8183定积分可积准则定积分性质

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定积分的性质

黎曼和
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
04
定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。

高等数学第五章定积分的概念及其性质

() a,( ) b, a (t) b,t [, ]
则有定积分换元公式：
b a f (x)dx
例1：计算定积分
(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
(2)
1 x2 dx
0
定积分的计算
解：(1)
4
cos(2
x
)dx
0
4
1
4
cos(2
x
)d
(2
x
)
20
4
4
令 t 2x ，则当 x 时，t
解：(2)、 y 1 x2
y2 x2 1( y 0)
如图
y
1S
o
1x
（2）
定积分的概念及性质 4、定积分的计算法则
法则1 常数因子可以提到积分号外.即
法则2 两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即
法则3 (积分区间的可加性) 对任意的点c,若函数在区间
上均可积，则有
定积分的概念及性质
4
4
4
则当 x 0时，t ，有：
原式 1 2
4
4
cos
tdt
4
1 sin t 4 2 4
2 2
(2) 1 1 x2 dx 0
令 x sin t ，则当 x 1 时，t
2
则当 x 0时，t 0 ，有：
原式 2 1 sin2 td sin t 0
2
cos2
tdt
例2
求
1
0 (
x3
x
1)dx
．
解
1
(
x
3
x
1)dx

定积分的概念与性质

t = b所经过的路程 s.
15
定积分的概念与性质
四、关于函数的可积性
当函数
称()在区间 [, ]上
∈ [, ].
定理1
的定积分存在时
可积.或 ,黎曼可积,记为
()在区间 [, ]上
黎曼德国数学家(1826–1866)
设()在[, ]上连续,
则()在[, ]上
න
න
25
定积分的概念与性质
性质5 如果在区间
则
性质5的推论1
如果在区间
则
证
[, ]上
[, ]上
න (); )
() ≤ (),
( < )
න () ≤ න ()
∵ () ≤ ()
∴ () − () ≥ 0
= − −1 , ( = 1,2, ⋯ , ),
在各小区间上任取
一点 ( ∈ ), 作乘积

(3)
并作和 = ෍ ( )
=1
(4)
= max 1 , 2 , ⋯ , ,
记
( ) ( = 1,2, ⋯ , )
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.

()
+

+
−

14
定积分的概念与性质
例
解
y
求න
න
1 − 2
1 − 2 =

4
1
o
=
1
1 − 2
x
2. 物理意义
当() ≥ 0时,
= ()
定积分
න ()
表示以变速
作直线运动的物体从时刻 t = a 到时刻

定积分可积准则定积分性质

物理应用
速度与加速度
定积分在物理中常用于计算速度和加速度，例如匀加速直线运动的速度和位移。
VS
功与热量
定积分也可用于计算力在某个区间上所做的功或物体吸收或释放的热量。
04
定积分的计算方法
直接法
总结词
直接法是计算定积分的基本方法，通过将积分区间划分为若干小区间，再求每个小区间的定积分，最后求和得到原定积分的值。
详细描述
直接法的基本思想是将积分区间[a, b]划分为n个小区间，每个小区间的长度为$Delta x = frac{b-a}{n}$，然后在每个小区间上任取一点$x_i$，$i=1,2,ldots,n$，计算该点处的函数值$f(x_i)$与小区间的长度$Delta x$的乘积$f(x_i)Delta x$，再将所有这些乘积相加，即得原定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$ 的值。
定积分可积准则与定积分性质
目录
• 定积分可积准则 • 定积分性质 • 定积分的应用 • 定积分的计算方法
01
定积分可积准则
有界性准则
总结词
如果被积函数在积分区间上有界，则该函数是可积的。
详细描述
有界性准则指出，如果函数在积分区间上既有上界又有下界，则该函数是可积的。这是因为有界函数的图像在x 轴上方和下方都有界限，不会出现无穷大或无穷小的值，因此可以通过有限个矩形来近似计算定积分。
$int_{c}^{d}g'(t)dt$，从而简化计算。
分部积分法
要点一
总结词
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导，再对求导后的结果进行积分，从而计算出原定积分的值。
要点二
详细描述
分部积分法的基本思想是将两个函数的乘积进行求导，再对求导后的结果进行积分。具体来说，如果存在两个函数 $u(x)$和$v(x)$，且$u'(x)=f(x)$和$v'(x)=g(x)$，那么可以将原定积分$int_{a}^{b}f(x)g(x)dx$转化为 $int_{a}^{b}[u(x)v'(x)-u'(x)v(x)]dx$，从而计算出原定积分的值。

