4-2刚体的转动-刚体动力学解析
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
第四章 刚体的转动讲解
Δθ=ωt
4）角位置
＝0＋ t
2．匀变速转动(t=0，ω=ω0，θ=θ0)
1）角加速度 ＝const
2）角速度 ＝0 t
3）角位移 4）角位置
＝
0
t
1 2
＝ 0＋ 0
t
t2
1 2
t
2
四、角量与线量的关系
半径R，角位移
弧长 s R
线速度v: v lim
法向加速度：
an
t 0
v2
R
lim s
R
t t0 t
(R)2 R 2
R
R
切向加速度：
a
dv dt
d dt
(R)
R
d
dt
R
结论：刚体作定轴转动时，在某一时刻刚体上所有
各点的角位移、角速度和角加速度都是相同的；
而各点的线位移、线速度和线加速度均与r成正比。
M i
M F1r1 sin1 F2 r2 sin 2 F3r3 sin 3
单位： N.m
注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。
与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的
轴的力矩。用M表示。
用矢量表示 M r F
或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个
力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。
第四章 刚体的转动
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
第四章 刚体转动
第四章 刚体的转动 问题4-1 以恒定角速度转动的飞轮上有两个点，一个点在飞轮的边缘，另一个点在转轴与边缘之间的一半处。
试问：在t ∆时间内，哪一个点运动的路程较长？哪一个点转过的角度较大？哪一个点具有较大的线速度、角速度、线加速度和角加速度？ 解 在一定时间内，处于边缘的点，运动的路程较长，线速度较大；它们转动的角度、角速度都相等；线加速度、角加速度都为零。
考虑飞轮上任一点P ，它随飞轮绕转轴转动，设角速度为ω，飞轮半径为r 。
在t ∆内，点P 运动的路程为P P l r t ω=∆，对于任意点的角速度ω恒定，所以离轴越远的点（P r 越大）运动的路程越长。
又因为点P 的线速度P P v r ω=，即离轴越远，线速度也越大。
同理，点P 转动的角度P t θω=∆，对于飞轮上任一个点绕轴转动的角速度ω都相等，即在相等的时间内，飞轮上的点转动的角度都相等。
又角速度ω恒定，即线加速度0P Pd a r dtω==，角加速度0P d dtωα==.4-2 如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？解 不一定。
如图（a ）轻杆（杆长为l ）在水平面内受力1F 与2F 大小相等方向相反，合力为零，但它们相对垂直平面内通过O 点的固定轴的力矩1M F l =不为零。
如图（b ），一小球在绳拉力作用下在水平面内绕固定轴作圆周运动，小球所受的合外力通过O 点，它所受的力矩为零。
4-3 有两个飞轮，一个是木制的，周围镶上铁制的轮缘，另一个是铁制的，周围镶上木制的轮缘，若这两个飞轮的半径相同，总质量相等，以相同的角速度绕通过飞轮中心的轴转动，哪一个飞轮的动能较大。
1F（a ） （b ）解 两飞轮的半径、质量都相同，但木制飞轮的质量重心靠近轮缘，其转动惯量要大于铁制轮缘。
飞轮的动能212k E J ω=，ω相同，转动惯量J 越大，动能越大。
即木制飞轮动能较大。
04-2转动定律(新)
M = r F sin θ
1. 力在转动平面内： ω F sin θ
0
力矩的方向判断
右手螺旋前进法则 F F cos θ
·
r
M
F r
·
θ
力矩的量值
M = r F sin θ
力矩量值的一般书写：
力矩的矢量式：
M = r ×F M = r F sin （r、 F）
2. 力不在转动平面内:
F
力矩的矢量式
点支△应设在离A 端35cm处 才能使该装置静止平衡。
二. 转动定律 研究刚体受外力矩作用时，外力矩与角加速度 之间的关系：刚体转动中的牛顿第二定律。
Fi 内力 fi 对△mi 质点进行
外力 受力分析并应用 牛顿第二定律有： 切向分力： 法向分力：
0
´ω
fi ri mi △
·
0
·j
θi
Fi
i
0
f i sinθ i + F i sin j i = △ m i a i t - f i cosθi - F i cosj i = △ m i r iω
2 2 圆盘
o
2
细棒
2
2
2
0
o
·
0.5L
m1
0.5L m2
2
同理：
J ＝J ＋ J
0
杆1
杆2
L 1 m （ ） J ＝ 3 2
杆1
1
L L 1 L ＋m（ ＋ ） J ＝ m（ ） 4 2 2 12
2
2 杆2
2
2
J ＝J ＋ J
0
杆1
杆2
1 m L＋ 7 m L ＝ 12 12
第4章 刚体力学
j
x
i
y
