第5章 杆件横截面剪应力分析

∫A (τ ρ ⋅ dA) ⋅ ρ = M x
(5－5)
图 5－6 圆轴扭转时横截面上剪应力与扭矩之间的静力学关系
取半径为ρ、厚度为 dρ 的圆环作为微元，微元面积 dA = 2πρ ⋅ dρ （图 5－6b）。将（5－4）
代入（5－5），积分后得到扭转角变化率的表达式：
dϕ = M x dx GJP
(2) 由于壁很薄，故剪应力沿壁厚方向可视为均匀分布。
由此可见，在薄壁截面上与剪力相对应的剪应力可能与剪力方向一致，也可能不一致。 如图 5—10(a)所示。
图 5－10 薄壁截面杆件弯曲时横截面与纵截面上的剪应力
假定平面弯曲正应力公式成立所需的条件都得以满足，则采用考查局部平衡的方法，可 以确定相关纵截面上剪应力的方向，进而应用剪应力互等定理，即可确定薄壁横截面在截开 处剪应力的方向，如图 5—10(b)所示。据此，由剪应力互等理即可确定横截面上剪应力流的 方向。
4
图 5－4 圆杆扭转的变形
BB′ = Rdϕ ， 于是微元 ABCD 的剪应变 γ 为：
γ = BB′ = Rdϕ = R dϕ AB dx dx
根据平面假定，距轴心 O 为 ρ 处同轴柱面上微元 A1B1D1C1 的剪应变为：
γ ( ρ ) = B1B′1 = ρdϕ = ρ dϕ
A1B1 dx
τ max
=
M x ρmax IP
=
Mx WP
(5－11)
其中
WP
=
IP ρmax
(5－12)
称为扭转截面模量（section modulus in torsion）。对实心轴和空心轴，扭转截面模量分别为
WP
=
πd 3 16
(5－13)
( ) πD3 1−α 4
WP =
16
(5－14)
【例题 5－1】 图 5－8 所示传动机构中,功率从轮 B 输入，通过锥形齿轮将其一半传递
由于式（5－5）中的 dϕ 尚为未知，因而不能用以计算剪应力，为了确定未知量 dϕ ，
dx
dx
需要应用静力学关系。
5
5－2－3 圆轴扭转时扭转角变化率以及横截面上的剪应力表达式 作用于横截面上的剪应力τρ与其作用面积相乘，然后向截面形心简化，得到一力偶，这
一力偶的力偶矩即为横截面上的扭矩。于是，有下列静力学关系：
范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio
eBook
材 料 力 学 (5)
主 编 范钦珊 编 著 章梓茂 殷雅俊 范钦珊
2004-12-18
1
第 5 章 弹性杆件横截面上的剪应力分析
§5－1 剪应力互等定理 剪切胡克定律 §5－2 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 §5－3 薄壁截面梁弯曲时横截面上的剪应力流与
于是，根据微元的平衡条件有
图 5－2 剪应力互等定理
由此解得：
∑ M = 0, (τ dydz)dx −(τ ′dxdz)dy = 0
τ =τ′
3
(5－1)
这一结果表明：在两个互相垂直的平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直 于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线，这就是剪应力互等定理（pairing principle of shear stresses）。
9
方向。腹板上的剪应力方向亦可采用类似方法确定。当薄壁截面周边与剪力作用线平行时， 剪应力方向与剪力方向一致。
从要求剪应力处截出局部[如图 5－11(c)、(d)]，考查其受力与平衡，由平衡方程 ΣFx = 0 ，
本章将分析两种剪应力：受扭圆轴横截面上的剪应力与承受弯曲杆件横截面 上的剪应力。这两种剪应力的分析方法不完全相同。
分析圆轴扭转时横截面上的剪应力仍然需要借助于平衡、变形协调与物性关 系，其过程与正应力分析相似。分析弯曲引起的剪应力，在假设纯弯正应力公式 依然适用的前提下，则仅仅需要应用平衡的方法。
§ 5—1 剪应力互等定理 剪切胡克定律
图 5－9 例题 5－2 图
解：圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动，这表明二者形成一个整体，同时产生扭转 变形。根据平面假定，二者组成的组合截面，在轴受扭后依然保持平面，即其直径保持为直 线，但要相对于原来的位置转过一角度。
