无关.2. 设n 维列向量12,,...,m ααα()m n <线性无关, 则n 维列向量12,,...,m βββ线性无关的充要条件是___D____.A) 向量组12,,...,m ααα可由向量组12,,...,m βββ线性表示； B) 向量组12,,...,m βββ可由向量组12,,...,m ααα线性表示； C) 向量组12,,...,m ααα与向量组12,,...,m βββ等价； D) 矩阵12(,,...,)m A ααα=与矩阵12(,,...,)m B βββ=相抵. 3.设线性方程组0Ax =的解都是线性方程组0Bx =的解，则__C__.A) ()()r A r B <； B) ()()r A r B >； C) ()()r A r B ≥；D) ()()r A r B ≤.4.设n 阶方阵A 的伴随矩阵*0A ≠，非齐次线性方程组Ax b =有无穷多组解，则对应的齐次线性方程组0Ax =的基础解系__ B __. A) 不存在；B) 仅含一个非零解向量；C) 含有两个线性无关的解向量； D) 含有三个线性无关的解向量. 5.下列子集能构成22R⨯的子空间的是___B____.A) 221{|||0,}V A A A R ⨯==∈；B) 222{|()0,}V A tr A A R ⨯==∈；C) 2223{|,}V A A A A R ⨯==∈；D) 224{|,}V A A A A A R ⨯'==-∈或.6.设V 是数域K 上的线性空间, V 上的线性变换ϕ在基12,,...,n ααα下的矩阵为A 且||2A =，若ϕ在基11,,...,n n ααα-下的矩阵为B , 则||B =A) 2n ；B) 2； C)12； D) 不能确定.7.设V 是n 维向量空间，ϕ和ψ是V 上的线性变换，则dimIm dimIm ϕψ=的充分必要条件是A)ϕ和ψ都是可逆变换； B) Ker ϕ=Ker ψ；C) Im Im ϕψ=； D) ϕ和ψ在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8.设ϕ是线性空间V 到U 的同构映射,则下列命题中正确的有个. (Ⅰ)ϕ为可逆线性映射；(Ⅱ) 若W 是V 的s 维子空间, 则()ϕW 是U 的s 维子空间； (Ⅲ)ϕ在给定基下的表示矩阵为可逆阵；(Ⅳ) 若12V=V V ⊕, 则1212)))ϕϕϕ⊕=⊕(V V (V (V . A) 1B) 2C) 3D) 4二、 填空题（32分. 共8题,每题4分）1. 若矩阵1234(,,,)A αααα=经过行初等变换化为1003002401050000-⎛⎫⎪⎪⎪-⎪⎝⎭, 那么向量组1234,,,αααα的一个极大无关组是其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为.2. 设3维向量空间的一组基为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)ααα===，则向量(2,0,0)β=在这组基.3. 设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，则12()L V V ⋃=4. 数域K 上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是的一组基.5. 已知12K ⨯上的线性变换ϕ定义如下：((,))(0,)a b a ϕ=-，则Ker ϕ=Im ϕ6. 设ϕ是数域K 上n 维线性空间V 到m 维线性空间U 的线性映射, 则ϕ为满射的充分必要条件是（请写出两个）7. 设12,,...,n ααα和12,,...,n βββ是线性空间V 的两组基，从12,,...,n ααα到12,,...,n βββ的过渡矩阵为P . 若ϕ是V 上的线性变换且,()i i ϕαβ=1,2,...,i n =，则ϕ在基12,,...,n βββ下的表示矩阵是8. 设ϕ是线性空间V上的线性变换，ϕ在基12,,...,n ααα下的表示矩阵为0A B C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，其中A 为r r ⨯矩阵，则存在V 的一个非平凡ϕ-三、(8分) 设线性空间V 的向量组12,,...,m ααα线性无关，V β∈，考虑向量组12,,,...,m βααα.求证：或者该向量组线性无关，或者β可由12,,...,m ααα线性表示.证明： 若1,,,m βααL 线性相关，则存在不全为0的数01k ,k ,,k m L 使得011k +k +k 0m m βαα+=L ．我们断言，0k 0≠．事实上，若0k =0，则11k +k 0m m αα+=L ．由12,,...,m ααα线性无关知1m k ==k =0L ．于四、(10分) 设1V ,2V 分别是数域K 上的齐次线性方程组12n x x x ===L 与120n x x x +++=L 的解空间. 证明112n KV V ⨯=⊕.证明：法一：一方面，∀1212naaV Va⎛⎫⎪⎪∈⋂⎪⎪⎝⎭M，有1212nna a aa a a===⎧⎨+++=⎩LL，则12na a a====L．故五、(10分) 设m n A K ⨯∈. 证明：()r A r =的充分必要条件是存在m r B K ⨯∈，r n C K ⨯∈，使得()()r B r C r ==且A BC =.证明： 充分性： 由于m rB K⨯∈，r nC K⨯∈满足()()r B r C r ==且A BC =，所以()()()()()r r B r C r r A r BC r B r =+-≤=≤=故()r A r =．必要性： 由于()r A r =，所以存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q 使得000rI A P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭．令,(,0)0r r I B P C I Q ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则m r B K ⨯∈，r n C K ⨯∈满足()()r B r C r ==且A BC =．六、(8分) 设V , U, W 是有限维线性空间，:V U ϕ→，:W U ψ→是线性映射. 求证：存在线性映射:V W σ→使得ϕψσ=的充分必要条件是Im Im ϕψ⊆.证明： 充分性： 法一：取V 的一组基12,,,n αααL ，由于Im Im ϕψ⊆，所以()Im i ϕαψ∈，1i n ∀≤≤，即存在i W β∈使得()()i i ϕαψβ=．定义线性映射:V W σ→满足(),1i i i n σαβ=∀≤≤，则()()(),1i i i i n ψσαψβϕα==∀≤≤．因此，ψσϕ=．法二：取V 的一组基12,,,n ξξξL ，U 的一组基12,,,m ηηηL ，W 的一组基12,,,s γγγL ．