上述关系简记为右图（顺时针取正，逆时针取负）。
讨论 1）若力 不在转动平面内，可把力分解为 平行于和垂直于转轴方向的两个分量
F
F Fz F
其中 Fz 对转轴的力矩为
z
k
O
零，故力对转轴的力矩
Fz
F
M z k r F M z rF sin
M M ij 0
二
转动定律 切向力：Fit (mi )at
z
O
ri Fit
Fit
切向力Fit 对转轴的力矩大小 M i ri Fit ri Fit (mi )at ri
质量元mi 受到的 切向力矩(对z轴)
ri
mi
at ri
M i (mi )ri 2
非定轴转动 (转轴位置或方向变化)
转动是否是定轴的，取决于参照系的选择。
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
质心: 质量中心简称质心，指物质系统上被认为质量集中于此 的一个假想点。
二 刚体绕定轴转动的角速度和角加速度 z 1 角速度和角加速度
角坐标 沿逆时针方向转 0 (t ) 沿顺时针方向转 0
式中 m 540r/s， 2.0s . 求：(1) t = 6s 时电动机 的转速．(2) 起动后, 电动机在 t = 6s 时间内转过的圈数. (3) 角加速度随时间变化的规律． 解: (1) 将 t = 6s 代入得
ω 0.95ωm 513r/s
1 6 1 6 t / ( 2) N dt m (1 e )dt 344 2π 0 2π 0 d m t / （角加速度 t / 2 2 e 540 πe rad s ( 3) 指数衰减） dt
大学物理4-2刚体的角动量 转动动能 转动惯量
刚体绕定轴的角动量表达式：
Lz J
刚体的转动动能
2. 刚体的转动动能
刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点
的动能之设和刚。体中第i个质点的质量为 ， mi
速度为 v,i 则该质点的动能为：
1 2
mivi2
刚体做定轴转动时，各质点的角速度相同。
设质点
mi
离轴的垂直距离为
vi ri
ri ，则它的线速度
因此整个刚体的动能
EK
12mivi2
1 2
ri2mi 2
刚体的转动动能
式中 式写为
是m刚iri体2 对转轴的转动惯量
EK
1 2
J 2
，所J以上
上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因 此叫刚体的转动动能。
转动惯量的计算
3. 转动惯量的计算
按转动惯量的定义： J ri2mi
刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可 写成积分形式
J r2dm 要求: 细棒、薄圆盘、圆环
dl 其中质元dm可表示为 dm ds
dv
r —为质元到转轴的距离
转动惯量的计算
刚体运动：
平动： 平动动能 1 mv2 线动量 mv
2
定轴转动：转动动能 1 J 2 角动量 J
2
质量是刚体平动时惯性大小的量度。 转动惯量是刚体转动时惯性大小的量度。 补：平行轴定理、垂直轴定理（适用于薄平面刚体）。
Li Ri pi Ri mivi
因 vi Ri ，所以 L的i 大小为
Li mi Rivi
方向如图所示。
z
L
Li Liz
ri
O Ri mi
刚体的角动量
(4-2)刚体转动定律、刚体角动量守恒定律
内
外 外 外 质点系的
内
得
内 质点系所受的
内
外 外
冲量矩 质点系的角动量
矩的矢量和 的时间变化率 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正 内力矩在求矢 反两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。 量和时成对相消 微分形式 称为
外
角动量增量 质点受外力
刚体转动定律、质点系角动量守恒定律
即：
i j k Mo r F x y z Fx F y Fz i yFz zFy j zFx xFz k xFy yFx
M z xFy yFx
Mz为力对 o 点 的力矩在 z 轴方向的分量
注意. 力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。
另一类常见现象
刚体转动定律、质点系角动量守恒定律 ② J 可变，ω亦可变，但 Jω 乘积不变 茹可夫斯基櫈
张臂
大
用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩
收臂 小 大
小
花样滑冰常见例
刚体转动定律、质点系角动量守恒定律 忽略脚底摩擦力矩的作用，角动量守恒 J1 J11 J 22 所以 2 1 J2
在冲击等问题中
M 内力 M外力 L 常量
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律，有很多实例
刚体转动定律、质点系角动量守恒定律
角动量守恒现象举例 适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子...
