4-2刚体的转动-刚体动力学解析

r1 sin 1 r2 sin 2 d
M f12d f 21d 0
内力对刚体产生的力矩为0
二.刚体定轴转动定律
质点 力 运动（ F ma）
刚体 外力矩M ？
mi , ri ,, 刚体上任意质元： mi在 f i 和 Fi 的作用下作 圆周运动,由牛顿定律: Fi fi mi ai (1)
解:隔离法,受力分析
T1 T1
A
C B
T2
T2
PB
分别根据牛顿第二定律和转动定律列方程： 物体A: T1 m Aa (1) 物体B : m B g T2 m B a ( 2)
物体C : RT2 RT1 J ( 3)
1 利用已知关系式：J mC R2 , a R 2
a 解(1)(2)(3)得：
1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m2 m1 m 2
a m2 m1 g M / r r m m 1 m r 2 1 2
当不计滑轮质量及摩擦阻力矩即令m=0、M=0时，有
r

圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
R R
O
r dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
2.转动惯量的两条定律
(1)平行轴定律：J J c md
3
F2 2
r2
F1
r3
1 r1
(4)力的作用线通过转轴时，其力矩为零。
(5)内力对转轴的力矩
考察任意两个质点1、2
z
d
O
1 r f 1 f12 21 2
f12 f 21
M M12 M 21
1
r2
2
r1 f12 sin 1 r2 f 21 sin 2
ain ri
2
ai ri
(4)
z
fi
(3) ri :
ri Fi sini ri f i sinθi Δmi aiτ ri Δmi ri α
2
Fi
i
i
ri
mi
Fit ri f it ri Δmi ri α
2
设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出 上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：
F r f r (m r
i 1 it i i 1 it i i 1
N
N
N
2
i i
)
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
f
i 1
N
it i
r 0
得到：
Fit ri (mi ri )
2 i 1 i 1
N
N
J (mi ri )
三.转动惯量 描述刚体转动惯性大小。
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
2 j j 2 j
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm

dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度

dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
：质量体密度
1.转动惯量的计算举例
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
m2 m1 a g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a， 再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和 m2 相近，从而使它们的加速度 a 和速度 v都较小， 这样就能角精确地测出a来。
由初始条件 : t 0时, 0 0, 0 0得 :


0
3g d sind 2l 0
3g (1 cos ) 2l
例4:一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗 糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ， 令圆盘最初以角速度 0绕通过中心且垂直盘面的 轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
例2.质量为 m A 的物体A静止在光滑的水 平面上,它和一轻绳相连接,此绳跨过一半 径为R、质量为 mC 的园柱形滑轮C,并系在 另一质量为 m B 的物体B上,滑轮与轴承间 A 的摩擦力不计.问： C (1)两物体的线加 速度? 水平和铅直 B 两段绳的张力？ (2)B由静止下落距离y时速率？ (3)若滑轮与轴承间的摩擦力矩为 M ,再 求线加速度及绳的张力.
平面
r F1
对转动无贡献。 注:在定轴转动问题中,如不加说 明,所指的力就在转动平面内.
r
(3)几个力同时作用于刚体,合力矩为
M M1 M 2
F3
M r1F1 sin 1 r2 F2 sin 2 r3 F3 sin 3
即:合力矩的大小 等于各力矩的代 数和.
2 i 1
N
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到 刚体定 d 轴转动 M J J 定律
dt
刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的 表明： 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 写成矢量形式：
M Jα
F
讨论： M r F
(1)力矩的方向 即满足右手螺旋关系 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, r 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . O
M
M
z
r
F
*
d
P