设1212(,,,)(,,,)n m m n A ϕξξξηηη⨯=L L1212(,,,)(,,,)s m m s B ψγγγηηη⨯=L L其中1212(,,,),(,,,)n s A B αααβββ==L L ．由于Im Im ϕψ⊆，所以1212(,,,)(,,,)n s L L αααβββ⊆L L ，即11,sj ij ii j n c αβ=∀≤≤=∑．取()ij s n C c ⨯=，则A BC =．定义线性映射:V W σ→满足1212(,,,)(,,,)n s C σξξξγγγ=L L ，则ϕψσ=.必要性： 对任意Im βϕ∈，存在V α∈使得()βϕα=．由于ϕψσ=，所以()βϕα=(())Im ψϕαψ=∈ 从而，Im Im ϕψ⊆．附加题: (本部分不计入总分)设V , U, W 是有限维线性空间且dim dim V W =，:V U ϕ→，:W U ψ→是线性映射. 证明：存在可逆线性映射:V W σ→使得ϕψσ=的充分必要条件是Im Im ϕψ=.证明： 充分性：法一：由于dim dim V W =且Im Im ϕψ=，所以由维数公式知：dim dim Ker Ker ϕψ=．取Ker ψ的一组基12,,,r ηηηL ；Ker ϕ的一组基12,,,r ξξξL ，将其扩充为V的一组基121,,,,,r r n ξξξξξ+L L ，则1(),()r n ϕξϕξ+L 是Im ϕ的一组基．由于Im Im ϕψ=，所以1(),()r n ϕξϕξ+L 是Im ψ的一组基．设()(),1i i r i n ϕξψη=∀+≤≤，由于1(),,()r n ψηψη+L 线性无关，所以1,,r n ηη+L 线性无关．我们断言，121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 线性无关．事实上，若1122110r r r r n n k k k k k ηηηηη++++++++=L L ，则将ψ作用于上式得11()()0r r n n k k ψηψη++++=L ．由于1(),,()r n ψηψη+L 线性无关，所以10r n k k +===L ．于是1122r r k k k ηηη+++L ＝０．又12,,,r ηηηL 是Ker ψ的一组基，故10r k k ===L从而，121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 线性无关．注意到dim W n =，故121,,,,,,r r n ηηηηη+L L 是W 的一组基． 定义线性映射:V W σ→满足(),1i i i n σξη=∀≤≤．由于12,,,n ξξξL 是V 的一组基，12,,,n ηηηL 是W 的一组基，故σ可逆．又()()(),1i i i i n ψσξψηϕξ==∀≤≤，从而ϕψσ=．法二： 取V 的一组基12,,,n ξξξL ，U 的一组基12,,,s γγγL ，W 的一组基12,,,n ηηηL ．设1212(,,,)(,,,)n s s n A ϕξξξγγγ⨯=L L1212(,,,)(,,,)n s s n B ψηηηγγγ⨯=L L且dimIm dimIm r ϕψ==，则()()r A r B r ==．于是，存在n 阶可逆矩阵,P Q 使得1(,0),AP A =1(,0)BQ B =，其中11,s r A B K ⨯∈列满秩．由于Im Im ϕψ=，所以同上题证明可知存在n 阶矩阵C 使得A BC =，则11(,0)()A AP BQ Q CP -==．设111212122X X Q CP X X -⎛⎫=⎪⎝⎭，其中11X 是r 阶方阵，则1112112122(,0)(,0)XX A B X X ⎛⎫= ⎪⎝⎭．从而，1111A B X =．又1A 列满秩，所以存在2r sA K ⨯∈使得21r A A I =．于是，212111()r I A A AB X ==，即11X 是可逆矩阵．因此，存在可逆矩阵11100n r X X Q P I --⎛⎫=⎪⎝⎭使得()111111111111100(,0),0(,0)00n r n r X X BX BQ P B P B X P A P A I I ------⎛⎫⎛⎫=====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭定义线性映射:V W σ→满足1212(,,,)(,,,)n n X σξξξηηη=L L由于X 可逆且A BX =，故σ可逆且ϕψσ=．必要性： 由于ϕψσ=，所以同上题证明可知Im Im ϕψ⊆．又由:V W σ→可逆可知1ψϕσ-=，所以Im Im ψϕ⊆．从而，Im Im ϕψ=．。
福建省厦门市2010-2011学年(上)高一质量检测数学试题及参考答案
福建省厦门市2010-2011学年（上）高一质量检测数学试题A 卷（共100分）（^y bx a =+的系数公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）一、选择题（每题5分，共50分）1．已知集合{}01|>+=x x A ，{}03|>-=x x B ，则A ∩(∁R B )等于（ ）A ．(]3,1-B ．(]3,∞-C ．()3,1-D ．()+∞-,1 2．抛掷一均匀正方体玩具（各面分别标有数字1,2,3,4,5,6），时间A 表示“朝上一面的数是偶数”，事件B 表示“朝上一面的数不小于4”则P (A +B )等于（ ）A ．61 B ．21 C ．32 D ．65 3．一个容量100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表则样本数据落在(]10,40上的频率为（ ）A ．0．13B ．0．39C ．0．52D ．0．644．程序运行后输出结果是（ ）A ．17B ．19C ．21D ．235．已知函数()22,02,0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩ ，则函数f (x )的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36．如图是2008年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为 某选手打出分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后， 所剩数据的众数和中位数分别为（ ）A ．84；85B ．84；84C ．85；84D ．85；857．已知半圆的圆心为O ，半径为2，若在该半圆内等可能的随机取一点，则取到的点到圆心O 的距离小于1的概率为（ ）A ．1B ．12 C ．13 D ．148．在某个物理实验中，测得变量x 和变量y 的几组对应数据，如下表：则对x ，y 最适合的拟合函数是（ ） x 0．50 0．99 2．