茹科夫斯基凳实验 为什么银河系呈旋臂盘形结构？ 为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？ 为什么猫从高处落下时总能四脚着地？
1 T1 r T2 r J mr 2 2
T1
r
(3)
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第四章 刚体的转动 问题与习题解答问题：4-2、4-5、4-94-2如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否也一定为零？答：一个刚体所受合外力为零，其合力矩不一定为零，如图a 所示。
刚体所受合外力矩为零，其合外力不一定为零，例如图b 所示情形。
4-5为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能的改变只与外力矩有关，而与内力矩无关？答：因为合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量；而质点系中内力一般也做功，故内力对质点系的动能的增量有贡献。
而在刚体作定轴转动时，任何一对内力对转轴的力矩皆为一对大小相等、方向相反的力矩，且因定轴转动时刚体转过的角度d θ都一样，故其一对内力矩所作的功()0inij ij ji ij ji W M d M d M M d θθθ=+=+=，其内力功总和也为零，因而根据刚体定轴转动的动能定理可知：内力矩对其转动动能的增量无贡献。
4-9一人坐在角速度为0ω的转台上，手持一个旋转的飞轮，其转轴垂直地面，角速度为ω'。
如果突然使飞轮的转轴倒转，将会发生什么情况？设转台和人的转动惯量为J ，飞轮的转动惯量为J '。
答：（假设人坐在转台中央，且飞轮的转轴与转台的转轴重合）视转台、人和飞轮为同一系统。
（1）如开始时飞轮的转向与转台相同，则系统相对于中心轴的角动量为：10L J J ωω''=+飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω，则系统的角动量为：21L J J ωω''=-在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：10J J J J ωωωω''''-=+即 102J Jωωω''=+，转台的转速变大了。
（2）如开始时飞轮的转向与转台相反，则系统相对于中心轴的角动量为：10L J J ωω''=-飞轮转轴快速倒转后，飞轮的角速度大小还是ω'，但方向与原来相反；如设转台此时的角速度为1ω，则系统的F 1F 3ab角动量为：21L J J ωω''=+在以上过程中，外力矩为零，系统的角动量守恒，所以有：10J J J J ωωωω''''+=-即 102J Jωωω''=-，转台的转速变慢了。
刚体的转动知识点总结
一、刚体的基本概念1. 刚体的定义：刚体是一个质点系列，这些质点之间的相对位置在任意时刻都是固定的，不会改变。
2. 刚体的运动方式：除了平动外，刚体还可以进行转动运动。
3. 刚体的主要特征：刚体在转动运动中的主要特征是角位移、角速度和角加速度。
二、刚体的转动定律1. 牛顿第一定律在转动中的应用：刚体静止或匀速转动时，对固定轴的力矩为零。
2. 牛顿第二定律在转动中的应用：刚体转动的加速度和力矩之间的关系。
3. 牛顿第三定律在转动中的应用：力矩的作用对应地产生反作用力矩。
三、刚体的转动运动学1. 角度和弧度的关系：1弧度对应角度2pi，即1弧度=180°/π。
2. 角速度和角位移的关系：角位移是角速度随时间的积分。
3. 角加速度和角速度的关系：角加速度是角速度随时间的导数。
4. 刚体的角度运动学方程：θ=θ0+ω0t+1/2αt²，ω=ω0+αt，ω²=ω0²+2α(θ-θ0)。
四、刚体的转动动力学1. 转动惯量的概念：刚体对任意轴的转动惯量是对角速度与角动量之间关系的比较重要的物理量。
2. 转动惯量与质量的关系：转动惯量与质量和物体形状有关，质量越大，转动惯量越大。
3. 转动惯量的计算方法：在一个轴上转动的刚体对该轴的转动惯量的计算方法是对每个质点的质量进行求和。
4. 牛顿第二定律在转动中的适用条件：转动惯量与角加速度的关系。
五、刚体的转动运动与平动的转换1. 垂直平动和转动的关系：刚体在平动运动中的质心对其转动惯量有影响。
2. 能量守恒在转动中的应用：刚体在转动运动中的动能和势能之间的转换过程与保守力的性质有关。
1. 刚体的转动平衡条件：刚体在平衡时，合外力和合力矩均为零。
2. 刚体的稳定条件：刚体在平衡时，摆子有稳定和不稳定平衡之分。