定积分的概念和性质ppt课件

小区间长度记为：
ti ti ti 1 (i 1 ,2 ,3 , ,n )
n
（2）近似求和：s v(i )ti. i1
（3）取极限：
n
s
lim
0 i1
v(i
)ti
（表示所有小区间的长度的最大者）
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8
二、定积分的定义
定义设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干个分点：
四、定积分的几何意义
若f(x)≥0，则
b
a
f (x)dx 的几何意义表示
由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成
的曲边梯形的面积。
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12
一般情形,ab f (x)dx 的几何意义为：它
是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之间的各部分面积的代数和。
y
＋
a
0 －
＋ bx
性质 7（定积分中值如定果理函） f (数 x)在闭区
间[a,b]上连续，[则 a,b]在上至少存在一点
，使
b af(x )d x f()b ( a )
( a b )
这个公式叫积分中值公式。
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22
证由性6，质有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
即有 m 1
b
f(x)d xM
这些小区间的长度最大者）时，和式 f (i )xi 的
n
i 1
极限就是A，即
Alim
0 i1
f (i)xi
可见，曲边梯形的面积是一和式的极限
y=f(x) y
0 a x0 x1
f(ξｉ) x 2 ξｉ x i x 编1 辑版pi ppt

定积分的性质

17§4 定积分的性质教学目的与教学要求：理解定积分的运算性质；熟练掌握定积分的不等式性质和积分中值定理，并掌握它们的应用；教学重点：定积分的不等式性质和积分中值定理；教学难点：可积函数乘积的可积性的证明；定积分的不等式性质和积分中值定理的应用；教学措施：可积函数乘积的可积性的证明以可积准则为工具；定积分的不等式性质和积分中值定理的应用引导学生认真分析问题的条件和结论；教学时数：3一定积分的基本性质 1．∫+b adx x g x f )]()([βα∫=ba dx x f )(α∫+badx x g )(β．2．∫badx x f )(∫=cadx x f )(∫+bcdx x f )(．3．若)( ),(x g x f 在],[b a 可积，则)( )(x g x f 在],[b a 可积．证明使用可积准则．二定积分的不等式性质4． ≤⇒≤∫badx x f x g x f )()()(∫badx x g )(．)()()()( a b M dx x f a b m M x f m b a−≤≤−⇒≤≤∫．证明使用定积分定义．5．∫∫≤babadx x f dx x f )()(．注：性质5的逆不成立，例如 ⎩⎨⎧∉−∈=Q x Q x x f ,1 ,1)(在],[b a 不可积，但)(x f 在],[b a 可积．18例 1 设)(x f 在],[b a 连续，且0)(≥x f ，证明：⇔=∫0)( badx x f0)(≡x f ．三积分中值定理定理 9.7 (积分第一中值定理) 设)(x f 在],[b a 连续，则))(()( ],,[ a b c f dx x f b a c ba −=∈∃∫．证明使用连续函数的最值定理和介值定理注 ∫−badx x f a b )(1称为)(x f 在],[b a 上的平均值．定理 9.8 (推广的积分第一中值定理) 设)( ),(x g x f 在],[b a 连续，)(x g 不变号，则)()()( ],,[ c f dx x g x f b a c ba =∈∃∫∫badx x g )(．证明使用连续函数的最值定理和介值定理．注积分中值定理有更一般的形式．例 2 求x x f sin )(=在],0[π的平均值．