01 3．98 y -0．99 0．01 0．98 2．00A ．x y 2=B ．12-=x y C ．22-=x y D ．x y 2log = 9．执行右边的程序框图，若0.8p =，则输出n 是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．510．设函数()()log 0,1a f x x a a =>≠，若()1220118f x x x =L ，则()()()222122011f x f x f x +++L的值等于（ ）A ．8B ．16C ．64D ．2011 二、填空题（每题4分，共16分）11．已知集合{}1,3,21A m =--，集合{}3,4B =，若B A ⊆，则实数m =_________12．要考察某公司生产的“500克袋装牛奶”质量的达标情况，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，结果从随机数表第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的5袋牛奶的编号为________________（下面摘取了随机数表第7组别 (]10,0(]20,10 (]30,20 (]40,30 (]50,40 (]60,50 (]70,60频数12132415161377 9 8 4 5 6 4 7 9 3开始 n=1,S=0S<p?S=S+1/2nn=n+1 结束是否输入p 输出n行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 13．如图，函数的图像f (x )的图像是曲线OAB ，其中点,,O A B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [f (3)]的值等于_____ 14．定义max{x 1,x 2}表示x 1,x 2中较大的那个数，则当x ∈R 时，函数f (x )=max{2-x 2,x },（其中13,3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦）的最大值与最小值的差是______________三、解答题（本大题共3小题，共34分）15．（本题满分10分）已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =++-（a >0且a ≠1）（1）求函数f (x )的定义域；（2）判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由. 16．（本题满分12分）袋中有大小形状均相同的红．黑球各一个，现从袋中有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球.（1）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；（2）若摸到红球时得2分，摸到黑球时得1分，求3次摸球所得总分为 5的概率17．（本题满分12分）已知函数()1x f x x-= （1）指出f (x )的单调区间； （2）若()()()()(),1,1f x x F x g x x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，写出一个二次函数g (x )，使得F (x )是增函数； （3）若()2131xf m +<-对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围y 2 1 x31OB A10.1O ()t 小时()y 毫克B 卷（共50分）甲卷四、填空题（每题4分，共16分） 18．已知x ,y 的取值如下表所示： 如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为^72y bx =+，则b =_____________．19．如图所示，墙上挂有一块边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，以2a为半径的扇形，某人向此木板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则此人击中阴影部分的概率是_________．20．已知f (x )=ax 2+bx +3a +b 是偶函数，定义域为[a -1, a ]，则a +b =____.21．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)= x 0成立，则称点(x 0,f (x 0))为函数f (x )的不动点.函数f (x )=ax 2-2x +2（a >0）总有两个相异的不动点，则实数a 的取值范围是_________． 五、解答题（本大题共3小题，共34分） 22．（本题满分10分）为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒，已知从药物投放开始，室内每立方米空气含药量y （单位：毫克）与时间t （单位：小时）的函数关系为：药物释放的过程中，y =kt （k 为常数）；药物释放完毕后， 116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数）（如图所示）.根据图中信息，求：（1）y 与t 的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0．25毫克 以下时，药物对人体无害，那么从药物投放开始，至少需要经 过多少小时，学生才能安全回到教室？ 23．（本题满分12分）从甲．乙两种树苗中各抽测10株树苗的高度，测出的高度如下：（单位：厘米）甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33； 乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46（1）根据抽测结果，完成下面的茎叶图，并求甲、乙两种 树苗高度的中位数和平均数；（2）设抽测的10株甲树苗高度的平均值为x ，用简单随机抽样的方法从10株乙种树苗中抽取1株，求抽到的树苗高度超过x 的概率；（3）将10株甲种树苗的高度依次输入如图的程序框图进行运算，问输出的s 大小为多少？并说明s 的统计学意义.24．（本小题满分12分）已知函数f (x )=ax 2+bx （a ,b 为常数，且a ≠0）， 1x =时f (x )有最大值，且函数()()g x f x x =-只有一个零点.（1）求函数f (x )的解析式； （2）求实数m ,n （m <n ），使得f (x )的定义域为[m ,n ]时，值域是[3m ,3n ].乙卷四、填空题（每小题4分，共16分）18．已知x ,y 的取值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关，且线性回归方程为^72y bx =+.