以上便是刚体的转动知识点总结，这些知识点涵盖了刚体的基本概念、转动定律、转动运动学、转动动力学、转动运动与平动的转换以及转动稳定性等内容。
第四章 刚体力学的定轴转动
3
三、刚体转动的角速度和角加速度 角速度 刚体在dt 时间内 的角位移dq 与dt 之比。 z
dq
dq w dt
(rad s )
1
r
θ
P
角速度的方向由右手定则确定。 角加速度 刚体在Dt时间内 角速度的增量Dw 与Dt 之比的极 限
2
式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。 2. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯 量有如下关系
Jz J x J y
15
例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得 对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为
1 2 J ml 12
求对通过棒端并与棒垂直的轴的J。 1 解：两平行轴的距离 d l , 代入平行轴定理， 2 得
由定义得：
dw ct dt
dw ct dt
6
对上式两边积分
由条件知
w
0
dw c tdt
0
t
1 2 w ct 2
2π 1 1 t 300 s , w 18000 rad s 600 π rad s 60 2w 2 600 π π 3 3 c rad s rad s 所以 t2 300 2 75
由角速度定义 得到：
dq π w rad s 3 t 2 d t 75
π q rad s 3 t 3 150
7
q
0
π t 2 dq t dt 150 0
π 3 转子转数： N 300 3 104 2 π 2 π 450
刚体的转动
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
T1r
T2r
J
1 mr2
2
a r
T2
T2
m2
m2 g
(m1 m2 )g
(m1
m2
1 2
m)r
0
t
(m1 m2 )gt
(m1
m2
1 2
m)r
mr
T1
T1
m1
m1 g
17
例4-3:一长为l 质量为m 匀质细杆竖直放置,其下端与一固
0
3
平行轴定理 J z' J z Md2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量
J z 刚体绕通过质心的轴
d 两轴间垂直距离
z
x M,L
O dx
x
L
J
2 L
x2dx
1 12
ML2
2
z' z
M
d C
13
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm m R2 0
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl m
R
O
ds 2 rdr
dm ds
dJ r2dm
J
R
dJ
1
mR2
0
2
m
R2
Rm dr
r O
14
例4-1:一轻绳绕在半径r =20 cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N的拉力, 飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计,求(1)飞轮的 角加速度 (2)如以重量P =98 N的物体挂在绳端,计算飞轮的角加速度
需将力分别向垂直于轴以及平行于轴方向 做正交分解，如图所示
第4章 刚体的转动
d2t
v rω
at r
at r
an
ra
an rω2
a r 2 rω2 2
et
at v
(3) 角速度矢量
O’
O
简化 加速
减速 转动平面
4.2 刚体的定轴转动定律
4.2.1 力对转轴的力矩
v M
rv
v F
大小: M rF sin
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
例1 如图所示，一竖直悬挂的木杆，可绕杆端O处的水平
固定轴转动. 开始时，木杆竖直下垂. 质量m1=50g的小球 以v0=30m·s-1的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以 v1=10m·s-1的速度向反方向弹回. 杆长l=40cm ，木杆质量 m2=600g. 设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度.