作业：1，3（1）（3），4，7，1019第十章定积分的应用§1 平面图形的面积 §2 由平行截面面积求体积教学目的与教学要求：掌握求平面图形的面积、求立体体积的基本方法；掌握定积分在经济学中的简单应用；教学重点：求平面图形的面积、求立体体积的基本方法；教学难点：定积分在经济学中的应用；教学措施：定积分在几何上的应用微元法启发学生；教学时数：2一平面图形的面积情形1 由直线b x a x == ,，x 轴及曲线)(x f y =所围成的平面图形：dx x f S ba ∫= )(．情形2 由直线b x a x == ,，曲线)( ),(x g y x f y ==所围成的平面图形：dx x g x f S ba ∫−= )()(．类似的可以考虑关于y 的积分．例 1 求由曲线22 ,y x x y ==所围平面图形的面积．例 2求由曲线x y x y cos ,sin ==及直线2,0π==x x 所围平面图形的面积．例 3 求)0,0( 12222>>≤+b a by a x 的面积．例 4 求由曲线12 ,12+=−=x y x y 所围平面图形的面积．20例 5 设曲线21x y −=与x 轴、y 轴所围成的区域被曲线2ax y =分成面积相等的两部分，其中0>a 为常数，求a 的值．情形3（极坐标）设平面图形由曲线)(θρρ=及射线βθαθ== ,围成（称为曲边扇形），且βαθρ<≥ ,0)(，则其面积为θθρβαd S ∫=2)(21．例 6 计算心形线)cos 1(θρ+=a 所围成的图形的面积．二立体的体积1．已知平行截面面积求立体的体积∫=badx x S V )(．例 6 求椭球0,, ,1222222>≤++c b a cz b y a x 的体积．2．旋转体的体积由曲线)( , ,x f y b x a x ===与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积 ∫=ba dx x f V 2)(π.由曲线)( , ,x f y b x a x ===与x 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积 ∫=ba dx x f x V )(2π.例 7 求曲线1−=x y 上的过原点的切线与x 轴和1−=x y 所围的平面图形绕x 轴、y 轴旋转一周所得旋转体的体积．作业：2，4，5；1，2（1）（2）（3）；21§3 平面曲线的弧长与曲率§4 旋转曲面的面积教学目的与教学要求：掌握求平面曲线的弧长、求旋转曲面面积的基本方法；理解微元法的基本思想；教学重点：求平面曲线的弧长、求旋转曲面面积的基本方法；教学难点：理解微元法的基本思想；教学措施：微元法的基本思想要注意实际问题与数学思想的结合；教学时数：2一平面曲线的弧长定义 1 设B A ,是曲线弧上的两个端点，在弧∧AB 上依次任取分点B M M M M A n n ==−,,,,110L ，并依次连接相邻的分点得一内接折线，当分点数无限增加且每小段i i M M 1−都缩为一点时，如果此折线长∑=−ni i i M M11的极限存在，则称此极限值为曲线弧∧AB 的弧长，并称此曲线弧为可求长的．定义 2 若曲线上每一点都存在切线，且切线随切点的移动而连续转动，则称此曲线为光滑曲线．定理光滑曲线是可求长的．1．光滑曲线由参数方程给出：],[ ),( ),(βα∈==t t y y t x x ，则弧长为dt t y t x s ∫+=βα22)(')('．2．光滑曲线由直角坐标方程给出：],[ ),(b a x x f y ∈=，则弧长为dx x f s b a∫+= 2)('1．223．光滑曲线由极坐标方程给出：],[ ),(βαθθρρ∈=，则弧长为θθρθρβαd s ∫+= 22)()('．例 1 计算摆线]2,0[ ),cos 1( ),sin (π∈−=−=t t a y t t a x 的一拱的长度．二微元法如果某一实际问题中的所求量U 符合下列条件：1．U 是一个与变量x 的变化区间],[b a 有关的量；2．U 对于区间],[b a 具有可加性，即：若将区间],[b a 分为若干小区间，则U 相应地分为若干部分量，而U 等于所有部分量之和；3．部分量i U Δ的近似值可以表示为i i x f Δ)(ξ；那么就可以考虑使用定积分表示这个量U ，通常的步骤为：1）根据问题的具体情况，选取一个变量，例如x 为积分变量，并确定其变化区间],[b a ；2）设想将区间],[b a 分为n 个小区间，任选一个记为],[dx x x +，求出相应于这个小区间的部分变化量U Δ的近似值，且将U Δ近似地表示为一个连续函数)(x f 在x 的值与dx 的乘积，称dx x f )(为量U 的元素，记做dU ；3）以所求量U 的元素dx x f )(为积分表达式，在区间],[b a 上作定积分，得：dx x f U ba ∫= )(．