当x =7时，预测y 的值为_____.19．如图所示,墙上挂有一块边长为a 的正三角形木板,它的三个角的空白部分都是以正三角x 2 3 4 y 5 4 6 x 2 3 4 y 5 4 6 1 2 3 4乙 甲 开始S=0,t=1 输入x iS=S+(x i -x )2t ≥10?S=S/10输出S t ＝t ＋1 结束 是否形的顶点为圆心,以2a为半径的扇形.某人向此木板投镖,假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则此人击中阴影部分的概率是___.20．函数f (x )对任意正整数a ,b 满足条件f (a +b )= f (a )·f (b )，且f (1)=2，则()()()()()()()()24620101352009f f f f f f f f ++++ =_______________21．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)= x 0成立，则称点(x 0,f (x 0))为函数f (x )的不动点.若对于任意实数b ，函数f (x )=ax 2+bx -2b 总有2个相异的不动点，实数a 的取值范围是______ 五、解答题（本大题共3小题，共34分） 22．（本题满分10分）为了预防流感，某学校对教室用药物消毒法进行消毒，已知从药物投放开始，室内每立方米空气含药量y （单位：毫克）与时间t （单位：小时）的函数关系为：药物释放的过程中，y =kt （k 为常数）；药物释放完毕后，116t ay -⎛⎫= ⎪⎝⎭（a 为常数）（如图所示）.根据图中信息，求： （1）y 与t 的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，药物对人体无害，那么从药物投放开始，哪一段时间，学生必须离开教室？23．（本题满分12分）从甲．乙两种树苗中各抽测10株树苗的高度，测出的高度如下：（单位：厘米）甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33； 乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46 （1）根据抽测结果，完成下面的茎叶图，并根据你填写的茎叶图， 对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；（2）设抽测的10株甲树苗高度的平均值为x ，将这10株树苗的高度依次输入如图的程序框图进行运算，问输出的S 大小为多少？ 并说明S 的统计学意义.（3）用简单随机抽样的方法分别从甲．乙两种树苗高度在30厘米 以上（含30厘米）中各抽取1株，它们的高度组成一个样本，求各 样本平均数不小于40的概率24．（本题满分12分）已知函数()()244x a f x x -=+（a R ∈）（1）判断f (x )的奇偶性 （2）设方程2210x ax --=的两实根为m ,n （m <n ），证明函数f (x )是[m ,n ]上的增函数.10.1 O ()t 小时()y 毫克 1 2 34乙 甲 开始S=0,t=1 输入x iS=S+(x i -x )2 t ≥10? S=S/10 输出St ＝t ＋1 结束是否厦门市2010-2011学年（上）高一质量检测数学答题卷一、选择题二、填空题11. 12.13. 14.三、解答题（本题有3小题，共34分，解答时应写出文字说明、证明过程及演算步骤） 15.解：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案班级 姓名 准考证号16.解：17.解：18. 19.20. 21.三、解答题（本题有3小题，共34分，解答时应写出文字说明、证明过程及演算步骤22.解：23.解：1234 乙甲厦门市2010～2011学年（上）高一质量检测数学试题参考答案A 卷（共100分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1.A 【解析】通过数轴易得答案．2.C 【解析】A+B 表示“朝上一面的数有2，4，5，6”，所以选择C ．3.C 【解析】样本数据落在区间（10，40]的频数有52，所以选择C ．4.C 【解析】运行7次即得答案．5.D 【解析】分类求零点，累加即得零点个数3．6.A 【解析】去掉一个最高分，一个最低分，从小到到大排序，容易得选项A ．7.D 【解析】几何概型8.D 【解析】画散点图，或逆推验证选择D ． 9.C 【解析】循环运算3次，输出4n =．10.B 【解析】122011()8f x x x = ，即122011log ()8a x x x = ，∴222122011()()()f x f x f x +++ =222122011log ()a x x x =1220112log ()16a x x x = ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 11．52【解析】由214m -=，得52m =．12．785 667 199 507 175 【解析】第8行第7列的数是7，第一个三位数是785 13．2 【解析】由图(3)1,(1)2f f ==，所以[(3)]2f f =．14．5 【解析】画出函数f (x )的图象，可求得函数的最大值是2，最小值是3-． 三、解答题：本大题共3小题，共34分．15．（本题满分10分）解：（Ⅰ）依题意，得101110x x x +>⎧⇔-<<⎨->⎩，┈┈┈4分 所以，函数f (x )的定义域为{x |-1<x <1}．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 （Ⅱ）∵函数f (x )的定义域为{x |-1<x <1}， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分又∵()log (1)log (1)()a a f x x x f x -=-++=，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分 ∴函数f (x )为偶函数． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 16．（本题满分12分）解：（I ）一共有8种不同的结果，列举如下： （红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、 （黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）．┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 （Ⅱ）记“3次摸球所得总分为5”为事件A ， 事件A 包含的基本事件为：（红、红、黑）、（红、黑、红）、（黑、红、红）， 事件A 包含的基本事件数为3， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分由（I ）可知，基本事件总数为8，所以事件A 的概率为3()8P A =．┈12分17．（本题满分12分）解：（I ）∵xx f 11)(-= ， 其定义域为}{0≠x x ，∴f (x )的增区间为)0,(-∞和),0(+∞． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈４分 （Ⅱ）2)1()(--=x x g ．（不唯一） ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 （Ⅲ）1211122)12(+-=+=+x x x x f ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分∵11121x-<+， ┈10分 ∴ (21)1x f +< ， ∵)12(+xf 31m <-对任意x R ∈恒成立，∴ 311m -≥，┈┈┈┈11分解得23m ≥，∴实数m 的取值集合是23m m ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭．┈┈┈┈┈┈┈12分 B 卷（共50分）甲 卷四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．18．12【解析】分别求平均数3,5x y ==，代入回归方程即得． 19．14π- 【解析】用几何概型公式易求得答案． 20．12 【解析】由偶函数条件得0b =，由112a a a -=-⇒=． 21．908a <<【解析】由99808a a ∆=->⇒<，又0a >，所以908a <<． 五、解答题：本大题共3小题，共34分． 22．（本题满分10分）解：（Ⅰ）当00.1t ≤≤时， y kt =，图像过点（0.1，1），┈1分 ∴10.110k k =⇒=， ∴10y t =； ┈┈┈┈┈┈┈2分 当0.1t ≥时，1()16t a y -=，图像过点（0.1，1），∴0.111()0.116a a -=⇒=， ∴0.11()16t y -=； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 综上，从药物投放开始，每立方米空气中含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为0.110,00.11(),0.116t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）药物释放完毕后，且达到一定标准，学生才能回到教室． 当0.1t >，有0.11()16t y -=，由0.25y <得0.111()0.6164t t -<⇔>，┈┈9分 答：从药物投放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室． ┈10分23．（本题满分12分） 解：（Ⅰ）茎叶图如图：┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分甲种树苗高度的中位数为2529272+=，平均数为40101001202710+++=；乙种树苗高度的中位数为273028.52+=，平均数为403040301603010++++=．┈┈5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知27x =，记事件A 为“从10株乙种树苗中抽取1株，抽到的树苗高度超过x ”，则事件A 的结果有30，44，46，46，47共5种，┈┈┈┈┈┈6分∴51()102P A ==， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分答：从10株乙种树苗中抽取1株，抽到的树苗高度超过x 的概率为12．┈┈8分 （Ⅲ）由框图可知：222221[(3727)(2127)(3127)(2027)(2927)10S =-+-+-+-+-22222(1927)(3227)(2327)(2527)(3327)]+-+-+-+-+-1(1003616494642516436)10=+++++++++35=，┈┈┈┈┈10分 输出的S 大小为35， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，S 值越小，表示长得越整齐；S 值越大，表示长得越参差不齐． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 24．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为1x =时，f (x )有最大值，所以12b a-=，即2b a =-， ┈1分 因为函数()()g x f x x =-只有一个零点，所以2(21)0ax a x -+=有等根．所以2(21)0a ∆=+=， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 即1,12a b =-=．所以21()2f x x x =-+． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （Ⅱ）①当1m n <<时，f (x )在[m ,n ]上单调递增，所以()3,()3,f m m f n n ==所以,m n 是方程2132x x x -+=的两根．解得4,0m n =-= ； ┈┈7分 ②当1m n ≤≤时，132n =，解得16n =， 不符合题意；┈┈┈┈┈9分 ③当1m n <<时，f (x )在[m ,n ]上单调递减，所以()3,()3,f m n f n m == 即22113,322m m n n n m -+=-+=，相减得221()()3()2m n m n n m --+-=-， 因为m n ≠，所以1()132m n -++=-，即8m n +=， ┈┈┈┈┈┈11分 将8n m =-代入213,2m m n -+=得213(8),2m m m -+=- 但此方程无解， 所以4,0m n =-=时，f (x )的定义域为[m ,n ]，值域是[3m ,3n ]．┈┈12分 乙 卷四、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．18．7 【解析】分别求平均数3,5x y ==，代入回归方程即得．19．316π-【解析】用几何概型公式易求得答案． 20．2010 【解析】取1,1a b ==，代入条件得(2)4f =，以此类推分别求(3),(4),f f ，发现规律，也可以构造函数()2x f x =．21．210<<a 【解析】由条件知,对任意的实数b ,方程()0212=--+b x b ax 总有两个相异的实数根.