因此，在里、外层交界处二者具有相同的剪应变。由于内层（实心轴）材料的切变模量
根据圆轴受扭后表面变形特点，假定：圆轴受扭发生变形时，其横截面保持平面，并 刚性地绕轴线转动一角度，两相邻截面的轴向间距保持不变。这一假定称为平面假定（plane assumption）。
根据平面假定，两轴向间距为 dx 的截面 m－m 与 n－n 相对转角为 dϕ[图 5－4(c)]。 考查两相邻横截面之间微元 ABDC 的变形：AB 长为 dx，扭转后由于相对转动，圆轴 表面上的 B 点移动到 B′：
解：(1) 各轴所承受的扭矩 各轴所传递的功率分别为
图 5－8 例题 5－1 图
转速分别为
P1 = 14 kW, P2 = P3 = P1 / 2 = 7 kW
7
n1 = n2 = 120r/min
n3
=
n1
z1 z3
=
⎛⎜⎝120
×
36 12
⎞ ⎟⎠
r
/
min
=
360r / min
据此,算得各轴承受的扭矩：
§5—3 薄壁截面梁弯曲时横截面上的剪应力流与弯曲中心
5－3－1 剪应力流
对于承受弯曲的薄壁截面杆件，与剪力相对应的剪应力具有下列显著特征：
(1) 根据剪应力互等定理，若杆件表面无切向力作用，则薄壁截面上的剪应 力作用线必平行于截面周边的切线方向，并形成剪应力流(shearing stress flow)。
(5－2)
这表明，对于各向同性材料，三个弹性常数中只有两个是独立的。
§ 5－2 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析
本节应用平衡、变形协调以及物性关系分析圆轴扭转时横截面上的剪应力。
5－2－1 平面假定与剪应变分布规律
圆轴受扭前，在其表面画上小方格[图 5－4(a)]，受扭后，圆轴的两端面相对转动了一 角度[图 5－4(b)]，而相距 dx 的两相邻圆周线，刚性地绕轴线相对转动了一角度，因相对转 动角度很小，故可认为相邻圆周线间的距离不变。
图 5－11 剪应力流方向的确定
以图 5－11(a)中的壁厚为 δ 的槽形截面梁为例。首先沿梁长方向截取长度为 dx 的微段，
并确定其上剪力和弯矩的实际方向，如图 5—11(b)所示；其次再从微段的上、下翼缘截取一 局部，其上受力如图 5—11(c)所示。根据局部平衡的要求，即可确定上、下翼缘上剪应力的
(5－19)
6
式中，d 是圆截面直径。
对于内、外径分别是 D、d 的圆管截面或圆环截面（空心圆轴），极惯性矩 I p 为：
( ) πD4 1−α 4
IP =
32
,α = d D
(5－110)
5－2－4 最大剪应力与扭转截面模量
根据横截面上的剪应力分布，圆轴扭转时横截面上的最大剪应力发生在横截面边缘上 各点，并且沿着截面周边的切线方向。根据式(5－8)，最大剪应力由下式计算：
τρ
= Grρ
=
Gρ
dϕ dx
(5－4)
式（5－4）表明：圆轴扭转时横截面上任意点处的剪应力τρ 与该点到截面中心的距离ρ
成正比。由于剪应变γρ 与半径垂直，因而剪应力作用线也垂直于半径（图 5－5a）。根据剪
应力互等定理，轴的纵截面上也存在剪应力，其分布如图 5－5b 所示。
图 5－5 圆轴扭转时横截面与纵截面上的剪应力分布
给铅垂 C 轴,另一半传递给水平 H 轴。已知输入功率 P1 = 14 kW ,水平轴 (E和H ) 转速
n1 = n2 = 120r/mm ；锥齿轮 A 和 D 的齿数分别为 z1 = 36, z3 = 12 ；各轴的直径分别为
d1 = 70 mm, d2 = 50 mm, d3 = 35 mm 。试确定：各轴横截面上的最大剪应力。
M
x1
=
M e1
=
⎛ ⎜⎝
9549
×
14 120
⎞ ⎟⎠
N
⋅
m
=
1114
N
⋅
m
M x2
=
Me2
=
⎛ ⎜⎝
9549
×
7 120
⎞ ⎟⎠
N
⋅
m
=
557
N
⋅m
M x3
=
M e3
=
⎛ ⎜⎝
9549
×
7 360
⎞ ⎟⎠
N
⋅
m
= 185.7
N⋅
m
(2) 计算最大剪应力
E.H .C 轴横截面上的最大剪应力分别为
τ max (E)
=
M x1 Wp1
=
⎛ ⎜⎝
16 ×1114 π × 703 ×10−9
⎞ ⎟⎠
Pa
= 16.54×106 Pa = 16.54 MPa
τ max (H ) =
M x2 Wp2
=
⎛ ⎜⎝
π
16× 557 × 503 ×10−9
⎞ ⎟⎠
Pa