这个方法称为微元法．三旋转曲面的面积设光滑曲线],[ ),(:b a x x f y C ∈=，不妨设0)(≥x f ，则C 绕x 轴23旋转一周所得曲面的面积为 π2=S dx x f x f ba∫+ 2)('1)(．若光滑曲线C 为：],[ ),( ),(b a t t y y t x x ∈==，则C 绕x 轴旋转一周所得曲面的面积为 π2=S dt t y t x t y ba∫+ 22)(')(')(．例 2 计算222R y x =+在],[],[R R b a −⊂上的弧段绕x 轴旋转一周所得曲面的面积．例 3 计算t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转一周所得曲面的面积．作业：1（1）（3）（5）；1（1）（2），2，3（1）§5 定积分在物理中的某些应用教学目的与教学要求：掌握计算变力沿直线所作的功、水压力和引力等的方法；教学重点：计算变力沿直线所作的功、水压力和引力等的方法；教学难点：将物理问题转化为数学问题；教学措施：应用微元法启发学生；教学时数：1一变力沿直线所作的功例 1 将一个带q +电荷量的点电荷放在r 轴上坐标原点O ，它产生一个电场，这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，若一个单位正电荷放在此电场中距原点O 为r 的地方，则电场对它的作用力的大小为：2rqk F =，k 是常数，当单位正电荷在电场中从a r =沿r轴移到b r =时，计算电场力对它所作的功．24解在],[dr r r +电场力所作的功为：dr r qkdW 2=，故dr rkq W b a ∫= 2 例 2 在底面积为S 的圆柱形容器中有一定量气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，将容器中的一个活塞（面积为S ）从点a 推倒点b ，计算在移动过程中，气体压力所作的功．解取活塞运动的方向为x 轴，作用在活塞上的力为x kS xS k pS F ===，其中p 为压强，故在],[dx x x +的微功元素为：dx xkdW =．例 3 一圆柱形储水桶高为m 5，底面半径为m 3，桶内盛满了水试问将桶内的水全部吸出需要作多少功．解取桶高的方向为x 轴，故在],[dx x x +的微功元素为：xdx dW ⋅⋅=238.9π．二水压力例 4 一个横着放的水桶内盛有半桶水，设桶的底面半径为R ，水的密度为ρ，计算桶的一个底面上所受的压力．解取铅直的方向为x 轴，故在],[dx x x +的微压力元素为：dx x R gx dP 222−=ρ．三引力例 5 设一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒，其中垂线上距棒的距离为a 处有一质量为m 的质点M ，试计算该棒对质点M 的引力．解取y 轴为棒所在的直线，棒的中点为坐标原点，由对称性，0=y F ，又 2/322)(y a dy am G dF x +−=μ，故dy y a Gam F ll x ∫−+−=2 22/322)(μ 作业：3，4，725第十一章反常积分§1 反常积分的概念教学目的与教学要求：理解无穷限积分收敛的概念、暇积分的概念；教学重点：无穷限积分收敛的概念、暇积分的概念；教学难点：暇积分的概念；教学措施：从分析定积分的必要条件和实际问题的需要两个角度引导学生理解相关的概念；教学时数：1一实际背景1．第二宇宙速度． 2．渗漏问题．二两类反常积分的定义1．无穷积分概念定义 1 设函数)(x f 在),[+∞a 有定义，若对任意)( ,x f a b >在],[b a 可积，则称符号dx x f a∫∞+ )(为)(x f 在),[+∞a 的无穷限积分，若极限dx x f bab ∫+∞→ )(lim存在，则称无穷积分dx x f a∫∞+ )(收敛，且称极限值为)(x f 在),[+∞a 的无穷积分值.注：类似的可以定义)(x f 在),( ],,(+∞−∞−∞b 的无穷限积分. 例 1 讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）dx x ∫∞++ 0 211；（2）dx e x∫∞−0 ；（3）dx x ∫∞+∞− sin ；（4）dx x p ∫∞+ 1 1；2．瑕积分的概念26定义 2 设函数)(x f 在),[b a 有定义，若对任意)( ,0x f a b −<<ε在],[ε−b a 可积，又)(x f 在b x =的左邻域无界，则称b 是暇点.