∴()0812>+-=∆ab b 恒成立 ，即对任意实数b , ()01282>+-+b a b 恒成立.从而()04282<--=∆'a , 解得210<<a ． 五、解答题：本大题共3小题，共34分．22．（本题满分10分）解：（Ⅰ）当00.1t ≤≤时，y 与t 成正比，可设y kt =，┈┈┈1分由图可知，当0.1x =时，1y =，∴10.110k k =⇒=，∴10y t =；┈2分当0.1t ≥时，1()16t a y -=，图像过点（0.1，1），∴0.111()0.116a a -=⇒=， ∴0.11()16t y -=； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 综上，从药物投放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为0.110,00.11(),0.116t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨>⎪⎩． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （Ⅱ）药物投放后，当00.1t ≤≤时，10y t =，由0.25y ≥得100.25t ≥，∴0.025t ≥； ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分当0.1t >，有0.11()16t y -=， 由0.25y ≥得0.111()0.6164t t -≥⇔≤， ┈┈┈┈9分答：从药物投放开始，0.025小时至0.6小时这段时间，学生必须离开教室．┈10分23．（本题满分12分）解：（Ⅰ）茎叶图如图；┈┈┈┈┈2分统计结论： ┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分（1）甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；（2）甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；（3）甲种树苗高度的中位数为27，乙种树苗高度的中位数为28.5；（4）甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散． （Ⅱ）40101001202710x +++==，由框图可知： 222221[(3727)(2127)(3127)(2027)(2927)10S =-+-+-+-+- 22222(1927)(3227)(2327)(2527)(3327)]+-+-+-+-+-1(1003616494642516436)10=+++++++++=35， ┈┈┈┈┈7分 输出的S 大小为35，S 表示10株甲种树苗高度的方差，是描述树苗高度离散程度的量，S 值越小，表示长得越整齐；S 值越大，表示长得越参差不齐． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分（Ⅲ）从甲、乙两种树苗高度在30厘米以上（含30厘米）中各抽取1株的所有可能结果为：（37，30），（37，47），（37，46），（37，44），（37，46），（31，30），（31，47），（31，46），（31，44），（31，46），（32，30），（32，47），（32，46），（32，44），（32，46），（33，30），（33，47），（33，46），（33，44），（33，46），可能结果数为20种， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分记事件A 为“样本平均数不小于40”，事件A 包含的结果有：（37，47），（37，46），（37，44），（37，46），（33，47）共5种结果，┈┈10分 ∴51()204P A ==；答：各样本平均数不小于40的概率为14． ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 24．（本题满分12分）解：（Ⅰ）当0=a 时，44)(2+=x x x f ， 对任意),(+∞-∞∈x ，)(444)()(4)(22x f x xx x x f -=+-=+--=-，∴f (x )为奇函数．┈┈2分 当a ≠0时，4)(4)(2+-=x a x x f ，取1±=x ，得058)1()1(≠-=+-a f f ，058)1()1(≠-=--f f ， (1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．┈┈5分 （Ⅱ）证明：4)(4)(2+-=x a x x f ,任取],[,21n m x x ∈且21x x <，┈┈┈┈┈6分 则1212121212222212124()4()4()[()4]()()44(4)(4)x a x a x x a x x x x f x f x x x x x ---+-+-=-=++++ ┈┈┈┈┈7分 设12)(2--=ax x x g ，则,0)(,0)(21≤≤x g x g即221122210,210x ax x ax --≤--≤， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 02)(2212221≤-+-+∴x x a x x ， ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分又∵12x x ≠∴212()0x x -> 2212122x x x x ∴+>02)(222121<-+-∴x x a x x ，即01)(2121<-+-x x a x x ┈┈┈┈┈┈10分又0,01)(4)(2121212121<->+-+>+-+x x x x x x a x x x x a ，∴f (x 1) f (x 2) <0 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分即f(x1)< f(x2),故f(x)在区间[m,n]上是增函数．┈┈┈┈┈┈┈┈12分。
2010-2011学年第二学期高等数学试题 (A)含答案
2010-2011学年第二学期高等数学试题 (A)一、填空题（每小题4 分，共20分）1. 设区域D 为1x y +≤，则()22Dxyf xy dxdy +⎰⎰= 。
2. 过点0M (2，4，0)且与直线210:320x z L y z +-=⎧⎨--=⎩平行的直线方程是 。
3. 设有一力22F i j k =-+ ，则F 在a i j k =++方向上的分力为 。
4. 设S 为球面2229x y z ++=的外侧面，则曲面积分Szdxdy ⎰⎰的值是 。
5. 敛域14n n n∞=∑的和为 。
