矩阵不等式的扩充与某些性质

矩阵不等式的扩充与某些性质

学生姓名 张旭东 指导教师 温瑞萍 （太原师范学院数学系14011班 山西太原 030012）

【内容摘要】 本文扩充了矩阵不等式的定义，突破了在矩阵不等式中矩阵必须为对称矩阵的限制，并进一步讨论，证明了矩阵不等式的某些性质。 【关键词】 正定矩阵 矩阵不等式 n

n R ⨯ 交换

引言

对于n 阶实对称矩阵A ，如果对任意的x ∈n

R ，且x ≠0,都有0>'Ax x ，则称A 为正定矩阵，记为A>0；如果对于任意x n R ∈，都有0≥'Ax x ，则称A 为半正定矩阵，记为0≥A ；如果对任意的x n

R ∈，且x ≠0，都有0<'Ax x ，则称A 为负定矩阵，记为A<0；如果对任意的x n

R ∈，都有0≤'Ax x ，则称A

为半负定的，记为A 0≤。如果总存在1x ,2x n

R ∈,使01>'Ax x , 022<'Ax x ,则称A 为不定矩阵。

定义1：设A,B 均为n 阶实对称矩阵，如果A-B 0≥，则称A 大于等于B （或称B 小于等于A ）记作A ≥B （或B ≤A ）；，如果A-B>0，则称A 大于B （或称B 小于A ），记作A>B （或B

引理[]

11 A 是正定矩阵的充要条件是A 的任意阶顺序主子式大于零。 引理[]12 A 是负定矩阵的充要条件-A 是正定矩阵。

n n R ⨯表示n 阶实矩阵空间。

i A （ 2,1=i n ）表示矩阵A 的i 阶顺序主子式。

引理1 设A ∈n

n R ⨯,则A 可唯一表示成一对称矩阵和反对称矩阵的和。即A=S （A ）+K （A ）。 其

中S(A)=

21(A +)A ',K(A)=)(2

1

A A '- ，则)()(A S A S ='，)()(A K A K ='。S(A)表示A 的对称部分，K(A)表示A 的反对称部分。

在英文中symmetrical 表示“对称的”，所以在本文中用S(A)表示矩阵A 的对称部分，skew 表示“反对称的”，而本文已用了S(A)表示矩阵A 的对称部分，故用K(A)表示矩阵A 的反对称部分。

正文

本文突破了矩阵不等式中矩阵必须为对称矩阵的限制，从而扩充了矩阵不等式的范围。 引理2 A ，B ∈n

n R

⨯，如果K （A ）=K （B ）

，则A-B 是对称矩阵。 定义1'：设A ，B ∈n

n R ⨯，如果K （A ）=K （B ），且有A-B 0≥，则称A 大于等于B （或称B 小于等于A ），

记作A ≥B ；如果K （A ）=K （B ）且有A-B>0，则称A 大于B （或称B 小于A ），记作A>B （或B

如: A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400040224 B=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡--002002000 A,B 均不是对称矩阵。 但 K(A)=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001001110 K （B ）=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001001110 ∴ K(A)=K(B) A-B=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡402042224

则A-B 是对称矩阵，且 1)(B A -=4>0 2)(B A -=4

22

4=12>0 3)(B A -=4

020422

24=32>0

∴A-B>0 即A>B 。

这里当n 为1时，所定义的不等式便是实数不等式，当n 大于或等于2时，所定义的不等式便与一般不等式有所不同，这里的大于或小于仅是一种记号，表示正定或负定，是矩阵中的一种偏序，而不是一般意义下的大小。

如任意两个实数总能比较大小，但任意两个n 阶矩阵不一定能比较大小。因为，首先对于任意的n 阶矩阵A ，B 。A-B 便不一定是对称矩阵。就算A-B 是对称矩阵也不一定能比较大小。

如： A=⎥⎦⎤⎢

⎣⎡3021 B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1102 A-B=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡--2121

显然A-B 不是对称矩阵，当然不能判断正定。

A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2011 B=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2012 A-B=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-1001

A-B 是对称矩阵．但由于1)(B A -=-1 2)(B A -=1 ∴ A ≥B 或B ≥A 均不成立。

引理[]

23

：设A ，B ，C ，D ∈n

n R

⨯，且K(A)=K(B)=K(C)=K(D),则

1） A ≥B (A>B)⇔kA ≥kB (kA>kB) k>0⇔kA ≤kB(kA

3） A ≥0 B>0 ⇒A+B>0 4） A ≥B B ≥A ⇒A=B 5） A ≥B B ≥C ⇒A ≥C 6） A ≥B C ≥D ⇒A+C ≥B+D 7） A ≥B B>C ⇒A>C

8） A>0 (A ≥0) B>0 (B ≥0)且AB=BA,则AB>0(AB ≥0) 9） A ≥B ⇒A+C ≥B+C 由引理3的性质1） 可得A ，B ∈n

n R ⨯则，则A ≥B ⇔-A ≤-B

由引理3的性质4） 可得A ∈n

n R ⨯，则A ≥0 A ≤0⇒A=0

定理4：设A ，B ∈n

n R

⨯，则A>B 的充要条件是：对任意n ⨯m 列满秩矩阵P 都有BP P AP P '>'。

证明：必要性 )(''-'BP P AP P =[]'

-'p B A P )(=P 'P B A )('-=P B A P )(-' ∀ x m

R ∈,x ≠0由

P 列满秩 ∴Px ≠0

()x BP P AP P x '-''=0)()(>-'Px B A Px 此即 BP P AP P '>'

充分性 BP P AP P '>' 即∀ x m

R ∈,x ≠0 ()x BP P AP P x '-''>0

⇔0)()(>-'Px B A Px

由于 p 的任意性知 A-B>0 即 A>B

引理[]

25：设A ，B ，C ，D ∈n

n R ⨯,则

1)如果A>B, C>0，且AC=CA, BC=CB,则 AC>BC ； 如果A>B, C<0, 且AC=CA, BC=CB,则 AC

2)如果A>B>0, C>D>0,且有AC=CA, BD=DB, AB=BA 或BC=CB,那么AC>BD 。 3)如果A>0,则01

>-A 。

定理6:如果A,B ∈n

n R

⨯ A,B>0且AB=BA,那么B A B A n

n

>⇔> )(+

∈N n 。

证明:充分性:A>0,B>0,且A>B 由引理3的2)可知 n

n

B A >

必要性: n

n

B A >⇔0>-n n B A ⇔(A-B))(1

21---+++n n n AB B A B A >0 ①

由于A>0,B>0 则可知)(121

---+++n n n AB B A B A >0

从而1121

)(----+++n n n AB B A B A

存在。

①式两边同乘以1121

)(----+++n n n AB B A B A ,则可得A-B>0,即A>B 。

定义:设A >0,则

2A =A ; A

定理7:设A>B 或A

2

>+。