若极限dx x f b a∫−→+εε 0)(lim 存在，则称暇积分dx x f ba∫ )(收敛，且称极限值为)(x f 在),[b a 的暇积分值.注：类似的可以定义)(x f 以a 和),(b a c ∈为暇点的暇积分. 例 2 讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）dx xx ∫1ln ；（2）dx x ∫−20 32)1(1；（3）dx a x ba p∫− )(1；作业：1(3)(4)(7); 2(4)(5)(8); 3; 4;§2 无穷积分的性质与收敛判别 §3 瑕积分的性质与收敛判别教学目的与教学要求：理解保号函数广义积分的比较判别法、比较判别法的极限形式；掌握保号函数广义积分的柯西判别法；理解绝对收敛和条件收敛的概念；教学重点：保号函数广义积分的柯西判别法；教学难点：保号函数广义积分的柯西判别法的应用；绝对收敛和条件收敛的概念；教学措施：保号函数广义积分的柯西判别法的应用引导学生分析函数的特点；教学时数：3一无穷积分的性质1．收敛积分的线性性质272．敛散性的判别定理 11.2 （比较判别法) 若),[ ),()(0+∞∈≤≤a x x g x f ，且在任意区间],[b a 上可积，则dx x g a∫∞+ )(收敛dx x f a∫∞+⇒ )(收敛；dxx f a∫∞+ )(发散dx x g a∫∞+⇒ )(发散.推论 1 （比较判别法的极限形式) 若),[ ),()(0+∞∈≤≤a x x g x f ，且在任意区间],[b a 上可积，又l x g x f x =+∞→)()(lim，则 ① 当+∞<<l 0时，dx x g a∫∞+ )(收敛dx x f a∫∞+⇔)(收敛；② 当0=l 时，dx x g a∫∞+ )(收敛dx x f a∫∞+⇒ )(收敛； ③ 当+∞=l 时，dx x g a∫∞+ )(发散dx x f a∫∞+⇒ )(发散；推论 2 （柯西判别法) 若),[ ),(0+∞∈≤a x x f ，且在任意区间],[b a 上可积，又l x f x p x =+∞→)(lim ，则① +∞<≤l 0，1>p dx x f a∫∞+⇒ )(收敛；② 1 ,0≤∞≤在],[b a 可积，若积分dx x f a∫∞+ )(收敛，则称无穷积分dx x f a∫∞+ )(绝对收敛.28定义 3 设函数)(x f 在),[+∞a 有定义，对任意)( ,x f a b >在],[b a 可积，若积分dx x f a∫∞+ )(收敛，积分dx x f a∫∞+ )(发散，则称无穷积分dx x f a∫∞+ )(条件收敛.例 3 判别下列积分的敛散性：（1）bxdx e x ax p sin 1∫∞+−；（2）dx xx∫∞+ 1sin ；二 Abel 判别法与Dirichlet 判别法2．敛散性的判别定理 11.6 （比较判别法) 若),[ ),()(0b a x x g x f ∈≤≤，且在任意区间],[ε−b a 上可积，a b −<<ε0，又)(),(x g x f 在b x =的左邻域无界，则dx x g ba∫ )(收敛dx x f ba∫⇒ )(收敛；dx x f ba∫ )(发散dx x g ba∫⇒ )(发散.推论 1 （比较判别法的极限形式) 若),[ ),()(0b a x x g x f ∈≤≤，且在任意区间],[ε−b a 上可积，a b −<<ε0，又)(),(x g x f 在b x =的左邻域无界，又l x g x f bx =−→)()(lim ，则 ① 当+∞<<l 0时，dx x g b a ∫ )(收敛dx x f ba∫⇔)(收敛；② 当0=l 时，dx x g ba∫ )(收敛dx x f ba∫⇒ )(收敛； ③ 当+∞=l 时，dx x g ba∫ )(发散dx x f ba∫⇒ )(发散；推论 2 （柯西判别法) 若),[ ),(0b a x x f ∈≤，且在任意区间29],[ε−b a 上可积，a b −<<ε0，又)(x f 在b x =的左邻域无界，又l x f x b pb x =−−→)()(lim ，则 ① +∞<≤l 0，1<p dx x f ba∫⇒ )(收敛；② 1 ,0≥∞≤<p l dx x f ba∫⇒ )(发散；例 5 判别下列积分的敛散性：（1）dx x x q p ∫−10 )1(；（2）dx xx p ∫+10 )1ln(； 3. 绝对收敛与条件收敛类似于无穷限广义积分.作业：1（2）（5）（7）（10）； 1(2)（3）（5）（6）（8）；。

