信号与系统课后习题答案—第章

第1章 习题答案 1－1 题1－1图所示信号中，哪些是连续信号？哪些是离散信号？哪些是周期信号？哪些是非周期信号？哪些是有始信号？

解： ① 连续信号：图（a ）、（c ）、（d ）； ② 离散信号：图（b ）； ③ 周期信号：图（d ）； ④ 非周期信号：图（a ）、（b ）、（c ）； ⑤有始信号：图（a ）、（b ）、（c ）。

1－2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|，试判定该系统是否为线性时不变系统。

解： 设T 为此系统的运算子，由已知条件可知： y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，以下分别判定此系统的线性和时不变性。 ① 线性

1）可加性

不失一般性，设f(t)=f 1(t)+f 2(t)，则

y 1(t)=T[f 1(t)]=|f 1(t)|，y 2(t)=T[f 2(t)]=|f 2(t)|，y(t)=T[f(t)]=T[f 1(t)+f 2(t)]=|f 1(t)+f 2(t)|，而

|f 1(t)|＋|f 2(t)|≠|f 1(t)+f 2(t)|

即在f 1(t)→y 1(t)、f 2(t)→y 2(t)前提下，不存在f 1(t)＋f 2(t)→y 1(t)＋y 2(t)，因此系统不具备可加性。 由此，即足以判定此系统为一非线性系统，而不需在判定系统是否具备齐次性特性。

2）齐次性

由已知条件，y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) （其中a 为任一常数）

即在f(t)→y(t)前提下，不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性，由此亦可判定此系统为一非线性系统。

② 时不变特性

由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|，则y(t-t 0)=T[f(t-t 0)]=|f(t-t 0)|，

即由f(t)→y(t)，可推出f(t-t 0)→y(t-t 0)，因此，此系统具备时不变特性。

依据上述①、②两点，可判定此系统为一非线性时不变系统。

1－3 判定下列方程所表示系统的性质：

解：（a ）① 线性

1）可加性

由 ⎰+=t dx x f dt t df t y 0)()()(可得⎪⎩⎪⎨⎧→+=→+=⎰⎰t t t y t f dx x f dt t df t y t y t f dx x f dt t df t y 01122011111)

()()()()()()()()()(即即 则 即在)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋前提下，有、→→→，因此系统具备可加性。

2）齐次性

由)()(t y t f →即⎰+=t dx x f dt

t df t y 0)()()(，设a 为任一常数，可得 即)()(t ay t af →，因此，此系统亦具备齐次性。

由上述1）、2）两点，可判定此系统为一线性系统。

② 时不变性

)()(t y t f → 具体表现为：⎰+=t dx x f dt

t df t y 0)()()( 将方程中得f(t)换成f(t-t 0）、y(t)换成y(t-t 0)（t 0为大于0的常数），

即 ⎰-+-=-t dx t x f dt

t t df t t y 0000)()()( 设τ=-0t x ，则τd dx =，因此⎰--+-=-00)()()(00t t t d f dt

t t df t t y ττ 也可写成⎰--+-=-00)()()(00t t t dx x f dt

t t df t t y ， 只有f(t)在t=0时接入系统，才存在)()(00t t y t t f -→-，当f(t)在t ≠0时接入系统， 不存在)()(00t t y t t f -→-，因此，此系统为一时变系统。

依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。

（b ）① 线性

1）可加性

在由

)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y 规定的)()(t y t f →对应关系的前提下，可得

即由)()()()()()()()(21212211t y t y t f t f t y t f t y t f ＋＋可推出→−−→−⎭

⎬⎫→→，系统满足可加性。 2）齐次性 由)()(t y t f →，即)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y ，两边同时乘以常数a ，有 即)()(t ay t af

→，因此，系统具备齐次性。 由1）、2）可判定此系统为一线性系统。

② 时不变性

分别将)()(00t t f t t y --和（t 0为大于0的常数）代入方程

)2()()(3)(2)(''''-+=++t f t f t y t y t y 左右两边，则

左边＝)(3)(2)(00202t t y dt t t dy dt

t t y d -+-+- 而 ，)()()(000t t y dt d t t y t t d d -=-- )()]()([)(022

000t t y dt

d t t y t t d d t t d d -=--- 所以，右边＝)(3)(2)(00202t t y dt t t dy dt

t t y d -+-+-＝左边，故系统具备时不变特性。 依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。

（c ）① 线性

1）可加性

在由式)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++规定的

)()(t y t f →对应关系的前提下，可得 即在)()()()

(2211t y t f t y t f →→、的前提下，有式)()()()(2121t y t y t f t f +→+存在，即系统满足可加性。 2）齐次性

由)()(t y t f →，即)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++，两边同时乘以常数a ，有

)]([3)]([2)]([2)]([)(3)(2)(2)(''''''t af t ay t ay t t ay t af t ay t aty t ay =++⇒=++，

即有 )()(t ay t af →，因此，系统具备齐次性。

依据上述1）、2），此系统为一线性系统。

② 时不变性

分别将)()(00t t f t t y --和 （t 0为大于0的常数）代入方程)(3)(2)(2)('''t f t y t ty t y =++ 左右两边，则

因此，系统是时变的。

依据上述①、②，可判定此系统为一线性时变系统。

（d ）① 线性

1）可加性

在由式)()()]([2't f t y t y =+规定的

)()(t y t f →对应关系的前提下，可得 而不是：)]()([)]()([})]'()({[2121221t f t f t y t y t y t y +=+++

即在)()()()

(2211t y t f t y t f →→、的前提下，并不存在)()()()(2121t y t y t f t f +→+ 因此系统不满足可加性，进而系统不具备线性特性。（下面的齐次性判定过程可省略） 2）齐次性

由)()(t y t f →，即)()()]([2't f t y t y =+，两边同时乘以常数a ，有

)()()]([2't af t ay t y a =+，即式)]([)]([})]({[2't af t ay t ay =+不成立，不存在)()(t ay t af → 因此，系统也不具备齐次性。

单独此结论，也可判定此系统为一非线性系统。

② 时不变性

分别将)()(00t t f t t y --和 （t 0为大于0的常数）代入方程)()()]([2't f t y t y =+ 左右两边，则

即以式)()()]([2't f t y t y =+规定的

)()(t y t f →关系为前提，存在)()(00t t y t t f -→-

因此，系统是非时变的。

依据上述①、②，可判定此系统为一线性时不变系统。

1－4 试证明方程)()()('t f t ay t y =+所描述的系统为线性系统。

[提示：根据线性的定义，证明满足可加性和齐次性。]

证明：1）证明齐次性