固体物理考试复习

1、简立方原胞基矢 体心立方原胞基矢 面心立方原胞基矢

k

j i a a a a a a

===321

)

(2/)(2/)

(2/321k j i a a k j i a a k j i a a

-+=+-=++-=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=)(2/)(2/)

(2/a 3

21j i a a i k a a k j a

2、试证面心立方的倒格子是体心立方

证：设与晶轴a 、b 、c 平行的单位矢量分别为i 、j 、k 。面心立方正格子的原胞基矢可取为

)(2),(2),(2321j i a a i k a a k j a a

+=+=+= 由倒格子公式得

Ω⨯=

Ω⨯=Ω⨯=]

[2,][2,][2213132321a a b a a b a a b πππ 可得倒格基矢为： ),(2),(2),(2321k j i a

b k j i a b k j i a b -+=+-=++-=πππ

3、考虑晶格中的一个晶面（hkl ），证明：(a ) 倒格矢123h G hb kb lb =++垂直于这个晶面；(b ) 晶格中相邻两个平行晶面的间距为2hkl h

d G π=

；(c ) 对于简单立方晶格有

()

2

2

222

a d h k l =++。 证明：（a ）晶面（hkl ）在基矢321a a a 、　、　

上的截距为l

a k a h a 32

1、　、　。作矢量： k a h a m 211-=

，l a k a m 322-=，h

a l a m 1

33-= 显然这三个矢量互不平行，均落在（hkl ）晶面上（如右图），且

()

()()()

0222321321321213

21211=⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++⋅⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=⋅a a a a a l

a a a a a k a a a a a h k a h a

b l b k b h k a h a G m h πππ

同理，有02=⋅h G m ，03=⋅h G m 所以，倒格矢()hkl G h ⊥晶面。 （b ）晶面族（hkl ）的面间距为：

hkl h a h a d 11=

==

（c ）对于简单立方晶格：

()

2

1

2

222l

k h a ++⎪⎭

⎫ ⎝⎛=π

2

222

2

l k h a d ++=

4、一维简单格子，按德拜模型，求出晶格热熔，并讨论高低温极限。

解：按照德拜模型，格波的色散关系为w=vq 。由图色散曲线的对称性可以看出，dw 区间对应两个同样大小的波矢区间dq 。a /2π对应L/a 个振动模式，

单位波矢区间对应有π2/L 个振动模式，dw 范围则包含π

πdqL

dqL dz =

=22个振动模式，单位频率区间包含的模式数目定义为模式密度，根据此定义可得模式密度为：v

L

dw dq L dw dz w D ππ=

==)(再利用 a L N dw w D w -=⎰00

)(式中N 为原子数，a 为晶格常数，得a

v

w π=0 由公式()

2//2

1)(-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=

⎰

T

k w T k w B w B v B B m

e

dw w D e T k w k C 得其热熔量为 ()

⎰

-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=m

B B w T k w T

k w B B v e dw

e T k w v L k C 0

2//2

1

π作变量变换T k w x B =得 ()

⎰

Θ-=

T

z

x

x B v D e

dx

x e v

T Lk C /0

22

1 π其中B D k w 0

=

Θ 在高温时x 是小量，上式被积分函数

()

11

2

≈-z

x

x e

x e

因此，晶格的高温热熔量B B V Nk k a

L

C ==

在低温时V D C T ,/∞→Θ中的被积函数按二项式展开成级数

()

∑∞

=-=-1

2

2

1

n nx

z

x

x ne

x

e

x e 则积分

()

3

1

2

2π=

-⎰∞

z

x

x e

dx

x e 此时期热熔量v T

k L C B V 32π=

5、模式密度计算

模式密度的一般表达式：()()()

3

2q

V dS

g q ωωπ=

∇⎰① 德拜近似的模式密度，德拜近似的核心是假定频率正比于q 。即c ω=q