现代信号处理试题(习题教学)

1、已知0()2cos(2)a x t f t π=式中0f =100HZ,以采样频率s f =400Hz 对()a x t 进行采样，得

到采样信号ˆ()a x

t 和时域离散信号()x n ，试完成下面各题： （1）写出()a x t 的傅里叶变换表示式()a X j Ω；

（2）写出()a x t 和()x n 的表达式；

（3）分别求出()a x t 的傅里叶变换和()x n 的傅里叶变换。

解：（1）000()()2cos()()j t j t a a j t j t j t X j x t e dt t e dt e e e dt ∞∞-Ω-Ω-∞-∞∞

Ω-Ω-Ω-∞Ω==Ω=+⎰⎰⎰

上式中指数函数和傅里叶变换不存在，引入奇异函数δ函数，它的傅里叶变换可以表示成：00()2[()()]a X j πδδΩ=Ω-Ω+Ω+Ω

（2）

00ˆ()()()2cos()()()2cos(),a a n n x

t x t t nT nT t nT x n nT n δδ∞∞=-∞=-∞=-=Ω-=Ω-∞<<∞

∑∑

2、用微处理器对实数序列作谱分析，要求谱分辨率50F Hz ≤，信号最高频率1KHz,是确定以下各参数：

（1）最小记录时间min p T

（2）最大取样时间max T

（3）最少采样点数min N

（4）在频带宽度不变的情况下将频率分辨率提高一倍的N 值。

解：（1）已知50F Hz ≤

min 110.0250

p T s F =

== （2） max 3

min max 1110.52210s T ms f f ====⨯ （3） min 30.02400.510p T s N T s

-===⨯ （4）频带宽度不变就意味着采样间隔T 不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s 实频率分辩率提高1倍（F 变成原来的12）

min 30.04800.510p T s N T s -===⨯ 3、在时域对一有限长的模拟信号以4KHZ 采样，然后对采到的N 个抽样做N 点DFT ，所得离散谱线的间距相当于模拟频率100HZ 。某人想使频率能被看得清楚些，每50HZ 能有一根谱线，于是他用8KHZ 采样，对采到的2N 个样点做2N 点DFT 。问：他的目的能达到吗？ 答：不能，因为他忽略了数字频率和模拟频率的区别。

提高采样频率s f ，N 固然大了，数字频率（单位圆）上的样点数确实增加了，但从模拟频率谱看，样点一点也没有变得密集，这是因为数字频率π2总是对应模拟频率s f 。

采样频率由s f 到2s f 增加一倍，N 也增加一倍，但模拟频率的采样间隔Hz N

f N f s s 10022== 一点也没有变。所以，增大采样频率，只能提高数字频率的分辨率)222(N N ππ→ ，不能提高模拟频率的分辨率。

4、在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，他们分别起什么作用？

解：在D A / 变换之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称为“抗折叠”滤波器。

在A D / 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故又称为“平滑”滤波器。

5、已知10,)

1)(1(1)(12

<<---=-a az az a z H ，分析其因果性和稳定性。 解： )(z H 的极点为1,z a z a -==，

（1） 收敛域1z a -<≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应()()()n n h n a a u n -=-，这是一个因果序列，但不收敛。

（2）收敛域a z <≤0，对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应()()(1)n n h n a a u n -=---，这是一个非因果且不收敛的序列。

（3）收敛域1a z a -<<，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应()n h n a =，这是一个收敛的双边序列。

6、什么叫做数字滤波器？FIR 和IIR 的比较和各自的设计方案？

答：所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变信号所含频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。

FIR ：有限脉冲响应滤波器

IIR ：无限脉冲响应滤波器

★ IIR 极点可存在与单位圆的任何地方,有较强的幅度选择性,但相位特性差。

FIR 相位呈线性，但幅度特性需高阶才可调节的较好。

★ FIR 计算不产生振荡,误差影响小,可以采用FFT 算法。

IIR 有稳定问题，有限字长可能产生振荡，同阶递归算法速度受到限制。

★ IIR 可用模拟滤波器成果，得到有效的封闭式公式，设计工作量小，要求低。

FIR 仅窗函数有公式，但无显式表达通、阻带，需要计算机辅助设计。

★ IIR 设计已规格化，频率特性为分段常数的滤波器。

FIR 主要适应特殊应用，且高阶IIR 不易达到指标的滤波器。

ＩＩＲ数字滤波器设计

★直接设计：

原型变换（由一低通经过频率变形设计低通、高通、带通、带阻等）

频域设计（零、极点配置；幅度平方函数），

时域设计（帕德（Pade ）逼近；波形形成）

★ 优化技术设计（依据一定的优化准则进行设计）

ＦＩＲ数字滤波器设计

★线性相位： 零点的镜像存在。

偶对称： 奇对称：

★窗函数（时域加权平均）：矩形，三角，余弦，布莱克曼(Blackman)系列，凯塞(Kaiser)系列，高斯

★频率取样：在H(z)的单位圆上等分取样(是否带初相)

★优化技术设计：（依据一定的优化准则进行设计）

7、有一连续信号()2cos(2a x t f πϕ=+），式中20f Hz =， 2

π=

ϕ, 1) 求)(t x a 的周期；