8183定积分可积准则定积分性质

这一越来越逼近曲边梯形面积的过程可以分三步进行： 1. 分割：把曲边梯形 A 分成 n 个小曲边梯形
A1 , A2 , , An , 即在 [a, b] 上找到 n 1 个分点 { x1, x2 , L , xn1},
a x1 x2 L xn1 b,
a x1 x2
xn1 b
为方便起见，记 x0 a, xn b，
i 1
Mi sup f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
n
称 s(T ) miΔxi 为 f 关于分割 T 的小和,其中
i 1
mi inf f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
二、可积准则
定理 1（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要
i 1
i 1
i 1
三、三类可积函数 定理 2（连续必可积） 若 f 在 [a, b] 上 连续，则 f 在 [a, b] 上 可积.
定理 3（有限个间断点的有界函数必可积） 若 f 在 [a, b] 上有界，且只有有限多个间断点，则 f 在 [a, b] 上可积.
定理 4（单调必可积） 若 f 是 [a, b] 上的单调函数,则 f 在 [a, b] 上可积.
三、定积分的几何意义
曲边梯形面积
曲边梯形面积的负值
y
A1
a
A2
A3
A5
A4
bx
b
a f (x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和
例1. 利用定义计算定积分
解 将 [0,1] n 等分, 分点为
取
y
则
f (i )xi i2xi
i2 n3
n
i1
f
(i
)xi
1 n3
i [ xi1 , xi ], Δxi xi xi1 , i 1, 2, L , n，
用T x0 , x1 ,L , xn或T =Δ0 , ,Δn来记这个分割.
2. 近似: 把小曲边梯形 Ai 近似看作矩形,即任取
i [ xi1, xi ], 在 [ xi1, xi ] 上把 f ( x)近似看作常数 f (i )
i 1
n
S 总有差别. 当分割越来越细时，和式 f (i )Δxi
i 1
与 S 的差距就会越来越小.
n
S
lim
l (T )0 i1
f (i ) xi
二、定积分的概念
a x0 x1 x2 L xi1 xi L xn1 xn b
n
(T , ) f (i ) xi i 1
第八章 定积分
8.1 定积分 8.2 可积准则 8.3 定积分的性质 8.4 定积分的计算 8.5 定积分的应用
8.1 定积分
一、曲边梯形的面积 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义
一、 曲边梯形的面积
设 f 为闭区间 [a,b]上的连续函数，且 f x 0
由曲线 y f x , 直线 x a, x b以及x 轴所围成
此时 Ai 的面积 Si 约为 f (i )Δxi ,所以
n
n
y
S( A) S i f (i )Δxi .
i 1
i 1
n
上述和式 f (i )Δxi 称为积分和
i 1
或黎曼和.
o a x1
xi1 xi
i
3. 逼近：不管分割多么细，小曲边梯形终究不是
n
矩形，因此黎曼和 f (i )Δxi 与曲边梯形的面积
称为积分和或黎曼和; 若极限
n
lim (T, ) lim
l (T )0
l (T )0 i1
f (i ) xi
I
n
f (i ) xi I
i 1
b
n
a
f ( x)dx lim l (T )0 i1
f (i ) xi
I
积分上限
[a , b] 称为积分区间
b
n
a
f
( x) dx
平面图形称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积。 y y f (x)
A?
oa
bx
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
注：单调函数即使有无限多个间断点，仍不失其可积 性.
条件是：
lim [S(T ) s(T )] 0
l (T )0
记 M m sup{ f ( x) x I } inf{ f ( x) x I}
Mi sup{ f ( x) x i } (i 1, 2,L , n)
n
n
n
S(T ) s(T ) Mixi mixi ixi
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
例如，狄利克雷函数 1, x [0,1] Q
D( x) 0,x [0,1] [0,1] Q .
8.2 可积准则
一、大和与小和 二、可积准则 三、三类可积函数
一、大和与小和
定义 设 f 在 [a, b] 上有界, 对任意分割
T : a x0 x1 ... xn b,
n
称 S(T ) MiΔxi 为 f 关于分割 T 的大和,其中
n
i2
i1
y x2
i
n
o
1x
1 n3
1 n(n 1)(2n 6
1)
1 (1 6
1)(2 n
1) n
1 0
x2
dx
lim
l (T )0
n i 1
i2xi
lim
n
1 3
y
y x2
o
i 1x
n
定理1 (可积必有界） 若函数 f 在 [a ,b] 上可积，则 f 在[a ,b] 上必有界.
lim l (T )0
i 1
f (i ) xi
积分下限 被 积 函 数
被 积 表 达 式
积 分 变 量
积 分 和
n
lim (T, ) lim
l (T )0
l (T )0 i1
f (i ) xi
b
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n
a
f ( x)dx lim l (T )0 i1
f (i ) xi
b
b
b
a f ( x)dx a f (t)dt a f (u)du