4.2.3 转动惯量
J miri2 i
J r2dm
转动惯量的单位：kg·m2
转动惯量的物理意义：转动惯性的量度
(1) 转动惯量的计算
质量离散体
i3
J miri2 m1r12 m2r22 m3r32 i 1
质量连续体 J r2dm
线分布 质量为线分布
面分布
体分布
——质量线密度
质量为面分布 质量为体分布
——质量面密度 ——质量体密度
(2) 转动惯量与下列因素有关：
A 刚体的质量；B 刚体的质量分布；C 定轴的位置。
(3) 计算转动惯量的两个定理
平行轴定理
物体绕某一转轴的转动惯量 J 等于绕过质心并与该轴平行的
(完整版)转动定律讲解
方向: r F 的方向 单位: N m
对于定轴转动；
z
M
r
Od
F
P*
规定转动正方向,力矩使刚体绕
正方向转动, M 取正,反之取负。
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
讨论 1）与转轴平行的力对转轴不产生力矩;
2）与转 轴垂直但通过转轴的力对转轴不产生力矩； 3）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂
直于转轴方 向的两个分 量 F Fz F
其中 Fz 对转轴的力
矩为零，故 F 对转轴的
力矩
M r F
M z rF sin
4）合 力矩 等于各分力矩的矢量和
M M1 M2 M3
第四章 刚体的定轴转动
z
k
Fz
F
O r
F
定轴转动：（规定转动 正方向）
M Mi
i
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
第四章 刚体的定轴转动
4 – 2 力矩 转动定律 转动惯量
大学物理学
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋 转 , 力 F 作用在刚体上点 P ,
r 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径
矢 .
F 对转轴 Z 的力矩 M rF
M
力矩是矢量
大小: M Frsin Fd
M i Fitri (mi )atri
at ri
Mi (mi )ri2
z
Fit
O
ri
mi
M Mi (mi )ri2 (mi )ri2
➢ 转动惯量
第四章 刚体的转动
四、角量与线量的关系
v r 2 an r
11
例1 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可 绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转。开始起动时， 角速度为零。起动后其转速随时间变化关系为：
m (1 e
t /
1 式中 : 540 r s ， 2.0 s ) m
平动与转动的叠加
5
随质心的平动
+
绕质心的转动
合成
6
5.刚体定轴转动的特点
(1)任一质点都是在某个垂直 转轴的平面内作圆周运动。 (2)各质点的轨迹是半径大小 不一的圆周。在同一时间内， 各质点转过的圆弧长度不相 同。
A
A
z
r1
O1B rFra bibliotek2 O2 B
(3)各质点半径所扫过的角度
z
0
z
0
8
2.角加速度
d lim dt t 0 t
1
O
2 1
0
2
O
1 1
O
2
2 1
0
2
O
1
2
9
3.角速度矢量和线速度矢量的关系
v r
v
O
O
v
10
三、匀变速转动公式
1 1 2 3 p0 Lh gLh 2 6
y
2.14 10 N m
12
h dF
O
dy
y
Q
22
二、转动定律
1.受力分析
Fi、Fi 均在与Oz轴相垂直 的平面内。 2.运动方程
大学物理 第四章 刚体的转动 4-2 力矩 转动定律 转动惯量
} ⇒ω
} ⇒θ
2、 M = Jα
F = ma
}⇒
17
m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性。 反映质点的平动惯性， 反映刚体的转动惯性。 反映质点的平动惯性
三 转动惯量
J 的计算方法 质量离散分布
J = ∑ ∆m r
j
2 j j
J = ∑ ∆m r = (∆m )r + (∆m2 )r + L+ (∆mN )r
质量为m，长为L的细棒绕其一端的 的细棒绕其一端的J 质量为 ，长为 的细棒绕其一端的
1 2 J c = mL 12
O1
O1’
L2 1 2 J = J c + m( ) = mL 2 3
d=L/2
O2 O2’
20
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？ 大都分布于外轮缘？
（3） ）
1 2 对M： T2 r − T1r = J α = M r α ： 2
4、运动学： 运动学：
rα = a
（4） ）
26
解以上四个联立方程式, 解以上四个联立方程式 可得
1 T2 ' ≠ T 、
原因： 原因：
' 1
' (1)若：T2 ' = T T2 ' r −T ' r = Jα v 1 1 FN v 1 T 1 ⇒ J = mr2 = 0 ⇒m = 0 2 m