定积分的定义和性质

i 1
i 1
i 1

n

i 1

i n

2

1 n

1 n3
n

i 1
i
2

1 n3

n(n

1)(2n 6

1)

1 6
1

1 n

2

1 n
,
0 n ，
1 x2dx lim n
0
0 i1

i
2xi

lim
证：
b
kf ( x)dx
a
n
n

lim kf
λ0 i1
(i )xi

limk
λ0 i1
f
(i )xi
n

k
lim
λ0 i1
f
(i
)xi
b
k f ( x)dx. a
性质2
b[ a
f
(x)

g( x)]dx

b
a
f
( x)dx

b
a
g(
x
)dx
证:
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
a
0
例1 利用定积分的几何意义计算0R R2 x2dx。
解：根据定积分的几何意义知，此定积分是以R为
半径的圆面积的四分之一
故
Y

R 0
R2 x2dx R2。 4
O
y R2 x2
R
X
2
例2 计算 sin xdx

定积分的概念及性质课件

度、磁场强度等；在弹性力学中，定积分可以用于求解应力和应变等问题。
06
定积分的进一步应用
积分变换
积分变换的定义
积分变换是一种将函数在某一区间内的行为转化为另一种函数的方法，常见的积分变换包括傅里叶变换和拉普拉斯变换等。
积分变换的性质
积分变换具有一些重要的性质，例如线性性质、时间平移性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
积分变换的应用
积分变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过积分变换可以将复杂的信号或系统转换为易于分析和处理的函数形式。
傅里叶变换
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种将时间域函数转换为频域函数的方法，它可以将一个时间函数分解成一系列不同频率的正弦和余弦函数的线性组合。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换具有一些重要的性质，例如线性性质、对称性质和微分性质等，这些性质在解决实际问题中具有广泛的应用。
傅里叶变换的应用
傅里叶变换在信号处理、图像处理和控制系统等领域有着广泛的应用，通过傅里叶变换可以将复杂的信号或系统转换为易于分析和处理的频域函数形式。
反常积分
反常积分的定义
反常积分是一种在无穷区间上定义的积分，它通常用于处理一些在无穷远处收敛的函数。
符号的意义
定积分的符号表示一个函数在一个区间上的总值，其中“∫”表示积分号。
计算公式
定积分可以通过一个公式
来计算x，其中a和b
是区间的端点。
02
定积分的性质
连续函数的积分性质
积分区间可加性
对于任意两个不相交的区间[a,b]和[b,c]，有$\int_{a}^{c}f(x)dx = \int_{a}^{b}f(x)dx + \int_{b}^{c}f(x)dx$。

定积分的可积性和计算

定积分的可积性和计算定积分是数学中的重要概念之一，它可以用于计算物理量、面积、体积等，并且也是微积分的重要部分。

在这篇文章中，我们将探讨定积分的可积性以及如何计算定积分。

一、定积分的可积性在计算定积分之前，我们需要知道一个重要的概念——可积性。

如果一个函数满足黎曼可积的条件，那么它就是可积的。

黎曼可积的定义是：如果函数 f(x) 在区间 [a,b] 上有定义，并且满足以下条件：1. 在区间 [a,b] 上有限个点 x0,x1,x2,...,xn，且 ai<=xi<=bi(i=0,1,2,...,n)；2. 在每个小区间 [xi-1,xi] 上，函数 f(x) 都是有界的；3. 左、右 Darboux 和相等，即：对区间 [a,b] 上的任意分割P，有：upper sum S(P,f)=Σni=1(x*i-x*i-1)sup f(x)≥ lower sum L(P,f)=Σni=1(x*i-x*i-1)inff(x)=I其中，x*i 是小区间 [xi-1,xi] 上的任一点。

如果函数 f(x) 满足上述条件，那么它就是可积的。

反之，如果不满足上述条件，则函数不可积。

定积分第一节定积分的概念及性质-25页PPT精品文档

性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) d.x
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
(k 为常数).
性质3 假设 a<c<b
a bf(x )d x a cf(x )d x c bf(x )d.x
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v(i )Dti
i1
（3）取极限 m D t 1 ,a D t2 , x ,D tn } {
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)Dti
二、定积分定义
a x 0 < x 1 < x 2 < < x n b ,
任一种分法任取
b
n
a
f
(x)dx

lim
0 i1
f
(xi )Dxi
积分下限被积函数
被积积分表变达量
积分和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即
b
f (x)dx
a

b f (t ) dt
b
f (u)du
a
a
定积分存在的条件
定理1. 定理2.
(4)取极限:设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i m
2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔[T1,T2]上t 的一个连续函数，且 v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程.