二、选择题（每小题4 分，共20分）1. 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，()11,2,nn k k S a n ===∑ 无界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为 。
(A) (1,1]-； (B) [1,1)-； (C) [0,2); (D) (0,2]2. 设()101,2,n a n n≤<= ，则下列级数中肯定收敛的是 。
(A)1n n a ∞=∑； (B)()11nn n a ∞=-∑；(C)1n ∞=； (D)()211nn n a ∞=-∑3. 已知()(),f x f y 在区域(){},1D x y x y =+≤上连续，且()()0,0f x f y >>，则()()()()()Daf y bf x dxdy f x f y +=+⎰⎰(A) a b -； (B)a b +； (C) ()2a b +； (D) ()2a b -；4. 设S 是平面4x y z ++=被圆柱面221x y +=截出的有限部分，则曲面积分Syds⎰⎰的值是 。
(A) 0； (B)(C)(D) ；5. 设Ω是由椭球面2222221x y z a b c ++=围成的区域，则2z dxdydz Ω⎰⎰⎰的值为 。
(A )0； (B)3415abc π； (C)(D) π；三、解答题（1~6题每题8分，第7题12分，共60分）1. 设(),f u v 具有二姐连续偏导数，且满足22221u f fv∂∂+=∂∂， 又()()221,,2g x y f xy x y ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，求2222g g x y ∂∂+∂∂。
厦门大学高等数学-期末考试题-A3
厦门大学2009-2010学年上学期高等数学期末考试模拟试题（文科）姓名班级学号成绩考试时间：120分钟满分：100分命题人：高兵龙说明：1、考生必须在规定时间内完成该试卷；2、必须使用黑色签字笔作答；3、考生必须按时交卷。
4、（7分）设)(x y y =由⎩⎨⎧=+-=52arctan 2te ty y t x 所确定，求dx dy，并求出0=t 处曲线的切线方程.解：5、（8分）已知曲线n x x f =)(，求：(1)曲线在点（１,１）处的切线方程； (2)设该切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，试计算).(lim n n f ξ∞→解：四、（6分）证明当10<<x 时，xxe x-+<112 证明：五、（8分）已知函数)(x f 在]2008,0[上连续，在)2008,0(内可导，且0)2008(=f ，求证：在)2008,0(内至少存在一点c ，使cc f c f )()('-=成立． 证明：六、（8分）设某厂生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位产品，成本增加5（百元），已知需求函数q =100—2p （其中p 为价格，q 为产量），问产量多少时利润最大？并求最大利润. 解：七、（10分）求函数21xy x x =+-的单调区间、极值、凸性区间、拐点及渐近线，并作出函数的图形。
解：厦门大学2009-2010学年上学期高等数学期末考试模拟试题（文科）参考答案一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1. 92. !)2(n n -3. 1 4．22e 5.C xxx +-sin 2cos 6. 4-三、计算题（共5小题，共32分） 1.（5分） 解：2. 解：⎰+-dx e e xx 11⎰⎰+-+=dx e dx e ex x x1111分 ⎰⎰--+-+=dx e e dx e e xxx x 11 3分 ⎰⎰--+++++=)1(11)1(11xx x x e d ee d e 4分 C e e x x ++++=-)1ln()1ln( 5分3. 解：点连续在点可导，故在1)(1)(==x x f x x f 1分)1(l i m l i m 21)1(21++=∴-+→-→bx ax e x x x 0=+b a 即 3分 1)1(lim)1()1(21-++-='-→++x b a e f x x 又 21)1(2lim 11lim 1)1(21=--=--=++→-→x x x e x x x 5分 1)1()1(lim)1(21-++-++='-→-x b a bx ax f xa x axax x bx ax x x =--=-+=--→→1lim 1lim 2121 6分 2,2-==∴b a 7分4．解：对522=+-te ty y 两边对t 求导0222=+--t e dtdyty y dt dy 222--=ty y e dt dy t 3分22)1)((\22-+-==ty t y e dt dx dt dy dx dy t 5分 2,0,23,0====y x dx dy t 时 切线方程：223+=x y 7分5．解：（1）1)(-='n nx x f ，n f k ='=)1( ２分 切线方程 )1(--=n nx y ４分（2）令0=y 得n n x 1-=故nn n 1-=ξ ６分 )(lim n n f ξ∞→nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→1lim )1(11lim -⋅-∞→⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n 1-=e 8分四、 证明：)1()1()(2x e x x f x +--=令 1分 则 1)21()(2--='x e x x f 3分04)(2<-=''x xe x f内单调减少在所以)1,0()(x f ' 4分 单调减少从而，故又)(,0)(0)0(x f x f f <'=' 5分 即，故又,0)0()(0)0(=<=f x f fxxe x -+<112 6分五、证明：令 )()(x xf x F =， 1分则)(x F 在]2008,0[上连续，在)2008,0(内可导， 3分 且0)2008()0(==F F ，由罗尔定理得 5分 至少存在一点c，使0)('=c F ，即0)()('=+c f c c f ，也即cc f c f )()('-= 得证。
厦门大学《高等代数》期末考试试卷(考试真题归纳)
1 12 2 2 2 1 1厦门大学《高等代数》期末考试试卷（真题归纳）一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设b 为 3 维行向量， V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 , x 3 ) = b }，则。
CA) 对任意的b ，V 均是线性空间； B) 对任意的b ，V 均不是线性空间； C) 只有当b = 0 时，V 是线性空间； D) 只有当b σ 0 时，V 是线性空间。