21
例1（补充例题）：一个转动惯量为2.5 kg⋅m2 、 （补充例题） 一个转动惯量为 ⋅ 例题 直径为60cm 的飞轮，正以 的飞轮，正以130 rad⋅s−1 的角速度旋转。 直径为 ⋅ 的角速度旋转。 现用闸瓦将其制动, 现用闸瓦将其制动 如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N, 闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为0.50。求： 闸瓦与飞轮之间的摩擦系数为 。
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mB g
1 m A mB mC 2 m Am B g T1 1 m A m B mC 2
物体B由静止出发作匀速直线运动
2mB gy v 2ay 1 m A mB mC 2
考虑滑轮与轴承间的摩擦力
由初始条件 : t 0时, 0 0, 0 0得 :
0
3g d sind 2l 0
3g (1 cos ) 2l
例4:一半径为R，质量为m的匀质圆盘，平放在粗 糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为 ， 令圆盘最初以角速度 0绕通过中心且垂直盘面的 轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？
2m1m2 T1 T2 g m2 m1
m2 m1 a g m2 m1
上题中的装置叫阿特伍德机，是一种可用来测 量重力加速度g的简单装置。因为在已知m1、 m2 、 r和J的情况下，能通过实验测出物体1和2的加速度a， 再通过加速度把g算出来。在实验中可使两物体的m1 和 m2 相近，从而使它们的加速度 a 和速度 v都较小， 这样就能角精确地测出a来。
例2.质量为 m A 的物体A静止在光滑的水 平面上,它和一轻绳相连接,此绳跨过一半 径为R、质量为 mC 的园柱形滑轮C,并系在 另一质量为 m B 的物体B上,滑轮与轴承间 A 的摩擦力不计.问： C (1)两物体的线加 速度? 水平和铅直 B 两段绳的张力？ (2)B由静止下落距离y时速率？ (3)若滑轮与轴承间的摩擦力矩为 M ,再 求线加速度及绳的张力.
1 1 2 a RT2 RT1 M J mC R mC Ra 2 R 2 ( 4)
解(1)(2)(4),即可得 a,T
例3:一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放
置,其下端与一固定铰链o相连,并可绕其 转动.当其受到微小扰动时,细杆将在重力 的作用下由静止开始绕铰链o转动.试计算 细杆转到与铅直线呈 角时的角加速度和 角速度.
例题 1: 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两 端分别悬有质量为 m1 和 m2 的物体 1 和 2 ， m1< m2 如图 所示。设滑轮的质量为 m，半径为 r，所受的摩擦阻力 矩为m。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度 和绳的张力。 解:滑轮具有一定的转动惯 量。在转动中受到阻力矩 的作用，两边的张力不再 相等，设物体1这边绳的张 力为T1、 T1’(T1’= T1) ， 物体2这边的张力为
3
F2 2
r2
F1
r3
1 r1
(4)力的作用线通过转轴时，其力矩为零。
(5)内力对转轴的力矩
考察任意两个质点1、2
z
d
O
1 r f 1 f12 21 2
f12 f 21
M M12 M 21
1
r2
2
r1 f12 sin 1 r2 f 21 sin 2
T1
T1
T2 T
2
a m 1 m1 m2 G1
a m2 G2
1 2 J mr 2
从以上各式即可解得
a
而
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r
J m2 m1 2 r 1 m2 m1 m 2
1 m1 2m2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m2 m1 m 2
ain ri
2
ai ri
(4)
z
fi
(3) ri :
ri Fi sini ri f i sinθi Δmi aiτ ri Δmi ri α
2
Fi
i
i
ri
mi
Fit ri f it ri Δmi ri α
2
设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出 上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：
Z 与 Z c 相互平行,相距为d
2
J c 为通过质心的转轴的转动惯量
可用于以下情况的计算：
ZC
C
Z d
C
(2)正交轴定律：
Z
X Y
Jz J x J y
可用于以下情况的计算：
1 J mR 2 4
J ?