第二节定积分的性质

智慧城市的智能公共交通智慧城市的建设已经成为现代城市规划的重要组成部分，其中智能公共交通系统的发展具有关键性的意义。

智慧公共交通通过融合信息技术与交通系统，提供更加高效、便捷、可持续的出行方式，为城市居民带来全新的出行体验。

一、智能公共交通系统智能公共交通系统是指通过网络技术和智能设备，使城市公共交通更加智能化、高效化的系统。

其核心是基于信息技术的数据采集、分析和应用，为公共交通管理实现智能化、精细化的运营管理。

1.1 数据采集与分析智能公共交通系统通过各类传感器、监控设备等手段，实现对城市交通状况、公交车辆运营、乘客需求等数据的实时采集。

这些数据经过处理和分析，可以为公共交通管理者提供决策参考，优化车辆调度，提高运行效率。

1.2 公交信号优化智能公共交通系统还可以通过智能信号控制技术，为公交车辆提供绿波通行的便利。

交通信号可以根据实时交通数据和公交车辆的位置信息，动态调整信号灯的时长，尽量减少红灯等待时间，提高公交出行速度和运行效率。

1.3 公交调度与导航智能公共交通系统通过建立信息平台，将公交车辆的实时位置信息与乘客需求进行匹配，实现公交车辆的实时调度和导航。

乘客可以通过手机或电子显示屏查看公交车辆的实时到站信息和运行状态，提前规划出行路线，减少等待时间。

二、智能公共交通的优势智能公共交通系统的引入，为城市公共交通带来了诸多优势和便利，不仅提升了乘客出行体验，也有助于城市交通管理的提升。

2.1 提高运行效率智能公共交通系统可以实时获取乘客需求和交通状况，通过优化调度和信号控制，提高公交车辆的运行效率。

乘客等待时间减少，公交车辆的行驶速度增加，整体交通流量得以优化，提升了公共交通的吸引力。

2.2 减少碳排放智能公共交通系统的推广使用，可以减少汽车出行需求，降低交通拥堵，从而减少了尾气排放和能源的消耗。

这有助于改善城市的空气质量，减少环境污染，推动可持续交通的发展。

2.3 提升出行体验智能公共交通系统为乘客提供了多种出行信息服务，包括实时车辆到站信息、乘车路线建议、交通状况预测等。

定积分的性质1

x sin
n
n
x (sin x 1) 0
sin
n1
x sin
n1
x

于是

2 0
sin
xdx

2 0
sin
n
xdx
高州师范学院
§8.3 定积分的性质
定理8 且证:
若 f ( x ) 在 [ a , b ]可积，则 | f ( x ) | 在 [ a , b ]也可积，
i su p {| f ( x 1 ) g ( x 1 ) f ( x 2 ) g ( x 2 ) | x 1 , x 2 [ x i 1 , x i ]}
高州师范学院
§8.3 定积分的性质
| f ( x1 ) g ( x1 ) f ( x 2 ) g ( x 2 ) |
| f ( x1 ) g ( x1 ) f ( x 2 ) g ( x1 ) f ( x 2 ) g ( x1 ) f ( x 2 ) g ( x 2 ) | | g ( x 1 )[ f ( x 1 ) f ( x 2 )] f ( x 2 )[ g ( x 1 ) g ( x 2 )] | | g ( x 1 ) || f ( x 1 ) f ( x 2 ) | | f ( x 2 ) || g ( x 1 ) g ( x 2 ) | M | f ( x1 ) f ( x 2 ) | M | g ( x1 ) g ( x 2 ) |
b
a
b
f ( x ) dx
c
b
c
f ( x ) dx
c
则 a f ( x ) dx a f ( x ) dx b f ( x ) dx

定积分的性质

3 3 使 x t sin f ( t )dt sin f ( )( x 2 x ), t x2 3 3 lim x t sin f ( t )dt 2 lim sin f ( ) x t
x 2
2 lim 3 f ( ) 6.
2.推广的积分第二中值定理
g (x)
定理 9.8 设 f (x) ，g (x) 和 f ( x) g ( x) 在 [a,b]可积，
xi 0,
n
max{x1 , x2 ,, xn }
b
f ( i ) x i 0, i 1
n
lim f ( i )xi f ( x )dx 0. a 0
i 1
例 1 比较积分值 0 e dx 和 0 xdx 的大小.
x
2
2
解
令 f ( x ) e x x,
x [2, 0]
b
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
n i 1
b
b
( k 为常数).
kf ( x )dx lim0 kf (i ) xi a T
lim k f (i )xi
T 0
b
n
k lim f (i ) xi
T 0 i 1
n
i1
k a f ( x )dx .
性质2 证
a [ f ( x ) g ( x )]dx a f ( x )dx a g ( x )dx .
§9.4
定积分的性质
一、基本性质二、积分中值定理
一、基本性质
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时， f ( x )dx 0 ；
a b
（2）当 a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .

定积分的性质

在[0,1]上不可积（类似于狄利克雷函数）；但
f ( x ) 1, 它在[0，1]上可积.
首页
×
例1
求

1
2 x 1, 1 x 0, f ( x) x e ,0 x 1.
1
f ( x )dx, 其中
解
对于分段函数的定积分，通常利用积分
区间可加性来计算，
Bif Aig .
利用§3习题第1题，可知
f .g f g x B x A i i i xi i T T A
i
B if xi A ig xi T' T B A , 2B 2A
这就证得f · g在[a,b]上可积.
x a ,b
x
,
B sup g x ,
x a ,b
且Ａ＞０，Ｂ＞０（否则f、g中至少有一个恒为零值函数，于是f、g亦为零值函数，结论显然成立）.
T " ，使得任给由f、g可积，必分别存在分割 T ' 、 g f x . i xi , i i 2A 2B T' T" 令 T T 'T " （表示把 T ', T " 的所有分割点合并