= 22.69×106 Pa = 22.69 MPa
τ max (C)
图 5－3 剪应力与剪应变曲线
τ－γ 曲线的直线段表明，当剪应力小于或等于比例极限τp 时，剪应力与剪应变成正比， 直线段的剪应力与剪应变关系为：
τ = Gr
在第 3 章中曾经提到，各向同性材料的两个弹性常数——杨氏模量 E 与泊松比 v，可以 证明 E、v 与 G 之间存在以下关系：
G= E 2(1+ v)
式中，Mx 为横截面上的扭矩，由截面法确定；ρ 为所求应力点到截面形心的距离；I p 为横 截面的极惯性矩。
根据式(5－8)，圆截面和圆环截面上的剪应力分布如图 5－7a 所示。
图 5－7 圆截面和圆环截面上的剪应力分布
根据式（5－7）,由积分可以算得直径为 d 的圆截面极惯性矩 I p：
IP
=
πd 4 32
微元的上下左右四个侧面上，只有剪应力而没有正应力，这种受力状况的微元称为纯 剪应力状态（stress state of the pure shear）。
5－1－2 剪切胡克定律 通过扭转试验，可以得到剪应力τ 与剪应变γ 之间的关系曲线（图 5－3）。其中直线段
剪应力的最高限称为剪应力比例极限，用τp 表示。
弯曲中心 §5－4 薄壁截面梁的弯曲剪应力公式推广应用到
实心截面梁 §5－5 基于最大剪应力的强度计算 §5－6 结论与讨论 习题
2
基础篇之五
第 5 章 弹性杆件横截面上的剪应力分析
对于实心截面杆件以及某些薄壁截面杆件，当其横截面上仅有扭矩 (M x )
或剪力（ FQy 或 FQz ）时，与这些内力分量相对应的分布内力，其作用面与横截 面重合。这时分布内力在一点处的集度，即为剪应力。
工程上将传递功率的构件称为轴(shaft)，且大多数情形下均为圆轴。当圆轴承受绕轴线 转动的外扭转力偶作用时(图 5—1)，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。
图 5－1 承受扭转的轴
5－1－1 剪应力互等定理
考查承受剪应力作用的微元体（图 5－2），假设 作用在微元左、右面上的剪应力为τ ，这两个面上的 剪应力与其作用面积的乘积，形成一对力，二者组成 一力偶。为了平衡这一力偶，微元的上、下面上必然 存在剪应力τˊ，二者与其作用面积相乘后形成一对 力，组成另一力偶，为保持微元的平衡这两个力偶的 力偶矩必须大小相等、方向相反。
其中
(5－6)
∫ IP =
ρ 2dA
A
(5－7)
为与截面形状和尺寸有关的几何量，即为截面对形心 O 的极惯性矩。式（5－6）中 GIP 称 为圆轴的扭转刚度（torsional rigidity）。
将式（5－6）代入式（5－4），即可得到圆轴扭转时横截面上剪应力表达式：
τ (ρ) = Mxρ
IP
(5－8)
dx
(5－3)
式中， dϕ 为扭转角沿轴线 x 方向的变化率，对某一 x 处的横截面， dϕ 为常量。因此式（5
dx
dx
－3）表明：圆轴扭转时，横截面上某点处的剪应变与其到横截面中心的距离成正比，亦即
剪应变沿半径方向线性分布。
来自百度文库
5－2－2 横截面上的剪应力分布
根据横截面上的剪应变分布表达式（5－3），应用剪切胡克定律得到：
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大于外层（圆环截面）的切变模量（G1＝2G2），所以内层在二者交界处的剪应力一定大于 外层在二者交界处的剪应力。据此，答案（A）和（B）都是不正确的。
在答案（D）中，外层在二者交界处的剪应力等于零，这也是不正确的，因为外层在二 者交界处的剪应变不为零，根据剪切胡克定律，剪应力也不可能等于零。
根据以上分析，正确答案是（C）。
=
M x3 Wp3
=
⎛ ⎜⎝
16 ×185.7 π × 353 ×10−9
⎞ ⎟⎠
Pa
= 21.98×106 Pa = 21.98 MPa
【例题 5－2】由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为 G1 和 G2，且 G1＝2G2。圆轴尺寸如图 5－9 中所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关 于横截面上的剪应力分布，有图中 A、B、C、D 所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。