对于定轴转动可用正、负号表示之.
(2)如果力不在转动平面内，通常把力分 解为平行于转轴方向的力F1和垂直于转轴 方向的力F2. F F1 M rF r (F1 F2 ) 转动 F r F1 r F2 2
1 1 2 a RT2 RT1 M J mC R mC Ra 2 R 2 ( 4)
解(1)(2)(4),即可得 a,T
例3:一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放
置,其下端与一固定铰链o相连,并可绕其 转动.当其受到微小扰动时,细杆将在重力 的作用下由静止开始绕铰链o转动.试计算 细杆转到与铅直线呈 角时的角加速度和 角速度.
m1
T1
T1
T2 T
2
a m 1 G1 m2
a m2 G2
T2、 T2’(T2’= T2)
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以 顺时针方向旋转，Mr垂直于盘面向外。列方程如下
T1 G1 m1a G2 T2 m2 a T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a 是物体的加速度。滑轮边缘 上的切向加速度和物体的加 速度相等，即 a r
1 ( m A m C )m B g 2 T2 1 m A m B mC 2
mB g
1 m A mB mC 2 m Am B g T1 1 m A m B mC 2
物体B由静止出发作匀速直线运动
2mB gy v 2ay 1 m A mB mC 2
考虑滑轮与轴承间的摩擦力
(1)均匀细棒 a.转轴过中心与杆垂直
m O dm dx 取质元： l l 1 2 2m 2 2 J r dm l x dx ml l 12 2
dm
dx
X
dm
b.转轴过棒一端与棒垂直 m 取质元： dm dx
O
dx
Xwk.baidu.com
l 1 2 l 2 m 2 J r dm 0 x dx ml l 3
R 2 2
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度.
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
2 1 gdt Rd 3 2
设圆盘经过时间t停止转动，则有
2 1 0 t g 0 dt R 0 d 3 2
由此求得
3 R t 0 4 g
(2)均匀细园环
转轴过圆心与环面垂直
dm
R o
m
解:质元 dm dl
m 2R
J R dm
2
2 2R R 0 dl
mR
2
可见:J与刚体质量分布,形状,大 小,密度,转轴位置有关。
(3) 一质量为 m 、半径为 R的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 解: 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
自然坐标系中分量形式：
z
fi
Fi
i
i
ri
mi
n: Fi cosi fi cosi mi ain (2) : Fi sini fi sini mi ai (3)
法向分力通过转轴,产生的力矩为零.
: Fi sin i f i sin i mi ai (3)
解:受力分析

取任一状态,由转动定律 P 1 M 外 mgl sin J O 2 3 g 1 2 sin J ml 2l 3
3g sin 2l
又:
d d d 3g sin dt d dt 2l
3g d sin d 2l
T1
T1
T2 T
2
a m 1 m1 m2 G1
a m2 G2
1 2 J mr 2
从以上各式即可解得
a
而
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r
J m2 m1 2 r 1 m2 m1 m 2
1 m1 2m2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m2 m1 m 2
§4-2 刚体动力学
一.力矩:
力的能够改变刚体转动状态的作 用—力对该转轴的力矩. 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F Z
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, r 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 .
d O r
M Fd Fr sin
写成矢量形式:
P

M rF
例题 1: 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两 端分别悬有质量为 m1 和 m2 的物体 1 和 2 ， m1< m2 如图 所示。设滑轮的质量为 m，半径为 r，所受的摩擦阻力 矩为m。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度 和绳的张力。 解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ， 物体2这边的张力为

R dr e
d
r
解:由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M rdmg g rreddr ge 0 d 0 r dr 2 3 geR 3 2 M mgR 因m=eR2，代入得 3
Z 与 Z c 相互平行,相距为d
2
J c 为通过质心的转轴的转动惯量
可用于以下情况的计算：
ZC
C
Z d
C
(2)正交轴定律：
Z
X Y
Jz J x J y
可用于以下情况的计算：
1 J mR 2 4
J ?
实心圆盘
有空洞圆盘
四.利用转动定理解题步骤： 1.刚体受力分析，确定各力的力 矩及方向，若为定轴转动则用 正负表示之。 2.求出合外力矩，据转动定律 M J 列方程。 3.解方程,求结果,讨论.