1
1
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
(2 x 1)dx e x dx
1 0
0
1
1 0
0
1
( x x)
2
0 1
(e )
x
1 0
首页
2 e 1 1 (e 1 1).
×

定积分的性质和基本定理

第二节定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。

因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效§2.1一、定积分的基本性质性质 1b a1dx=∫b adx=b-a证 0lim →λ∑=n1i f(ξi ）Δx i ＝lim →λ∑=n1i １·Δx i ＝0lim →λ(b-a)=b-aba 1dx=∫badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］ba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ba f(x)dx+β∫b ag(x)dx证：设F(x)=αf(x)+βg(x),lim →λ∑=n1i F(ξi ）Δx i ＝0lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］Δxi ＝0lim →λ［α∑=n1i f(ξi ）Δx i ＋β∑=n1i g(ξi ）Δxi＝αbaf(x)dx+β∫bag(x)dxαf(x)+βg(x)在［a,bba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b ag(x)dx特别当α=1,β=±1ba ［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx ±∫b ag(x)dx当β=0ba αf(x)dx=α∫b af(x)dx性质 2性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意b af(x)dx=∫c a f(x)dx+∫bcf(x)dx证a,b,c(i)当a<c<b ，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b ］时，可以让点C是一个固定的b af(x)dx= 0lim →λ∑],[b a f(ξi ）Δx i∑],[c a＝0lim →λ［∑],[c a f(ξi ）Δx i ＋∑],[b c f(ξi )Δxi＝0lim →λ∑],[c a f(ξi )Δx i ＋0lim →λ∑],[b c f(ξi ）Δxica f(x)dx+∫bcf(x)dx（ii)当c<b<a由(i)a cf(x)dx=∫bc f(x)dx+∫abf(x)dx-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b af(x)dx, ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b cf(x)dx 对于其它4种位置与(ii)性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。

定积分

§8.1 定积分的概念
一两个问题 1 曲边梯形的面积
在初等几何中，我们都会计算规则的几何图形的面积，对任意闭曲线所围成的封闭区域的面积的计算问题，这就只能用极限的方法才能得到完美的解决。对闭曲线所围成的封闭区域面积的计算，可用互相垂直的两组直线将其分成若干部分，有的是矩形，有的是曲边三角形（有两条相互垂直的直线与一曲线围成），有的是曲边梯形（有两条直线都垂直于第三条直线且与一条曲线围成）。曲边三角形是曲边梯形的特殊情况，所以只须找出计算曲边梯形面积的方法，闭曲线所围成的封闭区域面积问题就的以解决。设曲边梯形是由非负连续曲线 y = f ( x), (a ≤ x ≤ b) 、 x 轴以及直线 x = a 与 x = b 所围成，下面分 4 个步骤讨论怎样求此曲边梯形的面积。如图（ 8－1）：
i =1
2
i
∆x i .
为求得此极限，在定积分存在的前提下，允许选择某种特殊的分割 T 和特殊的点集
{ξ I }．在此只需取等分分割：
n −1 ⎫ 1 ⎧ 1 2 T = ⎨0, , , ⋯, ,1⎬, T = ; n ⎭ n ⎩ n n
并取 ξ i =
i − 1 ⎡i −1 i ⎤ ∈⎢ , , i = 1,2, ⋯ , n. 则有 n ⎣ n n⎥ ⎦
[a, b]可积， I 是函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 的定积分，表示为
∫
b
n
a
f ( x )dx = lim
l ( T ) → 0 k =1
∑ f (ξ
k
) ∆x k = I
其中 a 与 b 分别是定积分的下限和上限； f ( x ) 是被积函数； f ( x)dx 是被积表达式； x 是积分变量。若当 l (T ) → 0 时，积分和 σ (T , ξ ) 不存在极限，则称函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b ] 不可积。据此定义，曲边梯形的面积 A 是函数 f ( x ) 在闭区间 [a, b ] 的定积分，表示为

8183定积分可积准则定积分性质

定积分的性质

高等数学 第五章 定积分的概念及其性质

定积分的概念与性质

定积分可积准则定积分性质

定积分的概念和性质ppt课件

定积分的性质

定积分的定义和性质

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第二节定积分的性质

定积分的性质1

定积分的性质

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定积分的性质和基本定理

定积分

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