数值分析-针对不连续函数的插值逼近

问题二 稳定性分析
问题三 算法分析
可见，随着插值点个数n的增 加，插值函数对原函数的误差 逐渐减小收敛至0，算法是稳 定且收敛的。
其他插值方法
————切比雪夫节点与lagrange插值结合
切比雪夫结点插值
在此我们选用切比雪夫插值节点 依然选用同样的Lagrange插值公式
切比雪夫结点插值
n＝3插值
误差分析
问题二 插值结果
n＝5插值
误差分析
问题二 插值结果
n＝10插值
误差分析
问题二 收敛性分析
逐步将插值点加细，利用matlab分析得到的不同的插值多项式 与原函数的误差如下：
可见：随着n的增加，在插值区间端点附近误差增大，当n→∞ 时，pn(x)不收敛于f(x)
问题二 稳定性分析
问题一 Lagrange插值
n＝3插值
误ห้องสมุดไป่ตู้分析
问题一 Lagrange插值
n＝5插值
n=10插值
问题一 Lagrange插值
n＝15插值
n=15误差
问题一 收敛性分析
逐步将插值点加细，利用matlab分析得到的不同的Lagrange 插值多项式与原函数的误差如下：
平均误差与插值点数量的关系(1023量级)
问题三 插值结果
n＝3插值
n=4插值
问题三 插值结果
n＝6插值
n=10插值
问题三 插值结果
n＝20插值
n=30插值
问题三 结果分析
可见，随着n的增加，插值函 数对原函数的拟合度越来越好。 在0<x<5的部分，由于原函数 即为二次函数，分段二次多项 式插值对原函数拟合度较高。 在x>5的部分，分段插值有效 避免了其他插值方法带来的龙 格现象，拟合较好。 n=4插值
可见，随n的增加，Pn(1)(x)的值超出1很多，尤其在我们插值的 区域的两端附近，舍入误差有显著的上升 他的一个表现就是，在图上，我们可以观察到在插值区间的两 端，有着误差明显增大的情况出现，也就是我们所说的龙格现 象 因此，我们认为，此插值方法不具有数值稳定性
问题二 插值结果
n＝3插值
函数插值与逼近的研究
综合利用Lagrange插值、样条插值、重心权值插值逼近不连续函数
问题一
利用分段插值做出原函数图像如下：
可知x＝5为函数不连续点
问题一 Lagrange插值
在这里，我们先选取拉格朗日插值
xi = (i − 1)h + a, yi = f (xi), i = 1, ...,N, h =(b − a)/(N − 1)
最大误差与插值点数量的关系(1024量级）
可见：随着n的增加，在插值区间端点附近误差增大，当n→∞ 时，pn(x)不收敛于f(x)
问题一 稳定性分析

问题一 稳定性分析
Pn(x)一阶导数的图像如下：
n＝3
n＝5
问题一 稳定性分析
Pn(x)一阶导数的图像如下：
n＝10
n＝15
问题一 稳定性分析
n=40时插值结果
谢谢！
Pn(x)一阶导数的图像如下：
问题二 稳定性分析
由上图的结果可知，在x趋于10的附近，导函数的值远远大于1， 函数会将x的舍入误差很大倍数的放大 同时我们也可以观察到，插值函数相比较原函数，x趋于0（左 端）的误差没有x趋于10（右端）明显，龙格现象主要在右端产 生，这同时也印证了我们在第一问分析稳定性时候的结论，过 大的舍入误差导致了龙格现象的产生
误差分析
切比雪夫节点插值
n＝5插值
n=7插值
切比雪夫节点插值
n＝9插值
n=11插值
切比雪夫节点插值 结果分析
n=5、7、11时插值函数误差
由插值结果可知，切比雪夫节点插值有效避免了插值函数在插 值区间端点附近的龙格现象。除在函数不连续点x=5处误差较大 外，算法在其他各点均逐渐收敛。但由于是n次多项式插值，在 x>5处函数波动较大，不能对函数进行很好的逼近。
其他插值方法
——Berrut重心权值插值
Berrut重心权值插值
插值公式：
Berrut重心权值插值结果
n＝10插值
n=20插值
Berrut重心权值插值结果
可见，重心权值插值方法可 以有效避免龙格现象，且随 着n的增加，插值函数对原 函数的拟合度越来越好。但 由于Berrut插值函数在插值 点附近函数值不存在，所以 函数不连续，随着n的增加， 插值函数出现了较多的不连 续点。