2)已知向量组 I ：α1 ,α2 ,...,α s 可以由向量组 II ： ⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。
AA) 若向量组 I 线性无关，则s t ； B) 若向量组 I 线性相关，则s > t ； C) 若向量组 II 线性无关，则s t ；D) 若向量组 II 线性相关，则s > t 。
3)设非齐次线性方程组 AX = ⎭ 中未定元个数为 n ，方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则。
DA) 当 r < n 时，方程组 AX = ⎭ 有无穷多解； B) 当r = n 时，方程组 AX = ⎭ 有唯一解；C) 当r < m 时，方程组 AX = ⎭ 有解； D) 当r = m 时，方程组 AX = ⎭ 有解。
4)设 A 是m ⨯ n 阶矩阵， B 是 n ⨯ m 阶矩阵，且 AB = I ，则。
AA) r ( A ) = m , r (B ) = m ；B) r ( A ) = m , r (B ) = n ；C) r ( A ) = n , r (B ) = m ；D) r ( A ) = n , r (B ) = n 。
5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换ϕ 在基⋂ ,⋂ {1 1 1 ,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1|，则ϕ 在基⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是 。
C1 2 3| | |1 1 1|{ 1 2 1{ 1 1 1{ 1 2 1{ 1 1 1| | | 2 || | | 2 | A) | 2 0 2 | ；B) | 0 1 | ； C) | 10 1 | ； D) | 2 0 2 | 。
厦门大学高等数学期末试卷1
，31t t y y ∆-∆=一、选择题：（每小题4分，共32分） 1、22(3)t t ∆-=（ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）-22、设差分方程为3130t t t y y y +∆+∆+=，则该方程的阶数为（ ）。
（A ）一阶差分方程 （B ）二阶差分方程（C ）三阶差分方程 （D ）不是差分方程3、差分方程1t t y y t +-=的特解形式t y *为（ ）。
（A ）10b t b + （B ）bt （C ）10()t bt b + （D ）2bt4、若lim 0n x u →∞=，则级数11(1)n n n u ∞-=-∑为（ ）。
(A)绝对收敛 （B ）条件收敛 (C)发散 （D ）不一定收敛5、若级数1(1)n n n α∞=-+∑收敛，则常数α=（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）-1 （D ）任意常数 6、设常数0λ>，且级数21n n a ∞=∑收敛，则级数1(1)nn ∞=-∑（ ）（A ） 绝对收敛 （B ）条件收敛； （C ） 发散; （D ）收敛性与λ有关； 7、若级数2121()n n n u u ∞-=+∑收敛，则（ ）（A ）1n n u ∞=∑必收敛（B ）1n n u ∞=∑未必收敛（C ）lim 0n x u →∞=（D ）1n n u ∞=∑发散8、已知幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛域为(2,2)-，则幂级数10(1)n n n na x ∞-=-∑的收敛域为（ ）（A ）(2,2)- （B ）(1,3)- （C ）(1,3]- （D ）(2,2]-厦门大学《高等数学（C ）》课程期末试卷＿＿＿＿学院＿＿＿＿系＿＿＿＿年级＿＿＿＿专业主考教师：＿＿＿＿试卷类型：（A 卷/B 卷）二、判断下列级数的敛散性（每小题5分，共15分）1、11)n ∞=∑ 2、111cos n n ∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑3、14!nn n ∞=∑三、下列级数是绝对收敛、条件收敛，还是发散？（每小题5分，共10分）1、22222111111246810-+-+-+2、11(1)3n n n n ∞-=-∑四、求下列幂级数的和函数（每小题6分，共12分）1、01nn x n ∞=+∑2、112nnn x n ∞=⋅∑五、求解下列各题：（每小题8分，共24分）1、求差分方程12221t t t y y t --=⋅+的通解。
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10-11
1. (10分) 求位于两圆()1122=+-y x ，()4222
=+-y x 之间的图形的形心。
2. (10分) 在一个形状为旋转抛物面22y x z +=的容器内已经盛有π8立方厘米
的水，现又倒入π120立方厘米的水。
问水面比原来升高多少厘米？
3. (10分)计算()d x d y d z 2⎰⎰⎰Ω+y x ，其中Ω为抛物面z y x 222=+与球面
3222=++z y x 所围成的区域。
4. (10分) 计算()⎰+L
y x ds ||2||，其中L 为单位圆周122=+y x 。
5. (10分) 计算()()⎰+---L y x x y 221dy 1dx ，其中L 为曲线2||||=+y x ，方向为逆时针。
6. (10分) 计算⎰⎰∑
+dxdy 4dydz xz ，其中∑是抛物面224y x z --=在0≥z 部分，
方向取下侧。
7. (10分) 根据a 的取值，讨论常数项级数)0()1(1n
>-∑∞
=a na n n 的敛散性(绝对收敛、条件收敛或发散)。
8. (10分) 求幂级数()∑∞
=+-1)1(1n n n
x n n 的和函数)(x S ，并指出其收敛域。
9. (10分) 把函数211ln )(x x
x x f +-+-=展成关于x 的幂级数。
10. (10分) 记⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=0,10,
00,1sgn x x x x 。
将)sgn(cos )(x x f =展开成Fourier 级数。
附加题：(两题任选一题，也可以不选)
(1) 设)(x f 在]1,0[上单调减少且0)(>x f ，利用二重积分的方法证明
⎰⎰⎰⎰≤1
0102
10102dx )(dx )(dx )(dx )(x f x f x xf x xf 。
(2) 设∑∞=1n n u 为正项级数，若p n u n =∞→ln 1
ln
lim n ，证明：当1>p 时，∑∞=1n n u 收敛；当1<p
时，∑∞=1n n u 发散。