实心圆盘
有空洞圆盘
四.利用转动定理解题步骤： 1.刚体受力分析，确定各力的力 矩及方向，若为定轴转动则用 正负表示之。 2.求出合外力矩，据转动定律 M J 列方程。 3.解方程,求结果,讨论.
R dr e
d
r
解:由于摩擦力不是集中作用于一点，而是分布在 整个圆盘与桌子的接触面上，力矩的计算要用积分 法。在图中，把圆盘分成许多环形质元，每个质元 的质量dm=rddre，所受到的阻力矩是rdmg 。
此处e是盘的厚度。圆盘所受阻力矩就是
M rdmg g rreddr ge 0 d 0 r dr 2 3 geR 3 2 M mgR 因m=eR2，代入得 3
r
圆环质量
dm 2 π r dr
2 3
R R
O
r dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr R 3 4 J 2π r dr π R 0
2
而
m π R
2
所以
1 2 J mR 2
2.转动惯量的两条定律
(1)平行轴定律：J J c md
三.转动惯量 描述刚体转动惯性大小。
质量连续分布刚体的转动惯量
J m r r dm
2 j j 2 j
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm
dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
：质量体密度
1.转动惯量的计算举例
(1)均匀细棒 a.转轴过中心与杆垂直
m O dm dx 取质元： l l 1 2 2m 2 2 J r dm l x dx ml l 12 2
dm
dx
X
dm
b.转轴过棒一端与棒垂直 m 取质元： dm dx
O
dx
X
l 1 2 l 2 m 2 J r dm 0 x dx ml l 3
(2)均匀细园环
转轴过圆心与环面垂直
dm
R o
m
解:质元 dm dl
m 2R
J R dm
2
2 2R R 0 dl
mR
2
可见:J与刚体质量分布,形状,大 小,密度,转轴位置有关。
(3) 一质量为 m 、半径为 R的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . 解: 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
r1 sin 1 r2 sin 2 d
M f12d f 21d 0
内力对刚体产生的力矩为0
二.刚体定轴转动定律
质点 力 运动（ F ma）
刚体 外力矩M ？
mi , ri ,, 刚体上任意质元： mi在 f i 和 Fi 的作用下作 圆周运动,由牛顿定律: Fi fi mi ai (1)
2 i 1
N
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表 示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚 体转动惯量，以J 表示。于是得到 刚体定 d 轴转动 M J J 定律
dt
刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与它所受的 表明： 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。 写成矢量形式：
M Jα
R 2 2
根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即 获得负的角加速度.
2 1 2 d mgR J mR 3 2 dt
2 1 gdt Rd 3 2
设圆盘经过时间t停止转动，则有
2 1 0 t g 0 dt R 0 d 3 2
由此求得
3 R t 0 4 g
自然坐标系中分量形式：
z
fi
Fi
i
i
ri
mi
n: Fi cosi fi cosi mi ain (2) : Fi sini fi sini mi ai (3)
法向分力通过转轴,产生的力矩为零.
: Fi sin i f i sin i mi ai (3)
F r f r (m r
i 1 it i i 1 it i i 1
N
N
N
2
i i
)
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
f
i 1
N
it i
r 0
得到：
Fit ri (mi ri )
2 i 1 i 1
N
N
J (mi ri )
m1
T1
T1
T2 T
2
a m 1 G1 m2
a m2 G2
T2、 T2’(T2’= T2)
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以 顺时针方向旋转，Mr垂直于盘面向外。列方程如下
T1 G1 m1a G2 T2 m2 a T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a 是物体的加速度。滑轮边缘 上的切向加速度和物体的加 速度相等，即 a r
1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m2 m1 m 2
a m2 m1 g M / r r m m 1 m r 2 1 2