华中科技大学2011-2012学年期末线性代数课程考试A卷

∗ 的特征值为 3
1
−1
1
−2
−2
取3 ，4 位自由变量得X = 3 [ ] + 4 [ ] + [ 1 ]
1
0
0
0
1
0
（3）当3×3 的特征值为 3 时，
∗ 的特征值为 2。
∴通解为X = 1 [1, −2,1,0] + 2 [1, −2,0,1] + [−1,1,0,0] ,
（3）方程组由无穷多解时，
∴ a = 1 且 b = −1
3
⋮ 0
⋮ 1]
⋮ 1
⋮ −1
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此时{
1 + 2 + 3 + 4 = 0
= −1 + 3 + 4
⇒{ 1
2 + 23 + 24 = 1
2 = 1 − 23 − 24
1
[− − ] = [ 0 −1 −1] → [0
0 −1 −1
0
0 0
1 1]，
0 0
1
0
1
0 −
4
0
⋯
→ 0
⋯ −1
1
2
1
1
0
2
[
0
得3 = −1对应的线性无关的特征向量3 = [0,1, −1] 。因此可取
1 0
P = [1 , 2 , 3 ] = [0 1
0 1
0
1 ],则−1 =

（
）1.若 n 阶方阵 A 的行向量组与列向量组不等价，则|A|＝0。
1 0 1
2.设 A=[0 2 0]，对正整数n ≥ 2,则 − 2−1 =_______。
1 0 1
（
）2.相似的矩阵有相似的迹。
3.设 A,B 为 n 阶方阵，|A|=2，|B|=-3，则|2∗ −1| =_________。
四、
（12 分）设有线性方程组
2 0
2 0 0
六、（12 分）设 A 与 B 相似，A = [0 0 1] ， = [0
0 1
0 0
1 + 2 + 3 + 4 = 0
2 + 23 + 24 = 1
{
−2 + ( − 3)3 − 24 =
31 + 22 + 3 + 4 = −1
其中1 , 2 为任意常数。
六、解
∑3=1 = ∑3=1 ,
A 相似于 B⇒ {
从而有
|| = ||,
2 + = 2 + − 1,
{
−2 = 2.
五、解
因为|| = 1 × 2 × 3 = 6, ∗ = ||−1
得y = 1, x = 0，由此
2 0
A = [0 0
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二、填空题。（4× 5 = 20）
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1.|

《线性代数》课程考试试卷 A 卷
一、判断题（正确的打√，错误的打×）
（2×8＝16 分）










|=____________。
−1
0
0
24
⋯
6
−4
1
]
1
1 −2
令P = [1
七、解
F 的矩阵为A = [
0
1
2
1
2
0
2 −3
1
2
0 0
2
−3]
6
−4]，
1
1
4
作非退化线性变换 X=PY，则f = 12 − 22 + 2432
0
5
0
5
−
2
−1
⋯
1
1
1
]
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一、判断题。
⋯
⋯ 0
2
⋯ 0 ||= (1 − ∑=1 )
⋯ ⋯
⋯
1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.√ 7.× 8.×
四、解
二、填空题。
1. ( + 3)( − )3
2. 0
3.−
2−2
3
4. r() <
1 1 1
[ ⋮ ] = [ 0 1 2
0 −1 2
0 0
（2）当3×3 的特征值为 2 时，
得1 = 2对应的线性无关的特征向量1 = [1,0,0] 。
4
0
1]，
0
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1 0
1
1
0 −
0
1
2
−1
4
2
1
1
5
−3
−3
0
0
−

2
2
2
[⋯] = 2 −3 0 → −1 −3 0 → 0 ⋯
（
）3.设 A，B 为两个 n 阶矩阵，若2 + 2 = 0，则 A=B=0。
4.设 A 为m × n 矩阵,若有矩阵B ≠ 0，使 AB=0，则矩阵 A 的秩r()满足条件：
（
）4.设f()、g()为任意两个多项式，A、B 为两个 n 阶方阵。若 AB=BA，
r()_______。
5.若二次型f(, , ) = 2 2 + 2 + 4 2 + 2 + 2正定，则 t 的取值范围是
2
0 − 1 −1 2
|
= | 0 −2 1 − 22
⋯
⋯
⋯
0 − 1 − 2

⋯
⋯ −1
|
⋯ −2 |
⋯
⋯
⋯ − 2
∴a≠1
（2）方程组无解时，r() < ([]),
∴Hale Waihona Puke a = 1 且 b ≠ −1将第 1 行的 倍加到第 i+1 行（i=1,2,⋯ , n），得爪型行列；
⋯
1

⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
1 −
2
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
[0
0
1] [0
0
1]
2
[
0
2 = 1，
1 0
0
1
[ − ] = [ 0 1 −1] → [0
0 −1 1
0
1
2
0 0
1 −1]，
0 0
得2 = 1对应的线性无关的特征向量2 = [0,1,1] 。
3 = −1，
−3 0
0
0 −1 a − 3
3 2
1
1
2
−2
a
⋮ 0
1
1
1
1
⋮ 1 ]→[0
1
2
2
0
0 −1
0
⋮ b
0 −1
−2
−3
⋮ −1
1 1 1
1
0
1
2
2
→[
0 0 −1
0
0 0
0
−1
⋮ 0
⋮ 1
]
⋮ +1
⋮
0
5. (−√2，√2)
三、解
（1）方程有唯一解时，r() = ([]) = 4,
1
1
2
则f()() = ()()。
_________。
（
）5.设 A 为矩阵m × n,若m < n,则线性方程组AX = 0必有无穷多解。
（
）6.若向量1 , 2 , 3 , 4 ,线性相关，则1 + 2 + 3 + 4 ≠ 0。
（
）7.交换第 i 行与第 j 行这一初等变换，可以用另外两类初等变换所取
0 1
则∗ = ||−1 = 6−1 =
所以6 =
0
1]
0
的三个特征值为对角线元素：2,1，-1。
（1）当3×3 的特征值为 1 时，
1 = 2，
6X = =
即∗ 的特征值为 6
0 0
0
0 1
[2 − ] = [ 0 2 −1] → [0 0
八、（10 分）设 A 是正定矩阵，证明 A 的伴随矩阵∗也是正定矩阵。
2
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1 1 2
1 0
= ||2 0
⋯ ⋯ ⋯
0 0
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《线性代数》课程考试试卷 A 卷答案
八、证明
P =
(P )−1 =
⇒ −1 −1 (−1 ) =
因为−1
∗
−1 ∗ (−1 )
= ||，所以
因为|| > 0，令B =
||
( −1 )
=

√||
所以 ∗ = ，所以 ∗ 也是正定矩阵。
6
0
0 ]，求 A 和 B 的
−1
值，并求出 P，使−1 = 。
a, b为何值时，方程组
（1）有唯一解；
（2）无解；
（3）有无穷多解，并求其解。
七、（10 分）用行列对称初等变换化下列二次型为标准型。
f(1 , 2 , 3 ) = 1 2 + 41 3 − 62 3
五、
（12 分）已知3×3 的特征值为 1,2,3，求∗的特征值。
三、计算 n 阶行列式。（8 分）
− 12
= | −⋯2 1
− 1
代。
（
）8.若 A,B 为 n 阶正定矩阵，则 AB 也是正定矩阵。
1
−1 2
− 2
⋯
− 2
⋯ −1
⋯ −2
⋯
⋯ | ( ≠ 0)
⋯ − 2
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